蘇 澤 楊紅杰

（中航西安飛機工業(yè)集團股份有限公司西飛設(shè)計院，陜西 西安 710089）

在設(shè)計現(xiàn)代飛行器的過程中，必須要考慮氣動彈性的影響。傳統(tǒng)的氣動彈性問題主要指發(fā)散、舵面反效代表的靜氣動彈性問題與顫振代表的動氣動彈性問題。這類問題一般直接在頻域中求解氣動彈性方程，對亞音速飛行器來說，目前工程中普遍采用有限元方法直接進行模態(tài)分析，再利用偶極子格網(wǎng)法（DLM）求得頻域離散形式的非定常氣動力系數(shù)矩陣，從而實現(xiàn)氣動力與結(jié)構(gòu)模態(tài)間的直接耦合。

當(dāng)飛行器包括控制系統(tǒng)時，必須要著重考慮控制系統(tǒng)與彈性機體結(jié)構(gòu)之間的耦合作用，也就是氣動伺服彈性力學(xué)（ASE）。傳統(tǒng)飛控系統(tǒng)通常采用SISO 控制方式，工程中仍采用頻域分析方法，基于經(jīng)典控制理論進行穩(wěn)定性分析。而現(xiàn)代飛行器控制回路之間的耦合作用明顯，其飛控系統(tǒng)模型也具有MIMO 的特征，由此產(chǎn)生了以狀態(tài)空間方法為基礎(chǔ)的現(xiàn)代控制理論。此時，通過有理函數(shù)擬合方法將頻域離散矩陣形式的非定常氣動力轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)形式，使其能夠進行拉氏反變換，從而建立狀態(tài)方程，這是建立氣動伺服彈性狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵[1]。

1 非定常氣動力

通常情況下，氣動彈性問題中的氣動力主要是指飛行器彈性模態(tài)、舵面剛體偏轉(zhuǎn)模態(tài)等廣義位移帶來的氣動下洗產(chǎn)生的非定常氣動力。

飛行器氣動彈性一般運動方程如公式（1）所示。

式中：q為飛行器彈性模態(tài)坐標向量；δ為控制面剛體偏轉(zhuǎn)坐標向量；ρ為大氣密度；V為飛行速度；Mqq和Mqδ分別為飛行器彈性模態(tài)和舵面剛體偏轉(zhuǎn)模態(tài)對應(yīng)廣義質(zhì)量矩陣；Cqq為廣義阻尼矩陣；Kqq為廣義剛度矩陣；Qqq和Qqδ分別為彈性模態(tài)和舵面剛體偏轉(zhuǎn)模態(tài)產(chǎn)生的廣義非定常氣動力系數(shù)矩陣。

對亞音速飛行器來說，工程中一般采用偶極子格網(wǎng)法來計算頻域離散矩陣形式的非定常氣動力。偶極子格網(wǎng)法是一種基于小擾動線化位勢流方程的面元法，當(dāng)計算非定常氣動力時，需要合理地對氣動面進行網(wǎng)格劃分，將氣動面沿展向和弦向分成若干個兩側(cè)邊平行于來流方向的梯形面元，一般在面元網(wǎng)格的1/4 弦線上布置壓力偶極子，在網(wǎng)格的3/4 處布置控制點，通過物面邊界條件計算控制點的下洗速度[2]。

根據(jù)廣義氣動力的定義，其矩陣表達形式如公式（2）所示。

式中：R為廣義氣動力；NP為網(wǎng)格控制點處的模態(tài)矩陣，可以通過氣動控制點與結(jié)構(gòu)節(jié)點之間的插值矩陣，由結(jié)構(gòu)模態(tài)矩陣轉(zhuǎn)換得到；S為網(wǎng)格面積的加權(quán)矩陣，其對角項為各氣動網(wǎng)格的面積；?p為氣動面元網(wǎng)格的壓力分布。

根據(jù)非定常氣動力理論，根據(jù)網(wǎng)格控制點滿足的積分方程可以得到公式（3）。

式中：wq和wδ分別為彈性模態(tài)和舵面偏轉(zhuǎn)模態(tài)帶來的氣動網(wǎng)格控制點的下洗角；D-1為氣動力影響系數(shù)矩陣，也稱AIC矩陣。

當(dāng)計算飛行器彈性模態(tài)與舵面剛體偏轉(zhuǎn)模態(tài)引起的非定常氣動力系數(shù)時，氣動網(wǎng)格控制點的下洗角與廣義坐標之間滿足公式（4）。

式中：b為參考半弦長；k為減縮頻率，k=ωb/V；Nq和Nδ分別為網(wǎng)格控制點處的彈性模態(tài)和舵面偏轉(zhuǎn)模態(tài)。

將公式（2）、公式（3）代入公式（4），得到廣義非定常氣動力的表達式，如公式（5）所示。

當(dāng)給定氣動模型的網(wǎng)格劃分、飛行馬赫數(shù)以及減縮頻率時，可以確定飛行器彈性模態(tài)、舵面剛體偏轉(zhuǎn)模態(tài)等帶來的非定常氣動力。

2 有理函數(shù)擬合

當(dāng)采用時域方法分析氣動伺服彈性問題和一些非線性問題時，要先對氣動彈性廣義運動方程進行拉氏變換，再將其轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間方程形式。而氣彈運動方程中采用偶極子格網(wǎng)法求得的離散矩陣形式的頻域氣動力是減縮頻率的復(fù)函數(shù)，無法直接進行拉氏反變換。此時，便需要引入有理函數(shù)擬合方法，在不損失計算精度的前提下，延拓頻域氣動力向拉氏域。

工程中最常用的有理函數(shù)近似方法包括ROGER 法、修正矩陣法（MMP）和最小狀態(tài)法（MS）等，這些方法均以最小二乘法為基礎(chǔ)。當(dāng)采用這些方法擬合非定常氣動力建立狀態(tài)空間方程時，均需要引入氣動力擴充項作為狀態(tài)變量。不同方法引入的氣動力擴充項數(shù)量也不同，ROGER 法產(chǎn)生的氣動擴充項數(shù)量為結(jié)構(gòu)模態(tài)數(shù)與氣動滯后根的乘積，MMP法對應(yīng)的氣動力擴充項數(shù)量為廣義氣動力系數(shù)矩陣各列對應(yīng)的氣動滯后根數(shù)量之和，而MS 法對應(yīng)的氣動力擴充項數(shù)等于氣動滯后根的數(shù)量[4]。研究表明，當(dāng)氣動力擴充項的數(shù)量相同時，MS 法的擬合精度最高，下面給出MS 法的主要擬合過程。

當(dāng)給定飛行馬赫數(shù)時，頻域廣義氣動力系數(shù)矩陣可以為減縮頻率的復(fù)函數(shù)，統(tǒng)一用Qq（k）表示。采用MS 法進行有理函數(shù)擬合的表達式如公式（6）所示。

將公式（6）展開為頻域內(nèi)實部和虛部的形式，如公式（7）所示。

當(dāng)擬合精度較高時，選定的一系列減縮頻率下的氣動力擬合結(jié)果應(yīng)與頻域計算結(jié)果近似相等。為了獲得更精確的有理函數(shù)擬合結(jié)果，需要假設(shè)在若干減縮頻率點處的擬合結(jié)果與頻域計算結(jié)果精確相等，即假設(shè)一定的約束條件：1）當(dāng)約束減縮頻率為0 時，氣動力擬合結(jié)果與頻域氣動力相等。2）約束在減縮頻率k1處氣動力實部擬合結(jié)果與頻域氣動力實部相等。3）約束在減縮頻率k2處氣動力虛部擬合結(jié)果與頻域氣動力虛部相等。

由上述約束條件及其他約束條件可以將擬合公式中A0、A1和A2分別轉(zhuǎn)化為減縮頻率k、D和E矩陣的表達式，以進一步給出其他非約束減縮頻率點處的氣動力系數(shù)擬合公式。

為了進一步求得擬合公式的解，MS 法需要先給定R的矩陣元素，再由最小二乘法確定矩陣D和E。首先，給定矩陣E，按行擬合出矩陣D。其次，由現(xiàn)有的矩陣R和D，按列擬合求出矩陣E。最后，計算擬合的精度，如果擬合的精度不滿足要求，就重復(fù)前面的擬合過程，反復(fù)迭代計算D-E-D，直到得到滿意的擬合結(jié)果。一般情況下，迭代10次即可收斂。

當(dāng)求出各系數(shù)矩陣后，令s=ik（s為拉普拉斯算子），將減縮頻率轉(zhuǎn)化為拉氏變量，氣動力擬合如公式（8）所示。

由此，利用有理函數(shù)擬合方法就可以將廣義非定常氣動力從坐標軸拓展到整個拉氏域。

3 算例

該文以一個典型翼面為例對上述非定常氣動力計算方法和有理函數(shù)擬合方法進行驗證。

3.1 計算模型

計算模型由機翼翼面與機翼根部連接組成，翼面采用板單元建模，根部連接為梁單元，并在梁單元根部固支約束。利用MSC.NASTRAN 軟件進行模態(tài)分析，得出前五階結(jié)構(gòu)彈性模態(tài)見表1。

表1 模態(tài)分析結(jié)果

采用ZAERO 軟件建立機翼翼面的氣動網(wǎng)格，為了簡化步驟，沿弦向和展向均等分為5 段。為了驗證有理函數(shù)擬合方法的精確性，分別采用頻域法和狀態(tài)空間方法對上述模型進行開環(huán)顫振分析，顫振計算方法選取ZAERO 軟件中的g法，固定高度為海平面，馬赫數(shù)0.05，計算選取前五階彈性模態(tài)，不考慮阻尼，取減縮頻率為0.0～1.0。

當(dāng)狀態(tài)空間法計算時，采用MS 法進行廣義氣動力系數(shù)矩陣的有理函數(shù)擬合，當(dāng)約束減縮頻率為0 時，氣動力擬合結(jié)果與頻域氣動力相等，取擬合迭代次數(shù)為100 次，并根據(jù)經(jīng)驗公式法選取10 個氣動滯后根，如公式（9）所示。

式中：Ri為第i個氣動滯后根取值；kmax為計算選取的最大減縮頻率；Nlag為氣動滯后根數(shù)量。

3.2 顫振結(jié)果對比

采用ZAERO 軟件中的g 法進行顫振分析，得到頻域法V-G、V-F 曲線，如圖1所示。2 種方法顫振頻率與顫振速度對比見表2。

由圖1 可知，計算得到一支顫振，其類型為典型彎扭耦合顫振，參與模態(tài)為機翼一階彎曲和一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)，顫振頻率為8.112 Hz，顫振速度較高。在采用MS 法進行有理函數(shù)擬合后，顫振頻率及顫振速度與頻域計算結(jié)果偏差較小，說明氣動力擬合過程并沒有降低計算精度。

3.3 非定常氣動力擬合對比

頻域法計算不采用有理函數(shù)擬合，其得到的非定常氣動力系數(shù)為精確解，可為n×m維離散矩陣，每項矩陣元素均包括實部和虛部2 個部分（n為計算采用的彈性模態(tài)數(shù)量；m為彈性模態(tài)數(shù)量與舵面剛體偏轉(zhuǎn)模態(tài)數(shù)量的和）。該算例中不包括操縱面，機體彈性模態(tài)數(shù)量為5，因此頻域法計算得到的非定常氣動力系數(shù)矩陣為5×5 的復(fù)數(shù)矩陣。

第3.2 節(jié)得出顫振的主要參與模態(tài)為翼面的第一階模態(tài)、二階模態(tài)，不同減縮頻率的2 種方法得到的廣義氣動力系數(shù)矩陣元素Q11與Q22的對比如圖2所示，下標表示元素在矩陣中的位置。

圖2 矩陣元素隨減縮頻率變化趨勢對比

對比氣動力系數(shù)矩陣元素可以得出，在給定的減縮頻率下，采用MS 法進行非定常氣動力有理函數(shù)擬合，當(dāng)選擇合適數(shù)量的氣動滯后根時，擬合得到的廣義氣動力系數(shù)矩陣元素與頻域直接計算值已基本一致，氣動力隨減縮頻率的變化規(guī)律也與頻域法一致，擬合過程整體偏差較小，擬合效果較好，結(jié)論與顫振對比結(jié)論一致。

4 結(jié)語

該文論述了亞音速飛行器非定常氣動力建模方法，給出了基于MS 法進行廣義氣動力有理函數(shù)擬合的計算方法，并根據(jù)典型翼面算例分析了頻域氣動力、擬合后的氣動力對顫振結(jié)果的影響。分析結(jié)果表明，當(dāng)采用MS 法進行非定常氣動力擬合時，選擇合適數(shù)量的氣動滯后根后能夠得到較準確的氣動力計算結(jié)果，其擬合精度能夠滿足顫振分析需求。

實際上，針對線性系統(tǒng)的顫振分析、頻域ASE 分析、機動載荷分析以及離散陣風(fēng)分析等傳統(tǒng)氣動彈性問題，工程中一般直接采用頻域計算得到的非定常氣動力；而針對時域ASE 分析及其他非線性動力學(xué)響應(yīng)分析，例如非線性顫振、投放載荷分析等，難以直接使用頻域氣動力，此時，必須要進行有理函數(shù)擬合，通過狀態(tài)空間方法得到可靠結(jié)果。