鄭神州,于海燕

(1. 北京交通大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,北京 100044; 2.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028043)

變分技術(shù)有著悠久的歷史,幾乎與微積分理論同時(shí)誕生. 變分法是從約翰·伯努利(1696年)提出最速曲線問(wèn)題開始出現(xiàn)的,同時(shí)代的牛頓和萊布尼茨對(duì)該發(fā)展也有貢獻(xiàn). 歷史上,歐拉對(duì)這個(gè)理論的貢獻(xiàn)非常大,他的著作《變分原理》給予了這門科學(xué)這個(gè)名字,當(dāng)今人們把對(duì)應(yīng)于泛函的臨界點(diǎn)的微分方程稱為歐拉方程,或稱歐拉-拉格朗日方程. Weierstrass給出的反例表明:通常連續(xù)的可微函數(shù)空間可能達(dá)不到泛函的極值,他的貢獻(xiàn)完善了變分學(xué),使其具備現(xiàn)代表述特征. 20世紀(jì)伊始,希爾伯特在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的講演中提到的23個(gè)著名數(shù)學(xué)問(wèn)題就涉及變分問(wèn)題,變分法的思想貫穿了庫(kù)朗和希爾伯特所著的《數(shù)學(xué)物理方法》一書,Pontryagin、Rockafellar和Clarke廣義變分法理想控制論發(fā)展了新的數(shù)學(xué)工具[1,2].極小曲面(肥皂泡)研究(又稱Plateau問(wèn)題),拉格朗日力學(xué)、最小作用量原理、微分幾何中的測(cè)地線等均是有約束的變分問(wèn)題研究[3,4]. 變分是研究泛函的極值問(wèn)題的基本方法,這是一種處理數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域有關(guān)最優(yōu)化問(wèn)題的一種基本的數(shù)學(xué)技術(shù),它往往與給定邊界條件的某類微分方程(從所周知的歐拉-拉格朗日方程)密切相關(guān)[4,5]. 事實(shí)上,在物理和工程等實(shí)際問(wèn)題中,經(jīng)常考慮某個(gè)泛函取得極大或極小值(或者是一些約束條件下的極值),變分法就成為處理泛函的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的“微積分”了,和處理函數(shù)的普通微積分相對(duì)應(yīng);所以變分法在泛函問(wèn)題中所起的作用,猶如微分在函數(shù)研究中一樣[5,6]. 另外,變分的直接方法來(lái)計(jì)算近似解,如Ritz法和有限元素法,變分法提供了有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ);在尋找變分泛函極大和極小值時(shí),在一個(gè)解附近的微小變化的分析給出一個(gè)近似[6-8]. 很多時(shí)候?qū)⒎汉D(zhuǎn)化為歐拉-拉格朗日方程,有一些微分方程求解工作可以利用,比如格林函數(shù)求解法[3,6,9].

變分技術(shù)是物理學(xué)和自然界存在方式和運(yùn)行機(jī)制的基本原理[3,6-8]. 例如:幾何光學(xué)中的費(fèi)馬原理(1662年,又名“最短時(shí)間原理”):費(fèi)馬原理正確的稱謂應(yīng)是“平穩(wěn)時(shí)間原理”:光沿著所需時(shí)間為平穩(wěn)的路徑傳播,光線傳播的路徑是需時(shí)最少的方式.從費(fèi)馬原理可導(dǎo)出3個(gè)幾何光學(xué)定律:光線在真空中的直線傳播、光的反射定律和光的折射定律;力學(xué)中的最小作用量原理和哈密爾頓原理,等周問(wèn)題,電磁理論,及量子力學(xué);根據(jù)斯蒂芬·沃爾夫?qū)恼f(shuō)法,愛因斯坦場(chǎng)方程也涉及一個(gè)變分原理,作為愛因斯坦-希爾伯特作用量的約束.

1 變分原理

引理1.2(變分原理):如果函數(shù)f(x)∈C(a,b),對(duì)于[a,b]上滿足η(a)=η(b)=0的任意連續(xù)函數(shù)η(x)(下文中用C0[a,b]表示在[a,b]上緊支的連續(xù)函數(shù)類),如果

(1)

那么必有f(x)≡0,?x∈(a,b).

證明:反證法,設(shè)有x0∈(a,b)使得f(x0)≠0,不妨設(shè)f(x0)>0.由f(x)∈C[a,b],則一定存在ε>0,使f(x)>0,x∈[x0-ε,x0+ε]?(a,b)這樣我們構(gòu)造下面一個(gè)連續(xù)函數(shù)η(x):

(2)

其中α=x0-ε,β=x0+ε,所以η(x)∈C0[a,b],且

(3)

與引理1.2條件矛盾,所以對(duì)于任意的x∈(a,b),都有f(x)≡0.

推廣到高維情形,陳述如下:

引理1.3:設(shè)定義在Ω?Rn(n≥2)上的連續(xù)函數(shù)f(x),如果對(duì)于在Ω上連續(xù)且在?Ω為零處的任意函數(shù)η(x),均有

則f(x)≡0,?x∈Ω.

定義1.4:如果泛函J[y]在y=y0(x)擾動(dòng)的一個(gè)ε鄰域內(nèi)都不大(小)于J[y0],那么我們稱泛函J[y]在y=y0(x)有極大(小)值.也就是說(shuō)

J[y]≥J[y0](極小),J[y]≤J[y0](極大)

(4)

使J[y]取到極值的函數(shù)稱為極值函數(shù).

計(jì)算泛函J[v]臨界函數(shù)y=u(x)的歐拉-拉格朗日方程可以通過(guò)這樣來(lái)得到:內(nèi)積

例1.5:以最簡(jiǎn)單的泛函為例,討論使泛函取到極值的必要條件.設(shè)

(5)

在α=0達(dá)到極值.根據(jù)微積分理論得:α=0一定是J(α)的駐點(diǎn),即

(6)

稱之為上述泛函變分問(wèn)題的歐拉-拉格朗日方程.對(duì)于特殊情況:F(x,y′)與y無(wú)關(guān)時(shí),利用上述歐拉-拉格朗日方程(6),得到

所以

(7)

如計(jì)算J[v]臨界點(diǎn)時(shí),我們也可以用η=δu來(lái)計(jì)算δJ[v].

定義1.6:一般地在允許函數(shù)類的兩個(gè)函數(shù)y(x)、m(x),若彼此任意接近,那么m(x)與y(x)之差δy(x)=m(x)-y(x)稱為函數(shù)y(x)的變分.對(duì)于一個(gè)泛函J[y],函數(shù)變分所引起的泛函增加量為ΔJ=J[y+δy]-J[y].如果可以展開為

其中δJ:=L[y,δy]稱為泛函的一階變分,δ2J:=Q[y,δy]為泛函的兩階變分.

這樣可得到下面的泛函極值的必要條件.

定理1.7:若泛函J[y]在y=y0(x)上達(dá)到極值,則泛函在y=y0(x)上的一階變分δJ滿足

δJ=0

注1.8:當(dāng)然像函數(shù)的駐點(diǎn)不是極值點(diǎn)一樣,不是每一個(gè)臨界點(diǎn)都能達(dá)到泛函的極值的,其中鞍點(diǎn)和許多的退化點(diǎn)也是臨界點(diǎn).例如對(duì)泛函式(5),計(jì)算得到

2 一些典型的應(yīng)用

欣賞如下幾個(gè)實(shí)際的具體例子,這些例子在相應(yīng)學(xué)科發(fā)展史上也起過(guò)關(guān)鍵的作用,它們也是理解變分法基本原理、結(jié)構(gòu)和方法的良好途徑.

例2.1:最短線(或稱短程線)問(wèn)題:眾所周知,連接兩固定點(diǎn)的所有連續(xù)曲線中最短路徑是直線段,這是顯然的事實(shí),可要從數(shù)學(xué)嚴(yán)格意義下得到并不容易.以平面問(wèn)題為例論證.

圖1 最短線問(wèn)題

(8)

(9)

把式(8)代入式(9),展開后有

(10)

由于式(10)對(duì)于任意的η=η(x)都成立,根據(jù)變分引理,得到

(11)

求解之,這意味y=C1x+C2.因此,在平面上過(guò)固定兩點(diǎn)距離最近的光滑曲線是直線.

注2.2:幾何光學(xué)問(wèn)題:費(fèi)馬原理表明光線在光學(xué)介質(zhì)中的傳播會(huì)選擇傳播時(shí)間最短的方式.在非均勻的平面介質(zhì)中光的速度c(x,y)是隨點(diǎn)的變化而變化,與介質(zhì)的光學(xué)性質(zhì)有關(guān).假設(shè)光線傳播的軌跡為曲線y=u(x),t為時(shí)間變量; 則

(12)

積分之,于是關(guān)于曲線u(x)的時(shí)間泛函為

(13)

這時(shí),費(fèi)馬原理轉(zhuǎn)化為:尋找連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)y=u(x),使得達(dá)到min(T[u]).如果是在均勻介質(zhì)(如真空)中傳播,這時(shí)c(x,y)=c是常數(shù);例2.1表明此時(shí)的傳播路徑是直線.

注2.3:曲面上測(cè)地線問(wèn)題:歐式空間R3中曲面S可用函數(shù)z=F(x,y)的圖[x,y,F(x,y)]表示,在曲面S上尋找連接給定兩點(diǎn)M[a1,b1,F(a1,b1)],N[a2,b2,F(a2,b2)]的最短曲線C?S,稱為其測(cè)地線.設(shè)曲線C以x為參數(shù)表示:x=x,y=u(x),z=F[x,u(x)].于是我們所尋找的測(cè)地線是滿足邊界條件:u(a1)=b1,u(a2)=b2的如下泛函極小值:

(14)

(15)

u(0)=P1,u(1)=P2

連接弧長(zhǎng)P1P2的弧長(zhǎng)為

(16)

其中c是一個(gè)積分常數(shù),由定義知: -1≤c<1.所以

即cθ′2=cos4θ-c2cos2θφ′(t)2,作變量代換t=tanθ,有

例2.5:最速降線問(wèn)題:在重力作用下,一個(gè)粒子沿著該路徑可以在最短時(shí)間從給定點(diǎn)A到達(dá)不直接在它底下的給定點(diǎn)B,如圖2所示.

解:先在該豎直平面上取一直角坐標(biāo)系,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),水平為x軸,向下為y軸.曲線的方程為y=y(x),A點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)=(0,0),B點(diǎn)坐標(biāo)(x1,y1).曲線上任意一點(diǎn)P時(shí)的速度為

因此,重物沿該曲線從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)所需要的總時(shí)間為

(17)

由于y(0)=0, 所以d=0.于是最速降曲線是一族經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一段擺線(旋輪線)

即:圓周x2+(y-r)2=r2沿x軸滾動(dòng)時(shí),圓周上點(diǎn)(0,0)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

注2.6:對(duì)于旋轉(zhuǎn)極小曲面泛函式(16),有

則有

由于

得

(18)

這是一條懸鏈線,常數(shù)c、c1由邊界條件給出.若取特定常數(shù),得到該參數(shù)曲線為旋輪線(或稱為擺線)

即:圓周x2+(y-r)2=r2沿x軸滾動(dòng)時(shí),圓周上點(diǎn)(0,0)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

例2.7:等周問(wèn)題:用參數(shù)表示的平面曲線方程為x=x(s),y=y(s),參數(shù)s可以理解為曲線從起點(diǎn)的長(zhǎng)度.如果曲線的長(zhǎng)度為l,那么s∈[0,l].由于曲線是封閉,所以有邊界條件

x(0)=x(l),y(0)=y(l)

(19)

而該曲線的長(zhǎng)度為

(20)

該曲線所圍成的面積為(根據(jù)Green公式)

(21)