楊 芊,胡來紅,張艷紅,呂 鑫,李 欣,蔡光斌

(1.火箭軍工程大學 導彈工程學院, 西安 710025; 2.北京市海淀區(qū)清河大樓丁7, 北京 100085)

0 引言

變體飛行器可以在飛行過程中智能自主地改變自身形態(tài),具有任務執(zhí)行能力強、快速適應惡劣環(huán)境、飛行包線寬等優(yōu)點。因此,國內外學者進行了廣泛的研究[1-2],在其控制器設計領域已開發(fā)出了諸如PID[3],深度強化學習[4]等方法。由于構型的變化和極寬的飛行包線范圍,變體飛行器的氣動參數變化很大,這使其成為一個取決于構型和飛行條件的復雜參數變化系統(tǒng)[5]。目前,變體飛行器的建模與控制研究已成為航空航天領域的熱點和難點。

在過去的幾十年里,線性變參數(linear parameter varying,LPV)系統(tǒng)的分析與控制技術受到了控制界的廣泛關注。文獻[6]表明,在變體飛行器機翼折疊過程中,氣動力和氣動力矩是機翼形狀變化的函數并隨折翼角度近似線性變化,因此可以將機翼折疊過程看作一個LPV系統(tǒng)。在變體飛行器姿態(tài)控制研究中,如單剛體動力學建模和經典PID方法等,已不能滿足變體飛行器實際工程要求。LPV方法有效應對了建模不精確,控制設計復雜等難題,因此得到了廣泛的應用與研究。文獻[7]針對后掠角可變的變體飛行器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)控制問題,提出了一種平滑切換鎮(zhèn)定控制器,保證了系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定。文獻[8]針對可變翼展的變體飛行器,采用魯棒增益調度控制方法設計了LPV控制器,使系統(tǒng)能夠順利完成變形過渡過程。文獻[9]采用參數依賴公共Lyapunov函數方法設計切換LPV控制器,保證了變體飛行器姿態(tài)系統(tǒng)在不同控制器間切換時的穩(wěn)定性和快速性。針對切換線性變參數控制器設計中平均駐留時間的限制,文獻[10]設計了一種連續(xù)平滑切換器,降低了結論的保守性。此外,研究人員還將LPV方法與其他控制方法相結合,以提高速飛行控制系統(tǒng)的性能。文獻[11]將有限時間收斂滑模控制從線性時不變系統(tǒng)推廣到了LPV系統(tǒng),保證了飛行控制系統(tǒng)的L2增益性能。

在目前的大多數LPV研究中,往往需要假設調度變量是可以實時精確測量的,并且可以直接運用于控制器設計。然而控制系統(tǒng)中普遍存在由于傳感器精度原因而導致的測量誤差。此外,由于LPV系統(tǒng)的獲取大多采用擬合的方法,因此系統(tǒng)的不確定性往往是廣泛存在的。近年來,處理不精確調度變量和具有不確定性的LPV系統(tǒng)已經成為了一個重要的研究領域。文獻[12]假設測量的調度參數的不確定性與實際調度參數的值成比例,設計輸出反饋控制器來應對不確定性影響,但由于采用了常數李雅普諾夫函數,因此控制設計具有一定的保守性。文獻[13]針對調度參數的絕對/比例不確定性,利用參數依賴線性矩陣不等式和單線搜索參數給出了H∞輸出反饋控制器存在的一個充分條件。針對調度參數不確定性的建模問題,文獻[14]提出了一種多重單純形框架,使無限維線性矩陣不等式問題得到了有效解決。文獻[15]將不確定調度參數的研究擴展到了切換LPV系統(tǒng)領域,探討了具有不精確調度參數的LPV遲滯切換和平均駐留時間切換控制設計,保證了切換閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和L2增益性能。文獻[16]研究了帶有參數攝動項的不確定多面體LPV系統(tǒng),采用滑?？刂破鞅ＷC系統(tǒng)在有限時間內收斂至滑模動態(tài)。然而,上述研究大多局限于系統(tǒng)不確定性或不精確調度參數兩者之一,同時考慮模型和調度參數不確定性的研究鮮有報道。

針對變體飛行器姿態(tài)控制問題,提出了一種基于雙層多面體描述的LPV多目標控制器,以便同時考慮調度參數的變化和系統(tǒng)不確定性的影響。第一個多面體層管理調度參數,用于獲得頂點不確定系統(tǒng),在此基礎上設計頂點控制器;第二個多面體層建立在每個頂點系統(tǒng)上,以便考慮模型的不確定性并在設計步驟中增加魯棒性。通過引入松弛變量,降低了設計保守性。較之傳統(tǒng)的H∞控制器與H2控制器,該方法不僅可以在同時具有系統(tǒng)不確定性和不精確調度參數情況下保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,而且還使所設計的跟蹤控制器具有較好的魯棒性和動態(tài)特性。最后,仿真驗證說明了控制設計的有效性。

1 LPV建模與問題描述

1.1 變體飛行器LPV建模

本文中,以Navion L-17[8]變體飛行器為研究對象進行設計,其兩側機翼可以對稱伸縮,可達到的最大翼展為原翼展的兩倍。變體飛行器縱向非線性動力學模型為

(1)

式(1)中: 定義翼展變形率為ξ=(l′-l)/l,其中l(wèi)′為當前翼展,l為本體翼展,由此可知ξ∈[0,1]。V和h為飛行速度和高度;φ、q和α分別為俯仰角、俯仰角速度和攻角;m和Iy為飛行器質量和繞y軸的轉動慣量;g為重力加速度。飛行器推力建模為T=Tδtδt,其中Tδt為油門推力系數,δt為油門開度;升力L,阻力D,俯仰力矩My的表達式以及其中包含的氣動系數和升降舵偏角δe可參考文獻[17]。

為了獲取LPV模型,首先選取ξ=0, 0.1,…,1,求取共計11組平衡點,然后采用雅克比線性化方法求解平衡點處的小擾動線性化模型,對這11個模型進行差值擬合即可得到變體飛行器縱向動力學的LPV模型為

(2)

為方便研究,提取其縱向短周期模型作為研究對象,其具體表達式為[17]

(3)

1.2 問題描述

考慮如下多面體LPV系統(tǒng)S

(4)

式(4)中:A(θ)、Bi(θ)、Ci(θ)、Di(θ)均為線性變參數系統(tǒng)Υ的相容矩陣,其中B2、D12、D22為常數矩陣;x∈Rn為狀態(tài)向量,w∈Rl為干擾輸入,u∈Rm為控制輸入,z∞∈Rn1為H∞性能指標下的控制輸出,z2∈Rn2為H2性能指標下的控制輸出。LPV系統(tǒng)滿足如下多面體結構:

Ω(θ)=(A(θ),B(θ))∈P

(5)

(6)

針對LPV系統(tǒng)Υ,設計如下狀態(tài)反饋控制律:

u=K(θ)x

(7)

其中,K(θ)∈Rm×n,將式(7)代入式(4)中,可以得到如下閉環(huán)LPV系統(tǒng)CDOF

(8)

其中,系數矩陣Acl(θ),C1cl(θ)和C2cl(θ)分別為

Acl(θ)=A(θ)+B2(θ)K(θ)

(9)

C1cl(θ)=C1(θ)+D12(θ)K(θ)

(10)

C2cl(θ)=C2(θ)+D22(θ)K(θ)

(11)

注釋1：文獻[18]提出,LPV系統(tǒng)輸入矩陣B2、D12、D22可以對控制輸入進行濾波得到常數矩陣,因此本文中研究的LPV系統(tǒng)仍具有廣泛代表性。

問題1：針對式(4)中的LPV系統(tǒng),設計形如式(7)的LPV狀態(tài)反饋控制器,使得式(8)的閉環(huán)LPV系統(tǒng)CDOF對所有的調度參數滿足如下特性:

1)H∞性能:對于能量有界輸入信號w∈L2,給定性能指標γ>0,使得由w到z∞的傳遞函數矩陣Tz∞w(s)的H∞范數|Tz∞w(s)|∞<γ;

2)H2性能:對于隨機干擾輸入信號w,給定性能指標η>0,使得由w到z2的傳遞函數矩陣Tz2w(s)的H2范數滿足|Tz2w(s)|2<η。

2 主要結果

為了解決問題1,首先給出如下引理:

(12)

其中,*表示由對稱矩陣的對稱性得到的塊矩陣(以下情形類似,不再重復說明)。

(13)

(14)

trace(Q)<η

(15)

根據文獻[20]中的思想,易將引理1-2從LTI系統(tǒng)推廣到具有不確定性的多面體LPV系統(tǒng),結合問題1,給出如下定理:

trace(Qij)<η2

(16)

(17)

(18)

若式(16)—式(18)有解,則狀態(tài)反饋調度增益K(θ)可由下式求得:

(19)

證明：將式(9)—式(11)中的閉環(huán)系數矩陣代入式(12)、式(13)和式(15)的左邊,分別得:

trace(Q(θ))<η

(20)

(21)

(22)

令XD=X∞=X2=X,并引入新的矩陣變量L(θ)

(23)

根據式(5)定義的LPV系統(tǒng)多面體特性和和式(6)定義的多面體不確定性,式(17)—式(18)可分別化為

(24)

(25)

根據矩陣的基本性質:具有非負系數的正(負)定矩陣的任何和為正的線性組合都是正(負)定的。因此可得式(16)—式(18)。證畢。

注釋2：由定理1的證明過程可知,此定理采用了常數李雅普諾夫函數V(x(t))=xT(t)Xx(t),并限制了XD=X∞=X2=X,即要求在所有的多面體頂點上共用一個共同的Lyapunov函數矩陣,顯然,這給系統(tǒng)的綜合帶來了較大的保守性。對此,可以通過引入松弛變量的方法來降低保守性,即提出定理2如下。

trace(Qij)<η

(26)

(28)

(29)

證明：首先參考如下2個線性矩陣不等式:

(30)

(31)

通過引入松弛變量,使Lyapunov函數矩陣與系統(tǒng)矩陣解耦,從而可以在不同的頂點上使用不同的Lyapunov函數矩陣。因此根據凸優(yōu)化理論,式(9)—式(11)在多面模型頂點的表達式為

Acli=Aij+B2, jKi

C1cli=C1,ij+D11, jKi

C2cli=C2,ij+D22, jKi

(32)

將式(32)代入式(30)—式(31)中,并引入新的矩陣變量H1i=KiG1,H2i=KiG2,i=1,…,N,即可得到式(26)—式(29)的LMI約束條件。證畢。

注釋3：注意到定理2中的LMIs是性能指標γ和η的線性約束,因此,遵循文獻[21]的思想,定理2的求解條件就可轉化成具有LMIs約束的線性目標函數最小化問題。然而,在實際應用中,性能指標γ與η不可能同時達到最優(yōu),必須進行加權處理,常見的加權形式如下

J=aγ+bη

(33)

其中,a,b是權值,可以根據具體的設計要求進行設定。于是,定理2的求解條件變?yōu)?/p>

(34)

3 仿真分析

通常情況下,變體飛行器的氣動參數獲取是基于準定常氣動假設[22]。因此,變體飛行器變形過程中氣動參數往往存在不確定性。此外,由于通道噪聲與測量誤差的影響,用于控制器調度的翼展變形率ξ也往往是不精確的。因此,考慮具有上述不確定性的變體飛行器縱向短周期LPV模型為

(35)

其中,不確定性μ1∈[0.9,1.2],μ2∈[0.8,1.2]。

根據式(5)的定義,該系統(tǒng)可以描述為不確定LTI系統(tǒng)的多面體組合,即

其中:

α1(ξ)=2-ξ

α2(ξ)=ξ-1

其中:

其中:

u(t)=K(ξ)x(t)=α1(ξ)K1x(t)+α2(ξ)K2x(t)

將控制器引入變體飛行器縱向短周期模型中,控制目標為跟蹤攻角參考信號。如圖1所示,在翼展變化率信號中加入幅值為0.05的正弦信號以模擬通道噪聲和測量誤差的影響。在非線性模型氣動參數中加入如式(36)的不確定性[23]。

圖1 翼展變形率

(36)

在仿真中,引入文獻[8]提出的控制方法作為對比,控制效果如圖2—圖4所示。任務目標為在10 s和25 s時分別跟蹤5°和-2°的攻角參考信號。在所提出的控制器作用下,盡管存在不精確調度參數和系統(tǒng)不確定性影響,系統(tǒng)仍然具有較好的跟蹤性能,攻角能夠穩(wěn)定跟蹤參考信號,同時俯仰角速率變化平穩(wěn),控制輸入未出現飽和情況,對不確定性具有魯棒性,有效避免了對比方法中由于未考慮魯棒設計所導致的系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入震蕩問題。

圖2 攻角響應

圖3 俯仰角速率響應

4 結論

針對變體飛行器姿態(tài)控制問題,提出一種不確定LPV系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器的設計方法,在使系統(tǒng)穩(wěn)定的同時能夠保證H∞/H2性能的期望上界。通過雙多面體建模,同時考慮了不精確調度參數和系統(tǒng)不確定性的雙重影響。仿真結果表明:

1) 系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能,能夠準確跟蹤給5°和-2°的參考信號,響應時間快,無超調量產生。

2) 本文中的魯棒設計能夠有效應對不精確調度參數和系統(tǒng)不確定性所導致的不利影響,系統(tǒng)響應曲線更為平滑,有效抑制了擾動和震蕩。