徐玉嫚，陸世奇，徐文彬

數(shù)線估計(jì)及其教學(xué)意蘊(yùn)

徐玉嫚，陸世奇，徐文彬

（南京師范大學(xué) 課程與教學(xué)研究所，江蘇 南京 210097）

數(shù)線估計(jì)是衡量和預(yù)測兒童數(shù)學(xué)能力的一個(gè)重要工具．兒童在NLE上的表現(xiàn)體現(xiàn)了其對數(shù)字的理解，NLE的準(zhǔn)確性越高，意味著兒童在數(shù)學(xué)方面有著更大的成就．已有研究表明：NLE分有界NLE和無界NLE兩種；個(gè)體表征數(shù)字的模型包括線性模型、對數(shù)模型等；影響NLE表現(xiàn)的因素包括NLE的不同類型與數(shù)值范圍和家庭經(jīng)濟(jì)狀況與文化教育等外部因素，以及個(gè)體的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力和認(rèn)知加工過程等內(nèi)在因素．結(jié)合數(shù)線和NLE的特點(diǎn)，在教學(xué)中，教師可以將其作為輔助學(xué)生學(xué)習(xí)的工具，運(yùn)用無界NLE豐富識數(shù)計(jì)數(shù)教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、運(yùn)用有界NLE輔助比例知識教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的推理和測量能力等，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知及其它數(shù)學(xué)能力的發(fā)展．

數(shù)線；數(shù)線估計(jì)；數(shù)字心理表征；影響因素；教學(xué)意蘊(yùn)

1 問題提出

“數(shù)”與“形”是貫穿數(shù)學(xué)教育的兩條主線，“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化、結(jié)合也是數(shù)學(xué)解題的重要方法[1]．?dāng)?shù)線（Number Line，NL）是數(shù)與形相結(jié)合的典型．首先，數(shù)線是一種“形”，它以線的形式呈現(xiàn)．其次，數(shù)線本身就是一種“數(shù)形結(jié)合體”，數(shù)線上，數(shù)字按照順序排列，每個(gè)數(shù)字在線上都有自己的位置，“數(shù)”在“形”上得以體現(xiàn)并與之結(jié)合．最典型的就是數(shù)軸，它規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度，由于它嚴(yán)格擁有三要素，一些研究者也將其稱為結(jié)構(gòu)化數(shù)線[2]．最后，數(shù)線也有其自身的“形”，且并不局限數(shù)軸，它可根據(jù)具體的情境和學(xué)習(xí)需要進(jìn)行變換，在不同的表現(xiàn)形式中將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來．例如，雙數(shù)線能夠幫助理解比例知識，直觀展示兩個(gè)量之間的共變關(guān)系[3]．空數(shù)線（沒有任何端點(diǎn)和數(shù)字標(biāo)記的一條線）則可用來讓學(xué)生進(jìn)行心理計(jì)算的時(shí)候記錄和分享他們的思考策略，是增強(qiáng)學(xué)生心算能力的有力工具[4]．?dāng)?shù)線正是以這樣的特性達(dá)到“以形助數(shù)”，啟發(fā)學(xué)生觸及問題的本質(zhì)與核心，培養(yǎng)直觀思維與抽象思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力．

數(shù)線估計(jì)（Number Line Estimation，NLE）是依據(jù)數(shù)線特點(diǎn)所設(shè)計(jì)的一種數(shù)字估計(jì)任務(wù)．它以數(shù)線為載體，將“數(shù)”“形”“估計(jì)”相結(jié)合，是測量兒童數(shù)字估計(jì)能力的一項(xiàng)重要工具．?dāng)?shù)字估計(jì)對數(shù)的認(rèn)知具有重要意義，數(shù)字估計(jì)能力也是兒童早期數(shù)學(xué)認(rèn)知能力發(fā)展的關(guān)鍵，它可幫助兒童建立關(guān)于數(shù)字順序、數(shù)量大小、數(shù)字之間相互關(guān)系以及數(shù)字空間表征的相關(guān)概念[5]．國內(nèi)外對兒童數(shù)字估計(jì)的相關(guān)研究中，數(shù)線估計(jì)扮演了重要角色，常被用以展開對兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與認(rèn)知、能力發(fā)展或心理發(fā)展等的研究[6-7]，如追蹤個(gè)體成長過程中不斷增長的數(shù)字知識[8]、對數(shù)字量級理解的發(fā)展[9-10]等．

從操作的角度來看，數(shù)線估計(jì)屬于一種空間—數(shù)字任務(wù)．諸多研究揭示，空間任務(wù)完成得好的人，其數(shù)學(xué)方面的表現(xiàn)也較為優(yōu)異[11-12]，空間—數(shù)字任務(wù)的提升有助于提升兒童早期的數(shù)學(xué)能力[13]．通過對兒童進(jìn)行數(shù)線估計(jì)任務(wù)訓(xùn)練，其數(shù)學(xué)成績能夠得到有效提高[14-16]．若能在教學(xué)過程中合理運(yùn)用數(shù)線及數(shù)線估計(jì)，或許可以對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和能力發(fā)展產(chǎn)生一定的促進(jìn)作用．但在已有研究中，數(shù)線估計(jì)更多地是被作為一種實(shí)驗(yàn)工具，較少有研究探討其在教學(xué)情境中的運(yùn)用、對于教學(xué)的意義．因此，將聚焦數(shù)線估計(jì)任務(wù)，從數(shù)線估計(jì)類型、數(shù)線估計(jì)的心理表征模型、數(shù)線估計(jì)表現(xiàn)的影響因素等方面來探討數(shù)線估計(jì)所應(yīng)有的教學(xué)意蘊(yùn)．

2 數(shù)線估計(jì)

2.1 數(shù)線估計(jì)的內(nèi)涵——估計(jì)與數(shù)量估計(jì)

數(shù)量估計(jì)是估計(jì)的主要類型之一，是指在不同數(shù)量表征之間轉(zhuǎn)換的過程，這些數(shù)量表征可能是數(shù)字的也可能是非數(shù)字的，其中至少有一個(gè)數(shù)量表征是不精確的[6]，其本質(zhì)是一種導(dǎo)致數(shù)字判斷的數(shù)學(xué)解決問題的形式，它反映的是一種高水平的認(rèn)知加工過程[17]．?dāng)?shù)線估計(jì)屬于數(shù)量估計(jì)的一種，同時(shí)還體現(xiàn)了估計(jì)的核心——數(shù)值表示和空間表示之間的轉(zhuǎn)換[18]，是一種跨模態(tài)匹配任務(wù)，因?yàn)樗髤⑴c者將數(shù)字與相應(yīng)的線的長度相匹配．?dāng)?shù)線估計(jì)分為兩種情況：數(shù)字—位置（number-position，NP）任務(wù)，即個(gè)體對給定的某個(gè)數(shù)字（即目標(biāo)數(shù)字）在數(shù)線上所對應(yīng)的位置進(jìn)行估計(jì)；以及位置—數(shù)字（position-number，PN）任務(wù)，即個(gè)體估計(jì)數(shù)線上某個(gè)點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)字．目前已有的相關(guān)研究大多采用經(jīng)典的NP任務(wù)，對PN任務(wù)的使用則相對較少[19]，因此，后續(xù)相關(guān)研究可以加強(qiáng)對同樣經(jīng)典的PN任務(wù)的使用，或許會有不一樣的發(fā)現(xiàn)．

NLE的一個(gè)主要衡量指標(biāo)是估計(jì)的準(zhǔn)確性，即個(gè)體對數(shù)字的估計(jì)位置與其實(shí)際位置之間的符合程度．根據(jù)Siegler等的研究，數(shù)線估計(jì)的準(zhǔn)確性是用絕對誤差百分比（percent absolute error，PAE）來表示的，其計(jì)算公式為=（估計(jì)值—正確值）/被估計(jì)的數(shù)字范圍|×100%[6]．也就是說，如果要求學(xué)生在一個(gè)0～100的數(shù)線上估計(jì)52的位置，而他將標(biāo)記點(diǎn)放在了60的位置上，那么估計(jì)的準(zhǔn)確度記為8%（=|(60-52)/100|×100%）．的值越高，數(shù)線估計(jì)的準(zhǔn)確度就越低．但不管數(shù)線估計(jì)所涉及的過程如何，更高的準(zhǔn)確性預(yù)示著在數(shù)學(xué)方面有更大的成就[9]．

2.2 數(shù)線估計(jì)的類型——有界數(shù)線估計(jì)和無界數(shù)線估計(jì)

傳統(tǒng)意義上的數(shù)線估計(jì)任務(wù)是有界數(shù)線上的數(shù)字—位置任務(wù)，稱為有界數(shù)線估計(jì)任務(wù)．有界NLE有特定的數(shù)字范圍（如0到100，0為左側(cè)端點(diǎn)，100為右側(cè)端點(diǎn)），參與者被要求估計(jì)給定數(shù)字的位置，給定數(shù)字通常呈現(xiàn)在數(shù)線的正上方（如圖1所示）．自Sigler等在其研究中推廣使用有界數(shù)線估計(jì)之后，許多研究都是圍繞其開展的，并把它作為測量和培養(yǎng)兒童數(shù)感的重要工具[20-22]．Siegler等人認(rèn)為，兒童在有界NLE任務(wù)上的表現(xiàn)有效地表明了兒童潛在的數(shù)字心理表征，是兒童對數(shù)字理解的直觀體現(xiàn)，因而數(shù)線估計(jì)所測量的核心能力就是個(gè)體的量級表示能力[6，18]．Opfer等指出，有界NLE為直接測量兒童潛在的數(shù)量表征提供了一個(gè)相對簡便的理想模板[23]，原因在于“線本身的長度在心理上并不具有壓縮性或延展性”，從而可以評估兒童如何在心理上壓縮數(shù)字以把它們表征在數(shù)線上．

圖1 在0～100范圍的有界數(shù)線上估計(jì)40的位置

有部分研究者對有界數(shù)線估計(jì)能夠直接推斷數(shù)字量級的心理表征這種觀點(diǎn)提出了質(zhì)疑，他們認(rèn)為有界數(shù)線任務(wù)存在自身的局限性：由于有界數(shù)線存在著規(guī)定的端點(diǎn)，會限制估計(jì)中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤及程度，即左側(cè)端點(diǎn)限制了個(gè)體低估小值的可能，右側(cè)端點(diǎn)限制了個(gè)體高估大值的可能[24]．兒童之所以能成功進(jìn)行有界NLE任務(wù)是因?yàn)槭褂昧诉m當(dāng)?shù)牟呗裕挥袑@些策略進(jìn)行研究才能夠揭示出兒童潛在的數(shù)量表征．

這些研究者提出，兒童在進(jìn)行有界NLE任務(wù)時(shí)，依賴于一種比例判斷策略，有界NLE所測量的是個(gè)體的比例判斷或比例推理的能力．比例判斷策略是由Hollands和Dyre在研究個(gè)體如何進(jìn)行比例估計(jì)時(shí)提出的，參與者被要求根據(jù)數(shù)線的左邊界和右邊界來估計(jì)目標(biāo)值的位置[25]，例如，在0～100范圍上估計(jì)50的位置，個(gè)體會將50轉(zhuǎn)換為與整體的比例，即“50是100的一半，應(yīng)該在0和100的正中間”，而不是使用整數(shù)估計(jì)策略直接對50這個(gè)數(shù)進(jìn)行估計(jì)，認(rèn)為“50就是0右邊的50個(gè)單位”．Barth和Paladino首先提供了證明這一觀點(diǎn)的系統(tǒng)證據(jù)，他們發(fā)現(xiàn)個(gè)體對位于參考點(diǎn)（如起點(diǎn)、中點(diǎn)和終點(diǎn)）附近的數(shù)值估計(jì)得更加準(zhǔn)確，證明了有界NLE中個(gè)體所表現(xiàn)出來的估計(jì)模式確實(shí)反映了個(gè)體更熟練地使用越來越多的參考點(diǎn)，因而提出有界數(shù)線估計(jì)任務(wù)本質(zhì)上就是一個(gè)比例判斷任務(wù)，數(shù)線的端點(diǎn)顯示出了其作為整體的價(jià)值[26]．還有一些研究也指出個(gè)體在完成有界NLE時(shí)會應(yīng)用比例判斷策略[27-29]．

為了克服有界數(shù)線在探究學(xué)生數(shù)字心理表征上的缺陷，使數(shù)線估計(jì)能夠測量個(gè)體的量級表示能力，Cohen等提出了一個(gè)無界數(shù)線估計(jì)任務(wù)[24]．在無界NLE中，數(shù)線沒有完整的端點(diǎn)，除了起點(diǎn)外還有一個(gè)單位距離（例如0到1這樣一個(gè)單位距離），從這個(gè)單位距離開始，目標(biāo)數(shù)必須位于給定的直線上（如圖2）．參與者只能根據(jù)所給出的比例單位來估計(jì)目標(biāo)數(shù)字的位置，這是為了防止參與者使用參考點(diǎn)和比例判斷策略，使他們僅訴諸于量級估計(jì)．但Cohen等人發(fā)現(xiàn)，在無界NLE中，參與者傾向于使用另一種名為航位推算的策略，參與者首先在數(shù)線上移動(dòng)一個(gè)單元，然后根據(jù)當(dāng)前位置估計(jì)下一單元的位置，依此類推．實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，盡管有界NLE和無界NLE都用到了基本相同的數(shù)字認(rèn)知結(jié)構(gòu)，但無界NLE是一種更純粹地測量個(gè)體數(shù)字表示的工具．

圖2 無界數(shù)線估計(jì)任務(wù)

Cohen和Sarnecka比較了有界和無界數(shù)線估計(jì)任務(wù)發(fā)現(xiàn)，它們分別與不同的基本算術(shù)技能有關(guān)[30]．有界NLE需要參與者進(jìn)行某種形式的減法或除法．個(gè)體通過估計(jì)與數(shù)線端點(diǎn)的距離，從而將目標(biāo)數(shù)字放在數(shù)線上．為此，個(gè)體必須要能從數(shù)線上限的值中減去目標(biāo)數(shù)字，例如，要將數(shù)字13放在從0～20范圍的數(shù)線上，個(gè)體要能夠從20中減去13，從而估計(jì)距離數(shù)字20左側(cè)7個(gè)單位的位置．而在無界NLE中只需要加法，個(gè)體只需將給定的單位長度多次重復(fù)直至變成目標(biāo)數(shù)字，即個(gè)體必須將13個(gè)單位長度相加，或者將單位長度乘以13．

3 數(shù)線估計(jì)的心理表征模式

已有研究常用數(shù)線估計(jì)任務(wù)探究兒童的數(shù)字估計(jì)．?dāng)?shù)字估計(jì)的核心問題是數(shù)字表征，個(gè)體在心理上如何表征數(shù)字體系體現(xiàn)了他們對數(shù)字的理解，也直接關(guān)系到數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確與否[31]．關(guān)于個(gè)體數(shù)字表征的模式，研究者持有多種看法，其中有一些具有代表性的表征模型．

3.1 線性模型與對數(shù)模型

線性模型（linear model）是Case等人提出來的，是指個(gè)體對所有數(shù)字的表征具有相等的心理空間距離，相鄰數(shù)字之間的距離不會因數(shù)量的增加而改變[32-33]．該模型認(rèn)為兒童的數(shù)字表征形式是線性的，但這種線性表征只有達(dá)到特定的年齡階段才會出現(xiàn)．Case等人指出，不同年齡階段的兒童會采用不同的表征，但特定年齡階段的兒童只使用單一表征，6歲及以上年齡的兒童始終依賴于線性表征．只有掌握了線性表征，個(gè)體才能做到精確地估計(jì)．例如，4歲兒童無法準(zhǔn)確估計(jì)兩個(gè)個(gè)位數(shù)中哪個(gè)距離第三個(gè)數(shù)更近（譬如，3與8哪個(gè)距離6更近），他們僅僅能比較大小或多少，而6歲兒童一般都能進(jìn)行精確估計(jì)，更大點(diǎn)的兒童則一直使用線性表征[34]．

Dehaene等人則在研究中發(fā)現(xiàn)，個(gè)體在表征數(shù)字時(shí)所采用的是一種對數(shù)模型（logarithmic model），個(gè)體在主觀上認(rèn)為1和2、2和4、4和8之間的空間距離是相等的．按照這種表征方式，對于某一范圍內(nèi)的數(shù)字，個(gè)體傾向于擴(kuò)大低端數(shù)字間的距離，而縮小高端數(shù)字間的距離[35]．例如，對于0～1?000的數(shù)字范圍，個(gè)體在心理上會認(rèn)為1與75的距離比75與1?000的距離要大[31]．Dehaene等人通過對嬰兒和動(dòng)物的研究有力證明了這一模型的存在[36]，他們在對亞馬遜地區(qū)沒受過正規(guī)教育的Mundurucu土著居民的相關(guān)研究數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)，這些居民無論是兒童還是成人，對0～10的符號數(shù)和非符號數(shù)的表征都呈對數(shù)模式．而西方的成人只對較大的非符號數(shù)字采用對數(shù)表征，對較小的非符號數(shù)字和所有的符號數(shù)字均采用線性表征．這一結(jié)果表明：人類最初的表征形式是對數(shù)表征，線性表征是教育及文化的產(chǎn)物[37]．

3.2 對數(shù)—線性轉(zhuǎn)換模型

Siegler等人考察了不同年齡段兒童數(shù)線估計(jì)的內(nèi)部表征，提出了對數(shù)—線性轉(zhuǎn)換模型（logarithmic-to-linear model）．Siegler等人提出了一種多重表征說，認(rèn)為個(gè)體知道并能夠使用多種數(shù)字表征方式，發(fā)展不是一種表征取代另一種，而是各種表征共存并競爭，不同的情境下會使用不同的表征模式，隨著年齡和經(jīng)驗(yàn)的增長，兒童會逐漸根據(jù)特定情境而依賴于最適合的表征．兒童對數(shù)字的心理表征最初呈不太準(zhǔn)確的對數(shù)模式，而后逐步轉(zhuǎn)化為更加準(zhǔn)確的線性表征．這種從對數(shù)到線性的轉(zhuǎn)換在多個(gè)數(shù)線估計(jì)的研究中被觀察到[10，18，38]，且在不同的年齡段和數(shù)線的數(shù)值范圍都有所呈現(xiàn)[6，8，39]．在1～100范圍的數(shù)線估計(jì)任務(wù)中，大部分幼兒的估計(jì)結(jié)果與對數(shù)函數(shù)擬合；一年級的學(xué)生中大約有一半擬合對數(shù)函數(shù)，還有一半擬合線性函數(shù)；而二年級的學(xué)生大多符合線性函數(shù)．另外，對于同一年齡段，不同的數(shù)字估計(jì)范圍也會有不同的表征，二年級學(xué)生在1～1?000范圍的數(shù)線估計(jì)中，更加擬合對數(shù)函數(shù)．一些研究者將這一對數(shù)到線性轉(zhuǎn)換的框架運(yùn)用于描述數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的要素[40-41]，以及探究數(shù)學(xué)終極起源的跨文化研究[37]當(dāng)中．

3.3 線性—對數(shù)轉(zhuǎn)換模型的質(zhì)疑

一些研究者對于對數(shù)—線性模型并不認(rèn)可．Ebersbach等人提出了一種分段線性模型（segmented linear model），他們認(rèn)為在每個(gè)個(gè)體中可能只有一種表征，但這一表征至少由兩個(gè)線性片段組成．在相對熟悉的數(shù)字范圍內(nèi)，個(gè)體能很好地進(jìn)行線性估計(jì)和區(qū)分?jǐn)?shù)字，表現(xiàn)為所呈現(xiàn)出的線性函數(shù)的斜率較大．一旦超過了熟悉的數(shù)字范圍，估計(jì)仍然遵循線性曲線，但線性函數(shù)的斜率較小，表明在這個(gè)范圍內(nèi)，個(gè)體對數(shù)字位置的辨別能力較低[42]．Moller等人的研究也支持分段線性模型，但不同的是，Moller等人認(rèn)為兩條線性函數(shù)的分界點(diǎn)代表了從一位數(shù)到兩位數(shù)的變化，而不是從熟悉的數(shù)字到不熟悉的數(shù)字，并推斷隨著年齡的增長和教育的影響，個(gè)體會逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閱我痪€性表征[21]．

Barth和Paladino也不贊同個(gè)體表征從對數(shù)到線性的轉(zhuǎn)換，他們認(rèn)為兒童估計(jì)準(zhǔn)確性的線性增加可能只是反映了他們越來越熟練地應(yīng)用比例判斷策略，相比于大范圍數(shù)字，個(gè)體在小范圍數(shù)線上更容易準(zhǔn)確利用參考點(diǎn)，更易呈現(xiàn)出線性表征．Barth等人指出，比例判斷模型（proportion-judgment model）為個(gè)體的數(shù)字估計(jì)模式提供了一個(gè)很好的說明，特別是對兒童在NLE中所表現(xiàn)出的周期性偏差具有較好的解釋力，而這種偏差是對數(shù)到線性表征模型或其它任何模型都無法解釋的[26]．Slusser、Santiago和Barth發(fā)現(xiàn)，學(xué)前兒童無法使用中點(diǎn)作為參考，但隨著兒童的發(fā)展，他們逐漸掌握通過參考點(diǎn)的位置來提高估計(jì)精確性的方法[43]．因此，他們認(rèn)為兒童表征的發(fā)展可能是一個(gè)連續(xù)的過程，并不存在表征模式的轉(zhuǎn)換．

兒童數(shù)字估計(jì)的心理表征發(fā)展引發(fā)了激烈爭論，除上述數(shù)字心理表征模型外，還有研究者曾提出過獨(dú)特的想法．比如Gibbon和Church所提出的存儲器模型（accumulator model），將人的大腦比喻為存儲器，數(shù)字以相等的空間距離被表征，表征數(shù)的過程像是數(shù)數(shù)的過程，也像是用杯子向存儲器里倒水的過程，每數(shù)一個(gè)數(shù)便向存儲器里倒一杯水，所數(shù)的最后一個(gè)數(shù)會存入記憶（存儲器）中表征成主觀量，當(dāng)遇到目標(biāo)數(shù)字時(shí)，這個(gè)量就會從記憶中被讀出，讀取的過程也是一個(gè)數(shù)數(shù)的過程[44]．這些表征模型大抵可以分為兩類，即單一表征假說和多重表征假說．單一表征假說認(rèn)為，個(gè)體在同一時(shí)期依靠單一規(guī)則進(jìn)行數(shù)量表征，多重表征假說則認(rèn)為，個(gè)體能根據(jù)具體情境采用不同的表征模式．

4 數(shù)線估計(jì)表現(xiàn)的影響因素

數(shù)線估計(jì)的表現(xiàn)受多種因素影響，把握這些因素，通過調(diào)節(jié)可控因素適當(dāng)干預(yù)學(xué)生的數(shù)線估計(jì)，能夠有效提高學(xué)生數(shù)線估計(jì)的準(zhǔn)確性．

4.1 外在因素

Cohen和Sarnecka通過對比有界NLE和無界NLE的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，兒童的表現(xiàn)只在有界數(shù)線上才會隨著年齡的增長而發(fā)生顯著變化，在無界數(shù)線上卻相當(dāng)穩(wěn)定[30]．他們認(rèn)為這是因?yàn)閮和鎸Σ煌愋偷臄?shù)線任務(wù)會采用不同的技能，最終導(dǎo)致NLE表現(xiàn)的變化．另外，數(shù)線上的數(shù)值范圍也影響著兒童的NLE表現(xiàn)，Siegler和Opfer研究發(fā)現(xiàn)，二年級兒童估計(jì)的表征模式在0～100區(qū)間呈線性表征，而在 0～1?000區(qū)間呈對數(shù)表征[18]．Siegler等還對幼兒園和一年級兒童數(shù)線任務(wù)表現(xiàn)進(jìn)行了探究，隨著數(shù)字的增大，數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確性經(jīng)歷了一個(gè)由高變低，然后又逐漸變高的過程[6]．中國研究者分析了二年級兒童數(shù)線估計(jì)的數(shù)據(jù)，也得出隨著數(shù)字范圍擴(kuò)大，估計(jì)的準(zhǔn)確性降低的結(jié)論[45]．

Siegler等考察了美國中產(chǎn)階級家庭與低收入家庭幼兒（平均年齡4.7歲）在0～10范圍的NLE表現(xiàn)．與低收入家庭的幼兒相比，中產(chǎn)階級家庭幼兒的估計(jì)數(shù)據(jù)更加接近線性函數(shù)[14]．Dehaene等人的跨文化研究發(fā)現(xiàn)，亞馬遜地區(qū)的土著居民即便是成人，其數(shù)字估計(jì)依舊呈對數(shù)模型，這是由于他們?nèi)狈ο到y(tǒng)的數(shù)學(xué)符號和正規(guī)的數(shù)學(xué)教育[37]．對中美幼兒園兒童的數(shù)線估計(jì)進(jìn)行的跨文化研究結(jié)果指出，中國兒童在數(shù)線估計(jì)任務(wù)上的表現(xiàn)要優(yōu)于美國同齡兒童[46]．周廣東等人探討了中國幼兒園和小學(xué)兒童數(shù)字估計(jì)能力的發(fā)展，并與Siegler等人對美國兒童的研究做了對比，發(fā)現(xiàn)在0～100范圍上，中國兒童在一年級就能進(jìn)行較為精確的估計(jì)，而美國兒童在二年級才達(dá)到相似水平；在0～1?000范圍上中國兒童的估計(jì)在三年級時(shí)就較為精確了，相比之下美國六年級兒童才能對該范圍的數(shù)字進(jìn)行精確估計(jì)[31]．

4.2 內(nèi)在因素

Geary對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難、學(xué)業(yè)成就低和正常兒童的數(shù)字估計(jì)能力的追蹤研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難和低數(shù)學(xué)成績的兒童估計(jì)準(zhǔn)確性顯著低于正常兒童[41]．Fanari等人通過使用符號和非符號知識任務(wù)研究發(fā)現(xiàn)，涉及符號知識的任務(wù)對NLE表現(xiàn)差異的解釋力較高，而非符號數(shù)字知識任務(wù)并不能預(yù)測NLE的表現(xiàn)，因此得出5歲幼兒在NLE上的表現(xiàn)取決于符號知識的結(jié)論[47]．對于幼兒來說，數(shù)數(shù)能力是一個(gè)主要的影響因素．較小的兒童會使用數(shù)數(shù)策略去解決數(shù)線估計(jì)問題，他們或是從最小值往后數(shù)，或是從最大值往前數(shù)，又或是從中間的值往兩端數(shù)．而對于稍微年長一點(diǎn)的兒童和成人，有關(guān)比例的知識會使得他們在數(shù)線估計(jì)中表現(xiàn)較好．例如，六年級兒童和成人在進(jìn)行0～1?000范圍的數(shù)線估計(jì)時(shí)，相較于其它數(shù)字，他們對處于0、250、500、750、1?000附近的數(shù)字的估計(jì)顯然要準(zhǔn)確得多[18]．這表明個(gè)體能夠依據(jù)特殊的參考點(diǎn)如有界數(shù)線的端點(diǎn)、中點(diǎn)等，在心理上把數(shù)線平均分成若干等分，以其中的一份為基準(zhǔn)展開對數(shù)字的估計(jì)．劉國芳等人也考察了5～6歲幼兒在0～100范圍的數(shù)線估計(jì)表現(xiàn)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)幼兒是一個(gè)“靈活的策略使用者”，他們傾向于使用中點(diǎn)和端點(diǎn)策略進(jìn)行數(shù)線估計(jì)[48]．邢強(qiáng)等人對二、四、六年級的學(xué)生在0～100范圍的數(shù)線估計(jì)表現(xiàn)進(jìn)行了分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)3個(gè)年級的學(xué)生都對數(shù)字50的估計(jì)明顯要準(zhǔn)于其它數(shù)字，說明他們在估計(jì)中準(zhǔn)確運(yùn)用了分半策略[38]．

Siegler提出反饋是一種有效的改善NLE表現(xiàn)的方式，個(gè)體一旦獲得了有關(guān)精確表征的經(jīng)驗(yàn)就會放棄舊的表征形式，選擇新的表征形式，且這種變化是突然的、整體性的，無論延時(shí)反饋還是實(shí)時(shí)反饋都能顯著影響后續(xù)兒童數(shù)線估計(jì)的準(zhǔn)確性[6]．李曉芹考察了中國小學(xué)兒童的NLE表現(xiàn)，得出結(jié)論：相比于無反饋組，反饋組兒童估計(jì)的準(zhǔn)確性會得到顯著提高[49]．莫雷等人提出“心理長度”的概念，是指兒童將低端數(shù)字與固定的線段長度對應(yīng)起來的特點(diǎn)．莫雷等人認(rèn)為，年幼兒童數(shù)字估計(jì)之所以呈對數(shù)模式，并不是他們真正在運(yùn)用對數(shù)策略進(jìn)行數(shù)字估計(jì)，而是由于他們在一定長度數(shù)字線范圍內(nèi)對低端的數(shù)字有著對應(yīng)的固定不變的心理長度，這種對應(yīng)關(guān)系不會隨著數(shù)字范圍及數(shù)線長度的變化而變化．心理長度的存在反應(yīng)了兒童對數(shù)的等距屬性的認(rèn)識，在沒有發(fā)展到認(rèn)識等比屬性之前，真正的線性表征是不可能出現(xiàn)的．因此，心理長度是導(dǎo)致兒童在不同數(shù)字范圍下產(chǎn)生不同表現(xiàn)的根本原因[50]．

5 數(shù)線估計(jì)的教學(xué)意蘊(yùn)

從上述內(nèi)容可知，有界NLE和無界NLE對學(xué)生不同的數(shù)學(xué)能力提出了要求，利用相關(guān)因素可以改善兒童數(shù)線估計(jì)表現(xiàn)進(jìn)而促進(jìn)其數(shù)學(xué)能力的提升．由此可見，數(shù)線估計(jì)具有一定的教學(xué)意義，不失為教學(xué)的良好輔助工具．結(jié)合當(dāng)前已有研究內(nèi)容來看，數(shù)線估計(jì)的教學(xué)運(yùn)用主要存在小學(xué)數(shù)學(xué)的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，教師若能在教學(xué)過程中尋找合適的時(shí)機(jī)加以利用，或許會對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和早期數(shù)學(xué)能力發(fā)展起到一定的促進(jìn)作用．

5.1 運(yùn)用無界NLE豐富識數(shù)計(jì)數(shù)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生的數(shù)感

數(shù)感的良好發(fā)展是形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提[51]．?dāng)?shù)感的發(fā)展，需要經(jīng)歷感悟多少、用數(shù)表示多少、建立數(shù)之間的關(guān)聯(lián)、對數(shù)進(jìn)行運(yùn)算、形成數(shù)系概念等過程．學(xué)生用數(shù)表示多少的第一步是數(shù)數(shù)，通過數(shù)數(shù)可以抽象出數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，如大小、順序、分解與組合等[52]，從而建立數(shù)的概念．?dāng)?shù)的概念的建立并非一蹴而就，學(xué)生理解和掌握數(shù)的概念需要經(jīng)歷一個(gè)循序漸進(jìn)的過程[53]．小學(xué)低年級是培養(yǎng)數(shù)感的重要時(shí)期，識數(shù)、計(jì)數(shù)是發(fā)展低年級學(xué)生數(shù)感的重要途徑．但對低年級學(xué)生來說，他們對數(shù)的理解尚未達(dá)到抽象水平，還需要依托具體實(shí)物來認(rèn)識數(shù)和理解數(shù)．?dāng)?shù)線就是一個(gè)很好的輔助學(xué)生認(rèn)識數(shù)的實(shí)體工具．以一年級教材為例，“認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù)”單元就可使用數(shù)線估計(jì)輔助教學(xué)．

認(rèn)識數(shù)字1～9時(shí)，教師可以先采用具體情境中的數(shù)量如小圓片、小棒等，再過渡到數(shù)字表達(dá)，讓學(xué)生體驗(yàn)1～9的從數(shù)量到數(shù)的抽象過程．系統(tǒng)認(rèn)識了1～9之后可以引入數(shù)線，讓學(xué)生自行在數(shù)線上表示出各個(gè)數(shù)字所在的位置或是填出數(shù)線上缺少的數(shù)（如圖3），這一過程將學(xué)生腦中抽象的數(shù)又轉(zhuǎn)化為數(shù)線上具體有形的數(shù)，加深對數(shù)字的認(rèn)識．在之前識數(shù)的過程中，學(xué)生已經(jīng)感受到數(shù)字是有序排列的，利用數(shù)線表示數(shù)能夠加深對數(shù)字有序性的認(rèn)識以及對數(shù)字順序與數(shù)字大小二者之間關(guān)系的體驗(yàn)．

圖3 運(yùn)用無界數(shù)線識數(shù)

在學(xué)生基本熟悉了數(shù)字在數(shù)線上的表示后，引入無界NLE，讓學(xué)生估計(jì)某個(gè)數(shù)在無界數(shù)線上的位置，發(fā)展學(xué)生對數(shù)的等距屬性的認(rèn)識．五年級初步認(rèn)識負(fù)數(shù)以后，無界數(shù)線及無界NLE還可以拓展到負(fù)數(shù)領(lǐng)域（如圖4）．另外，無界數(shù)線并沒有固定的長度，因而具有一定的開放性，教師可以使用無界數(shù)線讓學(xué)生直觀感受到隨著數(shù)線往右（左）無限延伸，數(shù)字是可以無限增加（減?。┑模處熆梢栽趯W(xué)生認(rèn)識完20以內(nèi)的數(shù)后將其作為拓展，為后續(xù)認(rèn)識百以內(nèi)、萬以內(nèi)的數(shù)甚至更大的數(shù)埋下伏筆．在感受數(shù)字系統(tǒng)的無限性的過程中發(fā)展學(xué)生的空間想象力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．

圖4 運(yùn)用無界數(shù)線認(rèn)識負(fù)數(shù)

學(xué)生在小學(xué)低年級階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念與計(jì)數(shù)有密切聯(lián)系．通過真實(shí)的計(jì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生發(fā)展基本概念和策略，幫助他們理解和描述數(shù)字，發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的關(guān)系和模式[54]．無界NLE需要依靠加法完成，學(xué)生在無界數(shù)線上進(jìn)行估計(jì)時(shí)需要將所給出的單位距離逐步累加至目標(biāo)數(shù)字，在這一過程中產(chǎn)生計(jì)數(shù)的操作．在教學(xué)1～5的加減法之前，教師可以采用無界數(shù)線估計(jì)任務(wù)，先發(fā)展學(xué)生的計(jì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生有“在一個(gè)數(shù)上加上1”的意識，為后續(xù)加減法教學(xué)打下基礎(chǔ)．還可以使無界數(shù)線以“2”“3”等數(shù)字為初始單位距離，從“在一個(gè)數(shù)上加1”變成“在一個(gè)數(shù)上加2”“在一個(gè)數(shù)上加3”等，以多種形式豐富學(xué)生的計(jì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)．例如，在初始單位為1的無界數(shù)線上分別估計(jì)數(shù)字2和5的位置，學(xué)生需要分別將單位距離累加1次和4次，依托具體實(shí)物完整經(jīng)歷抽象的計(jì)數(shù)過程．學(xué)生在累加時(shí)教師要引導(dǎo)其注意保持每個(gè)單位距離是相同的，它們是代表相等大小的“1”．最終結(jié)果呈現(xiàn)以后，教師可以讓學(xué)生比較兩次無界數(shù)線估計(jì)的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)線的長度不同，同時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生在2的后面補(bǔ)上3段一樣的單位距離就能夠和5一樣長（如圖5），以將抽象數(shù)字變具象的方式使學(xué)生加深對數(shù)字大小的認(rèn)識和對量的大小的體驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感與量感．

圖5 在無界數(shù)線上分別估計(jì)2和5的位置

5.2 運(yùn)用有界NLE輔助比例知識教學(xué)以發(fā)展學(xué)生的比例 推理能力

數(shù)學(xué)推理作為一種基本思維方式貫穿了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的全過程．不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容，數(shù)學(xué)推理的表現(xiàn)形式也有所不同[55]．在學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中，比例推理是一種常見的數(shù)學(xué)推理，它主要基于比和比例知識的學(xué)習(xí)．比是對數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系的一種刻畫[56]．比例推理是關(guān)于數(shù)量關(guān)系的思考，是基于比和比例知識進(jìn)行推理的一種能力[57]，要求同時(shí)對幾個(gè)數(shù)量或值做出比較[58]，也是根據(jù)已知信息和比例的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷和計(jì)算的思維過程[59]，要基于具體情境把握其中的數(shù)量關(guān)系變化．比例推理能力的發(fā)展對學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展至關(guān)重要．

小學(xué)階段，涉及比例推理的內(nèi)容主要包括數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中的“正比例、反比例”以及“路程=速度×?xí)r間”等數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)[55]．但實(shí)際上，小學(xué)數(shù)學(xué)課程的許多部分都直接或間接涉及到比，例如分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、概率等，可以說比例推理貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)的始終[60]，對于更高層次的數(shù)學(xué)理解必不可少．因此在小學(xué)低年級就可以考慮將比例推理的思想融入數(shù)學(xué)教學(xué)，逐步培養(yǎng)兒童的比例推理思維，發(fā)展比例推理能力．比例推理的發(fā)展是一個(gè)漸進(jìn)的過程，其基礎(chǔ)是日益復(fù)雜的乘法思維和比較兩個(gè)量的相對而非絕對大小的能力．有界NLE其實(shí)屬于Lamon所劃分的比例推理類問題中的“部分—整體”型問題[61]，它對相對思維提出了要求，學(xué)生需要把握數(shù)字之間的相對大小關(guān)系才能進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)．在教學(xué)中，有界NLE可以在正式學(xué)習(xí)比的相關(guān)知識之前呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生在估計(jì)時(shí)可能會參照中點(diǎn)、四分之一位點(diǎn)等參考點(diǎn)的位置，實(shí)際上就是在比較數(shù)字之間的關(guān)系．例如，在0～100的數(shù)線上估計(jì)23的位置，學(xué)生可能會先將20轉(zhuǎn)化為在整體中所占的比重即“100的五分之一”，進(jìn)而標(biāo)記在數(shù)線的五分之一處往右一點(diǎn)．這一過程初步啟發(fā)了學(xué)生的比例推理思維．

除了有界NLE能夠幫助學(xué)生發(fā)展比例推理能力，雙數(shù)線也是一種培養(yǎng)學(xué)生比例推理意識的直觀手段．由于比涉及兩個(gè)量之間的關(guān)系，在教學(xué)中利用雙數(shù)線可以向?qū)W生直觀展現(xiàn)兩個(gè)量之間的共變，發(fā)展學(xué)生的比例推理意識．雙數(shù)線可以在學(xué)習(xí)比的相關(guān)知識之后，在練習(xí)題中作為解題的輔助工具引入．例如，要求寫出等式中的缺失值8∶5=32∶（ ），教師可以在雙數(shù)線上標(biāo)出已知的三個(gè)數(shù)，并將其對應(yīng)（如圖6），以直觀的方式讓學(xué)生感知這兩個(gè)量之間存在著的共變關(guān)系．此時(shí)，教師要讓學(xué)生明白，這兩條線可以無限延長，它們的比也可以寫出無限多對，但存在一個(gè)最簡整數(shù)比．類似地，還可以換成實(shí)際問題．例如：用13個(gè)梨可以換2個(gè)西瓜，那用6個(gè)西瓜可以換幾個(gè)梨？

圖6 運(yùn)用雙數(shù)線進(jìn)行比例推理

由于比和分?jǐn)?shù)存在密切聯(lián)系，有界NLE對分?jǐn)?shù)教學(xué)也有一定意義．小學(xué)階段最為注重?cái)?shù)與運(yùn)算的表征，尤其是對分?jǐn)?shù)概念與運(yùn)算的表征[62]．分?jǐn)?shù)具有多重意義[63]，其表征形式也復(fù)雜多樣．不同于一些圖象表征可能造成的“分?jǐn)?shù)是兩個(gè)整數(shù)的組合”的認(rèn)知偏向，有界NLE在保留直觀性的前提下又增加了適當(dāng)?shù)某橄笮?，在一定程度上幫助理解分?jǐn)?shù)的部分—整體意義的同時(shí)，又可以避免“整數(shù)偏向”[64]，幫助學(xué)生過渡到對分?jǐn)?shù)的度量意義的理解，從而將分?jǐn)?shù)看成是一個(gè)數(shù)．另外，還有研究發(fā)現(xiàn)：在早期階段，直接比較和非標(biāo)準(zhǔn)測量是兒童測量能力的主要表現(xiàn)形式，其中非標(biāo)準(zhǔn)測量是指用自然物形成的非標(biāo)準(zhǔn)測量單位對物體進(jìn)行比較衡量[65]．而有界NLE所使用的是標(biāo)準(zhǔn)單位，給定線段長度，數(shù)量大小要與固定的長度相對應(yīng)．因此，使用有界NLE還能夠幫助學(xué)生從早期的非標(biāo)準(zhǔn)測量逐步過渡到標(biāo)準(zhǔn)測量，發(fā)展基礎(chǔ)的標(biāo)準(zhǔn)測量能力．

5.3 運(yùn)用NLE進(jìn)行教學(xué)評價(jià)以促進(jìn)學(xué)生早期數(shù)學(xué)能力的發(fā)展

數(shù)線估計(jì)是數(shù)字估計(jì)研究中常用的研究范式，它能衡量學(xué)生的數(shù)字認(rèn)知等一系列數(shù)學(xué)能力．利用這一點(diǎn)，可以將其作為一種教學(xué)評價(jià)工具．譬如，對一年級學(xué)生而言，教師可以利用數(shù)線估計(jì)編制小測驗(yàn)用以評估入學(xué)新生的數(shù)字認(rèn)知狀況，以便把握學(xué)生的現(xiàn)有水平，有針對性地展開教學(xué)，這有助于做好幼小銜接工作．在之后認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù)、11～20各數(shù)、100以內(nèi)的數(shù)這樣一個(gè)階段的學(xué)習(xí)結(jié)束后，均可利用數(shù)線估計(jì)測量學(xué)生已達(dá)到的數(shù)字認(rèn)知水平，及時(shí)獲得教學(xué)結(jié)果的反饋．如此，NLE在認(rèn)識數(shù)的教學(xué)中的使用或許可以形成一個(gè)流程：利用NLE進(jìn)行前測—借助NLE輔助數(shù)的認(rèn)識和加減教學(xué)—利用NLE進(jìn)行后測．

數(shù)線估計(jì)的準(zhǔn)確性越高預(yù)示著個(gè)體在數(shù)學(xué)上有更高的成就．一方面，個(gè)體在頭腦中如何表征數(shù)字會影響其數(shù)線估計(jì)的準(zhǔn)確性．從準(zhǔn)確性角度來說，對數(shù)表征是兒童對數(shù)字的一種不精確表征，而線性表征則是比較理想的表征方式，個(gè)體的估計(jì)模式越接近線性其估計(jì)結(jié)果越準(zhǔn)確．然而，線性表征并非是個(gè)體生來就有的，個(gè)體最初似乎更傾向于不太準(zhǔn)確的對數(shù)表征．因此，為引導(dǎo)學(xué)生的表征模式向著更為準(zhǔn)確的線性模式發(fā)展，改善學(xué)生的數(shù)線估計(jì)表現(xiàn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)字估計(jì)能力的發(fā)展，教師可以對學(xué)生的數(shù)線估計(jì)進(jìn)行適當(dāng)干預(yù)．教師要對學(xué)生的數(shù)線估計(jì)結(jié)果予以及時(shí)反饋，反饋能夠引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，是一種矯正偏差的有效方式，特別是在學(xué)生出現(xiàn)較大的估計(jì)偏差時(shí)．得到對估計(jì)結(jié)果的反饋后，學(xué)生會修正或堅(jiān)持自己最初的估計(jì)以提高之后估計(jì)的準(zhǔn)確性，從而逐步向線性表征發(fā)展．

另一方面，個(gè)體數(shù)線估計(jì)的準(zhǔn)確性會隨著年齡的增長而提高，到達(dá)一定年齡后估計(jì)的準(zhǔn)確性才會趨于穩(wěn)定，在這一過程中還會產(chǎn)生個(gè)體差異，部分學(xué)生可能相對發(fā)展較為緩慢．因此，在兒童發(fā)展早期，教師可以采取一些游戲訓(xùn)練促進(jìn)他們對數(shù)字的認(rèn)知．例如，教師可以讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)字分類．?dāng)?shù)字分類是指讓兒童基于數(shù)量對數(shù)字形成主觀的大小分類，比如“非常小”“小”“中”“大”“非常大”這些類別．Laski等通過讓兒童對數(shù)字進(jìn)行分類，再進(jìn)行數(shù)線估計(jì)任務(wù)訓(xùn)練，最終發(fā)現(xiàn)對兒童數(shù)字分類的訓(xùn)練能夠有效提高數(shù)線估計(jì)的準(zhǔn)確性[20]．教師可以將數(shù)字做成一張張小卡片，利用課間或課前準(zhǔn)備時(shí)間，與學(xué)生進(jìn)行分類小游戲，學(xué)生分類后教師要給予反饋，反饋不僅會提高他們在數(shù)字分類方面的水平，而且會提高他們在其它數(shù)字認(rèn)知方面的水平[41]．教師還可以開展數(shù)字棋盤游戲以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)字的理解．常見的是線性數(shù)字棋盤，是指具有連續(xù)編號、呈線性排列、空間大小相同、顏色相間隔的方格棋盤，棋盤上印有數(shù)字0～99，本質(zhì)上是物化了的數(shù)線．兒童通過擲骰子的點(diǎn)數(shù)確定棋子要移動(dòng)的格數(shù)，一邊移動(dòng)棋子一邊要說出所走過的數(shù)[14]．有研究者指出，數(shù)字棋游戲能提高兒童數(shù)數(shù)和識數(shù)的水平，提高兒童對數(shù)字順序和數(shù)量大小的認(rèn)知能力[66]．

數(shù)線是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)學(xué)實(shí)體，既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的有效輔助工具；數(shù)線估計(jì)是依據(jù)數(shù)線特點(diǎn)所設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)或情景，既可以有效地輔助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也可以幫助教師判斷甚至診斷學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果的成效或成因．盡管數(shù)線及數(shù)線估計(jì)似乎相對簡單，且其運(yùn)用于教學(xué)的效果可能無法立刻顯現(xiàn)出來，但其潛在的價(jià)值如對學(xué)生數(shù)感萌芽的促進(jìn)是不可估量的，教師若能在小學(xué)低年級運(yùn)用好數(shù)線和數(shù)線估計(jì)或許會有效促進(jìn)學(xué)生早期的數(shù)字認(rèn)知以及其它數(shù)學(xué)能力的發(fā)展．

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Number Line Estimation and Its Teaching Implications

XU Yu-man, LU Shi-qi, XU Wen-bin

(Curriculum and Teaching Institute, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China)

Number Line Estimation is an important tool for measuring and predicting children’s mathematical abilities. Children’s performance on NLE reflects their understanding of numbers; higher NLE accuracy indicates greater achievements in children’s mathematics. Studies have shown that there are two types of NLE, bounded NLE and unbounded NLE. Models for individual representation of numbers include linear representation model, logarithmic representation model and so on. The factors influencing NLE performance include external factors such as different types andnumericalranges of NLE, family economic status, culture and education, and internal factors such as individual mathematical cognitive abilities and cognitive processing. Combining the characteristics of number lines and NLE, teachers can use it as a tool to assist students in learning. For example, teachers can develop students’ number sense by using unbounded NLE, develop students’ reasoning and measuring ability by using bounded NLE to assist students’ proportional knowledge learning, and promote the development of students’ mathematical cognition and other mathematical abilities.

number line; number line estimation; numerical mental representation; influencing factors; teaching implications

G622.4

A

1004–9894（2023）05–0068–08

徐玉嫚，陸世奇，徐文彬．?dāng)?shù)線估計(jì)及其教學(xué)意蘊(yùn)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023，32（5）：68-75．

2023–07–07

安徽省高校協(xié)同創(chuàng)新項(xiàng)目——“雙減”背景下教學(xué)和諧的理論證成、實(shí)踐省察與行動(dòng)構(gòu)建（GXXT-2021-058）

徐玉嫚（1998—），女，江蘇鹽城人，碩士生，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究．

[責(zé)任編校：陳漢君、張楠]