李 雪 李峰巖 趙 聰 胡叨福

（珠海格力電器股份有限公司 珠海 519070）

引言

磁懸浮軸承通過電磁鐵，電渦流位移傳感器和功率放大器等環(huán)節(jié)，在反饋控制的作用下實現轉子的穩(wěn)定懸浮，具有無機械磨損、不需要潤滑、噪聲低的技術優(yōu)勢，在現代工業(yè)被廣泛應用[1-3]。相比于傳統機械軸承，磁懸浮軸承的剛度、阻尼具有在線校正控制的特點，可在線控制也是磁懸浮軸承的另一個技術優(yōu)勢。在磁懸浮軸承控制系統中，不確定的干擾力或沖擊力會對整個系統的運行穩(wěn)定性、動態(tài)響應、轉子懸浮精度等產生非常大的影響，控制系統需要提供不同的剛度、阻尼去應對不同的外界擾動，而控制器不同，系統的等效剛度、等效阻尼將大不相同。因此，在磁懸浮系統中，探究控制系統中各控制環(huán)節(jié)對磁懸浮軸承剛度、阻尼的變化趨勢的影響至關重要。

汪希平[4]以單自由度磁懸浮軸承角度分析了系統的剛度、阻尼系數與軸承結構參數、控制器響應之間的關系，并提出了復阻尼的概念。趙雷[5]基于獨立PID 控制的磁懸浮轉子系統，提出磁懸浮軸承的剛度、阻尼與所使用的校正控制器形式有關，并對各控制環(huán)節(jié)對剛度、阻尼的影響進行了分析。蔣科堅[6]提出一種不依賴于控制系統閉環(huán)傳遞函數的剛度、阻尼在線測量方法，通過閉環(huán)測試，反向推算開環(huán)特性，實現磁懸浮系統等效剛度、等效阻尼的辨識。吳華春[7]分別對控制器、傳感器滯后、功率放大器衰減等因素進行了分析，基于頻域等效法對磁懸浮軸承的支承特性進行了深入研究。而通過工程實驗可知，電流環(huán)帶寬是磁懸浮軸承控制系統中非常重要的因素，但目前對磁懸浮軸承等效剛度和阻比特性研究的文獻多未考慮電流環(huán)帶寬對其的影響，因此需要開展進一步的研究。

1 磁懸浮軸承數學模型

磁懸浮軸承本質上是一個非線性被控對象，電磁力是關于電磁間隙與軸承線圈電流的二次方函數，即非線性關系表示為：

式中：

k—力系數；

i—線圈電流；

x—電磁間隙。

磁懸浮軸承控制系統中，以主動式徑向磁懸浮軸承為例進行分析，每個自由度均采用差動勵磁方式，偏置電流與控制器輸出的控制電流共同作用于軸承線圈，軸承線圈1 和軸承線圈2 產生的電磁力分別作用于轉子，于是轉子受到的總電磁力為：

式中：

I0—偏置電流；

ic—控制電流；

x0—額定間隙；

x—轉子位移；

μ0—真空中的磁導率；

A0—電磁鐵的磁極面積；

N—線圈匝數。

數學建模與仿真分析過程中，線性運算分析是控制系統的首選。當轉子懸浮精度較好時，可將非線性模型等效成線性模型，這樣可以更加方便的對轉子受力進行分析。通常將方程（2）在平衡點處附近作泰勒展開并略去高階無窮小量，得到平衡工作點下的磁軸承電磁力線性化方程，表達式如下：

式中：

ki—電流剛度系數；

kx—位移剛度系數。

方程（3）為受控對象的數學模型，在此基礎上，加入磁懸浮軸承系統的控制器設計，便形成整個閉環(huán)控制系統。磁懸浮控制系統由外環(huán)位移控制和內環(huán)電流控制構成，其中，外環(huán)進行轉子參考位移的跟蹤，內環(huán)電流控制是系統動態(tài)響應性能的重要因素，其帶寬直接決定了軸承線圈電流的跟蹤與抗擾動能力。因此，有必要對磁懸浮軸承電流內環(huán)控制進行研究分析，將電流環(huán)帶寬與磁懸浮軸承的等效剛度、等效阻尼建立關聯，從更多的維度進行磁軸承的剛度阻尼特性分析。

電流環(huán)控制環(huán)路框圖如圖1 所示，參考電流為外環(huán)位置環(huán)的輸出，軸承線圈等效為一階慣性環(huán)節(jié)，電流調節(jié)器采用PI 控制器，參考電流與反饋電流之間的幅值和相位誤差決定了電流環(huán)的跟蹤性能。

圖1 電流環(huán)控制環(huán)路

由圖1，電流環(huán)開環(huán)傳遞函數為：

式中：

kp—比例系數；

ki—積分系數；

L—線圈電感；

R—線圈電阻。

根據方程（4），可得電流環(huán)閉環(huán)傳遞函數為：

考慮到磁懸浮系統的動態(tài)響應，電流環(huán)的響應速度要足夠快，因此，將電流環(huán)閉環(huán)二階系統進行零極點對消，將電流環(huán)降階成一個一階慣性環(huán)節(jié)。將方程（5）進行變形整理，可得到：

式中：

令p1=1z，p1p2=Kz1，則此時電流環(huán)的閉環(huán)傳遞函數為：

式中：

ωb=p2—帶寬。

此外，由p1=1z，可得：

由ωb=p2，聯立方程（8），可得：

由方程（8）、（9）可知，電流環(huán)帶寬與PI 參數和電感有直接的關系，電感不變的情況下提高電流環(huán)kp可有效拓展電流環(huán)帶寬。

2 等效剛度和阻尼理論表達式

忽略高轉速下的陀螺效應，磁懸浮軸承五自由度控制均采用分散控制，因此，以單自由度磁懸浮轉子運動方程進行分析磁懸浮系統的等效剛度、等效阻尼，擾動力作用下，根據牛頓第二定律對轉子運動方程進行拉式變換，可得：

式中：

m—轉子質量；

Fd—擾動力。

控制過程中，電渦流位移傳感器實時采集轉子位置信息，在控制器和功率放大器等環(huán)節(jié)的作用下產生轉子控制電流，因此，轉子控制電流與位移關系可以表示為：

式中：

Gs(s)—傳感器；

G(s)—控制器；

X(s)—振動位移；

Gp(s)—功率放大器。

不失一般性，將傳感器Gs、控制器G 和功率放大器Gp均表示為復數形式，則控制電流與位移關系的頻率特性函數可表示為：

M(ω)、N(ω)分別為等效傳遞函數Go的實部與虛部，將方程（12）代入方程（10），并將方程（10）表示為頻率特性函數，可得：

相比于二階力學系統中外力與彈簧剛度、阻尼的頻率特性函數：

式中：

k—彈簧剛度；

c—彈簧阻尼；

F—外力。

通過類比，對應k 的是電磁軸承系統的等效剛度系數，記作Ke；對應c 的是電磁軸承系統的等效阻尼系數，記作Ce。即：

由方程（15）可知，磁懸浮軸承的等效剛度和等效阻尼并不是一個常量。在某一轉速下，Gs、G 和Gp等環(huán)節(jié)的控制結構形式及參數直接影響磁懸浮系統的剛度與阻尼特性響應。

為了抑制轉子位移誤差突變產生的高頻信號擾動及系統中的高頻噪聲，控制器環(huán)節(jié)采用不完全微分PID 控制器，表達式為：

式中：

Td—微分時間系數；

Tf—濾波時間系數。

功率放大器環(huán)節(jié)根據電流環(huán)等效傳遞函數可以表示為一階慣性環(huán)節(jié)，表達式為：

在小量程位移變化范圍內，傳感器輸出電壓與位移變化成線性關系，因此，可將傳感器環(huán)節(jié)等效為比例環(huán)節(jié)，用常系數進行表示，表達式為：

因此，將方程（16）、（17）、（18）分別表示為頻率特性函數，并代入方程方程（15），得到磁懸浮系統的等效剛度、等效阻尼，表達式如下：

3 各參數對系統等效剛度和阻尼的影響分析

根據方程（19）、（20）中各參數變化對系統的等效剛度、等效阻尼的影響趨勢進行分析，解析計算得到數據進行繪圖處理，見圖2。

圖2 各參數對系統等效剛度、等效阻尼的影響

從圖2 可以看出，不完全微分PID 控制器中kp、Td對軸承系統等效剛度、等效阻尼影響較大，可以明顯看出變化趨勢，變kp、Td參數控制便是基于此原理。而同一頻率下，不同Ti幾乎對等效剛度、等效阻尼無影響，所以實際調試過程中，找到一個合適的Ti后便不再發(fā)生改變。同時可以看出電流環(huán)bω對系統的等效剛度、等效阻尼影響也很明顯，帶寬為中高頻時，系統的等效剛度、等效阻尼數值比較大，高剛度，大阻尼有利于磁懸浮系統的抗沖擊控制，因此，控制系統中在不加強噪聲影響的前提下盡量提高電流環(huán)帶寬。

4 實驗驗證

在磁懸浮壓縮機平臺上驗證了控制參數對磁懸浮軸承等效剛度、等效阻尼的影響。實驗過程中，已將電流環(huán)帶寬調整到最優(yōu)值。圖3 中，上面兩條曲線依次轉子前徑向、后徑向轉子懸浮位移，升頻過程轉子懸浮精度比較差，為了保證系統的穩(wěn)定運行，需要進行磁懸浮軸承的變剛度、阻尼控制，通過切換控制參數kp、Td，轉子懸浮精度大幅提高，特別是后徑向轉子懸浮位移由793 mV 降低到333 mV，位移精度提高了約58 %。因此，在PID 控制框架下，通過調節(jié)控制參數的變等效剛度、等效阻尼控制可有效提高轉子支承能力，改善轉子懸浮精度，提高系統的運行穩(wěn)定性。

圖3 磁懸浮軸承變剛度、阻尼實驗

5 結論

本文分別對磁懸浮系統中的各控制環(huán)節(jié)進行數學建模，以不完全微分PID 控制為基礎從理論上分析了控制參數、激振頻率、電流環(huán)帶寬對磁懸浮軸承等效剛度和等效阻尼的影響，同時結合實驗證明了不同參數下的磁懸浮軸承支承能力不同，具有較強的工程實用意義。