張劍峰

(蘭州市勘察測(cè)繪研究院,甘肅 蘭州 730030)

0 引 言

城市地下管網(wǎng)是城市生存和發(fā)展的生命線,高質(zhì)量地下管線數(shù)據(jù)對(duì)維系城市日常功能、提升防災(zāi)救災(zāi)能力至關(guān)重要,各地對(duì)地下管線精細(xì)化管理和竣工測(cè)量工作日益重視。而對(duì)已覆土的城市管線實(shí)施竣工測(cè)量時(shí),由于干擾因素和探測(cè)方法限制,數(shù)據(jù)誤差較大,往往會(huì)出現(xiàn)燃?xì)?、熱力、給水、工業(yè)等硬管的探測(cè)結(jié)果和實(shí)際形態(tài)偏差明顯,如管線轉(zhuǎn)角、半徑與實(shí)際不符,直線上點(diǎn)不共線,圓弧上點(diǎn)不共弧等。在實(shí)際應(yīng)用中,不得不參照轉(zhuǎn)角、半徑等參數(shù)做一些近似性強(qiáng)制歸化工作,導(dǎo)致成果精度較低,而且由于只考慮水平方向的約束,而忽略豎向分量,致使管線在三維框架下仍存在轉(zhuǎn)角和半徑失真,同一直線的豎向坡度不一致等情況。

由于以往管線探測(cè)項(xiàng)目以常規(guī)普查為主,主要目標(biāo)是解決資料有無(wú)問題,加上歷史資料較少,普查成果龐雜,對(duì)管線固有屬性表達(dá)的精準(zhǔn)性需求并不嚴(yán)格。但目前,管線測(cè)量工作的重心逐步轉(zhuǎn)向竣工測(cè)量和已有成果質(zhì)量的提升,各種失真情況會(huì)直接影響對(duì)設(shè)計(jì)、施工、測(cè)驗(yàn)等各環(huán)節(jié)的質(zhì)量評(píng)價(jià)和績(jī)效考核,原有作業(yè)模式嚴(yán)重影響了成果質(zhì)量。目前,尚無(wú)面向三維框架的管線探測(cè)數(shù)據(jù)平差方案以供探測(cè)工作者使用,甚至相關(guān)研究也比較少。

文獻(xiàn)[1]基于管線設(shè)計(jì)資料,通過計(jì)算管網(wǎng)水平和豎向閉合差以及相鄰邊形成面片閉合差的方法,對(duì)管線空間數(shù)據(jù)進(jìn)行平差處理,但對(duì)探測(cè)數(shù)據(jù)的質(zhì)量檢測(cè)和優(yōu)化并沒有涉及。文獻(xiàn)[2]基于管線屬性邏輯、拓?fù)潢P(guān)系、空間碰撞等提出了通過建立管線檢查知識(shí)規(guī)則庫(kù)及其推理機(jī),利用GIS對(duì)管線數(shù)據(jù)進(jìn)行智能化檢查的理論與方法。文獻(xiàn)[3-6]研究管線可視化以及對(duì)管線數(shù)據(jù)如何利用GIS手段管理和應(yīng)用。文獻(xiàn)[7-9]闡述了大規(guī)模管線普查完成后,竣工測(cè)量和管線數(shù)據(jù)質(zhì)量提升工作在管線管理中的地位,并為管線信息系統(tǒng)維護(hù)和應(yīng)用提出了展望和要求。文獻(xiàn)[10]在討論道路曲線基本單元數(shù)字化數(shù)據(jù)處理模型的基礎(chǔ)上建立了道路曲線的聯(lián)合平差模型,探討了以線形為特征的道路數(shù)據(jù)的平差處理方法,提出了道路曲線數(shù)字化的精度評(píng)價(jià)方法,但未考慮特性線在三維空間的幾何特性。文獻(xiàn)[11]在研究經(jīng)典整體最小二乘法的基礎(chǔ)之上,推導(dǎo)了非線性整體最小二乘平差計(jì)算模型并設(shè)計(jì)了迭代算法。文獻(xiàn)[12,13]基于空間向量,提出了空間圓形要素的擬合檢測(cè)方法,但需要觀測(cè)點(diǎn)位均勻分布于圓周,對(duì)地下管線而言,圓弧段只占整個(gè)圓周的局部,采用這種模型解算時(shí)存在較大不確定性。目前鮮有文獻(xiàn)針對(duì)管線探測(cè)數(shù)據(jù)的質(zhì)量提升和評(píng)價(jià)做專門研究。本文在三維框架下,基于地下管線的固有線性幾何屬性,系統(tǒng)地探討了三維地下管線的數(shù)學(xué)模型,并提出了探測(cè)數(shù)據(jù)聯(lián)合平差模型和精度評(píng)價(jià)方法。

1 地下管線空間幾何特點(diǎn)

給水、熱力、燃?xì)?、輸油和工業(yè)等地下管線一般為硬質(zhì)管道,可以抽象為線段和圓弧兩類基本組成單元,不同單元之間通過三通、四通、分支點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、變材點(diǎn)、變坡點(diǎn)、變徑點(diǎn)、起訖點(diǎn)等節(jié)點(diǎn)連接。

在轉(zhuǎn)折點(diǎn)、變坡點(diǎn),管線一般通過彎頭調(diào)整水平走向和豎向坡度,探測(cè)成果中三維管線夾角應(yīng)與預(yù)制彎頭轉(zhuǎn)角參數(shù)值一致;管線段在交匯于三通、四通、變徑點(diǎn)、變材點(diǎn)時(shí),一般具有相互垂直、共線、共面等幾何屬性;相鄰管線段(直線段間、直線與圓弧)存在共面關(guān)系;直、園相接時(shí),二者在三維空間相切;新建管線和既有管線連接時(shí),節(jié)點(diǎn)一般為檢查井內(nèi)明顯點(diǎn),其坐標(biāo)較一般探測(cè)點(diǎn)量測(cè)精度更高,又因既有管線數(shù)據(jù)往往已做入庫(kù)管理,在精度滿足要求時(shí),一般視其坐標(biāo)值為已知量。

綜上所述,地下管線間存在以下幾何特性:①同一段管線上的點(diǎn)之間在三維框架下有共線、共弧關(guān)系,②相鄰的直線和圓弧應(yīng)相切,相鄰直線段共面且夾角與設(shè)計(jì)參數(shù)一致,③在三通、四通、分支等聚合點(diǎn)上,相關(guān)管線具有共面、共線、垂直等幾何特性,④新增管線應(yīng)附合到既有管線點(diǎn)上。

2 地下管線數(shù)學(xué)模型

由于管線由直線和圓弧組成,管線各點(diǎn)位坐標(biāo)均可表示為空間直線和圓弧的相關(guān)參數(shù)的函數(shù),因此可以將管線點(diǎn)坐標(biāo)作為觀測(cè)值,采用間接平差方法建立平差模型,并將管線相切、夾角、匯聚、共面等作為限制條件。

按《工程測(cè)量通用規(guī)范》精度要求,地下管線測(cè)量精度為厘米級(jí),對(duì)誤差方程和條件方程取泰勒展開式時(shí),均可只取到一次項(xiàng)。本文對(duì)所有涉及角度均取弧度,故文中相關(guān)公式不涉及角度轉(zhuǎn)換。

2.1 直線段誤差方程

如圖1所示,k1、k3分別為直線l投影在xoy面和xoz面直線l′的斜率(k1=tga),k2、k4則分別為相應(yīng)的截距。則直線l的參數(shù)方程為:

圖1

(1)

xi,k1,k,k3,k為未知參數(shù),則相應(yīng)誤差方程為:

(2)

2.2 圓弧段誤差方程

空間圓弧可視為xoy平面上的圓弧繞各個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)并做平移后所得,由于圓弧上點(diǎn)和各旋轉(zhuǎn)角之間存在相關(guān)性,故只選用繞x軸的轉(zhuǎn)角φ和繞z軸的轉(zhuǎn)角k。則有圓弧參數(shù)方程:

(3)

(xc,yc,zc)T為圓心坐標(biāo),θi為弧段上諸點(diǎn)在原始狀態(tài)所對(duì)應(yīng)半徑與x軸夾角。

取xc、yc、zc、k、φ、θi作為未知參數(shù),當(dāng)半徑不確定時(shí),r也應(yīng)作為未知參數(shù)。

因式(3)是一個(gè)非線性函數(shù),采用泰勒公式展開,只保留一次項(xiàng),可建立線性誤差方程(4):

(4)

對(duì)圓弧上每個(gè)點(diǎn)i,B為3×4的系數(shù)矩陣,各系數(shù)取值分別如下:

b32=0

2.3 條件方程

在以上誤差方程基礎(chǔ)上,考慮到管線段間的空間關(guān)系,還應(yīng)存在以下條件方程:

(1)圓心到直線距離條件方程

空間直線l和圓弧c相切的充要條件是二者共面且圓心Pc到直線l的距離等于半徑。

(5)

對(duì)式(5)做平方變換并線性化可得到以下線性條件方程:

(6)

其中:

(2)直線和圓弧共面條件方程1

對(duì)直線l和圓弧c共面的情況,選直線l上A|x=0、B|x=1兩點(diǎn)、圓心Pc和圓平面內(nèi)點(diǎn)P0|θ=0,r=1。依據(jù)式(3)可得,P0在空間的直角坐標(biāo)為:

變換可得:

(7)

對(duì)式(7)線性化,得到下式:

(8)

(3)直線和圓弧共面條件方程2

考慮到管線中的弧段一般只占圓周中一小段,而圓面和水平面夾角很小,只采用o-x一個(gè)方向約束線弧共面時(shí),往往造成o-y方向誤差較大,故引入點(diǎn)PT|θ=90,r=1,依據(jù)式(3)計(jì)算可得P0在空間的直角坐標(biāo)為:

變換可得:

(9)

線性化后可得到條件方程(10):

(10)

(4)直線相交(匯聚)條件方程

多條直線l1、l2…ln相交時(shí),即存在x,使y1=y2=…=yn,z1=z2=…=zn,設(shè)l2的直線方程為:

y=k5x+k6z=k7x+k8

即可得條件方程(11):

(11)

當(dāng)直線l2起止于Ps(xs,ys,zs)點(diǎn)時(shí),還應(yīng)存在條件方程(12):

(12)

(5)直線夾角條件方程

在線路通過預(yù)制彎頭轉(zhuǎn)折時(shí),相鄰直線l1、l2在三維空間框架的夾角等于彎頭的轉(zhuǎn)角ω。

l1、l2的方向向量分別為v1=(1,k1,k3)和v2=(1,k5,k7),可得下式:

(13)

對(duì)地下管線,ω為轉(zhuǎn)角時(shí),取cosω為正值,對(duì)式(13)線性化,得條件方程(14):

(14)

式中:u=cosω

對(duì)于管線垂直,可視為上式的特殊情況,即:

(15)

理論上也可將交點(diǎn)坐標(biāo)、切點(diǎn)坐標(biāo)或某個(gè)分量作為參數(shù),構(gòu)建誤差方程和條件方程,直接求解這些特征點(diǎn)的參數(shù)值,但由于直線段轉(zhuǎn)角往往為15°以下小角度,當(dāng)探測(cè)管線點(diǎn)誤差較大時(shí),交點(diǎn)、切點(diǎn)初始值偏差相應(yīng)增大,會(huì)影響平差效果,本文未予采用。

3 觀測(cè)值權(quán)的確定

如表1所示,對(duì)明顯管線點(diǎn),其X,Y坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)權(quán)均為1,其高程所對(duì)應(yīng)權(quán)為25/32。對(duì)覆土前施測(cè)的管線點(diǎn),其X,Y坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)權(quán)均為1,其高程所對(duì)應(yīng)權(quán)為25/18。對(duì)于隱蔽點(diǎn),其X,Y坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)權(quán)為25/(52+(0.05h)2),其高程所對(duì)應(yīng)權(quán)為25/(2(32+(0.075h)2))。

表1 觀測(cè)值先驗(yàn)中誤差、權(quán)參考值

4 地下管線數(shù)據(jù)的聯(lián)合平差

從以上誤差方程(2)、(4)可以看到,在管線數(shù)據(jù)直線段參數(shù)有xi、k1、k2、k3和k4,必要觀測(cè)數(shù)為6(2點(diǎn)),圓弧段參數(shù)有xc、yc、zc、k、φ和θi,若弧段半徑未知時(shí)應(yīng)納入半徑r,必要觀測(cè)數(shù)為9(3點(diǎn)),對(duì)每個(gè)點(diǎn)可按式(2)或(4)構(gòu)造3個(gè)誤差方程。對(duì)直線-直線連接或匯聚,可按公式(11)構(gòu)造空間相交條件方程,若直線段相互垂直或轉(zhuǎn)角(或夾角)已知參數(shù),還應(yīng)按公式(15)或(14)構(gòu)造角度條件方程。對(duì)直線-圓弧連接,可按公式(6)、(8)和(10)分別按半徑和共面條件構(gòu)造條件方程,若管線起訖點(diǎn)為已知點(diǎn)時(shí),應(yīng)按式(12)構(gòu)造起訖點(diǎn)位附合條件方程。對(duì)于圓弧-圓弧連接的情況,在地下管線設(shè)計(jì)中一般采用直線段過渡,本文不予進(jìn)一步研究。

近似值按照點(diǎn)位間距由遠(yuǎn)及近原則,在各直線段和弧段選若干組點(diǎn),分組計(jì)算k1、k2、k3和k4,以及xc、yc、zc、r、k、φ和θi等參數(shù),采用中位數(shù)作為初始值。其中,φ為圓弧面和xoy面的夾角,k為圓弧面和xoy面的相交直線與x軸在xoy面的夾角。工作中,筆者采用該方法計(jì)算參數(shù)初始值1,構(gòu)造誤差方程,利用間接平差求解參數(shù)2,然后將參數(shù)2作為新一輪初始值,重新構(gòu)造誤差方程和條件方程,按附有限制條件的間接平差方法求解最終的改正數(shù)和參數(shù)值。

由于誤差方程和條件方程系數(shù)中有大量近似值,故采用迭代法解算。一般可采用單位權(quán)方差、觀測(cè)值殘差或相鄰兩次改正數(shù)之差等作為控制迭代循環(huán)的參考因子,如經(jīng)過多次迭代,單位權(quán)方差不再收斂時(shí),迭代運(yùn)算即可終止。

在運(yùn)算結(jié)束后,可逐一檢查各觀測(cè)值的殘差,當(dāng)殘差大于二倍中誤差時(shí),可視該點(diǎn)觀測(cè)值存在粗差,返回上一工序核查相關(guān)采集和計(jì)算資料,從而可有效實(shí)現(xiàn)粗差輔助定位。

完成平差后,利用直線和圓弧參數(shù),計(jì)算交點(diǎn)、切點(diǎn)、起訖點(diǎn)等管線特征點(diǎn)坐標(biāo),并結(jié)合地面高程反算各點(diǎn)的埋深等屬性。

利用公式(16)計(jì)算管線的單位權(quán)方差,作為評(píng)定管線探測(cè)成果的質(zhì)量和精度的指標(biāo):

(16)

式中:n-u+s為多余觀測(cè)數(shù)。

5 算 例

為方便計(jì)算,本文基于GIS系統(tǒng)環(huán)境,開發(fā)了管線平差模塊。作業(yè)時(shí)先將點(diǎn)位展繪到圖形系統(tǒng)中,再逐一選擇管線點(diǎn)并將點(diǎn)劃分到各個(gè)線(弧)段單元,完成分組后,指定各單元間的空間幾何關(guān)系,由模塊依次動(dòng)態(tài)構(gòu)建平差模型,最后完成統(tǒng)一平差。

以某段輸氣管線為例(圖2),該管道由一段圓弧c和兩段線段l1、l2組成,l1、l2轉(zhuǎn)角為45°,直線段探測(cè)點(diǎn)均為8點(diǎn),弧段探測(cè)點(diǎn)為19點(diǎn),將各點(diǎn)坐標(biāo)作為觀測(cè)值,構(gòu)造105個(gè)誤差方程,按各點(diǎn)探測(cè)深度計(jì)算觀測(cè)值的權(quán),分別按c-l1共面、相切以及l(fā)1-l2相交與夾角為條件構(gòu)造五個(gè)條件方程。利用中誤差作為迭代控制因子,經(jīng)過3次迭代后,單位權(quán)方差不再收斂,結(jié)束運(yùn)算。從表2數(shù)據(jù)可以看出,圓弧上存在一個(gè)粗差點(diǎn),在對(duì)該點(diǎn)修正后重新計(jì)算,最終得到了較好的平差結(jié)果。

表2 計(jì)算結(jié)果

圖2 某段輸氣管線

6 結(jié) 論

基于三維空間直線和圓弧的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),本文提出了用直線和圓弧序列擬合管線探測(cè)值的平差模型并提出了探測(cè)數(shù)據(jù)權(quán)的確定方法,通過開發(fā)管線平差系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)了管線探測(cè)數(shù)據(jù)的粗差定位和平差處理,從而在提升管線探測(cè)數(shù)據(jù)精度的同時(shí),使成果數(shù)據(jù)更符合管線的空間幾何特性,實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)質(zhì)量的有效提升。同時(shí),該方法也可應(yīng)用于異形建筑或其他由直線和圓弧構(gòu)成的空間線性要素的擬合。