程峰　張林

【摘 要】 分析和調(diào)查學生在解答一道畫圖題時的困惑和思維盲點，有助于教師深入理解題目，挖掘題目，尋求適合學生解題思路和方法，并提煉出幾何模型，在發(fā)展學生思維能力的同時訓練了學生的幾何直觀能力、邏輯推理能力，從而提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 思維盲點;幾何模型;問題本質(zhì)

1 題目呈現(xiàn)

如圖1，在菱形ABCD中，P是CD的中點，O是對角線AC的中點，∠A=120°，連接BP，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下畫圖（不寫畫法，保留作圖痕跡）.

（1）在圖1中畫出BC的中點M.

（2）在圖2中畫出線段BP繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°后的圖形.

本題是筆者所在學校一次模擬考試題.本題以常見的含120°（或60°）角的菱形為背景，圖形簡潔，主要考查旋轉(zhuǎn)作圖，考查圖形結(jié)構(gòu)的內(nèi)在邏輯關(guān)系，對學生的數(shù)學素養(yǎng)要求較高.本題第（2）問得分率很低，不到20％（注：本文主要討論第（2）問，第（1）問略），大部分學生不能確定B點旋轉(zhuǎn)后的位置.有很多學生憑主觀臆斷，胡亂畫出B點旋轉(zhuǎn)后的位置，也有很多學生直接畫出旋轉(zhuǎn)后的線段，沒有畫圖痕跡.

2 學情分析

在教學之前，筆者對學生的錯誤畫法進行了分析，然后隨機抽取不同層次的學生若干名，讓他們談?wù)勗诳荚囘^程中對于此題遇到的困難或思維盲點.經(jīng)過交流和分析，筆者發(fā)現(xiàn)學生的困惑和思維盲點主要集中在以下三個方面：

（1）無方向：這道題圖形背景簡潔，但簡潔的同時，也給學生增加了難度，很多學生不知道往什么方向思考，毫無頭緒.

（2）無圖形：觀察圖形易知P點繞O點順時針旋轉(zhuǎn)60°到C點，△POC是等邊三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，B點繞O點順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點H，應(yīng)是以O(shè)B為邊的等邊三角形的頂點，也就是畫出另一個等邊三角形，但是很多學生沒想到.

（3）無思路：有學生雖然想到要畫等邊三角形，但是這個等邊三角形如何畫出？B點繞O點順時針旋轉(zhuǎn)后的位置如何確定？大部分學生找不到畫圖思路.

3 教學實施

3.1 分析圖形特征，初步感知問題

如圖3，為了有效尋找圖形的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，筆者提出問題：（1）菱形ABCD有什么特殊性質(zhì)？如果連接OP，能確定△POC的形狀么？（2）你能確定點P繞O點順時針旋轉(zhuǎn)60°后的位置嗎？（3）你能確定點B繞O點順時針旋轉(zhuǎn)60°后的大概位置嗎？

教學分析 通過分析圖形特征，在問題串的解決過程中，學生自然發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造出符合要求的輔助線，通過思考與嘗試，學生發(fā)現(xiàn)∠ACP=60°，且OP=OC，所以首先能確定P點繞O點順時針旋轉(zhuǎn)60°到C點，△POC是等邊三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，B點繞O點順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點H，應(yīng)是以O(shè)B為邊的等邊三角形的頂點.

3.2 轉(zhuǎn)化問題，尋求突破

問題 OH跟AB存在什么位置關(guān)系？

連接OB，由菱形的性質(zhì)知∠AOB=90°，因此問題轉(zhuǎn)化為在∠AOB內(nèi)部畫出以O(shè)B為邊，點O為頂點的60°角，即∠BOH=60°，又易知∠ABO=30°，所以∠OGB=90°，也就是OH⊥AB，如圖4，這樣問題又轉(zhuǎn)化為過點O畫線段OH⊥AB，垂足為點G.

3.3 繼續(xù)探究，確定思路

問題：如何確定點G的位置呢？又如何確定點H的位置呢？

要畫出垂線段OH，首先要確定點G的位置，猜想點G會是什么特殊點呢？如圖5，延長PO交AB于點E，則E點是AB的中點，OA=OE，易知∠BOE=∠OBE=30°，所以∠EOG=60°-30°=30°=∠AOG，所以點G是AE的中點（三線合一），這樣就確定了點G的位置.那么點H的位置又如何確定呢？如圖6，延長DA，OG，它們的交點即為點H.連接HE，易證四邊形OEHA，四邊形OEBK都是菱形，且菱形OEHA≌菱形OEBK，OH，OB分別是它們對應(yīng)的對角線，所以O(shè)H=OB，且∠BOH=60°，所以△OBH是等邊三角形，即B點繞O點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到點H.

教學分析 為了讓學生充分理解如何尋找點B旋轉(zhuǎn)后的位置，筆者將原問題分解成一連串相關(guān)問題，使學生從整體上把握問題的本質(zhì)，獲得解題思路.

3.4 畫法生成，發(fā)展思維

通過前面的思考和探究可知，只要畫出AE的中點，就能畫出B點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，那么僅利用無刻度的直尺如何畫出AE的中點呢？筆者放手讓學生合作探究，課堂上得出了以下六種畫法：如圖7—12，各圖中線段HC為線段BP繞O點順時針旋轉(zhuǎn)60°后的線段.

教學分析 通過循序漸進，抽絲剝繭的分析，最終得出只要畫出AE的中點，就能畫出B點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點.在整個思考和探究的過程中，使學生知其然，更知其所以然，較好地發(fā)散了學生的思維，訓練了學生的幾何直觀能力，邏輯推理能力，從而提升了學生的數(shù)學素養(yǎng).

3.5 提煉模型，理解本質(zhì)

當旋轉(zhuǎn)后的線段HC畫出來后，筆者讓學生回顧考試時遇到的困難和思維盲點，哪一步?jīng)]想到？為什么沒想到？是知識點遺忘還是方法不當？現(xiàn)在有哪些領(lǐng)悟？你能發(fā)現(xiàn)圖7—12中都蘊含的一個模型圖嗎？如果發(fā)現(xiàn)了，把它畫出來.當筆者把圖7—12中部分線段隱藏起來，都只留下圖13，學生紛紛感嘆，原來就是特殊的“手拉手”模型圖，原來此題就是把圖13隱藏起來，讓我們畫出來即可.為了讓學生進一步理解圖13，筆者讓學生盡可能的說出圖13的性質(zhì)：OP=OC，OB=OH，△OPC，△OBH都是等邊三角形，△BOP≌△HOC，BP=HC，BP與HC的夾角是60°，線段HC是由線段BP繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°得到.筆者把這種畫法形象地稱為“手拉手模型法”，并提醒學生今后在遇到有關(guān)線段旋轉(zhuǎn)的問題，首先可以考慮構(gòu)造出“手拉手模型圖”.

教學分析 筆者讓學生進行反思，讓學生明白“為什么這樣畫”“怎么想到要這樣畫”等問題，這需要教師引導學生對解題思路的認識不能僅停留在直覺層面，而要上升到理性層面.從畫完后的圖形中提煉出“手拉手”模型，既讓學生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，又是思維上的一次升華.

3.6 運用模型，深化理解

為了進一步使學生理解和運用手拉手模型，筆者趁熱打鐵，提出以下幾道變式問題：

（1）畫出BP繞O點順時針旋轉(zhuǎn)120°的線段，如圖14所示HK；（筆者提醒學生還是畫等邊三角么？）

（2）畫出BP繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)60°的線段，如圖15所示MH；

（3）畫出BP繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°的線段，如圖16所示AG；

（4）畫出BP繞A點順時針旋轉(zhuǎn)60°的線段，如圖17所示HF；

（5）畫出BP繞D點順時針旋轉(zhuǎn)60°的線段，如圖18所示MG.

教學分析 美國數(shù)學教育家G·波利亞曾說“好問題同某種蘑菇相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，應(yīng)當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個”.因此，自然想到改變旋轉(zhuǎn)中心或旋轉(zhuǎn)角度對原問題進行變式探究，這樣可以達到舉一反三，觸類旁通的效果，讓學生再次感悟“變中有不變”，即問題變了而畫法沒變，仍然是構(gòu)造“手拉手模型”.學生用已有的方法和經(jīng)驗解決新問題時，可以進一步感悟畫圖思路，提升解題能力，進一步理解、把握問題本質(zhì).

3.7 節(jié)外生枝，殊途同歸

正當筆者要結(jié)束此題的教學時，一位畫法正確的學生站起來說他的畫法跟筆者講的畫法不同.該生的思路是把BP看作是平行四邊形BCPG的對角線，因此先畫出 圖19BCPG繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°后的HFCA，連接對角線HC，則HC就是BP繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°后的線段.如圖19所示.筆者表揚該生能在考試時間緊張的情況下想到旋轉(zhuǎn)平行四邊形的方法，體現(xiàn)了思維的靈活性、變通性，同時也體現(xiàn)了整體與部分的思想.當然，也可以看作是把△PGB（△PBC）旋轉(zhuǎn)到△CAH（△CHF）.從最后的畫出的圖形看，本質(zhì)上還是“手拉手模型法”，用一個成語概括就是“殊途同歸”.

4 教學反思

4.1 分析學情，保障教學有的放失

學生解題時的困惑和思維盲點從某種意義上說也是教學的起點.筆者在教學之前對學生試卷上出現(xiàn)的錯誤予以分析并與若干名不同層次的學生進行交流，通過6個教學環(huán)節(jié)，層層推進，有序展開，在破除學生心中疑惑的同時成功突破本題的難點，達到了學生知其然更知其所以然的教學效果^[1].由此可見，只有建立在學生學情基礎(chǔ)上的備課，才是有針對性的備課，才是理解學生的備課；只有建立在學生學情上的教學，才能保障教學活動有的放矢.

4.2 有序思考，促進思維能力提升

從本題的各種畫法看，雖然最后畫出的圖形都是常見的手拉手模型，但是從學生的答題情況看，多數(shù)學生的思維障礙是難以確定旋轉(zhuǎn)后的位置，無法與手拉手模型建立聯(lián)系，無法將題中的條件進行整合，導致無法畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.這就需要教師在教學時給予學生充分暴露思維的機會，在思維盲點處加以點撥.教師要引導學生有效審題，有序思考，由“已知”想“可知”，由“未知”想“需知”，找到中間環(huán)節(jié)，構(gòu)建思維通道，尋找內(nèi)在聯(lián)系，從而理解問題的本質(zhì)，最終實現(xiàn)學生思維能力的有效提升^[2].

4.3 提煉模型，揭示問題本質(zhì)

解題教學要注重對數(shù)學模型的提煉.在教學中，充分利用“數(shù)學模型”，將學生難以理解的知識進行適當?shù)哪Ｐ吞幚?，以他們能夠理解和接受的方式呈現(xiàn)出來，與他們的思維水平和已有的知識結(jié)構(gòu)相融，學生就可以實現(xiàn)在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)對已有的知識的鞏固，同時提煉模型也有利于學生更好地理解問題本質(zhì)，揭示問題本質(zhì).

4.4 變式探究，落實素養(yǎng)提升

變式探究，一方面可以幫助學生鞏固先前的所學知識和方法，另一方面可以拓展學生的視野，使學生更深刻地把握問題結(jié)構(gòu)，理解問題本質(zhì).本節(jié)課幾個變式問題，既達到了鞏固練習的目的，又拓展了學生的思維；既培養(yǎng)了學生幾何直觀能力、邏輯推理能力，又落實了數(shù)學核心素養(yǎng)的提升.

參考文獻

[1]鄭金.貼近學情 提升能力 落實素養(yǎng)[J].中學數(shù)學教學參考（中旬）2022（8）；32-34.

[2]徐一鳴.夯基礎(chǔ) 長能力 促思考[J].中學數(shù)學教學參考（中旬）2019（4）；45-47.

作者簡介 程峰（1975—），男，中小學高級教師;主要研究初中數(shù)學教學.

張林（1985—），女，中小學一級教師;主要研究初中數(shù)學教學.