何文然,黃振生

南京理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,南京 210094

1 引 言

過去幾十年來,高維數(shù)據(jù)處理一般采用單指標(biāo)模型進(jìn)行降維,一方面可以避免維數(shù)災(zāi)難問題,另一方面能夠保持多元回歸中非參數(shù)方法的優(yōu)勢(shì)。該模型在生物醫(yī)學(xué)、自然科學(xué)和經(jīng)濟(jì)金融諸多領(lǐng)域已體現(xiàn)出巨大的研究價(jià)值和廣泛的實(shí)際應(yīng)用前景。伴隨著函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的熱潮,統(tǒng)計(jì)學(xué)者考慮將單指標(biāo)模型降維的半?yún)?shù)優(yōu)點(diǎn)和函數(shù)型數(shù)據(jù)結(jié)合,引入了函數(shù)型單指標(biāo)回歸模型[1]:

Y=r(〈θ,X〉)+ε

(1)

其中,函數(shù)r(·)是未知連接函數(shù),r:R→R;θ是未知函數(shù)型單指標(biāo)參數(shù),取值于可分的Hilbert空間H;ε是隨機(jī)誤差項(xiàng),滿足E(ε|X)=0;Y是標(biāo)量響應(yīng)變量;X是函數(shù)型協(xié)變量,取值于可分的Hilbert空間H。

Ferraty等[1]首先研究函數(shù)型單指標(biāo)模型式(1),給出模型的核估計(jì),并討論了估計(jì)量的漸進(jìn)性質(zhì),但并沒有給出單指標(biāo)函數(shù)的估計(jì);隨后,Ait-Sa?di等[2]提出采用交叉驗(yàn)證方法估計(jì)未知的單指標(biāo)參數(shù),基于固定帶寬,采用核估計(jì)得到未知的連接函數(shù),并給出了估計(jì)量的漸近一致收斂速度;Attaoui等[3]利用核方法研究函數(shù)型單指標(biāo)模型的條件密度估計(jì),給出估計(jì)量的逐點(diǎn)和一致幾乎完全收斂速度,特別地,他們利用擬極大似然估計(jì)研究了單指標(biāo)參數(shù);Ferraty等[4]基于泛函導(dǎo)數(shù)估計(jì)提出一種新的估計(jì)方法;Said等[5]在強(qiáng)混合時(shí)間序列情況下,得到基于固定帶寬的條件密度核估計(jì)量在一般條件下的均勻幾乎完全收斂速度和漸近正態(tài)性,同時(shí)給出了估計(jì)量的置信區(qū)間;此外,Ding等[6]研究一類函數(shù)型部分線性單指標(biāo)模型并提出一種結(jié)合局部常數(shù)平滑的剖面最小二乘法來估計(jì)斜率函數(shù)和連接函數(shù)。近年來,Novo等[7]第一次在獨(dú)立條件下,在函數(shù)型半?yún)?shù)模型采用k近鄰來估計(jì)未知連接函數(shù),并討論單指標(biāo)已知與未知時(shí)估計(jì)量的漸近一致收斂速度,同時(shí)采用交叉驗(yàn)證來估計(jì)未知的單指標(biāo)參數(shù)。但是,他們是在獨(dú)立樣本的條件下研究的,沒有考慮相依情況下的函數(shù)型數(shù)據(jù)。

上述所有涉及的貢獻(xiàn)都是在完全觀測(cè)樣本下發(fā)生的。然而,許多實(shí)際工作中,如市場(chǎng)調(diào)查、醫(yī)學(xué)研究、信度檢驗(yàn)等,一些觀察結(jié)果可能不完整,通常被稱為缺失數(shù)據(jù),其統(tǒng)計(jì)分析因?yàn)閮?nèi)容很少或者缺失,變得非常困難和具有挑戰(zhàn)性。隨機(jī)缺失是最基本的,也是應(yīng)用最廣泛的關(guān)于缺失機(jī)理的假設(shè)。在解釋變量為有限維時(shí),可以在統(tǒng)計(jì)文獻(xiàn)中找到許多這種情況的例子及其回歸模型的統(tǒng)計(jì)推斷。當(dāng)解釋變量為無限的情況或有函數(shù)型特征時(shí),有很少的文獻(xiàn)研究缺失數(shù)據(jù)的模型,僅有Ferraty等[8]基于獨(dú)立同分布樣本研究了響應(yīng)變量隨機(jī)缺失的函數(shù)型非參數(shù)回歸模型;Ling等[9]同樣基于函數(shù)型非參數(shù)模型,利用函數(shù)型平穩(wěn)遍歷數(shù)據(jù)研究了未知估計(jì)量的漸近性質(zhì)。近年來,Febrero-Bande等[10]基于函數(shù)型線性回歸模型,對(duì)于獨(dú)立同分布樣本下的標(biāo)量響應(yīng)隨機(jī)缺失的函數(shù)型數(shù)據(jù),提出一種效率更高的新模型估計(jì)方法;Ling等[11]則對(duì)于響應(yīng)變量隨機(jī)缺失的強(qiáng)混合時(shí)間序列數(shù)據(jù),研究了函數(shù)型單指數(shù)回歸模型的未知參數(shù)和未知函數(shù)的估計(jì),同時(shí)在一些正則條件下,得到了估計(jì)量的一致幾乎完全收斂速度以及漸近正態(tài)性。

綜上所述,函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法大多是在獨(dú)立同分布的情形下研究的,與之相比,具有強(qiáng)混合時(shí)間序列的數(shù)據(jù)分析并沒有受到廣大學(xué)者的足夠重視。函數(shù)型單指標(biāo)模型作為一種半?yún)?shù)模型,同時(shí)具有參數(shù)模型和非參模型的優(yōu)勢(shì),通常的估計(jì)方法一般為經(jīng)典核方法,具有更強(qiáng)數(shù)據(jù)適用性的k近鄰方法并沒有被普及,且同時(shí)對(duì)于響應(yīng)變量隨機(jī)缺失的情形,參考文獻(xiàn)至今未被研究。但是響應(yīng)變量隨機(jī)缺失的缺失數(shù)據(jù),以及具有強(qiáng)混合結(jié)構(gòu)的函數(shù)型時(shí)間序列數(shù)據(jù)是一類重要的亟待處理的問題。

受以上論文的啟發(fā),本文在強(qiáng)混合函數(shù)型時(shí)間序列數(shù)據(jù)和響應(yīng)變量隨機(jī)缺失下研究模型式(1)。利用具有局部窗寬的k近鄰方法估計(jì)給出未知連接函數(shù)的估計(jì)量,改進(jìn)了具有全局窗寬的函數(shù)型經(jīng)典核方法。k近鄰方法可以自適應(yīng)調(diào)整窗寬,對(duì)數(shù)據(jù)具有更好的適用性,利用模擬研究對(duì)比k近鄰方法和函數(shù)型經(jīng)典核方法的估計(jì)精度,驗(yàn)證所提模型和方法的有效性。同時(shí),用兩種估計(jì)方法對(duì)同一個(gè)實(shí)際例子進(jìn)行分析擬合,通過實(shí)際數(shù)據(jù)擬合的好壞進(jìn)一步說明k近鄰估計(jì)方法的優(yōu)越性。

文章的剩余部分如下:第一章給出了模型的估計(jì)方法,第二章進(jìn)行了數(shù)值模擬,第三章給進(jìn)行了實(shí)例分析,在第四章給出了結(jié)論。

2 函數(shù)型單指標(biāo)模型和估計(jì)

考慮以下函數(shù)型單指標(biāo)模型:

Y=r(〈Xi,θ〉)+εi,i=1,2,…,n

(2)

假設(shè){(Xi,δi,Yi),1≤i≤n} 是一列來自總體 (X,δ,Y) 的函數(shù)型數(shù)據(jù)樣本,Yi∈R;Xi∈H;θ∈θ(t),取值于可分的 Hilbert 空間H,t∈R;d(·,·) 為空間H上的半度量,dθ(x1,x2)=|〈x1-x2,θ〉|;εi要滿足E(εi|Xi)=0;同時(shí)當(dāng)Yi缺失時(shí),δi=0, 否則δi=1; 假設(shè)P(δi=1|Yi,xi)=P(δi=1|xi)=p(xi),i=1,2,…,n。

類似于Ling等[11],r(〈θ,x〉) 的k近鄰估計(jì)量構(gòu)造如下:

其中,

上式中包含的K(·) 為核函數(shù), 而Hn,k,θ(x) 為隨機(jī)窗寬,定義如下:

其中,Bθ(x,h) 為以x為中心,h(h>0) 為半徑的小球 ,IBθ(x,h)(·) 為集合的示性函數(shù)。若Hn,k,θ(x)=hn(x), 其中hn(x) 為一列非負(fù)隨機(jī)正序列, 且隨著n→∞,hn(x)→0,則類似于Kudrasz等[11]提出的經(jīng)典核估計(jì), 窗寬依賴于固定點(diǎn), 表達(dá)式如下:

實(shí)際操作中,函數(shù)型單指標(biāo)θ無法通過先驗(yàn)知識(shí)知曉, 為此需要一個(gè)估計(jì)它的方法。 這里和Ling等[11]一致, 借用Ding等[7]的一個(gè)想法, 采用剖面最小二乘法結(jié)合局部平滑常數(shù)技術(shù)來估計(jì)θ。

下面給出估計(jì)流程。

步驟1 構(gòu)建含參數(shù)(θ)的目標(biāo)損失函數(shù):

步驟2 基于剖面最小二乘法,結(jié)合局部平滑常數(shù)技術(shù)來估計(jì)θ。將θ分解為協(xié)方差函數(shù)主成分分解得到的基函數(shù)的累加和形式,同時(shí)確定主成分基函數(shù)的數(shù)目,最后將估計(jì)函數(shù)的問題變?yōu)楣烙?jì)基函數(shù)前系數(shù)的問題。

步驟3 步驟1的含參(θ)目標(biāo)函數(shù),變?yōu)榱宋粗康幕瘮?shù)前系數(shù),對(duì)損失函數(shù)求解最小值得到系數(shù)。

3 數(shù)值模擬

本節(jié)的目的是通過模擬對(duì)比k近鄰方法(kNN)與經(jīng)典核方法(NW), 以驗(yàn)證本文所提方法的有效性?；谀Ｐ褪?2), 函數(shù)型解釋變量Xi=Xi(t)由以下函數(shù)生成:

圖1 曲線xi=1,…,200(tj),tj=1,…,100∈[0,π/3]Fig.1 Curve xi=1,…,200(tj),tj=1,…,100∈[0,π/3]

函數(shù)型單指標(biāo)參數(shù)構(gòu)造如下:

本文的θ(t) 估計(jì)方法同Ling 等[11]一致,用積分平方誤差FRISE作為評(píng)價(jià)指標(biāo)來評(píng)價(jià)θ(t)估計(jì)的好壞。

本文的缺失機(jī)制,參考Ling等[11],缺失機(jī)制滿足:

其中,p(x)=P(δ=1|X=x),對(duì)任意w∈R,有exgit(w)=ew/(1+ew)。這里參數(shù)α控制缺失率,當(dāng)α增加時(shí),缺失率下降,這里選取α=2。

如表1所示,模擬研究了單指標(biāo)θ已知、未知情形下,k近鄰方法與經(jīng)典核方法預(yù)測(cè)效果的好壞,評(píng)價(jià)指標(biāo)為平均均方誤差;同時(shí)也考慮k近鄰方法與經(jīng)典核方法對(duì)未知參數(shù)θ的估計(jì)優(yōu)劣。模擬時(shí),將樣本分為訓(xùn)練集與預(yù)測(cè)集,用訓(xùn)練集來訓(xùn)練帶寬,其中經(jīng)典核方法為全局最優(yōu)帶寬,k近鄰方法為自適應(yīng)窗寬,它可以基于樣本得到一個(gè)個(gè)局部窗寬,對(duì)樣本的適應(yīng)性更優(yōu)。為了方便,預(yù)測(cè)集樣本量統(tǒng)一設(shè)置為100。表1中的n為訓(xùn)練集樣本量,同時(shí)對(duì)每個(gè)樣本重復(fù)200次。

表1 兩種方法在不同樣本量下的積分平方誤差和 平均均方誤差Table 1 The integral square error and mean square error of the two methods under different sample sizes

從表1可以看出:在單指標(biāo)θ未知情況下,預(yù)測(cè)集中,k近鄰方法的估計(jì)精度要優(yōu)于經(jīng)典核方法。在訓(xùn)練樣本量為100時(shí),相比于經(jīng)典核方法,k近鄰方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差下降了47%,在訓(xùn)練樣本量為300時(shí),下降了60%。這說明隨著樣本量增加,k近鄰方法比經(jīng)典核方法估計(jì)效果更優(yōu)。

在單指標(biāo)θ已知情況下,同樣在預(yù)測(cè)集中,k近鄰方法的估計(jì)精度也要優(yōu)于經(jīng)典核方法,同樣地,隨著樣本量的增加,k近鄰方法的改進(jìn)幅度要大于經(jīng)典核方法。在訓(xùn)練樣本量為100時(shí),相比于經(jīng)典核方法,k近鄰方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差下降了45%,在訓(xùn)練樣本量為300時(shí),下降了60%,且相比于θ未知的時(shí)候,k近鄰方法與經(jīng)典核方法估計(jì)精度都得到了提高。因此,對(duì)θ估計(jì)效果的好壞也是影響最終估計(jì)效果的一個(gè)重要因素。

從表1可以看出:在估計(jì)θ時(shí),k近鄰方法的表現(xiàn)也要優(yōu)于經(jīng)典核方法,同時(shí)隨著樣本量的增大,k近鄰方法對(duì)θ估計(jì)效果的提升也要高于經(jīng)典核方法。在訓(xùn)練樣本量為100時(shí),相比經(jīng)典核方法,k近鄰對(duì)應(yīng)的平均均方誤差下降了37%,在訓(xùn)練樣本量為300時(shí),下降了39%。

在訓(xùn)練集中,k近鄰方法的表現(xiàn)也同樣優(yōu)于經(jīng)典核方法。

在訓(xùn)練集中,當(dāng)θ未知時(shí),可以看到k近鄰方法的估計(jì)精度要優(yōu)于經(jīng)典核方法。隨著樣本量的增加,k近鄰方法的改進(jìn)幅度要大于經(jīng)典核方法。在訓(xùn)練樣本量為100時(shí),相比于經(jīng)典核方法,k近鄰方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差下降了46%,在訓(xùn)練樣本量為300時(shí),下降了69%。

在訓(xùn)練集中,當(dāng)θ已知時(shí),可以看到k近鄰方法的估計(jì)精度同樣也要優(yōu)于經(jīng)典核方法。隨著樣本量的增加,k近鄰方法的改進(jìn)幅度要大于經(jīng)典核方法。在訓(xùn)練樣本量為100時(shí),相比于經(jīng)典核方法,k近鄰方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差下降了47%,在訓(xùn)練樣本量為300時(shí),下降了70%。

綜上可以看出:k近鄰方法基于樣本本身自適應(yīng)調(diào)整帶寬,其表現(xiàn)要優(yōu)于經(jīng)典核方法,因?yàn)楹朔椒ǖ膸捠侨止潭◣?并不會(huì)針對(duì)樣本本身進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整;同時(shí)k近鄰方法的表現(xiàn)隨著樣本量的增加,估計(jì)效果相較于經(jīng)典核方法提升明顯。基于樣本自適應(yīng)調(diào)整帶寬的k近鄰方法依賴于樣本本身,隨著樣本量的增加,其效果更優(yōu)。

圖2為k近鄰方法與經(jīng)典核方法在預(yù)測(cè)集的平均均方誤差箱線圖,考慮訓(xùn)練集樣本量為200的情形,進(jìn)行了200次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)。

圖2 kNN與NW預(yù)測(cè)集平均均方誤差Fig.2 Mean square error of kNN and NW prediction sets

圖2中,4個(gè)箱線圖從左到右依次是θ未知時(shí)k近鄰方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差,θ未知時(shí)經(jīng)典核方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差,θ已知時(shí)k近鄰方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差,θ已知時(shí)經(jīng)典核方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差。

從圖2左邊兩個(gè)圖,可以明顯看出:無論是θ未知還是已知,k近鄰方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差均明顯優(yōu)于經(jīng)典核方法,k近鄰方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差要更集中且整體數(shù)值也要小;同時(shí),在θ已知時(shí),k近鄰方法以及經(jīng)典核方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差相較于θ未知時(shí)都得到了一定改善;無論θ已知還是未知,相比于k近鄰方法,經(jīng)典核方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差的離群值要多一些。

綜上,在預(yù)測(cè)集上,從k近鄰方法與經(jīng)典核方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差的箱線圖中,可以得到k近鄰方法要優(yōu)于經(jīng)典核方法的結(jié)論。

圖3為k近鄰與經(jīng)典核方法在訓(xùn)練集的平均均方誤差箱線圖,同樣考慮是樣本量為200的情形,進(jìn)行了200次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)。

圖3 kNN與NW訓(xùn)練集平均均方誤差Fig.3 Mean square error of kNN and NW training sets

圖3中,4個(gè)箱線圖從左到右依次是θ未知時(shí)k近鄰方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差,θ未知時(shí)經(jīng)典核方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差,θ已知時(shí)k近鄰方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差,θ已知時(shí)經(jīng)典核方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差。

從圖3可以看出:在訓(xùn)練集中,無論θ未知還是已知,k近鄰方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差同樣是優(yōu)于經(jīng)典核方法,k近鄰方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差的集中性以及在數(shù)值大小上的表現(xiàn)與在預(yù)測(cè)集上一樣優(yōu)于經(jīng)典核方法;無論θ是已知還是未知,k近鄰方法的離群值要少于經(jīng)典核方法。

綜上,在訓(xùn)練集上,從k近鄰方法與經(jīng)典核方法對(duì)應(yīng)的平均均方誤差的箱線圖中,可以得到k近鄰方法優(yōu)于經(jīng)典核方法的結(jié)論。

圖4為k近鄰方法與經(jīng)典核方法在訓(xùn)練集中估計(jì)效果的對(duì)比圖,橫坐標(biāo)為真值,縱坐標(biāo)為估計(jì)值,其中藍(lán)色點(diǎn)為k近鄰方法,黑色點(diǎn)為經(jīng)典核方法,這里θ是未知的。從圖中可以明顯看出:k近鄰方法估計(jì)效果要優(yōu)于經(jīng)典核方法,其對(duì)應(yīng)點(diǎn)明顯靠近y=x直線,即圖4中紅色的直線。

圖4 kNN與NW 在訓(xùn)練集中比較Fig.4 Comparison between kNN and NW

4 實(shí)例分析

這部分進(jìn)行實(shí)例分析,分析EL Nino地域(0～100 s,800～900 w),時(shí)間跨度為1982-01—2016-12的海平面月溫度數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)來源:http://www.cpc.ncep.noaa.gov/data/indices/。本節(jié)的目的是利用真實(shí)數(shù)據(jù)比較k近鄰與經(jīng)典核估計(jì)的優(yōu)劣,比較k近鄰方法與經(jīng)典核方法對(duì)真實(shí)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)效果,同時(shí)采用與上一節(jié)模擬相同的隨機(jī)缺失機(jī)制,對(duì)數(shù)據(jù)的處理方式參考Ling等[15]。

首先,將816個(gè)月的海平面月溫度數(shù)據(jù){zi,i=1,2,…,816}轉(zhuǎn)化為函數(shù)型數(shù)據(jù):將816個(gè)月的溫度離散化數(shù)據(jù)分割成68a的溫度曲線數(shù)據(jù),將其表示為xi={vj(t),12(j-1)+4

圖5 溫度曲線Fig.5 Curves of temperature

響應(yīng)實(shí)變量可以表示為Yi(s)={v12(j+s),s=1,2,…,12;j=1,2,…,67}。現(xiàn)在可以建立樣本量為67的相依樣本(xi,Yi(s))i=1,2,…,67,其中xi為函數(shù)型數(shù)據(jù),Yi(s)為實(shí)值。

將67個(gè)樣本觀測(cè)值(xi,Yi(s))i=1,2,…,67分成兩個(gè)部分,一部分是學(xué)習(xí)樣本(xi,Yi(s))i=1,2,…,66用于建立模型,另一部分是檢驗(yàn)樣本(x67,Y67(s))。建模過程核函數(shù)的選取與數(shù)值模擬的核函數(shù)一致。

最后用k近鄰方法和經(jīng)典核方法預(yù)測(cè)第68個(gè)數(shù)據(jù),結(jié)果如圖6所示:紅色折線為k近鄰方法的預(yù)測(cè)值,藍(lán)色折線為經(jīng)典核方法的預(yù)測(cè)值,黑色折線為數(shù)據(jù)真值。

圖6 kNN與NW預(yù)測(cè)比較Fig.6 Comparison between kNN and NW prediction

可以看到利用k近鄰方法得到的均方誤差(0.437 55)要小于經(jīng)典核方法(0.997 43),在真實(shí)數(shù)據(jù)中,k近鄰方法的表現(xiàn)同樣保持優(yōu)異。同時(shí)從曲線貼合度來看,k近鄰方法優(yōu)于經(jīng)典核方法,即k近鄰方法估計(jì)的預(yù)測(cè)值更接近于真實(shí)值。

從曲線的變化趨勢(shì)上來看,k近鄰方法也要優(yōu)于經(jīng)典核方法。氣溫在12月進(jìn)入拐點(diǎn),在這之后到3月氣溫保持相對(duì)平穩(wěn)不變,雖然在11月和12月,k近鄰方法和經(jīng)典核方法預(yù)測(cè)的氣溫走勢(shì)都與真實(shí)氣溫?cái)?shù)據(jù)走勢(shì)相反,但是在12月到1月以及2月到3月,經(jīng)典核方法預(yù)測(cè)的氣溫走勢(shì)與真實(shí)數(shù)據(jù)是相反的,此時(shí)k近鄰方法預(yù)測(cè)的氣溫走勢(shì)與真實(shí)氣溫?cái)?shù)據(jù)一致,更能說明真實(shí)氣溫的走勢(shì)情況。由此可以看出:k近鄰方法預(yù)測(cè)的氣溫走勢(shì)相比于經(jīng)典核方法,更接近于真實(shí)數(shù)據(jù)。

在每個(gè)月份的估計(jì)效果上,k近鄰方法都優(yōu)于經(jīng)典核方法,其中5月、6月、7月、8月優(yōu)越性表現(xiàn)更為明顯。

這說明k近鄰方法用數(shù)據(jù)本身自適應(yīng)調(diào)整帶寬能夠很好地改進(jìn)估計(jì)效果及精度,相比于全局固定帶寬的經(jīng)典核方法表現(xiàn)要好很多。

5 結(jié) 論

經(jīng)過上述分析可以看出:數(shù)值模擬中無論是訓(xùn)練集還是預(yù)測(cè)集,相對(duì)于經(jīng)典核方法,采用k近鄰方法可以明顯改進(jìn)估計(jì)效果,同時(shí)對(duì)于單指標(biāo)θ的估計(jì),k近鄰方法比經(jīng)典核方法要好,且隨著樣本量的增加,k近鄰的提升效果要明顯優(yōu)于經(jīng)典核方法。

從實(shí)例分析來看:k近鄰方法在精確度以及穩(wěn)定性上也都優(yōu)于經(jīng)典核方法,這說明采用k近鄰對(duì)時(shí)間數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì),其表現(xiàn)更加優(yōu)異。這是因?yàn)楹斯烙?jì)好壞主要受帶寬的選取影響,k近鄰方法基于數(shù)據(jù)本身,自適應(yīng)調(diào)整帶寬,可以更好地改進(jìn)估計(jì)效果,而經(jīng)典核方法采用的帶寬為全局最優(yōu)帶寬,無法依托于數(shù)據(jù)本身進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整,對(duì)數(shù)據(jù)的適應(yīng)性較差。從模擬和實(shí)例分析的結(jié)果來看:自適應(yīng)調(diào)整帶寬的k近鄰方法的估計(jì)效果比經(jīng)典核方法的估計(jì)效果要好。

綜上可以得到:k近鄰方法在響應(yīng)變量隨機(jī)缺失的時(shí)間序列單指標(biāo)模型中表現(xiàn)優(yōu)異,無論是模擬還是實(shí)例分析,其估計(jì)效果都明顯優(yōu)于經(jīng)典核方法。