李艷鋒

（山東省臺(tái)兒莊區(qū)張山子鎮(zhèn)侯孟中心小學(xué)）

小朋友，空瓶換水指的是規(guī)定若干個(gè)空瓶可以換一定瓶數(shù)的水，如某人已經(jīng)買了若干瓶水，按規(guī)定用空瓶換水，最多可以喝到多少瓶水，或者某人需要一定數(shù)量的水，最少需要購(gòu)買多少瓶水等類似的問題。這是一個(gè)古老的趣味數(shù)學(xué)問題，曾以“空瓶換酒”“廢電池?fù)Q新電池”等形式出現(xiàn)在不同國(guó)家的各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中。如何解答這類問題呢？下面我們一起來看一下。

一、已知某人購(gòu)買了若干瓶水，求最多可以喝到多少瓶水

例題1 朵朵和小伙伴們?nèi)ド痰曩I汽水，商店正在進(jìn)行空瓶換汽水的活動(dòng)。商店規(guī)定：每3個(gè)空瓶可以換1瓶汽水。朵朵買了10瓶汽水，如果把喝完的空瓶換成汽水，他們一共能喝到多少瓶汽水??

方法一：按照先喝后換的方法逐步分析。

第一步：朵朵買了10瓶汽水，把10瓶汽水都喝完后剩下10個(gè)空瓶。

第二步：每3個(gè)空瓶可以換1瓶汽水，因?yàn)?0÷3＝3（瓶）……1（個(gè)），所以用10－1＝9（個(gè)）空瓶可以換3 瓶汽水。把換來的3 瓶汽水喝完，此時(shí)一共有3＋1＝4（個(gè)）空瓶。

第三步：因?yàn)?÷3＝1（瓶）……1（個(gè)），所以用4－1＝3（個(gè)）空瓶可以換1 瓶汽水。把換來的1 瓶汽水喝完，此時(shí)一共有1＋1＝2（個(gè)）空瓶。

第四步：剩下的2 個(gè)空瓶不夠換1 瓶汽水，此時(shí)可以先向老板借1個(gè)空瓶湊夠3個(gè)瓶子，用3個(gè)空瓶換1瓶汽水，把換來的1瓶汽水喝完，然后把1個(gè)空瓶還給老板。

他們一共能喝到10＋3＋1＋1＝15（瓶）汽水。

方法二：按照先喝后換的方法解決問題很煩瑣，我們可以換個(gè)思路來思考。

如果先買2瓶汽水，喝完后向老板借來1個(gè)空瓶，然后用3個(gè)空瓶換1瓶汽水，把換來的1瓶汽水喝完，再把剩下的1個(gè)空瓶還給老板。按照這樣的思路分析，相當(dāng)于每買2 瓶汽水，就可以換1 瓶，一共能喝到3瓶汽水。

如果每買2瓶汽水換一次，朵朵一共買了10瓶汽水，可以換到10÷2＝5（瓶）汽水，他們一共可以喝到10＋5＝15（瓶）汽水。

方法三：先找出“買的瓶數(shù)”與“喝到的瓶數(shù)”之間的關(guān)系，根據(jù)關(guān)系式解答。

根據(jù)每買2 瓶汽水可以喝到3 瓶這個(gè)關(guān)系可知，“喝到的瓶數(shù)”是“買的瓶數(shù)”的。朵朵一共買了10 瓶汽水，一共可以喝到10×＝15（瓶）汽水。

例題2 學(xué)校正在開運(yùn)動(dòng)會(huì)，李老師在商店給同學(xué)們買了42瓶汽水。商店規(guī)定：每5 個(gè)空瓶可換到1 瓶汽水。請(qǐng)你算一算，如果把喝完的空瓶換汽水，同學(xué)們一共能喝到多少瓶汽水？

方法一：先買4 瓶汽水，喝完后向老板借來1 個(gè)空瓶，然后用5個(gè)空瓶換1瓶汽水，把換來的1瓶汽水喝完，再把剩下的1個(gè)空瓶還給老板。按照這樣的思路分析，相當(dāng)于每買4瓶汽水，就可以換1瓶，一共可以喝到5瓶汽水。

如果每買4 瓶換一次，李老師一共買了42 瓶汽水，42÷4＝10（瓶）……2（個(gè)），可以換到10 瓶汽水，剩下的2 個(gè)空瓶不夠兌換，同學(xué)們一共能喝到42＋10＝52（瓶）汽水。

方法二：根據(jù)每買4瓶汽水可以喝到5瓶這個(gè)關(guān)系可知，“喝到的瓶數(shù)”是“買的瓶數(shù)”的5 4 。李老師一共買了42 瓶汽水，42×＝52.5（瓶），其中的0.5 瓶不夠1 瓶，此時(shí)要用去尾法舍去尾數(shù)，同學(xué)們一共能喝到52瓶汽水。

已知某人購(gòu)買水的瓶數(shù)，求最多可以喝到多少瓶水的問題，可以歸納總結(jié)出下面兩種計(jì)算公式：

公式一：先算出“買的瓶數(shù)÷(瓶子可換購(gòu)數(shù)－1)”的商和余數(shù)（整除時(shí)，余數(shù)為0），算出的商就是能換到的瓶數(shù)，最多可以喝到的瓶數(shù)＝買的瓶數(shù)＋換到的瓶數(shù)。

二、已知某人需要一定數(shù)量的水，求至少要買多少瓶水

例題3 有40 名同學(xué)去秋游，他們口渴了，班長(zhǎng)欣欣去買礦泉水。商店規(guī)定：每4 個(gè)空瓶可以換1 瓶礦泉水。保證每人都能喝到1瓶水，欣欣至少要買多少瓶礦泉水？

方法一：如果先買3 瓶礦泉水，喝完后向老板借來1 個(gè)空瓶，用3＋1＝4（個(gè)）空瓶換1 瓶礦泉水，把換來的1 瓶礦泉水喝完，然后把剩下的空瓶還給老板。按照這樣的思路分析，相當(dāng)于每買3瓶礦泉水，就可以喝到4瓶。

一共有40名同學(xué)，每人喝1瓶礦泉水，一共要喝40瓶。因?yàn)槊抠I3 瓶礦泉水，就可以喝到4 瓶，所以需要買40÷4＝10（次），欣欣至少要買10×3＝30（瓶）礦泉水。

方法二：根據(jù)每買3 瓶礦泉水可以喝到4 瓶這個(gè)關(guān)系可知，“買的瓶數(shù)”是“喝到的瓶數(shù)”的，他們一共要喝40 瓶礦泉水，欣欣至少要買40×＝30（瓶）礦泉水。

例題4 某校2名老師帶領(lǐng)58名學(xué)生參加植樹活動(dòng)，由于天氣比較熱，王老師到商店給同學(xué)們買飲料。商店規(guī)定：每8個(gè)空飲料瓶可以換1 瓶飲料。保證每名師生都能喝到1 瓶飲料，王老師至少要買多少瓶飲料？

方法一：如果先買7 瓶飲料，喝完后向老板借來1 個(gè)空瓶，用7＋1＝8（個(gè)）空瓶換1瓶飲料，把換來的1瓶飲料喝完，然后把剩下的1個(gè)空瓶還給老板。按照這樣的思路分析，相當(dāng)于每買7瓶飲料，就可以喝到8瓶。

一共有58＋2＝60（名）師生，每人喝1 瓶飲料，一共要喝60瓶。因?yàn)槊抠I7 瓶飲料，就可以喝到8 瓶，60÷8＝7（次）……4（瓶），所以王老師至少要買7×7＋4＝53（瓶）飲料。

方法二：根據(jù)每買7瓶飲料可以喝到8瓶這個(gè)關(guān)系可知“買的瓶數(shù)”是“喝到的瓶數(shù)”的7 8 ，師生一共要喝60 瓶飲料，60×＝52.5（瓶），此時(shí)不論算出的積的尾數(shù)是多少，都要用“進(jìn)一法”把積保留整數(shù)，王老師至少要買52＋1＝53（瓶）飲料。

已知某人需要一定數(shù)量的水，求至少要買多少瓶水的問題，可以歸納總結(jié)出下面兩種計(jì)算公式：

公式一：先算出“喝的瓶數(shù)÷瓶子可換購(gòu)數(shù)”的商和余數(shù)（整除時(shí)，余數(shù)為0），至少要買的瓶數(shù)＝商×(瓶子可換購(gòu)數(shù)－1)＋余數(shù)。

小朋友，你學(xué)會(huì)了嗎？你在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，如果遇到了按照常規(guī)思路分析比較復(fù)雜的問題時(shí)，也可以嘗試轉(zhuǎn)換思維方式，把題目化繁為簡(jiǎn)，從而解決問題。