陳素根，劉玉菲

1.安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133

2.安徽省大別山區(qū)域復(fù)雜生態(tài)系統(tǒng)建模、仿真與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 安慶 246133

3.安徽省皖江流域種群生態(tài)模擬與控制國際聯(lián)合研究中心，安徽 安慶 246133

聚類分析是無監(jiān)督學(xué)習(xí)問題，它考慮無標(biāo)簽數(shù)據(jù)內(nèi)部自身結(jié)構(gòu)，將數(shù)據(jù)聚成若干類，被廣泛應(yīng)用于社區(qū)檢測(cè)、圖像處理和基因分析等方面[1-2]。K-means 算法[3]是經(jīng)典的基于劃分思想的聚類算法，它通過迭代尋找k個(gè)聚類中心點(diǎn)，使得總體誤差最小。受K-means算法的啟發(fā)，通過迭代尋找k個(gè)聚類中心平面。2000年，Bradley 等人[4]提出了k平面聚類算法（K-plane clustering，KPC），開啟了基于平面聚類算法的新思路。然而，KPC通過二次函數(shù)度量類內(nèi)散度，要求數(shù)據(jù)點(diǎn)盡可能接近聚類中心平面，僅僅考慮了類內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)聚類效果影響，從而該算法聚類效果不佳。為了克服KPC存在的問題，Liu等人[5]提出了k近端平面聚類算法（K-proximal plane clustering，KPPC），KPPC同時(shí)考慮了類內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)和類間數(shù)據(jù)點(diǎn)的影響，每類數(shù)據(jù)點(diǎn)更加接近該類中心平面而其他類數(shù)據(jù)點(diǎn)盡可能遠(yuǎn)離。為了提升KPC 和KPPC 的性能，2015年，Wang 等人[6]提出了孿生支持向量機(jī)聚類算法（twin support vector clustering，TWSVC），該算法需要求解一系列二次規(guī)劃問題，計(jì)算相對(duì)復(fù)雜。同時(shí)，TWSVC 基于Hinge 損失函數(shù)度量類間離散程度，由于Hinge 損失函數(shù)是無界函數(shù)，導(dǎo)致TWSVC 算法對(duì)遠(yuǎn)離中心平面的數(shù)據(jù)點(diǎn)比較敏感。為了解決這個(gè)問題，2019 年，Wang 等人[7]利用有界的Ramp 損失函數(shù)代替Hinge 損失函數(shù)，提出了基于Ramp 損失的孿生支持向量機(jī)聚類算法（Ramp-based twin support vector clustering，RampTWSVC），該算法通過交替迭代求解非凸優(yōu)化問題，對(duì)遠(yuǎn)離聚類中心平面的數(shù)據(jù)點(diǎn)相對(duì)魯棒。然而，Ramp 損失函數(shù)是一種對(duì)稱的函數(shù)，對(duì)聚類中心平面兩邊的數(shù)據(jù)點(diǎn)采用相同的懲罰，沒有考慮數(shù)據(jù)分布的問題[8]。近年來，支持向量機(jī)損失函數(shù)方面的研究被廣泛關(guān)注[9-11]，且非對(duì)稱損失函數(shù)的孿生支持向量機(jī)聚類算法逐漸成為新的研究熱點(diǎn)[12-13]。

綜上分析，受RampTWSVC 和非對(duì)稱損失函數(shù)的啟發(fā)，本文首先構(gòu)造了一個(gè)非對(duì)稱Ramp 損失函數(shù)，并在此基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)的Ramp損失孿生支持向量機(jī)聚類算法，簡(jiǎn)稱IRampTWSVC。該算法有以下優(yōu)點(diǎn)：（1）非對(duì)稱Ramp損失函數(shù)繼承了Ramp損失函數(shù)的有界性特點(diǎn)，可以有效降低遠(yuǎn)離聚類中心平面數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)聚類中心平面的影響。同時(shí)，它又具有非對(duì)稱損失函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)不同位置的數(shù)據(jù)點(diǎn)采用不同的懲罰，使得該算法更加魯棒。（2）參數(shù)t可以靈活調(diào)節(jié)非對(duì)稱的Ramp損失函數(shù)的表達(dá)式，以適應(yīng)不同的數(shù)據(jù)分布，使得IRampTWSVC 具有更好的泛化性能。特別地，當(dāng)參數(shù)t等于1 時(shí)，IRampTWSVC 退化為RampTWSVC。（3）多個(gè)UCI數(shù)據(jù)集和人工數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文所提IRampTWSVC算法的有效性。

1 相關(guān)工作

對(duì)于聚類問題，本文考慮m個(gè)n維數(shù)據(jù)點(diǎn){x1,x2,…,xm}，用一個(gè)矩陣表示為X=(x1,x2,…,xm)∈Rn×m，第i簇?cái)?shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)矩陣Xi，其余簇的數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)矩陣。設(shè)這m個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)屬于k簇，對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽為y∈{1,2,…,k}。

對(duì)于含有k簇的聚類問題，TWSVC 尋找k個(gè)聚類中心平面，設(shè)第i簇中心平面為：

它要求第i簇?cái)?shù)據(jù)點(diǎn)盡可能聚集在這一簇中心平面周圍，其余簇?cái)?shù)據(jù)點(diǎn)盡可能遠(yuǎn)離這一簇中心平面。線性TWSVC優(yōu)化問題[6]如下：

其中，c表示懲罰參數(shù)，ξi是松弛向量，e表示分量全為1的適當(dāng)維數(shù)向量。

經(jīng)過一系列推導(dǎo)，優(yōu)化問題（2）轉(zhuǎn)化為如下對(duì)偶問題：

受TWSVC 啟發(fā)，Wang 等人[7]利用有界的Ramp損失函數(shù)代替Hinge 損失函數(shù)，提出了基于Ramp 損失的孿生支持向量機(jī)聚類算法（RampTWSVC）。Ramp損失函數(shù)定義如下：

其中，Δ∈[0,1)和s∈(-1,0]是用于控制損失函數(shù)形式的兩個(gè)常量，|ρ|=x+bi|表示偏差，(ρ)表示類內(nèi)損失函數(shù)，(ρ)表示類間損失函數(shù)。

對(duì)第i簇中心平面，線性RampTWSVC的優(yōu)化問題為：

其中，f(xj;wi,bi)=+bi。

簡(jiǎn)單起見，記ui=(wi,bi)T，將每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)維數(shù)增加一維且取值為1。于是，第i簇?cái)?shù)據(jù)點(diǎn)記為Zi=[Xi,e]，其余簇的數(shù)據(jù)點(diǎn)記為=[,e]。經(jīng)過一系列代數(shù)運(yùn)算，式（5）可轉(zhuǎn)化為：

顯然，式（6）是一個(gè)非凸優(yōu)化問題，引入輔助向量p1∈{-1,0,1}mi和p2∈{-1,0,1}m-mi，其中mi表示第i簇?cái)?shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)，優(yōu)化問題式（6）等價(jià)于下面的混合整數(shù)規(guī)劃問題：

其中，p1(j)和p2(j)分別表示p1和p2的第j個(gè)元素。

給定初始向量，通過式（7）的約束條件計(jì)算(t=1,2,…)固定時(shí)，式（7）轉(zhuǎn)化為一個(gè)無約束凸優(yōu)化問題，可以通過序列最小優(yōu)化（sequential minimal optimization，SMO）等算法求解。當(dāng)解出之后，再通過式（7）更新和，這樣不斷交替迭代下去，直到式（7）的目標(biāo)函數(shù)值不下降，終止迭代并得到最優(yōu)解。對(duì)任意數(shù)據(jù)點(diǎn)x，按照以下規(guī)則進(jìn)行聚類：

利用核技巧可將線性RampTWSVC模型推廣到非線性RampTWSVC模型，詳細(xì)內(nèi)容可見參考文獻(xiàn)[7]。

2 IRampTWSVC

2.1 非對(duì)稱Ramp損失函數(shù)

由Ramp損失函數(shù)的定義知道，它是一種對(duì)稱的損失函數(shù)，對(duì)聚類中心平面兩側(cè)的數(shù)據(jù)點(diǎn)采用相同懲罰，沒有考慮數(shù)據(jù)的分布。因此，本文對(duì)Ramp 損失函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，構(gòu)造一種非對(duì)稱的Ramp 損失函數(shù)，對(duì)不同位置的數(shù)據(jù)點(diǎn)采用不同的懲罰，具體定義如下：

其中，Δ∈[0,1)，s∈(-1,0]和t∈[0,1]是用于控制損失函數(shù)形式的3個(gè)常量，(ρ)表示類內(nèi)損失函數(shù)，表示類間損失函數(shù)，|ρ|=+bi|表示偏差。

顯然，由式（9）可知，非對(duì)稱Ramp損失函數(shù)也是有界函數(shù)，保留了Ramp 損失函數(shù)有界的特性，繼承了Ramp損失函數(shù)的優(yōu)勢(shì)，可以有效降低遠(yuǎn)離聚類中心平面的數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)聚類中心平面的影響，從而對(duì)噪聲或異常點(diǎn)具有較好的魯棒性。特別地，當(dāng)t=1 時(shí)，非對(duì)稱Ramp 損失函數(shù)退化為Ramp 損失函數(shù)。同時(shí)，當(dāng)參數(shù)t在[0,1)之間取值時(shí)，式（9）所定義的損失函數(shù)為非對(duì)稱的，它對(duì)聚類中心平面兩邊的數(shù)據(jù)點(diǎn)采用不同的懲罰，有利于刻畫數(shù)據(jù)的分布特征，使模型具有更好的泛化性能。

總之，式（9）所定義的非對(duì)稱Ramp 損失函數(shù)是基于數(shù)據(jù)分布的，從類內(nèi)損失和類間損失兩個(gè)角度考慮給予數(shù)據(jù)點(diǎn)不同的懲罰。對(duì)于類內(nèi)損失函數(shù)，損失函數(shù)值隨數(shù)據(jù)點(diǎn)到第i簇聚類中心平面的距離線性增長(zhǎng)，距離聚類中心平面越遠(yuǎn)，損失函數(shù)值越大，定義為ρ(xj)的一次函數(shù)。但是，當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)到第i簇聚類中心平面的距離小于1-Δ或大于2-Δ-s時(shí)，損失函數(shù)值分別賦予常數(shù)。對(duì)于類間損失函數(shù)，距離第i簇聚類中心平面越遠(yuǎn)，損失函數(shù)值越小，也定義為ρ(xj)的一次函數(shù)，當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)到第i簇聚類中心平面的距離小于-s或大于1+Δ時(shí)，損失函數(shù)值分別賦予常數(shù)。同時(shí)，對(duì)于類內(nèi)損失函數(shù)和類間損失函數(shù)有一個(gè)原則，也就是類內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的損失值不會(huì)大于類間數(shù)據(jù)點(diǎn)的損失值，且都保持有界性特征。

圖1分別給出了當(dāng)Δ=0.3，s=-0.2，t=0,0.2 和0.4 的非對(duì)稱Ramp 損失函數(shù)的示意圖，其中圖1（a）為類內(nèi)損失函數(shù)，圖1（b）為類間損失函數(shù)。從圖1可以看出，參數(shù)t對(duì)損失函數(shù)有較大的調(diào)節(jié)作用，使得損失函數(shù)表達(dá)式更加豐富，以適應(yīng)不同的數(shù)據(jù)分布。參數(shù)t控制著損失函數(shù)值變化的快慢和損失函數(shù)值的上下界，保證類內(nèi)損失函數(shù)值不超過類間損失函數(shù)值。

圖1 非對(duì)稱Ramp損失函數(shù)的示意圖Fig.1 Illustration of asymmetric Ramp loss function

2.2 線性IRampTWSVC

基于非對(duì)稱Ramp 損失函數(shù)，本文提出改進(jìn)的RampTWSVC，記為IRampTWSVC。類似于Ramp-TWSVC，對(duì)于第i簇聚類中心平面，線性IRampTWSVC的優(yōu)化問題為：

在目標(biāo)函數(shù)式（10）中：第一項(xiàng)表示正則項(xiàng)，控制模型的復(fù)雜性；第二項(xiàng)表示類內(nèi)損失，最小化這一項(xiàng)使得第i簇中的數(shù)據(jù)點(diǎn)到第i簇聚類中心平面的距離|ρi(xj)|盡可能小，從而這些數(shù)據(jù)點(diǎn)盡可能聚集在該類的聚類中心平面周圍；第三項(xiàng)表示類間損失，最小化這一項(xiàng)使得其余簇的數(shù)據(jù)點(diǎn)到第i簇聚類中心平面的距離|ρi(xj)|盡可能大，從而這些數(shù)據(jù)點(diǎn)盡可能遠(yuǎn)離第i簇聚類中心平面。根據(jù)非對(duì)稱的Ramp損失函數(shù)的定義式（9）可知，類內(nèi)損失函數(shù)和類間損失函數(shù)都是有界的分段函數(shù)，它們根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置給予不同的懲罰，使得遠(yuǎn)離聚類中心平面的數(shù)據(jù)點(diǎn)不會(huì)對(duì)聚類中心平面產(chǎn)生更大的影響，從而增強(qiáng)了模型的魯棒性。

簡(jiǎn)單起見，記ui=(wi,bi)T，將每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)維數(shù)增加一維且取值為1。于是，第i簇?cái)?shù)據(jù)點(diǎn)記為Zi=[Xi,e]，其余簇的數(shù)據(jù)點(diǎn)記為=[,e]。類似于RampTWSVC的推導(dǎo)過程，經(jīng)過一系列代數(shù)運(yùn)算，式（10）可轉(zhuǎn)化為：

其中，p1(j)和p2(j)分別對(duì)應(yīng)的是p1和p2的第j個(gè)元素。

給定初始向量u(0)i，通過式（11）的約束條件計(jì)算(t=1,2,…)固定時(shí)，式（11）轉(zhuǎn)化為一個(gè)無約束凸優(yōu)化問題，將其轉(zhuǎn)化為對(duì)偶問題：

Xi表示第i簇?cái)?shù)據(jù)點(diǎn)，表示不屬于第i簇的數(shù)據(jù)點(diǎn)。

顯然，式（12）為有約束的二次規(guī)劃問題，可以通過SMO算法求解出。當(dāng)解出之后，再通過式（11）更新和，這樣不斷交替迭代下去，直到式（11）的目標(biāo)函數(shù)值不下降，終止迭代并得到最優(yōu)解。對(duì)任意數(shù)據(jù)點(diǎn)x，再按照以下規(guī)則聚類：

綜上所述，給出線性IRampTWSVC 算法步驟如下：

算法1線性IRampTWSVC

實(shí)際上，算法1 是一個(gè)交替迭代優(yōu)化算法，其求解過程與RampTWSVC類似，終止于有限步迭代，獲得模型的局部最優(yōu)解，相關(guān)理論證明可參考文獻(xiàn)[7]。

2.3 非線性IRampTWSVC

對(duì)于非線性情形，首先選擇合適的核函數(shù)K將數(shù)據(jù)映射到高維特征空間中，然后利用核技巧推廣到非線性IRampTWSVC 模型。與線性情況類似，非線性IRampTWSVC優(yōu)化問題如下：

其中，ρi(K(xj,X))=K(xj,X)Twi+bi且cw,cb>0 是參數(shù)。

類似地，記ui=(wi,bi)T，將每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)增加一維且取值為1。第i簇的數(shù)據(jù)點(diǎn)記為Ki=[K(Xi,X),e]，其余簇的數(shù)據(jù)點(diǎn)記為=[K(,X),e]。非線性IRamp-TWSVC模型的求解過程與線性IRampTWSVC 模型的算法步驟非常相似，唯一不同的是先選擇合適的核函數(shù)K將數(shù)據(jù)映射到高維空間，此處不再贅述。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文所提IRampTWSVC 算法的性能，選取8 個(gè)UCI 數(shù)據(jù)集Iris、Haberman、Zoo、Wine、Glass、Blood、Seeds 和Lenses（https://archive.ics.uci.edu/ml/datasets.php）以及5 個(gè)人工數(shù)據(jù)集Flame、Compound、Simplex、Spherical_4_3 和Spherical_5_2（https://github.com/deric/clustering-benchmark/tree/master/src/main/resources/datasets/artificial）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。具體實(shí)驗(yàn)環(huán)境：MATLAB R2019b，硬件配置為Windows 11操作系統(tǒng)，16 GB內(nèi)存，2.10 GHz主頻CPU的計(jì)算機(jī)。選取KPC[4]、KPPC[5]、TWSVC[6]和RampTWSVC[7]作為實(shí)驗(yàn)對(duì)比算法，與IRampTWSVC 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較。實(shí)驗(yàn)中均采用網(wǎng)格尋優(yōu)的方法為各算法選擇最優(yōu)參數(shù)，KPC、KPPC、TWSVC和RampTWSVC中的參數(shù)c、cw、cb范圍為{2i|i=-5,-4,…,5}，IRampTWSVC中的參數(shù)t的范圍設(shè)置為{0,0.1,0.2,…,1}。對(duì)于非線性情形，選擇高斯核函數(shù)K(x,y)=e-||x-y||2/2μ2，核參數(shù)μ的范圍為{2i|i=-5,-3,-1,…,5}。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，Ramp-TWSVC 和IRampTWSVC 中的參數(shù)Δ和s分別設(shè)置為Δ=0.3 和s=-0.2，所有算法均采用近鄰圖（nearest neighbor graph，NNG）[14]初始化聚類中心平面法向量和。

為了對(duì)算法性能進(jìn)行評(píng)價(jià)，使用準(zhǔn)確率（Accuracy）來衡量聚類性能。給定聚類標(biāo)簽yi∈{1,2,…,k},i=1,2,…,m，其中m為數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)，k為簇?cái)?shù)，計(jì)算相應(yīng)的相似矩陣M∈Rm×m如下：

根據(jù)式（15），先利用數(shù)據(jù)集的真實(shí)聚類標(biāo)簽計(jì)算得到相似矩陣Mt，再利用預(yù)測(cè)聚類標(biāo)簽計(jì)算得到相似矩陣Mp。聚類算法的準(zhǔn)確率定義為蘭德統(tǒng)計(jì)量（Rand statistic）：

其中，n00是Mp和Mt中0的個(gè)數(shù)，n11是Mp和Mt中1的個(gè)數(shù)。

為了驗(yàn)證算法對(duì)噪聲的魯棒性，分別在無噪聲數(shù)據(jù)集和有噪聲的數(shù)據(jù)集上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。對(duì)于每個(gè)數(shù)據(jù)集，分別加入均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.05 和0.10 的兩種高斯噪聲生成帶有噪聲的數(shù)據(jù)集，σ為0表示無噪聲數(shù)據(jù)集。對(duì)于線性IRampTWSVC 算法，它在大多數(shù)數(shù)據(jù)集上均取得了較好的聚類準(zhǔn)確率。以Spherical_5_2數(shù)據(jù)集的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為例，在無噪聲情形下，線 性KPC、KPPC、TWSVC、RampTWSVC 和IRampTWSVC的聚類準(zhǔn)確率分別為80.20%、74.50%、85.07%、83.48%和85.58%；在標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.05 的噪聲情形下，聚類準(zhǔn)確率分別為78.69%、74.15%、69.09%、81.99%和85.17%；在標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.10 的噪聲情形下，聚類準(zhǔn)確率分別為77.59%、72.54%、75.77%、83.76%和86.44%?？傮w而言，線性IRampTWSVC算法在無噪聲、標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.05 和標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.10 的噪聲情形下，在13 個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集上分別取得了12個(gè)、11個(gè)和10個(gè)最好的聚類準(zhǔn)確率。另外，圖2分別給出了Spherical_5_2 數(shù)據(jù)集的無噪聲、標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.05 和標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.10 的有噪聲數(shù)據(jù)集的真實(shí)簇類圖，圖3和圖4分別給出了線性RampTWSVC和線性IRampTWSVC在這三種情形下的聚類效果圖。圖2～圖4的效果圖進(jìn)一步驗(yàn)證了線性IRampTWSVC算法的性能，對(duì)噪聲具有較好的魯棒性。

圖2 Spherical_5_2數(shù)據(jù)集的真實(shí)簇類圖Fig.2 Actual clusters in dataset Spherical_5_2

圖3 線性RampTWSVC在數(shù)據(jù)集Spherical_5_2上聚類效果圖Fig.3 Formation of clusters by linear RampTWSVC on dataset Spherical_5_2

圖4 線性IRampTWSVC在數(shù)據(jù)集Spherical_5_2上聚類效果圖Fig.4 Formation of clusters by linear IRampTWSVC on dataset Spherical_5_2

表1 給出了非線性算法在所有數(shù)據(jù)集上的聚類準(zhǔn)確率及次序，表中粗體數(shù)字表示最好的聚類準(zhǔn)確率。從表1 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，非線性IRampTWSVC算法在大多數(shù)數(shù)據(jù)集上取得了較好的聚類性能。對(duì)于Haberman 數(shù)據(jù)集，無噪聲情形下，非線性IRamp-TWSVC 的聚類準(zhǔn)確率為72.57%，比KPC、KPPC、TWSVC 和RampTWSVC 分別高11.31 個(gè)百分點(diǎn)、11.62個(gè)百分點(diǎn)、11.93個(gè)百分點(diǎn)和6.51個(gè)百分點(diǎn)；在標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.05 的噪聲情形下，非線性IRampTWSVC的聚類準(zhǔn)確率為67.58%，比KPC、KPPC、TWSVC 和RampTWSVC 分別高6.01 個(gè)百分點(diǎn)、5.37 個(gè)百分點(diǎn)、7.24 個(gè)百分點(diǎn)和2.62 個(gè)百分點(diǎn)；在標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.10的噪聲情形下，非線性IRampTWSVC 的聚類準(zhǔn)確率為62.87%，比KPC、KPPC、TWSVC 和RampTWSVC分別高1.92 個(gè)百分點(diǎn)、1.92 個(gè)百分點(diǎn)、1.30 個(gè)百分點(diǎn)和0.98個(gè)百分點(diǎn)。這進(jìn)一步說明了IRampTWSVC具有較好的魯棒性。根據(jù)表1中的聚類準(zhǔn)確率的次序，計(jì)算非線性KPC、KPPC、TWSVC、RampTWSVC 和IRampTWSVC 的平均次序分別為3.76、4.12、3.59、2.19 和1.35，可以發(fā)現(xiàn)非線性IRampTWSVC 算法取得了最高的平均次序。為了說明各算法之間性能的差異，本文分別采用Friedman test 和Nemenyi test 方法檢驗(yàn)IRampTWSVC算法與現(xiàn)有算法是否具有顯著性差異。根據(jù)Friedman test的定義[15]可得：

表1 非線性算法在所有數(shù)據(jù)集上的聚類準(zhǔn)確率及次序Table 1 Clustering accuracy and rank of nonlinear algorithms on all datasets

其中，Ri是第i種算法在N個(gè)數(shù)據(jù)集上的平均排序，k表示算法的數(shù)量。于是，根據(jù)表1 知N=39,k=5，由式（17）和式（18）計(jì)算得≈87.651 7 和FF≈48.732 2。F分布的自由度為(k-1,(k-1)(N-1))=(4,152)，根據(jù)F分布臨界值統(tǒng)計(jì)表知，當(dāng)α=0.05 時(shí)F(4,152)=2.431。因?yàn)镕F=48.732 2>2.431，說明非線性IRamp-TWSVC算法優(yōu)于其他算法。根據(jù)Nemenyi test的定義[15]，可得：

當(dāng)α=0.05 時(shí)，qα=2.728，根據(jù)式（19）計(jì)算可得到相應(yīng)的CD值為0.976 8。非線性IRampTWSVC與KPC、KPPC 和TWSVC 之間的平均次序差分別是3.76-1.35=2.41，4.12-1.35=2.77 和3.59-1.35=2.24，它們都大于CD值，這表明非線性IRampTWSVC 的性能明顯優(yōu)于非線性KPC、KPPC和TWSVC；與非線性RampTWSVC 之間的平均次序差是2.19-1.35=0.84，它小于CD值，這表明非線性IRampTWSVC的性能雖然比非線性RampTWSVC 好，但它們之間的差異不夠顯著。

非對(duì)稱Ramp損失函數(shù)與Ramp損失函數(shù)的區(qū)別就在于引入了參數(shù)t，使Ramp 損失函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榉菍?duì)稱的形式，對(duì)位于聚類中心平面兩側(cè)的數(shù)據(jù)點(diǎn)采用不同的損失進(jìn)行計(jì)算，使得遠(yuǎn)離聚類中心平面的數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)聚類中心平面的影響降低，并且通過調(diào)節(jié)參數(shù)t可以使模型具有更好的魯棒性。為了進(jìn)一步分析IRampTWSVC 中所有參數(shù)對(duì)算法性能的影響（如圖5～圖7 所示），以Wine 和Spherical_4_3 數(shù)據(jù)集為例，首先討論參數(shù)t對(duì)線性IRampTWSVC 聚類性能的影響，固定參數(shù)cw和cb，參數(shù)t取值范圍為{0,0.1,0.2,…,1.0}。圖5 給出了參數(shù)t對(duì)線性IRamp-TWSVC 算法聚類準(zhǔn)確率的影響，圖5（a）為Wine 數(shù)據(jù)集上的結(jié)果，圖5（b）為Spherical_4_3 數(shù)據(jù)集上的結(jié)果。從圖5（a）中可看出，當(dāng)參數(shù)t取0.9時(shí)，聚類準(zhǔn)確率最高；從圖5（b）中可看出，當(dāng)參數(shù)t取0.6 時(shí)，聚類準(zhǔn)確率最高。這表明了參數(shù)t對(duì)線性IRamp-TWSVC算法聚類準(zhǔn)確率有較大的影響，充分體現(xiàn)了非對(duì)稱損失函數(shù)的優(yōu)越性。類似地，再討論參數(shù)cw、cb對(duì)線性IRampTWSVC 算法聚類準(zhǔn)確率的影響，此時(shí)固定參數(shù)t，參數(shù)cw和cb取值范圍為{-5,-4,-3,…,5}。圖6 給出了參數(shù)cw和cb對(duì)線性IRampTWSVC 算法聚類準(zhǔn)確率的影響，圖6（a）為Wine數(shù)據(jù)集上的結(jié)果，圖6（b）為Spherical_4_3 數(shù)據(jù)集上的結(jié)果。實(shí)際上，參數(shù)t、cw和cb對(duì)非線性IRampTWSVC算法聚類準(zhǔn)確率也有較大的影響，這里就不贅述了。最后，討論核參數(shù)μ對(duì)非線性IRamp-TWSVC 算法聚類準(zhǔn)確率的影響，此時(shí)固定參數(shù)cw、cb和t，核參數(shù)μ取值范圍為{-5,-4,-3,…,5}。圖7 給出了核參數(shù)μ對(duì)非線性IRampTWSVC聚類準(zhǔn)確率的影響。根據(jù)圖5、圖6和圖7 的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)各參數(shù)對(duì)IRampTWSVC 聚類準(zhǔn)確率都有較大的影響。本文采用了網(wǎng)格尋優(yōu)的方法選擇最優(yōu)參數(shù)，效率相對(duì)低下。因此，如何有效地選擇最優(yōu)參數(shù)是值得進(jìn)一步研究的問題。

圖5 參數(shù)t 對(duì)線性IRampTWSVC算法聚類準(zhǔn)確率的影響Fig.5 Influence of parameter t on clustering accuracy of linear IRampTWSVC

圖6 參數(shù)cw、cb 對(duì)線性IRampTWSVC算法聚類準(zhǔn)確率的影響Fig.6 Influence of parameter cw,cb on clustering accuracy of linear IRampTWSVC

圖7 參數(shù)μ 對(duì)非線性IRampTWSVC算法聚類準(zhǔn)確率的影響Fig.7 Influence of parameter μ on clustering accuracy of nonlinear IRampTWSVC

4 結(jié)束語

本文構(gòu)造了一種非對(duì)稱Ramp損失函數(shù)，并在此基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的Ramp 損失孿生支持向量機(jī)聚類（IRampTWSVC）。在多個(gè)UCI數(shù)據(jù)集和人工數(shù)據(jù)集上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的有效性。非對(duì)稱Ramp損失函數(shù)不僅繼承了Ramp損失函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，而且參數(shù)t的引入使模型更加靈活，增強(qiáng)了IRampTWSVC 算法對(duì)噪聲的魯棒性。然而，本文算法依然存在一些不足：（1）該算法有多個(gè)參數(shù)，構(gòu)建有效的最優(yōu)參數(shù)選擇策略有待研究；（2）該算法通過交替迭代求解，每一個(gè)子問題都是一個(gè)二次規(guī)劃問題，本文雖然利用了SMO求解算法，但是當(dāng)數(shù)據(jù)集規(guī)模較大時(shí)模型求解依然較慢，如何構(gòu)建模型的快速求解算法也值得進(jìn)一步研究。