吳涵卿，袁淏木，陳柄任，吳 磊，李 鑫，李曉瑜

(1.建信金融科技有限責(zé)任公司 上海 浦東區(qū) 200120；2.四川元匠科技有限公司 成都 611730；3.電子科技大學(xué)信息與軟件工程學(xué)院 成都 610054)

近年來，量子計(jì)算所獲得的各領(lǐng)域的關(guān)注與日俱增[1-2]。然而，容錯(fault-tolerant)量子計(jì)算機(jī)在近期出現(xiàn)的可能性仍然較低[3]。因此，近期能夠真正付諸實(shí)際應(yīng)用的量子計(jì)算算法將主要圍繞中等規(guī)模噪聲量子(noisy intermediate-scale quantum,NISQ)計(jì)算機(jī)展開。大部分NISQ 計(jì)算機(jī)上的算法都是經(jīng)典-量子混合的，這類算法將待解決問題中經(jīng)典計(jì)算機(jī)上計(jì)算較為困難而適合量子計(jì)算完成的部分交由量子計(jì)算機(jī)完成，而其他部分仍然由經(jīng)典計(jì)算機(jī)完成。這類算法通過經(jīng)典計(jì)算機(jī)上的優(yōu)化方法，不斷迭代含參量子線路中的參數(shù)以得到優(yōu)化后的量子線路，進(jìn)而得到所期望的量子態(tài)，因而被稱為變分量子算法(variational quantum algorithm, VQA)[4]。

在VQA 中，文獻(xiàn)[5]提出的量子近似優(yōu)化算法(quantum approximation optimization algorithm,QAOA)能夠高效解決具有特定特征的無向圖上最大割(max-cut)問題。這一問題在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上是NP 完備的[6]。文獻(xiàn)[7]在其基礎(chǔ)上提出了量子交替算子擬設(shè)(quantum alternating operator ansatz,QAOA)，通過對量子線路上算子結(jié)構(gòu)的不同設(shè)計(jì)，將文獻(xiàn)[5]提出的近似優(yōu)化算法拓展到有關(guān)字符串、排序和流程規(guī)劃的一系列問題上，因而可以視作前者的拓展。本文將二者及在其之上進(jìn)一步衍生的這一類算法統(tǒng)稱為量子近似優(yōu)化算法，并在下文以QAOA 指代。

目前，除了QAOA 之外，還有運(yùn)用其他類型的量子算法進(jìn)行投資組合優(yōu)化的研究。如文獻(xiàn)[8]提出了基于HHL 的最優(yōu)化均值-方差模型的方法，這一方法經(jīng)文獻(xiàn)[9]的拓展，可以解決任意數(shù)量的整數(shù)約束和預(yù)算約束下的均值-方差模型下的投資組合優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[10]提出了NISQ 硬件條件下HHL 解決投資組合優(yōu)化問題的方法。這些基于HHL 的投資組合優(yōu)化方案所考慮的解空間是連續(xù)的，而非QAOA 所關(guān)注的離散化模型。由于HHL 的關(guān)鍵要素QRAM 的高效實(shí)現(xiàn)仍待探索[11]，因而基于HHL 的投資組合優(yōu)化算法相較在NISQ時代的實(shí)際應(yīng)用仍有一定的距離。文獻(xiàn)[12]提出了基于Grover 搜索算法的投資組合優(yōu)化方案，其考慮的問題與下文中介紹的投資組合優(yōu)化再平衡模型相同，這一方案的優(yōu)點(diǎn)在于量子線路的設(shè)計(jì)清晰簡潔，可解釋性強(qiáng)。然而，該算法對于均值向量和協(xié)方差矩陣中非整數(shù)的系數(shù)按比例使用整數(shù)近似，受限于NISQ 時代較少的量子比特?cái)?shù)，面對非整數(shù)參數(shù)的投資組合優(yōu)化問題存在著精度不足的瓶頸。另一方面，利用量子退火進(jìn)行投資組合優(yōu)化也是許多研究關(guān)注的重點(diǎn)，如文獻(xiàn)[13]對于反向量子退火在投資組合優(yōu)化中的應(yīng)用的研究以及文獻(xiàn)[14]對于量子退火中的控制對于無約束組合優(yōu)化問題求解的影響。量子退火由于其對應(yīng)的硬件發(fā)展較為成熟、規(guī)模較大，因此在近期有可能展現(xiàn)量子計(jì)算相較經(jīng)典計(jì)算的優(yōu)勢，但其所能帶來的效率提升如何卻仍待探索[15]。此外，亦有利用量子隨機(jī)游走進(jìn)行投資組合優(yōu)化的研究[16]，其實(shí)際上屬于QAOA 的一種變體?？偠灾?，QAOA 對于本文所關(guān)注的NP 難的離散投資組合優(yōu)化問題有著精度更高、更可能在NISQ 時代付諸實(shí)際應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)。

1 均值-方差模型

1.1 馬科維茨的均值-方差模型

均值-方差模型[17-18]是金融學(xué)中最經(jīng)典的模型之一。假設(shè)投資者有n個備選資產(chǎn)，其收益率均為隨機(jī)變量。這些資產(chǎn)的期望收益率向量為μ=((μ1,)μ2,···,μn)T∈Rn， 收 益 率 的 協(xié) 方 差 矩 陣 為Σ=σi j∈Rn×n。 投資者可以對這n個資產(chǎn)進(jìn)行加權(quán)組合。記其在第i個資產(chǎn)上的投資份額為xi，則該投資組 合 的 向 量 表 示 為x=(x1,x2,···,xn)T∈Rn。相 應(yīng)地，該投資組合的期望收益為 μTx， 方差為xTΣx。投資者希望在給定期望收益 μ0∈R時，最小化投資組合的方差，于是可作如下優(yōu)化：

由于協(xié)方差矩陣一定是半正定的，因此，式(1)可在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上以多項(xiàng)式時間復(fù)雜度的算法解決。

式(1)的一個等價形式如下[19]：

式中， η ∈[0,1]； 1 =(1,1,···,1)T。 η代表了投資者在風(fēng)險(xiǎn)和收益二者間的權(quán)衡情況，稱為權(quán)衡系數(shù)。顯然，當(dāng)η =0時，投資者只關(guān)注收益，傾向于選擇最為激進(jìn)的投資組合；而當(dāng)η =1時，投資者只關(guān)注方差，傾向于選擇最為穩(wěn)健、方差最小的投資組合。

1.2 均值-方差模型的離散化

1.3 投資組合再平衡問題

投資組合再平衡(Rebalancing)問題[20]是式(3)的拓展。在再平衡問題中，投資者在決策前已經(jīng)有一定的持倉y=(y1,y2,···,yn)T。在單筆交易成本T≠0 的 情況下，式(3)相當(dāng)于y=(0,0,···,0)T的特殊情形，而一般情況下， ?i,yi≠0。于是，就有了本文剩余部分所關(guān)注的模型：

顯然，這一問題仍舊是NP 難的。

2 QAOA 的投資組合優(yōu)化建模

2.1 QAOA 的基本框架

QAOA 將原問題的可變向量映射為量子比特的張量積，經(jīng)量子線路變換后，將逆映射作用于測量結(jié)果得到特定條件下近似最小(大)化目標(biāo)函數(shù)的可變向量取值。以最小化問題為例，QAOA 的基本框架如下。

1)設(shè)投資者需要最小化的目標(biāo)函數(shù)為可變向量z的函數(shù)f(z),z∈Rn。則需要構(gòu)造合適的映射φ(·)，φ(z)=|φ〉,〈φ|φ〉=1， 并確定目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的哈密頓量C，使得f(z)=〈φ|C|φ〉。

4)通過經(jīng)典計(jì)算機(jī)上的優(yōu)化算法(如梯度下降法)，不斷迭代更新參數(shù) γ ,β。每次迭代計(jì)算得到新的 γ ,β值之后，重復(fù)步驟3)，將新參數(shù)下的演化算子作用于初態(tài) |φ0〉，測量末態(tài)并計(jì)算出新的函數(shù)值，進(jìn)而利用新的函數(shù)值算出下一步迭代的 γ,β，直至算法收斂為止。此時，算法得到最終的一組參數(shù)γ*,β*及其對應(yīng)的演化算子U(γ*,β*)。

2.2 投資組合優(yōu)化問題的QAOA 建模

為形式統(tǒng)一，可以變換式(4)中的交易成本項(xiàng)，得到：

則最小化式(4)中的f(z)等價于最小化：

對于任意zi,i∈{1,2,···,n}， 將其映射到si1,si2兩個量子比特的張量積 |si1〉?|si2〉 上 ，即φ(zi)=|si1〉?|si2〉。令：

具體地，zi和si1,si2的映射關(guān)系如表1 所示[20]。

表1 zi 和 si1,si2的映射關(guān)系

此外，本文約定φ-1(|1〉?|1〉)=0。

考慮泡利-Z 矩陣(Pauli-Z matrix)：

那么由于：

有關(guān)系式zi=〈φ|Ci|φ〉。 因此，目標(biāo)函數(shù)g(z)對應(yīng)的哈密頓量為：

自此，本文構(gòu)造完成了上一節(jié)步驟1)所需的對應(yīng)關(guān)系，得以進(jìn)行QAOA 的后續(xù)步驟。

3 利用QAOA 進(jìn)行投資組合優(yōu)化的不同方法

3.1 軟約束下的標(biāo)準(zhǔn)QAOA

文獻(xiàn)[5]提出QAOA 時所選定的初態(tài)為均勻疊

文獻(xiàn)[20]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，軟約束下的標(biāo)準(zhǔn)近似優(yōu)化算法解決投資組合優(yōu)化問題的效果相較經(jīng)典窮舉法(brute-force search)沒有明顯的優(yōu)勢，因此本文的數(shù)值模擬將不涉及該方法。

3.2 軟約束下的熱啟動QAOA

對于最大割等整數(shù)優(yōu)化問題，在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上，可以采用隨機(jī)取整(randomized rounding)[23-24]的方法，利用放松原問題的整數(shù)約束進(jìn)行優(yōu)化所得到的結(jié)果尋找整數(shù)約束下的最優(yōu)解。相應(yīng)地，也可以利用放松整數(shù)約束的經(jīng)典優(yōu)化結(jié)果設(shè)計(jì)QAOA初態(tài)，這種方法被稱作熱啟動[25](warm-starting)。對于式(4)，記：

令：

則s1,s2∈[0,1]n，z=s1-s2。求解：

則軟約束下熱啟動的初態(tài)：

相應(yīng)地，算法使用混合算子U(BSWS,βk)，其中：

當(dāng) si=1或 si=0 時 ，BWS僅能在相位的意義上改變相應(yīng)的量子比特。為了避免出現(xiàn)諸如放松整數(shù)約束時的最優(yōu)解和原問題恰好分別為0 和1 的情形，令：

混合算子U(BSWS,βk)并不能保證優(yōu)化過程在HD下進(jìn)行，因此本節(jié)引入3.1 節(jié)所述的懲罰項(xiàng)A(1Tz-D)2對優(yōu)化過程進(jìn)行約束。因此，本文稱本方法為軟約束下的熱啟動QAOA，在下文用SWSQAOA 指代。

3.3 軟約束下的連接熱啟動QAOA

3.2 節(jié)中的混合算子U(BSWS,βk)均由單比特門構(gòu)成，并沒有考慮不同量子比特之間的相關(guān)性。因此，一個自然的想法便是在混合算子中引入不同量子比特的相互作用因素?？梢詷?gòu)建連接混合算子U(Bcop,βk)[26]，其中：

本文約定n+1 ≡1,n+2 ≡2。是有關(guān)參數(shù)t∈[-1,1]的 量子門操作，其中t代表不同量子比特之間的相關(guān)性，同 γ ,β相同，由經(jīng)典優(yōu)化算法確定最優(yōu)值。自此，本文得到了軟約束下使用連接混合算子的熱啟動QAOA，在下文用SX-QAOA 指代。

3.4 硬約束下的標(biāo)準(zhǔn)QAOA

另一種解決使用X-混合算子時容易得到非可行解的方法是修改混合算子的設(shè)計(jì)。XY-混合算子[22]U(BXY,βk)能 夠使得只要初態(tài)| φ0〉∈HD，近似優(yōu)化算法一定在 HD內(nèi)進(jìn)行，因而能夠顯著地減小算法最小化目標(biāo)函數(shù)的搜索范圍。

在兩類主要的XY-混合算子中，全連接(complete-graph)XY-混合算子[22]考慮了所有可互相交換(即交換后，量子態(tài)所對應(yīng)的資產(chǎn)組合不違背約束條件)的兩個量子比特，在投資組合優(yōu)化問題的背景下，即：

而環(huán)形XY-混合算子(ring mixer)[20,22]僅考慮了相鄰的可互相交換的兩個量子比特。盡管前者在實(shí)現(xiàn)效率上較后者略低，但由于其優(yōu)化效果更好[22]，因此本文選用完全圖XY-混合算子作為硬約束下的混合算子。

4 數(shù)值模擬及分析

4.1 數(shù)據(jù)及參數(shù)介紹

本文基于股票收益率和協(xié)方差數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值模擬，比較不同QAOA 方法求解投資組合優(yōu)化式(4)的效果。模擬所使用數(shù)據(jù)為由2021 年第3 季度A 股3 847 支股票(已剔除單日收益率大于20%及含有缺失值的股票)日收盤價計(jì)算得到的日均收益率及收益率協(xié)方差數(shù)據(jù)。

對于p=1,2,3,4的不同情形，本文分別進(jìn)行1 000次數(shù)值模擬。每次數(shù)值模擬，均從3 847 支股票中隨機(jī)抽取12 支股票，將其日均收益率及收益率協(xié)方差矩陣代入式(4)，并分別用經(jīng)典窮舉法、SWSQAOA、 SX-QAOA 及H-QAOA 進(jìn)行求解。如圖1所示，在參數(shù)設(shè)置方面，本文根據(jù)一定的分布隨機(jī)生成參數(shù)y, λ,D的 值。記第m∈Z+次模擬中，參數(shù)y, λ,D的 取 值 分 別 為ym=(ym1,ym2,···,ym12)T，λm,Dm，則：

圖1 D m 和 λm的分布情況

此外，本文令 γ,β 的初值均為p維 0 向量，t的初值為0.2，并設(shè)置m1=m2=1000, ?=0.25[25]，懲罰項(xiàng)A=50， 交易成本T=0.14。

4.2 數(shù)值模擬結(jié)果分析

本文從近似比(AR)和成功比例(SR)兩個角度比較不同QAOA 方法的效果。對于第m次實(shí)驗(yàn)，某QAOA 方法的近似比A Rm的定義為：

其中：

而在1 000 次實(shí)驗(yàn)中，某QAOA 方法成功比例 SR的定義為：

即該QAOA 方法成功找到全局最優(yōu)解的次數(shù)比例。

數(shù)值模擬的近似比情況如圖2 所示，不同近似比結(jié)果的累計(jì)密度如圖3 所示。

圖2 各方法的平均近似比

圖3 各方法的近似比的分布

圖中所涉及4 種方法按近似比從高到低排序分別為SX-QAOA、SWS-QAOA、H-QAQA 及窮舉法，各量子算法較經(jīng)典窮舉法均有至少7%的提升。為了進(jìn)一步確定不同方法的效果是否有顯著差異，本文基于中心極限定理(central limit theorem)[27]，假定4 種方法近似比的均值均服從正態(tài)分布，對其差異進(jìn)行雙邊t檢驗(yàn)。本文取上、下臨界值分別為相應(yīng)t分布的97.5%分位數(shù)和2.5%分位數(shù)。假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果如圖4 所示，可以認(rèn)為t統(tǒng)計(jì)量高于上臨界值說明該組前一方法的平均近似比顯著高于后一方法，若低于臨界值說明該組前一方法的平均近似比顯著低于后一方法。其他情況意味著該組的兩種方法的平均近似比差異不顯著。

圖4 各方法平均近似比差異的假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果

可見，除p=3時SWS-QAOA 和SX-QAOA 的平均近似比差異不顯著之外，其余11 組假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果均顯著。本文進(jìn)一步確定了在近似比的意義上各方法均存在顯著差異。量子算法相較經(jīng)典窮舉法在平均近似比上均有著顯著的提升，其中SX-QAOA表現(xiàn)最優(yōu)。

3 種不同QAOA 方法的成功比例情況如圖5 所示。

圖5 各方法的成功比例

直觀上看，若將3 種QAOA 方法按照成功比例從高到低排序，則最高的為H-QAOA，但SWSQAOA 和SX-QAOA 較難區(qū)分高低。與之前類似，本文進(jìn)行各方法成功比例差異的雙邊t檢驗(yàn)，以判斷其是否顯著。結(jié)果如圖6 所示。

圖6 各方法成功比例差異的假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果

可見，僅在p=2及p=4時，H-QAOA 的成功比例顯著高于SWS-QAOA 的成功比例；在p=2及p=3時，H-QAOA 的成功比例顯著高于SX-QAOA的成功比例。而其余組假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果均不顯著。因此，本文認(rèn)為，在成功比例的意義上，H-QAOA略優(yōu)于SWS-QAOA 和SX-QAOA，但后二者之間難分伯仲。

5 結(jié) 束 語

本文對于QAOA 在投資組合優(yōu)化中的應(yīng)用從理論建模、不同方法及數(shù)值模擬等多角度進(jìn)行了詳細(xì)的討論。針對未來相關(guān)領(lǐng)域的研究，本文有如下兩點(diǎn)展望。

1)回顧前面介紹的各種利用QAOA 進(jìn)行投資組合優(yōu)化的方法，可以注意到，軟約束QAOA 能夠利用放松整數(shù)約束的經(jīng)典優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行熱啟動，起到類似經(jīng)典算法中隨機(jī)取整的效果。然而，軟約束QAOA 搜索空間是全狀態(tài)空間，而滿足約束條件的子空間 HD僅僅是其中的一個超平面。隨著n的增大，軟約束QAOA 所搜索的空間將幾乎全是非可行的冗余狀態(tài)。因此，在測量次數(shù)m1,m2不變的情況下，隨著n的增大，軟約束QAOA 很可能將逐漸失效。另一方面，現(xiàn)有的硬約束QAOA 盡管將搜索空間縮小至 HD內(nèi)，但是并未利用經(jīng)典優(yōu)化的結(jié)果進(jìn)行初態(tài)設(shè)計(jì)，存在進(jìn)一步提升的可能。如何將放松約束的經(jīng)典優(yōu)化結(jié)果與硬約束的QAOA結(jié)合起來將成為一項(xiàng)有價值的課題。

2)從數(shù)值模擬結(jié)果來看，各QAOA 方法的近似比和成功比例并未隨著p的增大而單調(diào)遞增，這表明更加復(fù)雜的模型并沒有帶來更好的表現(xiàn)。此外，各QAOA 方法的成功比例均為20%左右，搜索得到全局最優(yōu)解的概率并不高。導(dǎo)致QAOA 表現(xiàn)不及預(yù)期的原因很可能是QAOA 的經(jīng)典優(yōu)化過程中常見的所謂貧瘠高原(barren plateau)問題[4,28]以及QAOA 本身存在的可及性缺陷(reachability deficits)問題[29]。前者往往使得經(jīng)典優(yōu)化算法提前終止，進(jìn)而導(dǎo)致QAOA 無法找到理論最優(yōu)值 |φ*〉；而后者表明，即便找到了 |φ*〉，但可及性缺陷仍然可能較大，這意味著使用某些演化算子的QAOA的效果可能存在著無法逾越的理論上限。如何針對投資組合優(yōu)化問題設(shè)計(jì)更加合適的演化算子以解決這些問題亦將是一項(xiàng)富有意義的工作。