張樹翠, 夏宏升, 張欣剛,, 姚文莉, 齊朝暉, 劉大強(qiáng)

(1. 青島理工大學(xué)理學(xué)院, 山東 青島 266525; 2. 上海中聯(lián)重科樁工機(jī)械有限公司, 上海 201613;3. 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 大連 116024;4. 大連華銳重工集團(tuán)股份有限公司, 遼寧 大連 116022)

0 引言

擬合匹配目標(biāo)反應(yīng)譜的人工地震波是開展重大工程結(jié)構(gòu)非線性時(shí)程分析的重要依據(jù)之一[1],特別是在對(duì)核電樓層反應(yīng)譜進(jìn)行擬合時(shí),其“峰多谷深”的特點(diǎn)進(jìn)一步增大了收斂難度[2-3]。因此,快速高精度擬合真實(shí)、合理且匹配目標(biāo)反應(yīng)譜的人工地震動(dòng)仍然面臨很大的挑戰(zhàn)[4]。

目前相關(guān)地震動(dòng)模擬方法主要有時(shí)域法和頻域法[5]。以三角級(jí)數(shù)法[6-7]等為代表的頻域方法能夠保留初始地震動(dòng)的相位譜[8],且不需要以自然波作為必須條件,因此仍然具有時(shí)域方法不可替代的作用。為了提高人工波擬合效率,李建波等[9]提出了一種人工波初篩策略來(lái)避免迭代過(guò)程陷入某些特定隨機(jī)狀況。由于這些擬合算法僅考慮了加速度時(shí)程的非平穩(wěn)性特征,且較少考慮其對(duì)速度、位移時(shí)程的影響[10],因此在通過(guò)兩次積分得到速度、位移時(shí)程曲線后還需采用基線校正[11]的手段來(lái)消除基線漂移問(wèn)題。陳三紅等[12]提出在每次迭代時(shí)都對(duì)所得加速度時(shí)程進(jìn)行基線校正處理,從而避免了時(shí)程積分時(shí)的基線漂移。Hancock等[13]通過(guò)調(diào)整小波函數(shù)消除了速度和位移時(shí)程的漂移,但無(wú)法得到封閉的小波系數(shù)解。LA Atik等[14]提出了不含位移和速度時(shí)程漂移的調(diào)整小波函數(shù)來(lái)得到小波系數(shù)的封閉解。張郁山等[15]構(gòu)造了一種用于校正的增量加速度小波函數(shù),采用該函數(shù)積分得到的增量速度和增量位移曲線不出現(xiàn)基線漂移。王體強(qiáng)等[16]提出一種自適應(yīng)魯棒加速度積分方法并進(jìn)行可靠度分析,該文獻(xiàn)綜述了10種代表性的加速度積分方法,例如周寶峰等[17]提出的基于Hermit插值和平坦度為判據(jù)的加速度積分方法,以及被美國(guó)地質(zhì)調(diào)查局(United States Geological Survey,USGS)采用的USGS法[18]等,并對(duì)各算法的基線校正原理和特點(diǎn)進(jìn)行了總結(jié)評(píng)述。

上述研究的共同特點(diǎn)是:在獲得加速度時(shí)程后通常需要進(jìn)行基線校正處理才能消除位移、速度時(shí)程中的基線漂移問(wèn)題。 既然基線漂移問(wèn)題在擬合完成后也要被消除,那么如何在擬合過(guò)程中就使其自然滿足基線歸零條件是非常值得研究的課題。

結(jié)合該研究思路,提出一種內(nèi)蘊(yùn)基線漂移校正且匹配目標(biāo)反應(yīng)譜的人工地震波直接擬合方法。該方法采用與傳統(tǒng)頻域法相反的思路:首先構(gòu)造非平穩(wěn)位移時(shí)程表達(dá)式,其次求導(dǎo)得到速度與加速度時(shí)程表達(dá)式,進(jìn)一步確定使其同時(shí)滿足歸零條件的包絡(luò)函數(shù),隨后利用單自由度系統(tǒng)諧波響應(yīng)解析式將目標(biāo)反應(yīng)譜匹配問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的非線性方程組,利用高效的非線性方程求解算法快速迭代期望幅值,對(duì)隨機(jī)相位譜的修正來(lái)進(jìn)一步提高擬合精度,最終同時(shí)給出滿足歸零條件的位移、速度及加速度時(shí)程。數(shù)值算例驗(yàn)證了所提方法的擬合效率和精度。

1 頻域法擬合人工地震波

采用三角級(jí)數(shù)法擬合人工地震波,并對(duì)幅值譜進(jìn)行迭代使其匹配目標(biāo)反應(yīng)譜。該過(guò)程簡(jiǎn)述如下:

(1) 利用一組具有隨機(jī)相位的三角函數(shù)構(gòu)造近似高斯平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程:

(1)

式中:Ck為傅里葉幅值譜;φk為隨機(jī)相位譜;a(t)是具有零均值和(單邊)功率譜密度函數(shù)的高斯平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。傅里葉幅值譜可表示為:

(2)

式中:S(ωk)為功率譜密度函數(shù);Δω為頻域采樣間隔。

標(biāo)準(zhǔn)加速度反應(yīng)譜與功率譜密度函數(shù)的關(guān)系為:

(3)

(2) 將平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和考慮非平穩(wěn)特性的外包線函數(shù)做乘積:

(4)

(5)

(6)

2 內(nèi)蘊(yùn)基線校正的直接擬合方法

為使加速度、速度及位移時(shí)程自然滿足歸零條件,提出一種與傳統(tǒng)頻域法相反的思路,將非平穩(wěn)的位移時(shí)程u(t)表示為:

(7)

式中各參數(shù)的意義與式(4)一致。對(duì)上式求兩次時(shí)間導(dǎo)數(shù),得到:

(8)

(9)

為了使位移、速度與加速度時(shí)程自然滿足歸零條件,可構(gòu)造在上升段、平穩(wěn)段以及衰減段平滑過(guò)渡的包絡(luò)函數(shù),例如:式(7)～式(9)中的強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)f(t)應(yīng)當(dāng)具備或滿足如下條件:(1) 在起始和終止時(shí)刻保證位移、速度及加速度函數(shù)值為0;(2) 在平穩(wěn)段包絡(luò)函數(shù)值為1;(3) 在平穩(wěn)段的開始和結(jié)束時(shí)刻應(yīng)當(dāng)具備二階連續(xù)性。 亦即滿足如下條件:

(10)

為滿足上述光滑條件,在上升段和衰減段,強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)可以由5次多項(xiàng)式進(jìn)行表示:

(11)

將式(11)代入式(10)可得:

(12)

(13)

式中:m=T-t2。由此可以解出式(11)中的待定系數(shù),由此得到的包絡(luò)函數(shù)為光滑的連續(xù)函數(shù)。強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)的選擇不唯一,例如式(5)給出的經(jīng)典包絡(luò)函數(shù)也可以作為式(7)～(9)中的包絡(luò)函數(shù)。

結(jié)合上述條件,加速度時(shí)程函數(shù)式(9)在平穩(wěn)段的表達(dá)式可寫為:

(14)

為求解人工地震波反應(yīng)譜引入如下假設(shè):單自由度系統(tǒng)在人工地震波作用下的最大地震響應(yīng)發(fā)生在強(qiáng)震階段,故可由式(14)求解其最大地震響應(yīng),進(jìn)而獲得人工地震波反應(yīng)譜。

依據(jù)式(14),可將圓頻率為ωj的單自由度系統(tǒng)諧波響應(yīng)表達(dá)式寫為:

(15)

式中:ξ為單自由度系統(tǒng)阻尼比:ωj為第j個(gè)單自由度系統(tǒng)的圓頻率。

求出式(15)的復(fù)數(shù)解可得到單自由度系統(tǒng)的相對(duì)位移解xj為:

(16)

(17)

(18)

(19)

式中:符號(hào)“Imag”表示對(duì)復(fù)數(shù)取虛部。

依據(jù)反應(yīng)譜縱軸的意義,擬合設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的目標(biāo)是使下式成立:

(20)

(21)

至此,就可將以匹配目標(biāo)反應(yīng)譜的人工地震波擬合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一組以待求幅值譜為迭代目標(biāo)的非線性方程組[式(20)～(21)]。利用成熟高效的非線性方程求解器,例如MATLAB “fsolve”求解器可快速迭代滿足要求的幅值譜Ak。

上述人工波擬合算法的流程如圖1所示。所提算法具有如下優(yōu)勢(shì):

圖1 人工波擬合流程圖Fig.1 Flow diagram for artificial seismic wave fitting

(1) 能夠快速擬合自然滿足基線歸零條件的人工地震波,直接得到位移、速度以及加速度時(shí)程;

(2) 不必在得到加速度時(shí)程后再構(gòu)造基線校正算法處理基線漂移問(wèn)題;

(3) 將匹配目標(biāo)反應(yīng)譜的擬合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以待求幅值譜為迭代目標(biāo)的非線性方程,結(jié)合高效的非線性方程求解器進(jìn)行求解,具有編程難度低,收斂精度高的特點(diǎn),可成為人工波擬合的新途徑。

3 反應(yīng)譜擬合算例

為驗(yàn)證所提人工地震波擬合方法的有效性,選擇核電站抗震設(shè)計(jì)中的Rg1.60標(biāo)準(zhǔn)譜、某核島內(nèi)41.68 m高度的水平、豎向樓層譜以及《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范(GB 50011—2010)》中的設(shè)計(jì)譜分別作為目標(biāo)反應(yīng)譜,并對(duì)分析結(jié)果的擬合精度、迭代殘差以及擬合效率進(jìn)行分析。

采用MATLAB “fsolve”求解器進(jìn)行迭代時(shí),對(duì)最大迭代步數(shù)“MaxIterations”進(jìn)行限制以提高迭代效率。具體迭代步驟如下:首先仍然依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)加速度反應(yīng)譜與功率譜密度函數(shù)的近似關(guān)系得到一組幅值譜作為迭代初值帶入求解器迭代15次;隨后以相位譜為目標(biāo)迭代3次;最后再以幅值譜為目標(biāo)迭代7次。由于所提方法與考慮迭代相關(guān)的擬合方法不同,因此不開展兩者之間的精度對(duì)比。

表1給出了擬合精度和收斂耗時(shí)情況,圖2給出了3組隨機(jī)相位譜下采用Rg1.60標(biāo)準(zhǔn)譜擬合的人工波反應(yīng)譜,圖2(d)～(f)給出了非線性方程求解器迭代過(guò)程中的迭代殘差趨勢(shì)。

表1 精度與效率比較

圖2 Rg1.60目標(biāo)譜擬合結(jié)果Fig.2 Fitting results of Rg1.60 target spectrum

由表1可知,所提方法對(duì)于3組隨機(jī)相位譜均能達(dá)到3%以內(nèi)的高精度要求(70個(gè)擬合點(diǎn)),且收斂時(shí)間均在5 min以內(nèi)。在精度和效率方面都達(dá)到了預(yù)期的擬合要求。

分析圖2結(jié)果可見,圖2(a)中第10個(gè)迭代步已達(dá)到較好的收斂精度。而圖2(b)結(jié)果則顯示,在對(duì)隨機(jī)相位譜進(jìn)行修正后,繼續(xù)對(duì)幅值譜進(jìn)行迭代也達(dá)到了預(yù)期的精度效果。圖2(c)中的結(jié)果表明在最后幾個(gè)迭代步達(dá)到收斂精度。所提算法在3組隨機(jī)相位譜下均達(dá)到理想的擬合效果。

從擬合難度來(lái)看,Rg1.60反應(yīng)譜幅值呈線性分布,擬合效果較好。為了驗(yàn)證所提方法能夠處理目標(biāo)曲線更為復(fù)雜的反應(yīng)譜擬合問(wèn)題的能力,采用相對(duì)復(fù)雜的核電廠樓層譜,采用3組隨機(jī)相位譜,所得結(jié)果如圖3所示(RRS表示目標(biāo)反應(yīng)譜)。核電廠樓層譜曲線在局部具有諸多復(fù)雜的“轉(zhuǎn)折”之處,本文選擇50～60個(gè)目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行擬合,目標(biāo)曲線“轉(zhuǎn)折”的細(xì)節(jié)有所弱化。圖中結(jié)果可見,對(duì)于核電廠樓層譜,所提方法在20個(gè)迭代步內(nèi)達(dá)到合理的擬合效果。特別是在核廠房基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)放大效果的影響下,2%、5%阻尼比的水平方向樓層譜的峰值可達(dá)6g～10g,因此在相應(yīng)的頻段采用加密的頻率點(diǎn)參與擬合后可進(jìn)一步提高求解器的收斂效果。

圖3 核電廠樓層譜擬合結(jié)果Fig.3 Fitting results of floor spectrum of nuclear power plant

進(jìn)一步分析不同阻尼比下的擬合結(jié)果:采用相同的傅里葉幅值譜初值條件時(shí),2%和10%阻尼比下的擬合效率要比5%阻尼比要高,其原因尚不明確。同時(shí)還需說(shuō)明的是,圖中所示目標(biāo)反應(yīng)譜的擬合點(diǎn)數(shù)目均在50～60之間,與原反應(yīng)譜相比復(fù)雜程度有所降低。若要充分考慮原反應(yīng)譜的細(xì)節(jié),則擬合點(diǎn)的數(shù)目將顯著增大,頑固點(diǎn)相應(yīng)增多,所提方法的擬合能力需要后續(xù)進(jìn)一步的檢驗(yàn)和優(yōu)化。另一方面,圖3采用的核電樓層譜雖然局部細(xì)節(jié)復(fù)雜,但僅有兩個(gè)“高峰”,尚不能完全體現(xiàn)“峰多谷深”的特點(diǎn),后續(xù)將開展進(jìn)一步的相關(guān)研究。

最后,采用《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范(GB 50011—2010)》規(guī)定的反應(yīng)譜進(jìn)行擬合,參數(shù)為:設(shè)防烈度8度,Ⅰ類場(chǎng)地,設(shè)計(jì)地震分組為2組,特征周期Tg=0.2 s,地震影響系數(shù)取αmax=1.06。

圖4同樣給出了3組隨機(jī)相位譜下的擬合結(jié)果對(duì)比。圖中每一列對(duì)應(yīng)一組相同的隨機(jī)相位譜,圖4(d)～(f)為高頻部分的局部細(xì)節(jié)圖,圖4(g)～(i)對(duì)應(yīng)低頻部分的局部細(xì)節(jié)圖。

圖4 3組隨機(jī)相位譜擬合結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison between fitting results of three groups of random phase spectra

由于擬合點(diǎn)的分布較為復(fù)雜,因此第一次迭代次數(shù)調(diào)整為30次,后兩次迭代次數(shù)不變。分析結(jié)果表明,初次迭代時(shí)人工波反應(yīng)譜和目標(biāo)反應(yīng)譜差距較大,但很快趨近目標(biāo)值。第一次迭代結(jié)束時(shí),第一組的高頻段末端仍存在誤差為4%的頑固點(diǎn),隨后在對(duì)相位譜進(jìn)行5次迭代調(diào)整后,頑固點(diǎn)的相對(duì)誤差迅速降低到0.82%,達(dá)到了較好的收斂效果。

在高頻段,單自由度系統(tǒng)的地震響應(yīng)近乎剛體運(yùn)動(dòng),一些學(xué)者發(fā)現(xiàn)采用傳統(tǒng)頻域法在一些特定情況下有時(shí)面臨擬合困難的問(wèn)題[4]。例如對(duì)核電站樓層譜進(jìn)行擬合時(shí),25～100 Hz的頻率段就存在大量的頑固點(diǎn)。所提方法依據(jù)單自由度系統(tǒng)諧波響應(yīng)的解析解,同時(shí)采用成熟的非線性方程求解器并結(jié)合高效的L-M算法進(jìn)行迭代,在低頻和高頻段都得到了較好的收斂精度。

圖5給出了采用所提方法得到的人工地震波加速度、速度以及位移時(shí)程。由于算法內(nèi)蘊(yùn)基線歸零條件,因此各時(shí)程曲線均不存在基線漂移問(wèn)題。

圖5 基線歸零的人工地震波時(shí)程Fig.5 Time history of artificial seismic wave with zero baseline

4 結(jié)論

在傳統(tǒng)頻域法的基礎(chǔ)上提出一種人工地震波反應(yīng)譜直接擬合方法,采用多組設(shè)計(jì)反應(yīng)譜驗(yàn)證了所提方法的匹配精度。本方法內(nèi)蘊(yùn)基線歸零條件,將匹配目標(biāo)反應(yīng)譜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以幅值譜為目標(biāo)的非線性方程進(jìn)行快速迭代求解,具有編程友好、收斂精度高的特點(diǎn)。總結(jié)本文可得如下結(jié)論:

(1) 所提方法以求導(dǎo)代替積分為總體思路,在快速擬合算法中內(nèi)蘊(yùn)基線歸零條件,能夠同時(shí)給出滿足歸零條件的位移、速度和加速度時(shí)程,避免了傳統(tǒng)方法加速度積分過(guò)程中的基線漂移問(wèn)題。

(2) 以單自由度系統(tǒng)諧波響應(yīng)解析解為依據(jù),將匹配目標(biāo)譜的人工地震波擬合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以待求幅值譜為變量的非線性方程組。采用高效的非線性方程求解器進(jìn)行迭代,具有收斂速度快,低頻、高頻段擬合精度高的優(yōu)勢(shì)。

(3) 考慮了相位譜進(jìn)行綜合迭代,匹配效率和匹配精度進(jìn)一步提高。所提算法編程難度低,且不必構(gòu)造復(fù)雜的迭代格式。

(4) 核電樓層譜呈現(xiàn)宏觀“峰多谷深”、局部“轉(zhuǎn)折”細(xì)節(jié)較多的特點(diǎn),對(duì)高精度人工波擬合提出了更高的挑戰(zhàn)。因此,所提算法對(duì)復(fù)雜樓層譜的擬合能力需要進(jìn)一步改進(jìn)和優(yōu)化,同時(shí)也需要給出篩選判據(jù),有效排除理論上難以匹配目標(biāo)反應(yīng)譜的人工地震波,提高整體擬合效率。