張紫辰，王根會(huì)，王 興，金學(xué)軍

（1.青海大學(xué)土木工程學(xué)院 西寧，810016）（2.蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院 蘭州，730070）

引言

自1986 年法國建成世界上第一座波形鋼腹板組合箱梁橋——Cognac 橋以來，波形鋼腹板組合梁橋在各國公路、鐵路以及城市軌道交通建設(shè)領(lǐng)域得到了長足的發(fā)展［1-2］。然而，這種組合箱梁在正彎矩作用下，混凝土底板易出現(xiàn)受拉開裂的病害。為此，國內(nèi)學(xué)者對傳統(tǒng)波形鋼腹板組合梁橋進(jìn)行了優(yōu)化，提出了采用平鋼板取代混凝土底板的新型組合結(jié)構(gòu)——波形腹板鋼箱組合梁［3］，這種結(jié)構(gòu)可以充分發(fā)揮混凝土頂板抗壓、鋼底板抗拉以及波形鋼腹板抗剪屈服強(qiáng)度高的優(yōu)點(diǎn)，能夠有效地解決溫度應(yīng)力和收縮、徐變等因素帶來的病害，進(jìn)一步減輕了結(jié)構(gòu)自重，增大了橋梁的跨越能力［4］。同時(shí)，該類結(jié)構(gòu)可進(jìn)行工廠化制造和裝配式施工，從而大大縮短了施工周期，因而該類橋梁具有廣闊的發(fā)展前景，已在我國甘肅省中川機(jī)場T2 航站樓立交橋、彭大高速?zèng)芎犹卮髽虻纫慌攸c(diǎn)橋梁工程中得到應(yīng)用。

近年來，針對波形鋼腹板組合箱梁的靜力特性的研究成果已在工程實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用［5-6］。學(xué)者們也對波形鋼腹板組合箱梁的動(dòng)力特性進(jìn)行了研究。張永健等［7］運(yùn)用能量變分法推導(dǎo)了波形鋼腹板組合箱梁橋的振動(dòng)頻率解析解。李鵬飛等［8］分析了不同橋墩類型對波形鋼腹板連續(xù)剛構(gòu)橋動(dòng)力特性的影響。鄭尚敏等［9］對波形鋼腹板PC 組合箱梁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率進(jìn)行了試驗(yàn)研究。桂水榮等［10］研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對大跨徑變截面波形鋼腹板箱梁橋動(dòng)力特性的影響。胡霖遠(yuǎn)等［11］將波形鋼腹板混凝土梁理想化為夾心梁，基于Zig-zag 理論分析了波形鋼腹板梁的自由振動(dòng)特性。冀偉等［12］基于勢能駐值原理得到了波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋振動(dòng)頻率的簡化計(jì)算方法。Feng等［13］基于Hamilton 原理，綜合考慮剪切剪滯效應(yīng)和界面滑移等因素，提出了一種用于計(jì)算波形鋼腹板組合箱梁固有頻率的改進(jìn)分析方法。上述研究主要集中在波形鋼腹板組合箱梁的自由振動(dòng)方面，且未同時(shí)考慮鐵木辛柯（Timoshenko）剪切變形、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剪滯翹曲應(yīng)力自平衡以及腹板褶皺效應(yīng)等因素對結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響，因而具有一定的局限性。由于橋梁的彎曲振動(dòng)頻率是計(jì)算其沖擊系數(shù)的基礎(chǔ)，而結(jié)構(gòu)在地震荷載作用下的破壞也主要源于強(qiáng)迫振動(dòng)，所以波形腹板鋼箱組合梁的動(dòng)力學(xué)特性研究更為重要。

筆者基于能量變分法和Hamilton 原理，綜合考慮Timoshenko 剪切變形、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剪滯翹曲應(yīng)力自平衡以及腹板褶皺效應(yīng)的影響，推導(dǎo)出波形腹板鋼箱組合梁的動(dòng)力學(xué)彈性控制微分方程和自然邊界條件，結(jié)合模型試驗(yàn)和有限元數(shù)值模擬對組合箱梁的豎向彎曲振動(dòng)特性進(jìn)行了精細(xì)化分析。

1 組合箱梁的振動(dòng)方程

1.1 基本假定

建立組合箱梁振動(dòng)方程的基本假定如下：

1）波形鋼腹板具有褶皺效應(yīng)，忽略其縱向抗彎作用；

2）波形腹板鋼箱組合梁發(fā)生彎曲變形時(shí)，橫截面縱向應(yīng)變計(jì)算服從“擬平截面假定”；

3）混凝土翼板與波形鋼腹板在彈性范圍內(nèi)協(xié)同工作，兩者連接無相對滑移。

1.2 控制微分方程的建立

波形鋼腹板形狀如圖1 所示，其有效剪切模量Gw［14］可表示為

圖1 波形鋼腹板形狀示意圖Fig.1 Shape of corrugated steel webs

其中：L1為平板長度；L2為斜板長度；δ為波折角；Es為鋼材彈性模量；υs為鋼材泊松比。

圖2 所示波形腹板鋼箱組合梁由混凝土頂板、鋼底板及波形鋼腹板組成，其中：b2為懸臂板寬度；t1為上翼板混凝土厚度；2b1為混凝土頂板寬度；t2為鋼底板厚度；h1和h2分別為頂板和底板的中心到形心軸的距離；z軸為組合箱梁的高度方向；y軸為組合箱梁的寬度方向。

圖2 波形腹板鋼箱組合梁Fig.2 Box composite girder with corrugated steel webs

理論計(jì)算時(shí)，采用換算截面法將組合箱梁混凝土頂板換算為等效鋼板，其等效幾何材料特性為

其中：Ec為混凝土彈性模量；td為換算后等效頂板厚度；ρd為換算后等效頂板材料質(zhì)量密度；ρc為混凝土質(zhì)量密度。

在對稱彎曲狀態(tài)下設(shè)結(jié)構(gòu)的跨度為l，結(jié)構(gòu)的豎向動(dòng)撓度為w(x，t)，則剪力滯效應(yīng)引起組合箱梁頂板翹曲位移η1、底板翹曲位移η2和懸臂板翹曲位移η3可分別表示為

其中：f1(y)，f2(y)，f3(y)分別為組合箱梁頂板、底板和懸臂板的不均勻分布函數(shù)；u1(x，t)，u2(x，t)分別為結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)剪力滯效應(yīng)引起的組合梁頂、底板和懸臂板的轉(zhuǎn)角差函數(shù)；α為組合梁翼板各自滿足應(yīng)力自平衡條件求得的常數(shù)之和。

且有

組合箱梁頂板應(yīng)力為

組合箱梁底板應(yīng)力為

組合箱梁懸臂板應(yīng)力為

組合箱梁頂、底板和懸臂板變形勢能為

組合箱梁剪切應(yīng)變能為

其中：Aw為波形鋼腹板的橫截面積。

組合箱梁荷載勢能為

其中：M(x，t) 為x截面的動(dòng)彎矩；M1(x，t)，M2(x，t)分別為頂、底板和懸臂板剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的動(dòng)彎矩。

組合箱梁總勢能為

結(jié)構(gòu)總動(dòng)能為

依據(jù)Hamilton 原理δ∫(T-V)dt=0［15］，可得組合箱梁的振動(dòng)微分方程為

相應(yīng)的自然邊界條件為

其中：Isy1=-∫A z[α-zf1(y)]dA；

1.3 控制微分方程的求解

根據(jù)組合箱梁的振動(dòng)特點(diǎn)，若結(jié)構(gòu)振動(dòng)圓頻率為ω，則有

其中：φ為組合箱梁強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)的初始相位角。

由式（21）可得U(3)1和U(5)1的表達(dá)式，對式（22）進(jìn)行3 次求導(dǎo)后將U(3)1和U(5)1代入，可得到關(guān)于U2，W和Ο的微分方程，再結(jié)合式（23）可得僅含W和Ο的微分方程。將式（20）代入并消去Ο后，可得關(guān)于W(x)的新微分方程為

對式（29）進(jìn)行分析可知，其特征方程解的形式為r1，2=±(α1+iβ1)，r3，4=±(α2+iβ2)，r5，6=±(α3+iβ3)，r7，8=±(α4+iβ4)。

根據(jù)微分方程的性質(zhì)，可得式（29）的通解為

其中：n1=α1+iβ1；n2=α2+iβ2；n3=α3+iβ3；n4=α4+iβ4；C1～C8為待定常數(shù)，可由相應(yīng)邊界條件求得。由常微分方程組性質(zhì)和恒等式原理假設(shè)Ο(x)解的表達(dá)式，結(jié)合式（20）和式（30），最終可得Ο(x)的解為

同理可得U1(x)和U2(x)的方程解為

2 邊界條件

簡諧均布力作用下兩端簡支組合箱梁邊界條件為

對于兩端簡支組合箱梁，若跨間r點(diǎn)作用1 個(gè)簡諧集中力Pr=P0sin(ωt+φ)，且集中力Pr距左右邊界距離為l1和l2，則r點(diǎn)需引入的連續(xù)邊界條件為

其中：U下標(biāo)括號內(nèi)數(shù)字表示剪力滯效應(yīng)引起組合箱梁頂、底板和懸臂板的轉(zhuǎn)角差函數(shù)。

在求解組合箱梁的自振頻率時(shí)，令均布簡諧力q(x，t)=0，將式（30）～（33）或其求導(dǎo)式代入相應(yīng)的邊界條件，可以得到結(jié)構(gòu)的固有頻率方程，再通過Matlab 軟件求解其特征值方程，從而得到結(jié)構(gòu)的各階振動(dòng)圓頻率ωn，將組合箱梁振動(dòng)的圓頻率轉(zhuǎn)化成豎向自振頻率，其計(jì)算式為

3 模型梁試驗(yàn)

為驗(yàn)證本研究所得波形腹板鋼箱組合梁彎曲振動(dòng)頻率分析方法的有效性，設(shè)計(jì)制作了一跨簡支組合箱梁模型，其橫截面形狀見圖2，梁高為0.4 m，跨徑為6 m，b1=0.3 m，b2=0.25 m，t1=0.05 m，t2=4 mm。組合箱梁頂板混凝土材料按照C50 混凝土設(shè)計(jì)，波形鋼腹板和底板均采用Q390 鋼，共設(shè)置了2 道端橫隔板和3 道中橫隔板，波形鋼腹板厚度為3 mm，波折角δ=37°，平板長度L1=40 mm，斜板長度L2=40 mm。

采用錘擊法對簡支組合箱梁自振特性進(jìn)行測試，采樣頻率為512 Hz。根據(jù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ驼裥偷姆治鼋Y(jié)果，豎向拾振器布置在混凝土頂板六分點(diǎn)處（即L/6，2L/6，3L/6，4L/6 和5L/6 位置），敲擊點(diǎn)避開豎向拾振器位置，試驗(yàn)現(xiàn)場照片如圖3 所示，頻率測試結(jié)果如圖4 所示。

圖3 試驗(yàn)現(xiàn)場照片F(xiàn)ig.3 Photo of test site

圖4 頻率測試結(jié)果Fig.4 requency test results

4 有限元模型

采用ANSYS 15.0 軟件建立波形腹板鋼箱組合梁的有限元模型，如圖5 所示，其中混凝土采用SOLID65 單元模擬，波形鋼腹板選用SHELL63 單元模擬，同時(shí)增加目標(biāo)單元TARGE170 和接觸單元CONTA175，以實(shí)現(xiàn)鋼混連接部位的多點(diǎn)耦合接觸，這樣可對頂、底板和腹板獨(dú)立劃分網(wǎng)格，從而保證了模擬的精度。

圖5 有限元模型Fig.5 Finite element model

5 對比分析

簡支組合箱梁自振頻率對比見表1。其中：f1為本研究理論方法自振頻率；f2為傳統(tǒng)理論方法自振頻率，其在本研究理論的基礎(chǔ)上忽略了剪滯翹曲應(yīng)力自平衡條件的影響；f3為Timoshenko 梁理論自振頻率，其同時(shí)忽略了剪力滯效應(yīng)和剪滯翹曲應(yīng)力自平衡條件的影響；f4，f5，f6分別為歐拉梁理論、三維有限元和模型試驗(yàn)自振頻率；f7為在本研究理論的基礎(chǔ)上忽略了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響的組合箱梁自振頻率。

表1 簡支組合箱梁自振頻率對比Tab.1 Comparison of natural frequencies of simply supported composite box girderHz

由表1 可以看出：本研究理論計(jì)算所得簡支組合箱梁彎曲自振頻率與有限元計(jì)算結(jié)果和實(shí)測值吻合良好，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和有效性；根據(jù)歐拉梁理論所得組合箱梁自振頻率與本研究理論和Timoshenko 梁理論相差較大，4 階自振頻率差值分別達(dá)到32.913%和27.623%，這主要是由于剪力滯效應(yīng)和剪切變形降低了組合箱梁的豎向抗彎剛度，與剪力滯效應(yīng)相比，剪切變形對結(jié)構(gòu)抗彎剛度的影響更大；受剪力滯效應(yīng)的影響，組合箱梁的各階固有頻率普遍減小，隨著頻率階數(shù)的增加，剪力滯后效應(yīng)的影響逐漸增大；剪滯翹曲應(yīng)力自平衡和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對組合箱梁各階自振頻率的影響均小于5%。分析可知，本研究剪力滯理論所得結(jié)構(gòu)自振頻率值<傳統(tǒng)理論值

采用3 種方法得到的簡支組合箱梁前2 階振型如表2 所示，表現(xiàn)出梁的豎向振動(dòng)特性，理論振型和其他2 種方法得到的2 階豎向振型吻合良好。

表2 簡支組合箱梁前2 階振型Tab.2 First two mode shapes of simply supported composite girder

為進(jìn)一步分析簡支組合箱梁的豎向動(dòng)力反應(yīng)特性，定義動(dòng)剪力滯系數(shù)為本研究理論計(jì)算的動(dòng)應(yīng)力與Timoshenko 梁理論計(jì)算的動(dòng)應(yīng)力之比。在結(jié)構(gòu)跨中作用一簡諧集中力，該簡諧力幅值為P0=19.6 kN。跨中截面上E點(diǎn)和F點(diǎn)的坐標(biāo)位置如圖2所示，運(yùn)用有限元法計(jì)算組合梁E點(diǎn)和F點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力幅值，如圖6 所示。

圖6 有限元法計(jì)算組合梁E 點(diǎn)和F 點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力幅值Fig.6 Calculation of dynamic stress amplitude at E and F points of composite girder by finite element method

運(yùn)用本研究計(jì)算方法求解組合箱梁動(dòng)應(yīng)力幅值流程如下：已知跨中作用簡諧力幅值為P0，將不同簡諧力頻率ω代入式（29）后可得其8 個(gè)特征值；聯(lián)立邊界條件式（34）和式（35），得到8 個(gè)待定常數(shù)C1～C8的值；最后結(jié)合式（9）～（13），可得組合箱梁跨中截面兩點(diǎn)（E，F(xiàn)）的動(dòng)應(yīng)力幅值對比見圖7。

圖7 組合梁E 點(diǎn)和F 點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力幅值對比Fig.7 Comparison of dynamic stress amplitudes at E and F points of composite girder

由圖6，7 可以看出：在強(qiáng)迫振動(dòng)分析中，剪力滯效應(yīng)對組合箱梁翼板動(dòng)應(yīng)力幅值的影響較大，當(dāng)簡諧集中力作用頻率相同時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力幅值明顯大于E點(diǎn)，即結(jié)構(gòu)跨中橫截面上各點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力幅值呈不均勻分布，其特點(diǎn)與文獻(xiàn)［16］中關(guān)于該類結(jié)構(gòu)的靜力分析結(jié)果類似，因而動(dòng)力分析時(shí)組合箱梁的平截面假定不再適用；同時(shí)，簡諧集中力的頻率值對組合箱梁的動(dòng)剪力滯系數(shù)的影響普遍小于3.52%，分析時(shí)可忽略不計(jì)。

考慮結(jié)構(gòu)寬跨比（2b1/L）對組合箱梁豎向彎曲振動(dòng)特性的影響，保持組合箱梁其他尺寸不變，選取模型的寬度2b1為60 cm，其跨度從200～1 000 cm依次變化，研究寬跨比對簡支組合箱梁固有頻率比的影響，結(jié)果見圖8。由圖可以看出，簡支組合箱梁的固有頻率比隨著寬跨比的增大而減小。當(dāng)寬跨比小于0.15 時(shí)，固有頻率比小于0.95，表明該條件下采用Timoshenko 梁理論計(jì)算結(jié)構(gòu)基頻可滿足實(shí)際工程的精度要求；當(dāng)寬跨比增大時(shí)，剪力滯效應(yīng)對組合箱梁頻率的影響逐漸增大；當(dāng)寬跨比大于0.15 時(shí)，剪力滯效應(yīng)對組合箱梁的第4 階頻率貢獻(xiàn)值達(dá)到10.42%以上，所以在計(jì)算寬跨比較大的組合箱梁高階自振頻率時(shí)，剪力滯效應(yīng)的影響不可忽略。

圖8 寬跨比對簡支組合箱梁固有頻率比的影響Fig.8 Influence of width span ratio on natural frequency ratio of simply supported composite girder

寬跨比對簡支組合箱梁動(dòng)剪力滯系數(shù)的影響如圖9 所示。由圖9 可以看出：與傳統(tǒng)剪滯理論相比，本研究理論所得E點(diǎn)和F點(diǎn)的動(dòng)剪力滯系數(shù)與有限元解吻合更好；當(dāng)寬跨比為0.3 時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)的動(dòng)剪力滯系數(shù)增大了9.4%，E點(diǎn)的則減小了8.7%，說明引入剪滯翹曲應(yīng)力自平衡條件可提高組合箱梁翼板動(dòng)應(yīng)力幅值的計(jì)算精度；在強(qiáng)迫振動(dòng)分析中，F(xiàn)點(diǎn)的動(dòng)剪力滯系數(shù)隨寬跨比的增大而增大，E點(diǎn)的隨寬跨比的增大而減小，說明寬跨比越大時(shí)剪力滯效應(yīng)對組合箱梁翼板動(dòng)應(yīng)力幅值的影響越大，剪滯翹曲應(yīng)力自平衡的影響亦隨之增大。

圖9 寬跨比對簡支組合箱梁動(dòng)剪力滯系數(shù)的影響Fig.9 Influence of width span ratio on dynamic shear lag coefficient of simply supported composite girder

6 結(jié)論

1）以能量變分法和Hamilton 原理為基礎(chǔ)，提出一種能準(zhǔn)確分析波形腹板鋼箱組合梁彎曲振動(dòng)特性的解析法，計(jì)算結(jié)果與ANSYS 有限元計(jì)算值和模型試驗(yàn)值吻合良好，且具有較高的計(jì)算精度。本研究計(jì)算方法編寫Matlab 計(jì)算程序后操作方便且用時(shí)較短，避免了ANSYS 有限元模型求解的復(fù)雜性，因而具有一定的工程實(shí)用價(jià)值。

2）在強(qiáng)迫振動(dòng)分析中，剪力滯效應(yīng)對組合箱梁翼板動(dòng)應(yīng)力幅值的影響較大，在簡諧集中力作用下，結(jié)構(gòu)跨中橫截面上各點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力幅值分布特點(diǎn)與其靜力分析結(jié)果類似，而簡諧集中力的頻率值對組合箱梁的動(dòng)剪力滯系數(shù)的影響普遍小于3.52%，分析時(shí)可忽略不計(jì)。

3）剪力滯效應(yīng)對組合箱梁自振頻率的影響隨寬跨比的增大而變大，當(dāng)寬跨比小于0.15 時(shí)，采用Timoshenko 梁理論計(jì)算結(jié)構(gòu)自振頻率可滿足工程精度要求；當(dāng)寬跨比大于0.15 時(shí)，剪力滯效應(yīng)對組合箱梁的第4 階頻率貢獻(xiàn)值達(dá)到10.42%以上。

4）雖然剪滯翹曲應(yīng)力自平衡對組合箱梁各階自振頻率的貢獻(xiàn)值較小，但本研究理論所得E點(diǎn)和F點(diǎn)的動(dòng)剪力滯系數(shù)與有限元解吻合更好，說明引入剪滯翹曲應(yīng)力自平衡條件可提高組合箱梁翼板動(dòng)應(yīng)力幅值的計(jì)算精度。剪力滯效應(yīng)對組合箱梁翼板動(dòng)應(yīng)力幅值的影響隨寬跨比的增大而變大，剪滯翹曲應(yīng)力自平衡的影響亦隨之增大。