趙 翔 袁銘澤 方仕童 李映輝

* (西南石油大學土木工程與測繪學院,成都 610500)

? (深圳大學機電與控制工程學院,廣東深圳 518060)

** (西南交通大學力學與航空航天學院,成都 610031)

引言

近年來,能量采集技術(shù)得到了大力發(fā)展,許多研究致力于將自然環(huán)境中容易忽視的能量如太陽能、熱能、振蕩能等轉(zhuǎn)換為電能.在諸多能量來源中,由各種機械設(shè)備、道路、建筑等產(chǎn)生的機械振動是主要能量來源之一,因此將機械振動能轉(zhuǎn)化為電能成為實現(xiàn)能量轉(zhuǎn)化的普遍方式之一[1].其中,繞x軸旋轉(zhuǎn)的梁結(jié)構(gòu)是工程應(yīng)用中極為廣泛的一種基本機械元件[2-3],其在現(xiàn)代生產(chǎn)生活中廣泛存在,如機械中的角速度傳感器[4]、航空航天中的旋翼、鉆井中的鉆桿等,其中的諸多旋轉(zhuǎn)元件都可以用自旋梁來模擬其運動狀態(tài)及振動特征[5-6].由于自旋梁在高速旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的振動比普通梁更為強烈[7-10],因此有必要對自旋梁進行振動能量采集.

壓電振動能量采集最早由美國Inman 等[11-12]提出,其在Euler-Bernoulli 梁假設(shè)下,研究了懸臂式壓電俘能器在基座橫向運動時所產(chǎn)生的橫向振動的精確解析解.Zhao 等[13]應(yīng)用格林函數(shù)法對懸臂式Timoshenko 直梁壓電俘能器進行了動力學分析,得到了強迫振動的解析解,并探究了各類因素對電壓響應(yīng)的影響.在直梁的基礎(chǔ)上,何艷麗等[14]用格林函數(shù)法對Timoshenko 曲梁壓電俘能器進行了動力學分析,此外,趙翔等[15]提出采用逆方法對含裂紋的曲梁壓電俘能器進行損傷檢測.Niazi 等[16]提出了一種帶動態(tài)放大器的懸臂壓電-磁致收縮雙穩(wěn)態(tài)混合能量采集器,該系統(tǒng)包括兩個振動自由度和兩個電自由度,其可在提高發(fā)電功率的同時獲得更寬的激勵頻帶.為了實現(xiàn)風能驅(qū)動壓電能量采集器振動發(fā)電,Priore 等[17]提出了一種基于渦激振動和馳振相互作用的氣動彈性壓電能量采集器,其旨在優(yōu)化俘能器在低風速范圍內(nèi)的俘能性能;Zhao 等[18]通過引入Lamb-Oseen 渦旋模型,對懸臂式壓電俘能器的渦激振動進行了動力學分析.

雖然對于壓電振動能量采集研究已經(jīng)形成了較為完整的理論體系,部分理論成果也已付諸于實際工程中,但這些成果中的壓電俘能器大部分采用非旋轉(zhuǎn)梁的形式,雖有少量研究采用自旋梁形式,但其結(jié)構(gòu)均為矩形截面,且無軸向載荷以及外激勵作用的自由振動[19-20].周蘭偉等[21]基于模擬退火算法對受軸向載荷作用的自旋梁壓電分流電路進行優(yōu)化,但其未考慮梁上受外激勵作用;Wang 等[22]結(jié)合翹曲效應(yīng)和自旋效應(yīng)的影響,建立了具有分布式壓電傳感器的非對稱截面自旋梁的控制方程;Yang 等[23]研究了表面粘貼壓電薄膜的彈性梁自旋時的彎曲振動,得到了自旋梁在交流電壓激勵下強迫振動的解析解.由此可見,隨著機械系統(tǒng)的復雜化和智能化,自旋梁俘能器的研究很有必要.

針對上述問題,本文采用擴展Hamilton 原理建立了軸向載荷以及梁上外激勵共同作用下自旋梁壓電俘能器強迫振動的力電耦合模型,并創(chuàng)新性地采用格林函數(shù)法求解自旋梁俘能器的壓電響應(yīng).數(shù)值計算中將自旋梁俘能器與非旋轉(zhuǎn)梁俘能器的集能效率進行對比分析,探究了自旋梁俘能器的轉(zhuǎn)速、電阻等重要物理參數(shù)對輸出電壓和諧振頻率的影響,以期為自旋梁壓電俘能器在不同諧振頻率下的能量采集以及振動研究提供理論參考.

1 壓電俘能器模型的建立

俘能器采用受外載荷p(x,t)和軸向載荷T0的自旋直梁(外層為壓電層,內(nèi)層為結(jié)構(gòu)層)作為主體結(jié)構(gòu),p(x,t)與y方向的夾角為,其在y方向與z方向的分力分別為p1,p2,連接負載電阻Rl形成閉合回路進行模擬,如圖1 所示.假定壓電層和結(jié)構(gòu)層緊密貼合,梁長為L.圖2 所示為俘能器的橫截面示意圖,外直徑為D,結(jié)構(gòu)層直徑為d,壓電層厚度為hp,x-y方向和x-z方向上的彎曲剛度為EI,Euler-Bernoulli梁繞x軸以速度旋轉(zhuǎn),μ表示單位長度梁的質(zhì)量.

圖1 自旋梁壓電俘能器模型Fig.1 The model of spinning piezoelectric energy harvester

圖2 自旋梁壓電俘能器橫截面示意圖Fig.2 The cross section of spinning piezoelectric energy harvester

根據(jù)Euler-Bernoulli 梁理論,梁的剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量很小,在分析中忽略不計.梁上任一點的變形可以用向量r表示為[24]

式中,v和w分別是y和z方向上的橫向位移,i和j分別是y和z方向上的單位向量,梁上任一點的速度可以表示為

壓電俘能器的勢能為

式中,σxx(εxx)是法向應(yīng)力(法向應(yīng)變).根據(jù)PZT-5A 的本構(gòu)關(guān)系可以得到

本文中,“s”表示結(jié)構(gòu)層參數(shù),“p”表示壓電層參數(shù);d31表示壓電常數(shù);Eh=-v(t)/hp,Eh表示厚度方向上的電場強度,v(t)表示電路中的電壓.基于Euler-Bernoulli 梁應(yīng)變與位移的幾何關(guān)系,壓電俘能器的勢能為

式中,“′”表示對空間坐標x的導數(shù),Es和Ep分別是結(jié)構(gòu)層和壓電層的楊氏模量,(EI)eff表示等效彎曲剛度,Cp1,Cp2,Cp3,Cp4表示耦合系數(shù),分別表示為

非保守力p所做的虛功為

根據(jù)Hamilton 原理

式中,δ表示變分運算,將式(3)、式(6)、式(8)帶入式(9)并化簡可得壓電俘能器模型動力學方程為

由圖1 可知,壓電俘能器模型采用簡支梁形式,則邊界條件為

2 力電耦合的電路控制方程

本節(jié)基于參考文獻[25]中的方法建立了電路方程,電路為歐姆電路.根據(jù)參考文獻[26],對于自旋Euler-Bernoulli 梁壓電俘能器,考慮以下壓電本構(gòu)關(guān)系

式中,hpc表示質(zhì)量中心線到壓電層中性軸的距離.將式(14)代入式(13)得

根據(jù)參考文獻[25],電荷q(t)可以通過對電極區(qū)域上的電位移進行積分來獲得

式中,D是電位移矢量,n是單位外法向矢量,由壓電俘能器產(chǎn)生的電流i(t)表示為

基于v(t)=Rli(t),電路方程可以推導為

3 穩(wěn)態(tài)的力電耦合壓電俘能器模型

假設(shè)梁上作用的簡諧載荷p(x,t)=P(x)eiΩt,其中Ω為載荷的激勵頻率,則相應(yīng)的p在y,z方向上的分力以及位移,電壓可以分別假設(shè)為如下形式

其中,V(x),W(x)和(x)分別是穩(wěn)態(tài)的平面內(nèi)位移、平面外位移和電壓.為了簡化系統(tǒng),進行分離變量,消除時間變量t,將式(19)代入式(10),式(11)中可得分離變量后的控制方程為

簡化后的壓電俘能器穩(wěn)態(tài)控制方程為

穩(wěn)態(tài)電路方程

4 壓電俘能器穩(wěn)態(tài)強迫振動的格林函數(shù)

從式(22)和式(23)可知,壓電俘能器的穩(wěn)態(tài)位移由外部載荷P和電耦合效應(yīng)[δ(x)-δ(x-L)]2,[δ(x)-δ(x-L)]引起.根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理,穩(wěn)態(tài)位移V和W可以分為V1(W1),V2(W2)和V3(W3)三部分,即V(W)=V1(W1)+V2(W2)+V3(W3),每部分分別由P,[δ(x)-δ(x-L)]2和[δ(x)-δ(x-L)] 引起,V1(W1),V2(W2)和V3(W3)分別為Case1,Case2 和Case3 的解,每部分又需分為兩種情況進行計算,即

4.1 Case1-1 的格林函數(shù)

根據(jù)格林函數(shù)的物理意義,Case1-1 的格林函數(shù)G11(x;x0)為式(38)和式(39)的解

式中,δ(·)是Dirac 函數(shù),x0表示單位力作用的位置,對式(38),式(39)進行關(guān)于x的Laplace 變換

其中

參數(shù)s是復變量,W(0),W′(0),W′′(0),W′′′(0),V(0),V′(0),V′′(0)和V′′′(0)是可由梁的邊界條件確定的待定系數(shù),再將式(40)和式(41)進行Laplace 逆變換,即可以得到Case1-1 情況下的格林函數(shù)

式中,H(x-x0)是Heaviside 函數(shù),?1和 ?10表示自旋梁系統(tǒng)的受迫振動項,其余的 ?i為自旋梁系統(tǒng)的自由振動項,即自由振動模態(tài),它們的表達式分別為

其中,si是代數(shù)方程F(s)=0 即式(42)等于0 的根.Ai的表達式分別為

4.2 Case1-2～Case3-2 的格林函數(shù)

根據(jù)格林函數(shù)理論,Case1-2～Case3-2 的求解過程與Case1-1 的過程類似.其格林函數(shù)表示為

其中,i=2,3;j=1,2;m=17,19,21,23;n=m+1.

5 確定格林函數(shù)的待定系數(shù)

基于式(12)中的邊界條件V(0)=0,V′′(0)=0,W(0)=0,W′′(0)=0,Case1-1 和Case1-2 的格林函數(shù)可以簡化為

其中,當j=1 時,m=1,n=10;j=2 時,m=15,n=16.

Case2-1～Case3-2 的格林函數(shù)可以簡化為

其中,i=2,3;j=1,2;m=17,19,21,23;n=m+1.常數(shù)W′(0),W′′′(0),V′(0),V′′′(0)可以由以下矩陣方程確定,該方程是從其余4 個邊界條件導出的

其中

當為Case1-1 時,m=1,n=10;當為Case1-2 時,m=15,n=16;當為Case2-1～Case3-2,m=17,19,21,23,n=m+1 且T=T·.

6 力電耦合系統(tǒng)的解耦

根據(jù)第5 節(jié),基于線性系統(tǒng)的疊加原理和格林函數(shù)的可疊加性對系統(tǒng)進行解耦,梁的位移V(x)和W(x)可表示為

7 數(shù)值結(jié)果與討論

7.1 簡諧激勵

將簡諧激勵視為外載荷作用在自旋梁壓電俘能器上.若基礎(chǔ)位移不等于零,梁的絕對位移w(x,t)為基礎(chǔ)位移wb(x,t)與絕對位移wrel(x,t)的疊加[27],對于簡諧激勵有

即穩(wěn)態(tài)的基礎(chǔ)位移Wb=A1,Vb=A2,進一步可得基礎(chǔ)加速度Ab1=-?2A1,Ab2=-?2A2;外力p(x,t)=P(x)ei?t可以寫作

其中,A1,A2分別表示平面內(nèi)位移和平面外位移的振幅.將式(62)代入電壓表達式(60)中,可得簡諧激勵下的穩(wěn)態(tài)電壓為

在本節(jié)中,為了簡便起見,引入無量綱化參數(shù)

7.2 解的有效性驗證

7.2.1 數(shù)值計算驗證

本小節(jié)通過俘能器模型的退化解與已發(fā)表文獻的數(shù)值計算結(jié)果進行對比,驗證本文解析解的有效性.通過去除壓電層,并將軸力設(shè)為0,設(shè)定與文獻[28]中相同的材料參數(shù)

分別計算得出了不同轉(zhuǎn)速下的前6 階固有頻率,將其與文獻[28]中固有頻率進行對照,結(jié)果如圖3 所示.從圖中可以看出,去除壓電層和軸向載荷后的前六階固有頻率與文獻中的數(shù)值計算結(jié)果基本吻合,驗證了本文解的有效性.

圖3 前6 階固有頻率對比Fig.3 Lowest six dimensionless natural frequencies of the spinning beam

7.2.2 實驗驗證

本小節(jié)通過與文獻[29]中的實驗結(jié)果對比驗證本文解的有效性.文獻[29] 所采用的實驗設(shè)備如圖4 所示,通過設(shè)定與文獻中相同的材料參數(shù),分別計算得出轉(zhuǎn)速為300 r/min 時前3 階固有頻率,與文獻中實驗的對照結(jié)果如表1 所示.從表中可以看出,數(shù)值計算結(jié)果與實驗結(jié)果基本吻合,進一步驗證了本文解的有效性.

表1 =300 r/min 時前3 階固有頻率對比Table 1 Comparison of first three natural frequencies between the present and Ref.[29] (=300 r/min)

表1 =300 r/min 時前3 階固有頻率對比Table 1 Comparison of first three natural frequencies between the present and Ref.[29] (=300 r/min)

圖4 實驗設(shè)備Fig.4 Experimental equipment

表2 壓電自旋梁的幾何參數(shù)、壓電參數(shù)取值Table 2 Geometrical and electromechanical parameters of the spinning beam

7.3 各物理參數(shù)對頻率-壓電響應(yīng)的影響

本部分分別探究了轉(zhuǎn)速、電阻、壓電常數(shù)和軸力對壓電響應(yīng)和諧振頻率的影響,為自旋梁壓電俘能器更好的設(shè)計應(yīng)用提供理論依據(jù).

作為自旋結(jié)構(gòu),轉(zhuǎn)速是影響自旋梁結(jié)構(gòu)振動的關(guān)鍵因素之一.圖5 分別選取了=1.5,2.0,2.5,3 分析轉(zhuǎn)速對頻率-壓電響應(yīng)的影響情況.從圖5 中可以看出轉(zhuǎn)速對諧振頻率的影響較大,并且轉(zhuǎn)速越高,俘能器的基頻越高,最大輸出電壓也越高,在高頻激勵時的頻率跨度越小.從力學的角度出發(fā),自旋梁在兩個方向上的1 階頻率隨轉(zhuǎn)速的提高是由離心硬化效應(yīng)引起的,即離心力使梁的剛度提高.此外,自旋梁俘能器的工作效率遠高于非旋轉(zhuǎn)梁俘能器,這主要是由于高速旋轉(zhuǎn)加劇了梁的振動.

圖5 轉(zhuǎn)速對響應(yīng)的影響Fig.5 The frequency response of voltage with different spinning speed

圖6 分析了負載電阻對頻率-壓電響應(yīng)的影響.如圖所示,壓電響應(yīng)隨著負載電阻的增大逐步增強,電阻Rl=1.0×103Ω 和Rl=1.0×104Ω 時電壓響應(yīng)函數(shù)曲線除在低頻激勵下有少許差別外,在中高頻激勵下響應(yīng)曲線基本重疊無明顯差別,而當負載電阻高于1.0×104Ω 即Rl=2.0×104Ω 時,其產(chǎn)生的電壓響應(yīng)曲線與Rl=1.0×104Ω 時的曲線幾乎無差別,同時無論是低頻激勵還是高頻激勵,產(chǎn)生壓電響應(yīng)的諧振頻率不隨負載電阻的變化而變化.因此該俘能器的最優(yōu)負載電阻為10 kΩ.

圖6 電阻對響應(yīng)的影響Fig.6 The frequency response of voltage with different resistive loads

在壓電材料制備領(lǐng)域,通過低溫燒結(jié)的方法與多種化學元素混合,如錳和鉛,材料的壓電常數(shù)很容易發(fā)生改變.因此,基于壓電響應(yīng)來選取最優(yōu)壓電常數(shù).本文數(shù)值算例中所用的壓電材料為一種特殊類型的軟壓電材料: PZT-5A/5H,材料型號為3195D,這種軟壓電材料在最近的壓電俘能器研究中得到了廣泛的應(yīng)用[30].如圖7 所示,與電阻趨勢一致,壓電響應(yīng)隨著壓電常數(shù)的增大而增大,而諧振頻率不隨壓電常數(shù)發(fā)生變化.

圖7 壓電常數(shù)對響應(yīng)的影響Fig.7 The frequency response of voltage with different piezoelectric constants

圖8 選取了T0/Tcr=0.1,0.2,0.3,0.4 分別分析軸向壓縮載荷和軸向拉伸載荷對頻率-壓電響應(yīng)的影響情況.從圖中可以看出無論是軸向壓縮載荷還是軸向拉伸載荷對電壓響應(yīng)的諧振頻率都會產(chǎn)生影響,但其相對于轉(zhuǎn)速對諧振頻率的影響較小.在中低頻激勵時,軸向載荷越大,壓電響應(yīng)越大,而在高頻激勵時壓電響應(yīng)隨著軸向載荷的增大而逐漸減小.兩者不同的是,中低頻激勵時諧振頻率的跨度隨著軸向壓縮載荷的增大而逐漸減小,而隨著軸向拉伸載荷的增大逐漸增大.

圖8 軸向載荷對響應(yīng)的影響Fig.8 The response of voltage with different axial load

8 結(jié)論

本文首先運用能量法建立了受軸向載荷和梁上外激勵共同作用下的自旋梁壓電俘能器力電耦合模型,其次利用格林函數(shù)法推導出該模型的電壓解析解,最后在數(shù)值計算中,通過與現(xiàn)有文獻解以及實驗結(jié)果進行對比,驗證了本文解的有效性,并探究了自旋梁俘能器在負載電阻,轉(zhuǎn)速等物理參數(shù)影響下電壓響應(yīng)的變化情況,以期為自旋梁俘能器在不同諧振頻率下的能量采集以及動力學分析提供理論參考,結(jié)論如下:

(1)自旋梁俘能器的壓電響應(yīng)隨電阻阻值的增大而增大,直至阻值達到最優(yōu)負載電阻;

(2)自旋梁的轉(zhuǎn)速越高,壓電響應(yīng)越高,但基頻也越高,應(yīng)根據(jù)實際工程情況選擇合適的轉(zhuǎn)速;

(3)自旋梁俘能器的工作效率遠高于非旋轉(zhuǎn)梁俘能器.