李玉博，王美悅，劉濤，陳曉玉

（1.燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.河北省信息傳輸與信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004）

0 引言

相互正交的互補(bǔ)碼集（MOCCS,mutually orthogonal complementary code set）由于具有良好的相關(guān)特性被廣泛用于信道估計(jì)[1]和多載波碼分多址（MC-CDMA,multicarrier code-division multipleaccess）系統(tǒng)中的干擾消除[2-3]等。然而由理論界限可知，MOCCS 的集合大小不大于每條互補(bǔ)序列中的子序列數(shù)目，當(dāng)集合大小等于子序列數(shù)目時(shí)，MOCCS 為完全互補(bǔ)碼（CCC,complete complementary code），這使互補(bǔ)碼在MC-CDMA 系統(tǒng)中海量用戶接入[4]的應(yīng)用受到極大限制。為此，Liu 等[5]提出了準(zhǔn)互補(bǔ)序列集（QCSS,quasi-complementary sequence set）的概念，包括低相關(guān)區(qū)互補(bǔ)序列集（LCZ-CSS,low correlation zone complementary sequence set）和低相關(guān)互補(bǔ)序列集（LC-CSS,low correlation complementary sequence set）。LCZ-CSS的相關(guān)函數(shù)旁瓣幅值在零偏移附近的相關(guān)區(qū)內(nèi)很低，當(dāng)相關(guān)區(qū)長(zhǎng)度等于子序列長(zhǎng)度時(shí)，LCZ-CSS 被稱為L(zhǎng)C-CSS。關(guān)于序列的相關(guān)下界由Welch[6]自1974 年給出后，Liu 等[7-9]在一系列工作中推導(dǎo)出了非周期QCSS 在特殊條件下更加緊密的相關(guān)下界，并稱達(dá)到此下界的QCSS 最優(yōu)。

到目前為止，針對(duì)各種參數(shù)的最優(yōu)QCSS 的構(gòu)造還不完善。文獻(xiàn)[5]利用Singer 差集構(gòu)造了兩類最優(yōu)和漸進(jìn)最優(yōu)的周期QCSSs。通過(guò)將文獻(xiàn)[5]中的Singer 差集替換為幾乎差集，文獻(xiàn)[10]提出了一類漸進(jìn)最優(yōu)的周期QCSS。文獻(xiàn)[11-12]基于有限域上的加法與乘法特征給出了最優(yōu)和漸進(jìn)最優(yōu)的周期QCSSs 的構(gòu)造方法。然而，前述文獻(xiàn)只涉及周期相關(guān)特性，文獻(xiàn)[13]指出非周期相關(guān)特性的QCSS 在實(shí)際應(yīng)用中的重要作用，因此，該文首先提出了漸進(jìn)最優(yōu)非周期QCSS，并給出了非周期LC-CSS 的3 種構(gòu)造，然而，其構(gòu)造的序列集中互補(bǔ)序列的數(shù)目不多且子序列長(zhǎng)度受限于素?cái)?shù)，尤其是對(duì)于二元QCSS，其互補(bǔ)序列數(shù)目甚少，不利于其在多用戶接入場(chǎng)景下的應(yīng)用。文獻(xiàn)[14]提出了一種具有漸進(jìn)最優(yōu)參數(shù)非周期二元LCZ-CSS 的構(gòu)造，具有漸進(jìn)最優(yōu)參數(shù)非周期二元LC-CSS 可從所提的構(gòu)造中導(dǎo)出，該文構(gòu)造的序列集的互補(bǔ)序列數(shù)目較多且為二進(jìn)制序列，因此在實(shí)際系統(tǒng)中更容易實(shí)現(xiàn)。眾所周知，多載波通信系統(tǒng)存在信號(hào)峰均功率比（PAPR,peak-to-average power ratio）過(guò)高的問(wèn)題，高PAPR值可能使發(fā)射機(jī)前端電路飽和，導(dǎo)致發(fā)射信號(hào)非線性失真，進(jìn)而降低系統(tǒng)性能。結(jié)合互補(bǔ)碼集與MC-CDMA 系統(tǒng)的特點(diǎn)，文獻(xiàn)[15]通過(guò)分析時(shí)域擴(kuò)頻MC-CDMA 信號(hào)結(jié)構(gòu)，得出時(shí)域擴(kuò)頻MC-CDMA系統(tǒng)信號(hào)PAPR由用戶擴(kuò)頻的CCC所組成二維矩陣的列向量所決定的結(jié)論。為解決該問(wèn)題，文獻(xiàn)[15]基于廣義布爾函數(shù)構(gòu)造了具有低列向量PAPR 的CCC 集。近年來(lái)，文獻(xiàn)[16]進(jìn)一步基于多變量函數(shù)構(gòu)造了具有低列向量PAPR 的CCC 集。相比傳統(tǒng)CCC，QCSS 具有序列數(shù)目眾多的優(yōu)勢(shì)，因此在大規(guī)模多址接入場(chǎng)景中有巨大的應(yīng)用潛力。然而目前QCSS 的構(gòu)造方法并不多，而且已有的構(gòu)造方法都沒(méi)有考慮到時(shí)域擴(kuò)頻MC-CDMA 信號(hào)PAPR 抑制[17-19]的問(wèn)題，因此在最差情況下系統(tǒng)信號(hào)PAPR 達(dá)到了最大值，即與子序列數(shù)目相等，這在子載波數(shù)比較多的系統(tǒng)當(dāng)中是難以接受的。構(gòu)造具有低列向量PAPR 的QCSS 一方面可以解決海量用戶接入的問(wèn)題，另一方面可以解決時(shí)域擴(kuò)頻多載波系統(tǒng)信號(hào)PAPR 過(guò)高的問(wèn)題，這是本文的主要研究動(dòng)機(jī)。

在實(shí)際應(yīng)用中，二元序列直接對(duì)應(yīng)二進(jìn)制相移鍵控（BPSK,binary phase shift keying）調(diào)制，具有方便實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，因此相比于其他單位圓上的多相復(fù)數(shù)根序列，二元序列是更加理想的擴(kuò)頻序列。本文基于正交Golay 序列（OGS,orthogonal golay sequence）集，提出了一類漸進(jìn)最優(yōu)非周期二元QCSS 的構(gòu)造。相較于文獻(xiàn)[14]，本文提出的構(gòu)造不僅具有更多數(shù)目的準(zhǔn)互補(bǔ)序列，且有至多為2 的列向量PAPR。最后，將構(gòu)造得到的LC-CSS 在準(zhǔn)異步QCSS-MC-CDMA 系統(tǒng)中進(jìn)行誤碼率（BER,bit error rate）仿真，可以看出，其與文獻(xiàn)[14]具有相似的BER 性能，但由于其列向量PAPR 遠(yuǎn)小于后者，可解決時(shí)域多載波信號(hào)PAPR 過(guò)高的問(wèn)題。

1 基本概念和定義

定義1令a=(a0,a1,…,aN-1)和b=(b0,b1,…,bN-1)是兩條長(zhǎng)度為N的二元序列，其非周期互相關(guān)函數(shù)定義為

當(dāng)a=b時(shí)，,b(τ)為非周期自相關(guān)函數(shù)，記為(τ)。

定義2定義C={C0,C1,…,CK-1}包含K條互補(bǔ)序列，每條互補(bǔ)序列Ck由M條長(zhǎng)度為N的子序列組成，即

最大非周期自相關(guān)函數(shù)幅值δa和最大非周期互相關(guān)函數(shù)幅值δc分別為

定義3對(duì)于集合C={C0,C1,…,CK-1}，如果其滿足式(4)條件，則稱序列集C為L(zhǎng)CZ-CSS。

其中，0≤k1≠k2≤K-1且0≤τ≤Z-1，或0≤k1=k2≤K-1且0〈τ≤Z-1，0 〈δmax?MN。序列集C參數(shù)表示為(K,M,N,Z,δmax)-LCZ-CSS，其中，K為互補(bǔ)序列數(shù)目，M為每條互補(bǔ)序列的子序列數(shù)目，N為子序列長(zhǎng)度，δmax是長(zhǎng)度為Z的低相關(guān)區(qū)內(nèi)的最大非周期相關(guān)函數(shù)幅值。特別地，如果Z=N，則稱序列集C為L(zhǎng)C-CSS。

為評(píng)估QCSS 相關(guān)性能的優(yōu)劣，Liu 等[20]給出了QCSS參數(shù)需滿足的理論界限，如引理1 所示。

引理1[20]對(duì)于(K,M,N,Z,δmax)-LCZ-CSS，δmax滿足

Liu等[8]提出了對(duì)于非周期LC-CSS更加緊密的相關(guān)下界，如引理2 所示。

引理2[8]當(dāng)K≥3M，M≥2及N≥2時(shí)，對(duì)于非周期 (K,M,N,δmax)-LC-CSS，δmax滿足

為便于分析相關(guān)性能，定義最優(yōu)因子ρ分別為

顯然，ρ≥1。當(dāng)QCSS 的最優(yōu)因子ρ=1時(shí)，稱其為最優(yōu)的；當(dāng)1〈ρ≤2時(shí)，稱其為漸進(jìn)最優(yōu)的。

定義4記a=(a0,a1,…,aN-1)為一條長(zhǎng)度為N的二元序列，將序列a擴(kuò)展到具有N個(gè)子載波的多載波通信系統(tǒng)中，假設(shè)基頻為0，相鄰子載波間的頻率間隔為1，則時(shí)域多載波信號(hào)可以被寫為

Liu 等[15]指出，MC-CDMA 系統(tǒng)中的PAPR 控制問(wèn)題是由互補(bǔ)矩陣的列向量PAPR 決定的，因此，多載波系統(tǒng)中的峰均功率控制問(wèn)題是降低所有互補(bǔ)碼的列向量的最大PAPR。例如，給出一條含有8 個(gè)長(zhǎng)度為7 的子序列的二元互補(bǔ)序列，并將其寫成矩陣的形式

圖1 給出了該互補(bǔ)序列中4 條列向量的IAPR曲線。在多載波通信系統(tǒng)中，由式(9)可知，由于多個(gè)子載波在某個(gè)時(shí)刻以同一個(gè)方向進(jìn)行累加時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大峰值，在最差情況下，所有子載波同時(shí)達(dá)到最大值，此時(shí)PAPR 為子載波數(shù)目，如圖1 中d0的IAPR 最大值為子序列數(shù)目8。當(dāng)信號(hào)峰值進(jìn)入功率放大器的非線性區(qū)域時(shí)，會(huì)使信號(hào)產(chǎn)生畸變，從而產(chǎn)生載波間干擾和帶外功率輻射，降低系統(tǒng)性能。因此，對(duì)于多載波信號(hào)PAPR 抑制的QCSS 構(gòu)造方法的研究是很有必要的。

圖1 4 條列向量的IAPR 曲線

因此，本文工作的目標(biāo)是構(gòu)造低列向量PAPR 的QCSS，這將有2 個(gè)方面的好處：一方面，系統(tǒng)的PAPR得到抑制；另一方面，互補(bǔ)序列的數(shù)目得到擴(kuò)展。這2 個(gè)方面的優(yōu)勢(shì)使所構(gòu)造的QCSS 在海量用戶接入的MC-CDMA 系統(tǒng)具有較大的應(yīng)用潛力。

2 QCSS 的構(gòu)造

步驟1有限域 F2n，其本原元為α且n≥3 。取一正整數(shù)Z使Z≤2n-1。

互補(bǔ)序列C(u,k,v)中的每個(gè)元素定義為

定理1經(jīng)由上述方法構(gòu)造得到的互補(bǔ)序列集C具有如下性質(zhì)。

2) 每個(gè)互補(bǔ)矩陣的列向量PAPR 上界都為2。

證明詳見(jiàn)附錄1。

由于LC-CSS 是LCZ-CSS的一個(gè)特例，因此可從定理1 直接得出以下推論。

推論1在定理1 的序列集C的構(gòu)造中設(shè)置Z=2n-1，那么由此構(gòu)造的序列集C是非周期二元(2nU,2n,2n-1,2n)-LC-CSS 。

在上述構(gòu)造中，顯然，映射集π的構(gòu)造是一個(gè)關(guān)鍵因素。文獻(xiàn)[14]利用有限域上的本原元構(gòu)造了一個(gè)包含有2n條映射序列的映射集

其中，0≤t≤2n-2，α是GF(2n)的本原元，?是從 F2n到Z2n的一對(duì)一映射函數(shù)，取 F2n中元素的十進(jìn)制形式。本文給出一種新的映射集π的構(gòu)造方法，具體如引理3 所示。

引理3記有限域GF(pn)，p為素?cái)?shù)，n為正整數(shù)。在GF(p) 上選擇一個(gè)n次本原多項(xiàng)式f(x)，以f(x) 為m序列的生成多項(xiàng)式，各寄存器的非零狀態(tài)序列記為G={β0,β1,…,，對(duì)G的各項(xiàng)依次加上一個(gè)固定狀態(tài)，并用十進(jìn)制表示，則可得到pn條長(zhǎng)度為pn-1的從的一對(duì)一映射序列πu，具體定義式為

證明詳見(jiàn)附錄2。

引理3 構(gòu)造了不同于文獻(xiàn)[14]的映射集。事實(shí)上，映射集π所滿足的性質(zhì)與非重復(fù)一次碰撞跳頻序列的性質(zhì)相似，因此可以通過(guò)尋求這樣的跳頻序列來(lái)進(jìn)一步構(gòu)造許多滿足定理 1 的QCSS。

證明詳見(jiàn)附錄3。

推論3利用引理3 的映射集，根據(jù)定理1 構(gòu)造的 (22n,2n,2n-1,2n)-LC-CSS 可知，引理3 構(gòu)造的準(zhǔn)互補(bǔ)序列集是漸進(jìn)最優(yōu)的。

證明詳見(jiàn)附錄4。

表1 列出了本文和文獻(xiàn)[14]在Z=4和3≤n≤10時(shí)的二元LCZ-CSS 的參數(shù)比較。從表1可以看出，本文相較于文獻(xiàn)[14]擴(kuò)展了互補(bǔ)序列的數(shù)目。

本節(jié)給出了低列向量PAPR 的漸進(jìn)最優(yōu)非周期二元QCSS 的構(gòu)造方法。首先給出了列向量PAPR上界為2 的QCSS 的一般構(gòu)造框架，其次將引理3構(gòu)造的映射集代入構(gòu)造框架中，進(jìn)而可以構(gòu)造漸進(jìn)最優(yōu)的QCSS，經(jīng)此構(gòu)造得到的QCSS 不僅互補(bǔ)序列數(shù)目多且其列向量PAPR 上界為2。文獻(xiàn)[21]利用布爾函數(shù)構(gòu)造了過(guò)載率最大為4 的二元OGS 集，通過(guò)更換不同的OGS 集，進(jìn)而可以構(gòu)造QCSS。例如當(dāng)n=5 時(shí)，可以構(gòu)造4 個(gè)滿足定理1 的QCSS，大大增加了系統(tǒng)中可容納的用戶數(shù)目。文獻(xiàn)[21-22]已經(jīng)構(gòu)造出大量的OGS 集，本文提出的構(gòu)造方法的優(yōu)勢(shì)是基于多個(gè)二元OGS 集可得到多個(gè)漸進(jìn)最優(yōu)的非周期二元QCSS，其內(nèi)的每個(gè)互補(bǔ)序列都有低列向量PAPR，且其上界為2。

3 QCSS-MC-CDMA 系統(tǒng)中的性能分析

考慮具有子載波為M、碼片持續(xù)時(shí)間為N的上行鏈路QCSS-MC-CDMA 系統(tǒng)，假設(shè)有K個(gè)用戶，其中第0 個(gè)用戶為期望用戶，即它是在多個(gè)用戶存在的情況下檢測(cè)信號(hào)的預(yù)期用戶。系統(tǒng)的收發(fā)端結(jié)構(gòu)如圖2 所示，其中bk(n) 代表第k個(gè)用戶的BPSK的信號(hào)，假設(shè)該系統(tǒng)為準(zhǔn)異步系統(tǒng)，考慮均值為0的高斯白噪聲信道。

圖2 準(zhǔn)異步QCSS-MC-CDMA 系統(tǒng)的收發(fā)端結(jié)構(gòu)

首先利用為每個(gè)用戶分配的互補(bǔ)序列對(duì)調(diào)制信號(hào)進(jìn)行擴(kuò)頻，將得到的擴(kuò)頻矩陣按列進(jìn)行快速傅里葉逆變換（IFFT,inverse fast Fourier transform）以獲得時(shí)域樣本，然后加入循環(huán)前綴以抑制符號(hào)間串?dāng)_和子載波間干擾，接著經(jīng)過(guò)并串變換得到用戶要發(fā)送的信號(hào)。接收端的接收信號(hào)可表示為

其中，N0表示噪聲向量。類似地，其他用戶的接收信號(hào)可以通過(guò)在接收端處改變解擴(kuò)碼來(lái)獲得。

取n=5，Z=31，基于引理3 和文獻(xiàn)[21]的OGS 集可構(gòu)造4 個(gè)QCSS，每個(gè)序列集的參數(shù)為(1024,32,31,32)-LC-CSS，從所構(gòu)造的QCSS 中選取K=8 個(gè)用戶進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，蒙特卡羅仿真次數(shù)為 104。圖3 為本文和文獻(xiàn)[14]所構(gòu)造互補(bǔ)序列進(jìn)行多載波調(diào)制后的列向量IAPR 的比較，圖4 給出了兩者所有列向量PAPR 分布的比較。從圖3 和圖4可以明顯看出，本文互補(bǔ)矩陣的列向量PAPR 最大為2，而文獻(xiàn)[14]中互補(bǔ)矩陣的列向量PAPR 最大為子序列的個(gè)數(shù)32，即本文所構(gòu)造的序列應(yīng)用到MCCDMA 系統(tǒng)中信號(hào)的IAPR 得到了有效的抑制。圖5為本文和文獻(xiàn)[14]構(gòu)造的 QCSS 在準(zhǔn)異步QCSS-MC-CDMA 系統(tǒng)中的BER 性能的比較。從圖5可以看出，兩者具有相似的BER 性能，但是本文所構(gòu)造的QCSS 具有更低的列向量PAPR 且有更多的互補(bǔ)序列數(shù)目。

圖3 本文和文獻(xiàn)[14]所構(gòu)造互補(bǔ)序列進(jìn)行多載波調(diào)制后的列向量IAPR 的比較

圖4 本文和文獻(xiàn)[14]所構(gòu)造互補(bǔ)序列進(jìn)行多載波調(diào)制后的所有列向量PAPR 分布的比較

圖5 本文和文獻(xiàn)[14]構(gòu)造的QCSS 在準(zhǔn)異步QCSS-MC-CDMA 系統(tǒng)中的BER 性能的比較

以上仿真結(jié)果很好地驗(yàn)證了前述理論分析的正確性，相較于文獻(xiàn)[14]，本文構(gòu)造的QCSS 不僅抑制了系統(tǒng)PAPR，而且大大擴(kuò)展了互補(bǔ)序列數(shù)目，然而，值得注意的是，本文利用OGS 集作為初始序列集構(gòu)造QCSS 屬于間接構(gòu)造法，最后得到的序列集的參數(shù)依賴于初始序列集的參數(shù)，這是本文方法的一個(gè)不足之處，研究序列的直接構(gòu)造法是筆者下一步的研究方向。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于OGS 集提出了一類漸進(jìn)最優(yōu)非周期二元QCSS 的構(gòu)造，并在QCSS-MC-CDMA 系統(tǒng)中進(jìn)行仿真。相較文獻(xiàn)[14]，本文構(gòu)造的QCSS 有相似的BER 性能，但有至多為2 的列向量PAPR，且互補(bǔ)序列數(shù)目大大增加，這在支持海量用戶場(chǎng)景下的MC-CDMA 系統(tǒng)中可靠傳輸具有較大應(yīng)用潛力。

附錄1 定理1 證明

接下來(lái)證明定理1 的第二部分。根據(jù)式(14)，任意一條序列集C的列向量可表示為

其中，0≤t≤2n-2。記l=πu(t+vZ)，可以看出序列集C的每一列是集合S的任一行點(diǎn)乘上一個(gè)取值為 ±1 的元素，由于S的每一行是一條Golay 序列，因此經(jīng)由式(14)所得到的互補(bǔ)序列集C的每一列也都是Golay 序列，由文獻(xiàn)[21]可知，Golay 序列的PAPR 以2 為上界。

證畢。

附錄2 引理3 證明

附錄3 推論2 證明

根據(jù)引理1，最優(yōu)因子為

附錄4 推論3 證明

根據(jù)引理2，最優(yōu)因子為