李 磊 胥 云 王松明 張加虎 陳 婷

（四川輕化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川 宜賓 644000）

數(shù)控機(jī)床是現(xiàn)代制造業(yè)的重要基礎(chǔ)，其加工精度直接影響被加工件質(zhì)量。根據(jù)誤差產(chǎn)生的機(jī)理不同來(lái)看，主要可分為4 大類：幾何誤差、熱誤差、控制誤差和切削力誤差[1]，其中幾何誤差又是機(jī)床的主要誤差來(lái)源。因此，減小機(jī)床的幾何誤差對(duì)于提高機(jī)床整機(jī)的加工精度具有重大的意義。機(jī)床的裝配精度的保證和提高主要依靠?jī)煞矫妫毫慵募庸ぞ?、裝配工藝過(guò)程的規(guī)劃[2]。

立式加工中心主要由床身、立柱、主軸箱、滑鞍和工作臺(tái)等部件組成，主軸安裝在主軸箱上，主軸箱通過(guò)直線導(dǎo)軌與立柱組合，并在伺服電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下沿立柱導(dǎo)軌上下運(yùn)動(dòng)。立柱與主軸箱具有保證主軸軸線與Z軸線運(yùn)動(dòng)間的平行度、與X、Y軸線運(yùn)動(dòng)間的垂直度的作用。將主軸箱體裝配在立柱導(dǎo)軌上，由于主軸箱體的重力矩而產(chǎn)生懸垂變形，導(dǎo)致移動(dòng)部件在位置上的錯(cuò)位和傾斜，對(duì)以上3 項(xiàng)精度有重大影響。立式加工中心結(jié)構(gòu)布局如圖1 所示。

圖1 結(jié)構(gòu)布局圖

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外對(duì)主軸軸線幾何誤差問(wèn)題主要采用提升立柱和主軸箱剛度、數(shù)控補(bǔ)償?shù)确椒?。胡世軍等[3]以立式加工中心為研究對(duì)象，基于慣性能量平衡原理對(duì)立柱的固有頻率進(jìn)行優(yōu)化。呂建波等[4]基于接合面理論，對(duì)立柱進(jìn)行受力分析，根據(jù)立柱與滑鞍構(gòu)成的直線導(dǎo)軌結(jié)合面，構(gòu)建結(jié)合面變形和正壓力沿結(jié)合面的線性函數(shù)平衡方程，得到直線導(dǎo)軌結(jié)合面在不同部位載荷的分布函數(shù)。何改云等[5]提出一種預(yù)先消除導(dǎo)軌基面靜變形的方法，通過(guò)優(yōu)化支撐方式得到裝配后導(dǎo)軌基面的最終變形。曹文智等[6]利用懸垂誤差補(bǔ)償原理有效提高了立式加工中心機(jī)床的幾何精度。李冰興等[7]通過(guò)對(duì)床身階梯導(dǎo)軌進(jìn)行高度差和跨度分析，提升了整機(jī)剛度，從而減小了主軸箱-立柱部分的幾何誤差。唐俊賢等[8]針對(duì)鏜銑加工中心滑枕?yè)隙日`差問(wèn)題，通過(guò)調(diào)整滑枕的預(yù)傾斜參數(shù)，再結(jié)合數(shù)控補(bǔ)償使擾度誤差減小。

機(jī)床制造企業(yè)在實(shí)際裝配中多采用增加配重使立柱后傾或者刮研主軸箱端面等措施來(lái)調(diào)整主軸軸線位置，以保證上述3 項(xiàng)精度，但是由于沒(méi)有深入研究，存在調(diào)整煩瑣、隨機(jī)性大等缺陷，因而生產(chǎn)效率低下。因此為了避免這種盲目性，實(shí)現(xiàn)以較為準(zhǔn)確的工藝參數(shù)來(lái)指導(dǎo)機(jī)床裝配的目標(biāo)，針對(duì)立式加工中心的主軸軸線幾何誤差問(wèn)題，提出一種結(jié)構(gòu)補(bǔ)償方法：通過(guò)銑削立柱底部結(jié)合面使立柱呈現(xiàn)預(yù)傾斜狀態(tài)彌補(bǔ)變形、改變主軸箱包容比提升結(jié)構(gòu)剛度從而提高主軸軸線的幾何精度。主軸軸線變形如圖2 所示，虛線為無(wú)重力狀態(tài)下的主軸軸線位置。

圖2 立柱前傾使主軸線偏移

1 立柱預(yù)傾斜研究方法

1.1 預(yù)傾斜原理

由于立柱在主軸箱重力作用下會(huì)產(chǎn)生前傾變形，使主軸發(fā)生偏移。因此，通過(guò)將立柱底部結(jié)合面銑削為具有一定角度的斜面，再將其安裝到床身上，使之呈現(xiàn)后傾效果，彌補(bǔ)產(chǎn)生的前傾角度。立柱預(yù)傾斜減小主軸軸線幾何誤差的方法如圖3 所示，虛線為無(wú)重力狀態(tài)下的主軸軸線位置。

圖3 立柱預(yù)傾斜設(shè)計(jì)方法示意圖

1.2 設(shè)計(jì)步驟

立柱預(yù)傾斜設(shè)計(jì)方法的關(guān)鍵是確定傾斜方向和傾斜角度使主軸與立柱裝配完成后在自身重力作用下抵消部分主軸軸線幾何誤差。研究?jī)?nèi)容包括主軸箱-立柱裝配體靜變形分析、確定預(yù)傾斜方向、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、構(gòu)建預(yù)傾角與主軸軸線幾何誤差之間的數(shù)學(xué)模型和多目標(biāo)遺傳算法尋優(yōu)等步驟，立式加工中心立柱預(yù)傾斜設(shè)計(jì)步驟如下：

（1）創(chuàng)建立式加工中心機(jī)床結(jié)構(gòu)的三維有限元分析模型。

（2）分析傾斜的極限位置，確定設(shè)計(jì)變量空間，進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，選取合適的有限元試驗(yàn)樣本點(diǎn)。

（3）利用有限元方法對(duì)選取的試驗(yàn)樣本點(diǎn)進(jìn)行靜力學(xué)分析，提取主軸軸線的坐標(biāo)變化，構(gòu)建預(yù)傾角與主軸軸線幾何誤差之間的數(shù)學(xué)模型。

（4）運(yùn)用多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行尋優(yōu)搜索運(yùn)算，確定相對(duì)最佳的變量數(shù)值。

（5）對(duì)優(yōu)化后的預(yù)傾斜設(shè)計(jì)模型進(jìn)行有限元分析計(jì)算，驗(yàn)證分析結(jié)果的可靠性。

2 靜力學(xué)分析

立式加工中心的結(jié)構(gòu)件基本是大型鑄件，為了減少不必要的計(jì)算量，對(duì)于包含的大量圓角、螺栓孔以及尺寸較小的凸臺(tái)和溝槽等細(xì)節(jié)特征的零件，將其在三維模型中進(jìn)行簡(jiǎn)化。X、Y、Z這3 個(gè)方向的行程分別為1 100 mm、600 mm、600 mm。

2.1 有限元模型建立

利用Ansys Workbench 對(duì)立式加工中心主軸箱-立柱部分進(jìn)行靜力分析，由于零部件構(gòu)造復(fù)雜，采用四面體網(wǎng)格劃分，節(jié)點(diǎn)數(shù)為746 357 個(gè)，單元數(shù)為512 354 個(gè)。對(duì)立柱底部施加固定支撐約束，添加重力載荷條件。在進(jìn)行有限元分析時(shí)，由于結(jié)合面特性對(duì)分析的結(jié)果有較大影響，因此機(jī)床Z向行程導(dǎo)軌與立柱、滑塊與主軸箱之間的螺栓固定接合面均進(jìn)行彈簧阻尼單元等效處理[9]，各接合面的參數(shù)值見表1。

表1 等效接合面參數(shù)值

2.2 靜力學(xué)分析

由于主軸箱部分的重力作用，立柱會(huì)產(chǎn)生一定的前傾變形，主軸箱也會(huì)產(chǎn)生一定的懸垂變形，導(dǎo)致主軸軸線發(fā)生偏轉(zhuǎn)。主軸箱在立柱的不同位置時(shí)，主軸偏移量也會(huì)隨之變化。主軸箱-立柱部分結(jié)構(gòu)變形4 所示。

從圖4 可以看出，在重力作用下，主軸箱產(chǎn)生懸垂變形以及立柱發(fā)生前傾導(dǎo)致主軸軸線位置和角度發(fā)生改變。在Z向行程導(dǎo)軌上提取27 個(gè)節(jié)點(diǎn)繪制出變形圖，得到Z向?qū)к壔嬖赮方向上的變形情況，如圖5 所示。

圖4 主軸箱-立柱結(jié)構(gòu)變形

圖5 Z 向?qū)к壷本€度誤差

由圖5 可知，隨著Z向坐標(biāo)的增加，Z向?qū)к壔嫜豗向變形量逐漸增大，最大變形量為14.46 μm，最小變形量為1.03 μm，最大變形差值為13.43 μm滿足國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)（Z向行程在500～800 mm，誤差小于15 μm），但依然存在優(yōu)化空間。

在Z向行程上以50 mm 為間距，均勻地選取13 個(gè)位置，再取主軸模型軸線上兩點(diǎn)，用兩點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算主軸軸線分別與X、Y軸的夾角，如圖6 所示。

圖6 主軸軸線與X、Y 軸垂直度誤差

3 主軸軸線幾何精度優(yōu)化

3.1 確定傾斜方式

對(duì)立柱后傾方式進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，由于主軸軸線與X軸的垂直度誤差較小，但與Y軸垂直度誤差較大，因此以YZ平面內(nèi)的傾斜角度為設(shè)計(jì)變量x1，楔形頂邊在立柱下結(jié)合面左側(cè)邊線。由圖6 可知，主軸箱在行程上止點(diǎn)的偏轉(zhuǎn)最大，為保證計(jì)算主軸線垂直度的準(zhǔn)確性，取主軸箱在上止點(diǎn)的位置計(jì)算，由a=800 mm、b=300 mm、c=300 mm、d=600 mm，得z=180 mm。根據(jù)GB/T 34880.2-2017 主軸軸線與Y軸線運(yùn)動(dòng)間的垂直度公差0.020/300，選取x1的設(shè)計(jì)空間為0″≤x1≤ 7.2″。同時(shí)為了探究合適的主軸箱包容比x2，將其作為設(shè)計(jì)變量之一，x2利用式（1）求的，0.8 ≤x2≤ 1。

主軸箱-立柱結(jié)構(gòu)尺寸示意圖如圖7 所示。

圖7 設(shè)計(jì)變量圖

主軸安裝在主軸箱上，隨著立柱與主軸箱的變形而偏轉(zhuǎn)，因此選取XY平面作為基準(zhǔn)建立空間坐標(biāo)系，通過(guò)提取主軸軸線上兩點(diǎn)的變形位移，計(jì)算得到主軸軸線與Y軸垂直度誤差為fY。

式中：?z、?y分別為主軸軸線設(shè)計(jì)點(diǎn)的Z、Y 軸坐標(biāo)變化量。

主軸軸線與Z軸線運(yùn)動(dòng)間的平行度誤差為fZ。

式中：Li為主軸軸線與Z向?qū)к壘嚯x，i為Z向?qū)к壔鎸?shí)驗(yàn)點(diǎn)序號(hào)i=1:27。

3.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

拉丁超立方是一種分層抽樣方法，其依照等概率抽取的原理，從而得到均勻的樣本點(diǎn)分布，對(duì)于數(shù)值模擬結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析，具有良好的區(qū)間代表性，進(jìn)而可以提高分析結(jié)果的精度和效率。

在樣本空間中均勻地選取15 個(gè)樣本點(diǎn)進(jìn)行有限元仿真計(jì)算，試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)及結(jié)果見表2。

表2 樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)及結(jié)果

3.3 構(gòu)建響應(yīng)面模型

響應(yīng)面法是一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)方法[10]，針對(duì)進(jìn)行合理試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)結(jié)果，利用多元回歸方程擬合設(shè)計(jì)變量與響應(yīng)值之間的函數(shù)關(guān)系，從而得到相應(yīng)的響應(yīng)面模型，再在該模型的基礎(chǔ)上做進(jìn)一步的優(yōu)化分析研究。響應(yīng)面是指響應(yīng)變量η與一組輸入變量（ζ1,ζ2,ζ3,···,ζk）之間的函數(shù)關(guān)系式。

根據(jù)泰勒多項(xiàng)式擬合函數(shù)的特性，高階的多項(xiàng)式更能近似表達(dá)目標(biāo)函數(shù)，但是隨著階數(shù)的增加其計(jì)算成本也會(huì)呈指數(shù)倍增長(zhǎng)。因此選擇二階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型來(lái)逼近目標(biāo)函數(shù)，既保證了計(jì)算精度，又提高了計(jì)算效率。通過(guò)表2 數(shù)據(jù)可以得到響應(yīng)目標(biāo)函數(shù)的擬合公式及響應(yīng)面圖如圖8、圖9 所示。

圖8 設(shè)計(jì)變量與垂直度誤差的響應(yīng)

圖9 設(shè)計(jì)變量與平行度誤差的響應(yīng)

主軸軸線與Y軸垂直度誤差擬合公式：

主軸軸線與Z軸平行度誤差擬合公式：

3.4 多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化

改進(jìn)型非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）又稱多目標(biāo)遺傳算法[11]。基于NSGA-Ⅱ的多目標(biāo)優(yōu)化算法求解流程如圖10 所示。

圖10 遺傳算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程

遺傳算法屬于啟發(fā)式算法，是一種通過(guò)模擬遺傳機(jī)理和自然選擇來(lái)尋找最優(yōu)解的數(shù)學(xué)工具。它從一個(gè)含有多個(gè)初始個(gè)體的種群開始，根據(jù)個(gè)體的優(yōu)劣為每一個(gè)個(gè)體賦予一個(gè)適應(yīng)度值。然后根據(jù)優(yōu)勝劣汰的自然法則，選擇適應(yīng)度值高的個(gè)體進(jìn)行繁殖產(chǎn)生下一代個(gè)體。一般情況下，兩個(gè)父代個(gè)體會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)子代，從而保證每代的種群數(shù)量穩(wěn)定不變。種群一代接著一代循環(huán)上述過(guò)程，直到某一代種群個(gè)體滿足給定的限定條件，則一次優(yōu)化操作完成。

以主軸軸線與Y軸線運(yùn)動(dòng)間的垂直度誤差、主軸軸線與Z軸平行度誤差為目標(biāo)函數(shù)，建立主軸軸線幾何精度優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型：

通過(guò)迭代計(jì)算，獲得多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的Pareto解集，再?gòu)闹羞x取最為合適的折中解。

4 優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證

將預(yù)傾角及包容比尺寸優(yōu)化后，重新構(gòu)建有限元模型，施加載荷約束，對(duì)主軸-立柱部分進(jìn)行靜力分析計(jì)算，得到采用優(yōu)化后主軸軸線幾何誤差。

驗(yàn)證結(jié)果見表3。

表3 優(yōu)化前后結(jié)果對(duì)比

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)立式加工中心主軸軸線在重力作用下幾何精度降低的問(wèn)題，提出一種預(yù)傾斜結(jié)構(gòu)補(bǔ)償方案?；赟olidWorks 和Ansys 建立立式加工中心主軸軸線幾何誤差模型，探究了預(yù)傾角和包容比對(duì)主軸軸線幾何誤差的影響函數(shù)關(guān)系，求解得到最佳預(yù)傾角為3.56″和最佳包容比0.972。最后通過(guò)仿真對(duì)比，優(yōu)化后的主軸軸線與Y軸線運(yùn)動(dòng)垂直度誤差減小了7.67%，主軸軸線與Z軸平行度誤差減小了53.5%，驗(yàn)證了本文所提結(jié)構(gòu)補(bǔ)償方案的有效性。