劉中凱, 劉俊利, 劉白茹

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

傳染病的每次大規(guī)模流行都會(huì)造成人口減少,經(jīng)濟(jì)下滑,而面對傳染病的重大危害,如何采取有效措施快速控制傳染病的進(jìn)一步擴(kuò)散并使得經(jīng)濟(jì)成本最低,成為了學(xué)者們研究的重要課題.

文獻(xiàn)[1-2]建立了一個(gè)瘧疾傳染病模型,利用最優(yōu)控制理論得到了使疾病滅絕的最佳條件,而當(dāng)疾病無法滅絕時(shí),利用龐特里亞金最大值原理得到了控制疾病的最優(yōu)條件.文獻(xiàn)[3]建立了一個(gè)結(jié)核病模型,并考慮到二次感染的情況,通過分析得到了最優(yōu)控制策略,極大地降低了疾病的控制成本,并有效減少了感染者和潛伏者的數(shù)量.文獻(xiàn)[4]研究了結(jié)核病與艾滋病聯(lián)合感染傳播的傳染病模型,分析了各種組合策略對疾病傳播的影響,并利用增量成本效益比分析所有控制措施的成本效益,最終得到了控制疾病傳播的最優(yōu)策略.文獻(xiàn)[5]以喀麥隆發(fā)生的結(jié)核病為例,建立了一個(gè)具有控制措施的傳染病模型,找到了控制結(jié)核病的最佳方法.結(jié)果表明,通過多種控制措施相結(jié)合的方法控制結(jié)核病,可以大幅降低經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān),并有效遏制結(jié)核病的擴(kuò)散.文獻(xiàn)[6]建立了一個(gè)關(guān)于控制瘧疾傳播的數(shù)學(xué)模型,通過理論分析和數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),當(dāng)蚊帳使用率約為10%以及約50%的感染者得到有效治療時(shí),對瘧疾的控制效果最好,控制成本最低.文獻(xiàn)[7]提出了一個(gè)帶有疫苗接種和治療的傳染病模型,為了使傳染病的控制成本最低,利用最優(yōu)控制理論研究了時(shí)變控制措施的情況,得到了最優(yōu)控制策略.文獻(xiàn)[8]考慮了一個(gè)受媒體報(bào)道宣傳影響的SEI傳染病模型,并利用最優(yōu)控制理論進(jìn)行分析,得到了使目標(biāo)函數(shù)值最小的最優(yōu)條件,通過數(shù)值模擬直觀表現(xiàn)了控制措施對疾病擴(kuò)散的抑制作用.文獻(xiàn)[9]建立了一個(gè)SIRS傳染病模型,研究了降低傳染率和提高恢復(fù)率兩種最優(yōu)控制措施對疾病擴(kuò)散的影響,并利用最優(yōu)控制理論得到了有效控制疾病傳播且成本最低的方法,研究表明,采取治療等有效措施后,疾病逐漸被控制并最終消亡.文獻(xiàn)[10]考慮了具有媒體報(bào)道和潛伏期時(shí)滯的傳染病模型,對模型進(jìn)行了最優(yōu)化理論分析,得到了使感染者人數(shù)最少且媒體宣傳費(fèi)用最低的最優(yōu)控制策略.文獻(xiàn)[11]研究了具有疫苗接種、媒體報(bào)道和治療3種控制措施的傳染病模型,對3種控制措施進(jìn)行了最優(yōu)化分析,得到了抑制麻疹傳播的最優(yōu)控制策略,結(jié)果表明,在抑制麻疹傳播方面,媒體的宣傳報(bào)道和疫苗接種比治療措施更加有效.

媒體的宣傳對控制傳染病具有重要作用,媒體報(bào)道提高了人群的防控意識(shí),使其行為發(fā)生改變,近而阻礙疾病傳播. 而對感染者進(jìn)行相關(guān)治療也是控制傳染病的有效手段,所以本文在文獻(xiàn)[10-11]的基礎(chǔ)上將易感者分為無意識(shí)易感者和有意識(shí)易感者,并考慮到治療者會(huì)被二次感染的情況,建立具有媒體報(bào)道和治療措施的傳染病模型.為了降低媒體報(bào)道和治療的成本以及感染者數(shù)量,建立了最優(yōu)控制系統(tǒng),并利用最優(yōu)化理論對系統(tǒng)進(jìn)行分析,得到了使感染者數(shù)量最少且經(jīng)濟(jì)成本最低的最優(yōu)控制措施.

1 模型的建立

根據(jù)倉室模型的建模思想,將總?cè)丝诠卜譃?個(gè)倉室:無意識(shí)易感者Sn(t),有意識(shí)易感者Sa(t),感染者I(t),接受治療的患者T(t)以及媒體報(bào)道信息量M(t).設(shè)人口總數(shù)為N(t),則N(t)=Sn(t)+Sa(t)+I(t)+T(t).設(shè)人口的輸入率為A,人口自然死亡率為d,因病死亡率為a,β0和β1分別表示染病者對無意識(shí)易感者和有意識(shí)易感者的傳染率,β2表示染病者對接受治療的患者的傳染率, 根據(jù)生物學(xué)意義,假設(shè)β0>β1,β0>β2.λ表示易感者從無意識(shí)到有意識(shí)的轉(zhuǎn)化率,λ0表示意識(shí)的喪失率,θ表示感染者的治愈率,μ表示媒體項(xiàng)目的貫徹率,μ0表示媒體宣傳過程中信息的耗損率.依據(jù)以上假設(shè),建立如下模型:

(1)

系統(tǒng)(1)的初始條件為

Sn(0)≥0,Sa(0)≥0,

I(0)>0,T(0)≥0,M(0)≥0.

(2)

假設(shè)以上所有參數(shù)都是正常數(shù).

下面將研究系統(tǒng)(1)在初始條件(2)下解的非負(fù)性和有界性,記

由定理1可知Γ為系統(tǒng)(1)的正向不變集.

定理1系統(tǒng)(1)在條件(2)下的解(Sn(t),Sa(t),I(t),T(t),M(t))始終是非負(fù)有界的.

證明首先,易證解的非負(fù)性.下面證明解的有界性.

總?cè)丝贜(t)滿足下列微分方程

2 基本再生數(shù)和無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

其中Q=θ+d+a.

證明系統(tǒng)(1)在無病平衡點(diǎn)E0處的特征方程為

(Z+d)(Z+μ0)(Z+λ0+d)(Z+a+d)×

(3)

顯然,方程(3)有4個(gè)負(fù)根:Z1=-d,Z2=-μ0,Z3=-λ0-d,Z4=-a-d.而Z5=(R0-1)Q,則當(dāng)R0<1時(shí),Z5<0,無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時(shí),Z5>0,無病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的. 定理2得證.

定理3當(dāng)R0≤1時(shí),系統(tǒng)(1)的無病平衡點(diǎn)E0在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)L=I,則L沿系統(tǒng)(1)軌線的全導(dǎo)數(shù)為

β0I(Sn+Sa+T)-(θ+d+a)I≤

3 地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和疾病的持久性

解得

(5)

其中

X1=λμβ2(a+d)>0,X2=λμ(a+d)>0,

X3=β1β2(μ0β0+λμ)>0,

X4=μ0β0β2(λ0+d)+β1(a+d)(μ0β0+λμ)>0,

X5=μ0β0(λ0+d)(a+d)>0.

由(5)式和系統(tǒng)(4)可得關(guān)于I*的方程:

I*3+pI*2+qI*+r=0,

其中

p=

定義h(I*)=I*3+pI*2+qI*+r.

結(jié)合定理3可得下列結(jié)論.

定理4(ⅰ) 當(dāng)R0≤1時(shí),系統(tǒng)(1)不存在正平衡點(diǎn).

(ⅱ)當(dāng)R0>1時(shí),系統(tǒng)(1)至少存在一個(gè)正平衡點(diǎn).

定理5當(dāng)R0>1且β1≥β2時(shí),系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的.

H1=λM*+β0I*+d,

H2=λM*(β1I*+d)+(β0I*+d)(β1I*+λ0+d),

dβ0β1β2I*2(β1I*-β2I*)+

顯然,H1>0,H2>0,H3>0.又因?yàn)棣?≥β1≥β2,所以H4>0,H5>0,因此矩陣JE*為負(fù)定矩陣,即矩陣JE*的特征值都具有負(fù)實(shí)部.從而當(dāng)R0>1時(shí),地方病平點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的. 定理5得證.

β1和β2分別表示染病者對有意識(shí)易感者和接受治療的患者的傳染率,患者接受相關(guān)治療后可以獲得一定程度的免疫.因此,患者二次感染的概率應(yīng)該低于第一次感染的概率,所以假設(shè)β1≥β2是合理的.

根據(jù)文獻(xiàn)[13-14]中的證明方法可以得到疾病的持久性.

4 最優(yōu)控制模型

考慮到媒體報(bào)道的過程以及對感染者進(jìn)行治療的過程都需要高額的費(fèi)用,為了使防控成本最低且被感染的人數(shù)最少,用最優(yōu)控制函數(shù)μ1(t)代替意識(shí)轉(zhuǎn)化率λ,用最優(yōu)控制函數(shù)μ2(t)代替治療率θ進(jìn)行最優(yōu)控制理論分析.

首先,考慮總成本函數(shù):

J[μ1(·),μ2(·)]=

(6)

控制系統(tǒng)為

系統(tǒng)(7)的初始條件與系統(tǒng)(1)的初始條件相同. (6)式中tf為控制措施的結(jié)束時(shí)間,各部分含義如下:

最優(yōu)控制問題的拉格朗日函數(shù)為

(8)

控制變量μ1(t)和μ2(t)滿足控制集:

Uad={(μ1,μ2)∈L(0,tf)|0≤μi(t)≤1,i=1,2}

.

下面在時(shí)間區(qū)間[0,tf]內(nèi)對控制最優(yōu)解μi(i=1,2)進(jìn)行分析.

系統(tǒng)(7)存在伴隨變量λi=(λ1,λ2,λ3,λ4,λ5),則哈密爾頓函數(shù)為

H(Sn,Sa,I,T,M,μ1,μ2,λi)=

λ1(A-μ1(t)MSn-β0SnI+λ0Sa-dSn)+

λ2(μ1(t)MSn-β1SaI-λ0Sa-dSa)+

λ3(β0SnI+β1SaI+β2TI-μ2(t)I-aI-dI)+

λ4(μ2(t)I-β2TI-aT-dT)+λ5(μI-μ0M).

進(jìn)而得到如下系統(tǒng):

(9)

系統(tǒng)(9)滿足橫截性條件:λi(tf)=0,i=1,2,3,4,5.根據(jù)控制條件和哈密爾頓函數(shù)可得

解得

為了進(jìn)一步反映最優(yōu)控制函數(shù)μ1(t)和μ2(t)對疾病傳播的控制效果,下面根據(jù)實(shí)際意義進(jìn)行數(shù)值模擬.

5 數(shù)值模擬

本節(jié)將對最優(yōu)控制函數(shù)μ1(t)和μ2(t)進(jìn)行數(shù)值模擬. 首先,設(shè)定參數(shù)值如下:

A=2,β0=0.006,λ0=0.005,

d=1/78,β1=0.003,a=0.1,β2=0.002 5,

μ=0.3,μ0=0.1,μ1max=0.9,μ2max=0.9,

B1=5 000,B2=1 000.

(10)

在參數(shù)(10)下,取初值(100,10,8,3,1),考慮同時(shí)采取兩種控制措施與不采取任何控制措施的情況下,染病者數(shù)量的變化(圖1a). 當(dāng)媒體報(bào)道和治療兩種控制措施同時(shí)實(shí)施時(shí),控制措施函數(shù)μ1(t)和μ2(t)隨時(shí)間的變化情況見圖1b.

圖1 初值為(100,10,8,3,1)時(shí),控制效果對比圖及控制措施函數(shù)的時(shí)間變化圖

由圖1a可以看出,當(dāng)疾病出現(xiàn)時(shí),如果不采取控制措施,疾病將暴發(fā)并流行,而當(dāng)采取媒體報(bào)道和治療兩種控制措施時(shí),可以有效減少感染者數(shù)量,抑制疾病傳播,并使疾病最終消亡. 由圖1b可以看出,μ1(t)以最大值對疾病進(jìn)行持續(xù)性控制,而μ2(t)以最大值對疾病進(jìn)行間歇性控制.這說明媒體的持續(xù)報(bào)道在傳染病的控制過程中具有重要作用,但僅通過媒體報(bào)道改變?nèi)藗兊男袨椴⒉荒苓_(dá)到最優(yōu)效果,只有采取媒體報(bào)道與治療相結(jié)合的方法,才能達(dá)到控制疾病傳播的最優(yōu)效果.

在參數(shù)(10)下,取初值(32,2,12,0,2),比較僅采取媒體報(bào)道控制措施與不采取任何控制措施對染病者數(shù)量的影響,研究控制函數(shù)μ1(t)隨時(shí)間的變化情況(圖2).由圖2a可以看出,媒體報(bào)道可以有效降低感染者數(shù)量,抑制疾病傳播,但并不能使疾病消亡.由圖2b可以看出,μ1(t)始終以最大值對疾病進(jìn)行控制,說明當(dāng)人群中出現(xiàn)感染者時(shí),為了防止人們的防控意識(shí)松懈,使人們在傳染病流行期間始終保持正確的防控行為,減少不必要的接觸,達(dá)到控制傳染病的最優(yōu)效果,媒體必須持續(xù)不間斷地對傳染病進(jìn)行報(bào)道.

圖2 初值為(32,2,12,0,2)時(shí),控制效果對比圖及控制措施函數(shù)的時(shí)間變化圖

在參數(shù)(10)下,取初值(100,0,40,30,0),將只采取治療的控制措施與不采取任何控制措施對感染者數(shù)量的影響進(jìn)行對比,結(jié)果見圖3a.控制措施函數(shù)μ2(t)隨時(shí)間的變化情況見圖3b.由圖3a可以看出,治療可以有效降低感染者數(shù)量,抑制疾病傳播. 由圖3b可以看出,μ2(t)以最大值對傳染病進(jìn)行間歇性控制.當(dāng)μ2(t)以最大值對傳染病進(jìn)行控制時(shí),可使感染者數(shù)量迅速降低,控制效果明顯.而當(dāng)μ2(t)停止對傳染病進(jìn)行控制時(shí),感染者的數(shù)量又迅速增加,說明當(dāng)傳染病流行時(shí),若只采取治療的控制措施,盡管可以使用控制成本最低的最優(yōu)控制策略,但使成本最低的同時(shí)并不能使傳染病消亡或者趨于穩(wěn)定.若為了控制經(jīng)濟(jì)成本而停止采取控制措施,則存在傳染病二次暴發(fā)的可能性.

圖3 初值為(100,0,40,30,0)時(shí),控制效果對比圖及控制措施函數(shù)的時(shí)間變化圖

綜上,當(dāng)傳染病出現(xiàn)時(shí),如果不采取任何控制措施,傳染病將會(huì)暴發(fā)并流行,而采取一定控制措施能夠有效抑制傳染病的流行暴發(fā),甚至使其消亡.而在對傳染病的控制效果上,采取多種防控措施相結(jié)合的方法比采取單一控制措施的效果更加明顯.

6 結(jié)論

文章首先建立了一個(gè)受媒體報(bào)道和治療共同影響的傳染病模型,證明了模型解的非負(fù)性和有界性. 計(jì)算得到了模型的基本再生數(shù)和無病平衡點(diǎn),并且證明了無病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性.分析了地方病平衡點(diǎn)的存在性和局部穩(wěn)定性,并給出了疾病持久性的定理.為了使感染者數(shù)量最低且控制疾病傳播擴(kuò)散的費(fèi)用最少,以媒體報(bào)道和治療作為兩種控制措施,建立了最優(yōu)控制模型,并利用龐特里亞金最大值原理得到了最優(yōu)控制策略．最后根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行了數(shù)值模擬.研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)傳染病出現(xiàn)時(shí),通過媒體報(bào)道可以提高人群的防控意識(shí),使其行為發(fā)生改變,進(jìn)而對疾病的傳播起到一定的抑制作用;通過對感染者進(jìn)行治療,也可以有效降低感染者數(shù)量,但同時(shí)采取媒體報(bào)道和治療兩種措施對疾病流行的抑制效果最為明顯.因此,當(dāng)疾病暴發(fā)時(shí),只采取單一的控制措施是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,應(yīng)該采取多種控制措施相結(jié)合的策略,進(jìn)行全方位控制,以謀求防控成本最低、傳染病危害最小.

附錄：