江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)潘家小學(xué) 翟雪皎

一、緣起：運(yùn)算的一致性讓算理和算法成為有根之木

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“數(shù)與運(yùn)算”主題中明確指出，要讓學(xué)生感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，培養(yǎng)運(yùn)算能力和推理意識(shí)。但就目前的教材和教學(xué)來(lái)看，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則似乎各自為政，缺乏本質(zhì)的關(guān)聯(lián)性和內(nèi)在的一致性。

以蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第三單元“分?jǐn)?shù)除法”為例，教材以濃重的筆墨引導(dǎo)學(xué)生借助直觀示意圖“分一分”，聯(lián)系分?jǐn)?shù)的意義并借鑒整數(shù)除法的已有經(jīng)驗(yàn)，分析、比較、歸納出分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則；在教學(xué)內(nèi)容的安排上，教材遵循螺旋上升、循序漸進(jìn)的原則，先教學(xué)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，然后教學(xué)整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，最后教學(xué)分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)；學(xué)生在經(jīng)歷“初步感知—類比歸納—驗(yàn)證猜想”的全過(guò)程后，進(jìn)一步明確無(wú)論是分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，還是整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，又或者是分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，都可以用“甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)”的方法來(lái)計(jì)算。在這樣的教學(xué)觀照下，學(xué)生看似很順利地掌握了分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則，但由于教材選取的例題具有特殊性，更容易用畫圖的方式直觀地表示出結(jié)果，因而在推廣到一般分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算時(shí)，學(xué)生難以用畫圖表示出這類分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算結(jié)果，并且脫離具體的情境，也無(wú)法用分?jǐn)?shù)的意義來(lái)解釋分?jǐn)?shù)除法。這樣看來(lái)，分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算僅僅停留在運(yùn)用算法的層面，缺乏實(shí)質(zhì)、有效、一以貫之的算理支撐，學(xué)生一度陷入說(shuō)理困難的窘境也就不足為奇了。

事實(shí)上，數(shù)的認(rèn)識(shí)與數(shù)的運(yùn)算并不是割裂開來(lái)的兩個(gè)部分，而是以“計(jì)數(shù)單位”為統(tǒng)領(lǐng)，具有邏輯關(guān)聯(lián)性、內(nèi)在一致性、前后承接性。相對(duì)于整數(shù)和小數(shù)而言，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)知更有距離感，原因在于整數(shù)和小數(shù)都是以十進(jìn)制計(jì)數(shù)法為基礎(chǔ)的，分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)方法則是基于沒(méi)有明確倍數(shù)關(guān)系的“分?jǐn)?shù)單位”構(gòu)建的。這種距離感在分?jǐn)?shù)的運(yùn)算中表現(xiàn)得尤為明顯。在整數(shù)和小數(shù)的加減運(yùn)算中，我們可以把相同數(shù)位上的數(shù)字進(jìn)行加減，但在分?jǐn)?shù)加減法的運(yùn)算中，卻不能把同為分母或分子的數(shù)字直接進(jìn)行加減，而要通過(guò)轉(zhuǎn)化成相同的“分?jǐn)?shù)單位”再進(jìn)行加減。此外，現(xiàn)有的教材在分?jǐn)?shù)乘法的編寫上，以畫圖直觀法和對(duì)分?jǐn)?shù)意義理解的方法展開教學(xué)，弱化了“分?jǐn)?shù)單位”的作用。這些都對(duì)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘除法的算理產(chǎn)生了負(fù)向的遷移，導(dǎo)致學(xué)生會(huì)用“分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母”以及“甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)”來(lái)進(jìn)行分?jǐn)?shù)乘除法的運(yùn)算，卻不知為何要這樣計(jì)算。算法得不到算理的有效支撐，知識(shí)點(diǎn)呈散狀分布，不利于學(xué)生構(gòu)建“鋼筋鐵骨”的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中數(shù)運(yùn)算一致性的理念，本文以“分?jǐn)?shù)乘除法”為例，從統(tǒng)整視角出發(fā)，探討以計(jì)數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位）來(lái)統(tǒng)領(lǐng)分?jǐn)?shù)乘除法算法的可行性、有效性和必要性。

二、構(gòu)建：重視計(jì)數(shù)單位，讓分?jǐn)?shù)乘除法的運(yùn)算有根可依

要探尋計(jì)數(shù)單位對(duì)分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算的可操作性，有必要從計(jì)數(shù)單位基于分?jǐn)?shù)的加減法說(shuō)起。

（一）分?jǐn)?shù)的加減法

分?jǐn)?shù)的加減法在算法上雖與整數(shù)、小數(shù)的加減法表述不同，但剝?nèi)ニ惴ǖ耐庖掠杀砑袄?，我們發(fā)現(xiàn)它們?cè)谒憷砩媳３种叨鹊囊恢隆＿@也為我們探索以計(jì)數(shù)單位為核心的分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算指明了方向。

（二）分?jǐn)?shù)的乘法

要把學(xué)生熟知的分?jǐn)?shù)乘法算法即“分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母”講出道理來(lái)，就需要教師明確分子相乘的積與分母相乘的積各表示什么含義。我們向下尋根，先來(lái)找找整數(shù)乘法與小數(shù)乘法在算理上的相同點(diǎn)。

整數(shù)乘法：如20×3=（2×10）×（3×1）=（2×3）×（10×1）=6×10=60，這也就能解釋在算法上先算2×3的積，表示的是計(jì)數(shù)單位上的數(shù)與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相乘，即計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)；再在積的末尾添0，表示計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘。

小數(shù)乘法：如1.2×0.3=（12×3）×（0.1×0.1）=36×0.01=0.36，在算法上我們先算12×3的積，表示的也是計(jì)數(shù)單位上的數(shù)與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相乘，即計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)；再根據(jù)乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)一共有兩位，就從積的右邊起數(shù)出兩位，這一步實(shí)際上就是在算計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘。

需要注意的是：在對(duì)整數(shù)乘法和小數(shù)乘法展開說(shuō)理的時(shí)候，并沒(méi)有因?yàn)閮蓚€(gè)乘數(shù)的計(jì)數(shù)單位相同或不同而有不同的處理，都是在用計(jì)數(shù)單位上的數(shù)與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相乘，再乘計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位的乘積。分?jǐn)?shù)的乘法是否有相同的推論呢？

（三）分?jǐn)?shù)的除法

除法運(yùn)算的一致性體現(xiàn)為計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相除，計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相除。我們以整數(shù)除法和小數(shù)除法來(lái)分別舉例。

整數(shù)除法60÷2=（6÷2）×（10÷1）=3×10=30，小數(shù)除法0.6÷0.2=（6÷2）×（0.1÷0.1）=3×1=3。我們?cè)囍鴣?lái)驗(yàn)證分?jǐn)?shù)除法。

我們進(jìn)一步梳理、完善上面的計(jì)算過(guò)程得到：

推廣到用字母表示的分?jǐn)?shù)除法算式得到：

據(jù)此，不難得出“甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)”的結(jié)論。我們還能發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法也同樣適用整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的基本規(guī)律，即計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相除，計(jì)數(shù)單位上的數(shù)與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相除。這也體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算與整數(shù)除法和小數(shù)除法的運(yùn)算的一致性。

三、建議：數(shù)運(yùn)算的教學(xué)要整體設(shè)計(jì)扎根串連

分?jǐn)?shù)的乘除法作為小學(xué)階段運(yùn)算教學(xué)的收尾部分，有必要撐起數(shù)運(yùn)算的鋼架結(jié)構(gòu)，而計(jì)數(shù)單位作為綱舉目張的存在也同樣需要滲透到日常運(yùn)算的教學(xué)中。

為了達(dá)成以上目標(biāo)，教師應(yīng)該以整體教學(xué)的視角把握教學(xué)內(nèi)容，注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，幫助學(xué)生感悟數(shù)運(yùn)算的一致性，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根。