魏 標(biāo)，閔浩崢，汪偉浩,2，李?yuàn)檴?/p>

(1.中南大學(xué)土木工程系，湖南，長沙 410075；2.廣東省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院集團(tuán)股份有限公司，廣東，廣州 510440)

分離式減震榫在橋梁抗震設(shè)計(jì)和實(shí)踐中取得了良好的抗震效果[1-5]。研究結(jié)果表明，分離式減震榫能夠很好地限制梁端位移，并滿足高鐵對行車要求。研究中常采用雙線性本構(gòu)來描述金屬阻尼器的力學(xué)性能[6-8]。然而針對雙線性本構(gòu)能否描述分離式減震榫在高烈度近斷層地震動作用下的力學(xué)行為的相關(guān)研究較少。同時(shí)，往復(fù)荷載作用下低碳鋼的本構(gòu)關(guān)系較為復(fù)雜，呈現(xiàn)出依賴于加載歷程的包辛格效應(yīng)，棘輪效應(yīng)和循環(huán)強(qiáng)弱化效應(yīng)等非常重要的強(qiáng)非線性特征[9-11]。基于理想彈塑性本構(gòu)推導(dǎo)的分離式減震榫的骨架曲線，并不能和試驗(yàn)結(jié)果相吻合[12]。為了得到能反映分離式減震榫力學(xué)性能的骨架曲線數(shù)據(jù)，往往需要進(jìn)行試件的擬靜力試驗(yàn)，消耗很高的成本。總而言之，目前很少有文獻(xiàn)從材料層次出發(fā)，研究分離式減震榫的力學(xué)性能。缺乏準(zhǔn)確高效的描述分離式減震榫力學(xué)性能的相關(guān)模型，造成了分離式減震榫的耗能性能評估、參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)以及低周疲勞分析等多方面的困難。

1943 年，RAMBERG 和OSGOOD[13]提出一種光滑模型(簡稱R-O 模型)，來描述低碳鋼在循環(huán)荷載作用下的應(yīng)力-應(yīng)變骨架曲線，如式(1)所示：

式中：K＇為循環(huán)強(qiáng)化系數(shù)；n＇為循環(huán)強(qiáng)化指數(shù)，均為控制骨架曲線形狀的參數(shù)。HIROMASA[14]基于R-O 模型討論了剪力對等截面梁的影響。SZULADZINSKI[15]基于 R-O 模型推導(dǎo)了等截面梁在塑性鉸區(qū)域的彎矩-曲率公式。LANZAGORTA[16]基于R-O 模型推導(dǎo)了等截面懸臂梁受剪時(shí)的變形公式。李冀龍等[17]基于 R-O 模型，建立了X 型鋼板阻尼器的阻尼力模型。結(jié)果表明，該模型相較于雙線性強(qiáng)化模型更加能夠擬合阻尼器實(shí)際的滯回曲線。文獻(xiàn)[7, 18 - 19]的研究則表明，R-O 模型能很好地?cái)M合低碳鋼在逐級對稱加載作用下的應(yīng)力-應(yīng)變骨架曲線。

本文基于R-O 模型，推導(dǎo)了分離式減震榫骨架曲線的計(jì)算方法，并與金屬材料有限元仿真中常用的Chaboche 混合強(qiáng)化模型[20]下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。隨后，基于該方法，提出一種雙線性模型的簡化算法。并以一座通用的32 m 高鐵簡支梁橋?yàn)楸尘?，討論近斷層脈沖地震動作用下雙線性模型的適用性。

1 簡化力學(xué)模型

當(dāng)分離式減震榫上、下兩端發(fā)生相對位移時(shí)，可利用對稱性取其一半進(jìn)行分析。根據(jù)等強(qiáng)度梁理論[2]，分離式減震榫的幾何計(jì)算模型如圖1所示。榫身橫截面為圓形，根據(jù)直徑變化方式，分為耗能段和傳力段。其中：L為榫身高度；L1為過渡段高度；x為榫身橫截面到傳力段頂端的距離。截面直徑d(x)的計(jì)算見式(2)：

圖1 分離式減震榫示意圖Fig.1 Diagram of separated shock absorber

式中：d1為傳力段直徑；a為截面系數(shù)。

在小變形情況下，分離式減震榫豎向變形較小，受力特征與懸臂梁類似，只考慮彎矩作用產(chǎn)生的變形。假定分離式減震榫的橫截面彎曲變形后仍保持為平面，且仍與變形后的截面軸線垂直。

1.1 力學(xué)參數(shù)計(jì)算方法

1.1.1 彈性剛度

當(dāng)材料處于線彈性階段時(shí)，由結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算理論，可求解出分離式減震榫的剛度為：

式中：M0(x)為單位荷載作用下，距裝置頂端x處截面承受的彎矩值；E為彈性模量；I(x)為截面慣性矩。

1.1.2 骨架曲線

當(dāng)分離式減震榫處于小變形狀態(tài)時(shí)，可采用一種簡化計(jì)算方法來計(jì)算分離式減震榫骨架曲線，計(jì)算步驟如下：

1) 將分離式減震榫平均劃分n段，每一段高度為t=L/n，如圖1 所示。假定每一段的截面直徑hi和曲率ki保持不變。

2) 在傳力段頂端施加給定水平力F，得到任意第i個(gè)截面的彎矩Mi,

3) 聯(lián)立式(2)、式(5)和式(1)，通過二分法求出任意截面的曲率ki(見式(6))。

4) 根據(jù)各個(gè)截面曲率即可求出分離式減震榫的位移u：

上述求解分離式減震榫骨架曲線的計(jì)算方法可根據(jù)圖2 自編程序?qū)崿F(xiàn)電算。

圖2 骨架曲線計(jì)算流程圖Fig.2 Flow chart of skeleton curve calculation

2 雙線性模型簡化算法

為了給工程設(shè)計(jì)提供簡潔并具有一定精度的參考公式，方便有限元模擬分析，目前工程中多采用雙線性模型來描述分離式減震榫的骨架曲線[21]，如圖3 所示。

圖3 理論滯回模型Fig.3 Theoretical hysteretic model

圖3 中：點(diǎn)1 為彈性極限點(diǎn)；點(diǎn)2 為彈性直線延長段與屈服后平臺段延長線的交點(diǎn)，即屈服點(diǎn)；點(diǎn)3 為減震榫的設(shè)計(jì)極限位移點(diǎn)；ue、uy和umax分別為彈性極限位移、屈服位移和極限位移；Fe、Fy和Fmax分別為彈性極限荷載、屈服荷載和極限荷載；Ku為彈性剛度；Kd為屈服后剛度；α為屈后剛度比，且Kd=αKu。

根據(jù)圖2 中的計(jì)算流程，可得到分離式減震榫的骨架曲線，隨后便可以在給定極限位移的情況下，將該骨架曲線等效為雙線性本構(gòu)骨架曲線。等效過程如下：

1) 假定分離式減震榫的屈服點(diǎn) (uy,Kuuy)，從而確定雙線性本構(gòu)骨架曲線的形狀。

2) 假定第一象限0234 的面積Ac和理論滯回環(huán)0134 面積的At相等，根據(jù)式(8)計(jì)算兩者之間的誤差t。

3) 如果t小于容許誤差t0，則認(rèn)為該等效成立，否則改變uy的值，返回第一步重新計(jì)算。本文去容許誤差t0=1。

4) 確定uy后，根據(jù)屈服點(diǎn)和正峰值點(diǎn)數(shù)據(jù)，從而確定等效后的屈服后剛度Kd。等效過程可以根據(jù)圖4 自編程序以實(shí)現(xiàn)電算。

圖4 滯回模型簡化流程圖Fig.4 Simplified flow chart of hysteresis model

3 R-O 模型正確性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述公式的正確性，通過建立ABAQUS有限元分析模型進(jìn)行計(jì)算，并與理論結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證。分離式減震榫的幾何參數(shù)按照文獻(xiàn)[2]選取，其中，L=370 mm，L1=40 mm，d1=60 mm，a=11.404。采用C3D8R 實(shí)體單元進(jìn)行幾何建模，如圖5 所示。

圖5 分離式減震榫有限元模型Fig.5 Finite element model of separated shock absorber

文獻(xiàn)[19]通過試驗(yàn)對比了常用的LYP225 在循環(huán)荷載和單軸拉伸荷載作用下的力-位移曲線。

試驗(yàn)結(jié)果顯示，LYP225 在循環(huán)荷載下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線有了較大的區(qū)別；通過Chaboche 本構(gòu)和R-O 模型能夠較好地描述LYP225 鋼材在循環(huán)荷載作用下的應(yīng)力-應(yīng)變滯回曲線和骨架曲線。其中：LYP225 的彈性模量E為160 000 MPa，屈服強(qiáng)度為199 MPa；R-O 模型的參數(shù)取值為n' =0.24，K'=400 MPa；Chaboche本構(gòu)等向強(qiáng)化和隨動強(qiáng)化的相關(guān)參數(shù)如表1 所示。其中： σ|0為0.01%塑性應(yīng)變時(shí)應(yīng)力；Q∞為屈服面半徑的最大變化值；b為屈服面半徑隨塑性應(yīng)變增加的變化率；Ck為第k(k=1, 2, 3, 4)個(gè)背應(yīng)力的最大變化值； γk為第k個(gè)背應(yīng)力水塑性應(yīng)變增加的變化率。圖6 為基于Chaboche 本構(gòu)、R-O 模型和理想彈塑性本構(gòu)計(jì)算得到的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系對比圖。從圖中可以看出在小應(yīng)變狀態(tài)下Chaboche 本構(gòu)和R-O 模型計(jì)算得到的應(yīng)力-應(yīng)變骨架曲線基本能夠重合，并且和理想彈塑性本構(gòu)骨架曲線相差較大。

表1 Chaboche 本構(gòu)參數(shù)標(biāo)定表Table 1 Parameters of Chaboche constitutive model

圖6 應(yīng)力-應(yīng)變曲線對比圖Fig.6 Comparison of stress-strain curves

為準(zhǔn)確模擬減震榫擬靜力試驗(yàn)，在ABAQUS中對榫身底部采用固結(jié)約束，定義傳力筒和榫頭為硬接觸，不考慮接觸過程中的摩擦力作用?？刂品蛛x式減震榫頂部在x方向進(jìn)行平動加載，加載歷程如圖7 所示。

圖7 加載制度Fig.7 Loading scheme

圖8 為分離式減震榫基于Chaboche 本構(gòu)，R-O模型和理想彈塑性本構(gòu)計(jì)算得到的骨架曲線對比圖。從圖中可以看到，在150 mm 極限位移以內(nèi)，Chaboche 本構(gòu)和R-O 模型計(jì)算所得到的骨架曲線基本吻合，而理想彈塑性本構(gòu)無法描述分離式減震榫進(jìn)入彈塑性狀態(tài)后的力學(xué)性能，從而驗(yàn)證了骨架曲線理論推導(dǎo)公式的正確性。圖9 為分離式減震榫基于Chaboche 本構(gòu)和理想彈塑性本構(gòu)得到的滯回曲線和基于R-O 骨架曲線簡化得到的雙線性本構(gòu)滯回曲線的對比圖。從圖中可以看出，在位移加載逐級遞增的過程中，雙線性本構(gòu)能夠更好地描述在實(shí)際正向加載和反向加載過程中任意特定位移下的力的大小，同時(shí)雙線性本構(gòu)下每一圈滯回面積也更加接近實(shí)際的滯回耗能。當(dāng)位移幅值較小時(shí)，低碳鋼的等向強(qiáng)化效應(yīng)并不明顯，以隨動強(qiáng)化為主，此時(shí)雙線性本構(gòu)滯回面積要大于Chaboche 本構(gòu)滯回面積，而隨著位移幅度增大，等向強(qiáng)化效應(yīng)逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位，Chaboche本構(gòu)滯回面積開始大于雙線性本構(gòu)的滯回面積。

圖8 骨架曲線對比圖Fig.8 Comparison of skeleton curves

圖9 滯回曲線對比圖Fig.9 Comparison of hysteretic curves

4 雙線性簡化滯回本構(gòu)適用性評估

雖然雙線性本構(gòu)能夠較好描述在逐級對稱加載作用下的分離式減震榫的力學(xué)性能，然而在實(shí)際工程中橋梁所受到的循環(huán)荷載往往不完全對稱。尤其是在具有脈沖效應(yīng)的高烈度近斷層地震動作用下，根據(jù)不同的材料滯回本構(gòu)模型得到的彈塑性地震反應(yīng)結(jié)果可能會存在不可忽視的差異，雙線性本構(gòu)用于橋梁結(jié)構(gòu)的彈塑性地震反應(yīng)分析的適用性仍然有待仔細(xì)評估。

4.1 橋梁建模

4.1.1 主梁

本文橋梁計(jì)算模型選取一座通用的32 m 雙線鐵路預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁橋。主梁為后張法預(yù)應(yīng)力混凝土雙片T 型梁[22]。每2 片單獨(dú)的T 型梁之間采用橫隔板連接，沿縱橋向每4 m 1 個(gè)。截面設(shè)計(jì)尺寸參考《通橋(2012)2201-I(32 m)》設(shè)計(jì)圖紙，如圖10 所示。T 型梁上翼緣寬2.28 m，下翼緣寬0.88 m，腹板寬2.4 m，梁高2.7 m?；炷敛牧系膹?qiáng)度等級為C55。根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙，主梁自重為297.6 t，二期恒載為101.26 t/m。

圖10 主梁橫截面 /mmFig.10 Cross-section of main girder

過往對于橋梁震害的調(diào)查資料都表明，主梁在強(qiáng)震下仍然保持彈性狀態(tài)[23-26]，因此忽略鋼筋和預(yù)應(yīng)力筋，采用C3D8R 實(shí)體單元模擬主梁，將混凝土材料設(shè)置為彈性，其彈性模量為36 000 MPa，泊松比為0.2。將軌道結(jié)構(gòu)模擬為等質(zhì)量、體積大致相等的實(shí)體，附加在主梁上。

4.1.2 橋墩

橋墩采用9 m 墩高的變截面圓端形實(shí)心橋墩。橋墩混凝土材料采用C35 混凝土，縱筋采用HRB400。橋墩構(gòu)造示意圖如圖11 所示，橋墩截面的配筋率在0.2%～0.3%。通過C3D8R 實(shí)體單元模擬橋墩，在墩底1/3 墩高范圍內(nèi)向下逐漸加密網(wǎng)格?；炷帘緲?gòu)采用ABAQUS 內(nèi)置的混凝土塑性損傷模型進(jìn)行模擬。受壓恢復(fù)因子wc和受拉恢復(fù)因子wt分別按默認(rèn)值取為1 和0，混凝土具體的本構(gòu)關(guān)系如圖12 所示。鋼筋材料的本構(gòu)采用理想彈塑性本構(gòu)進(jìn)行模擬。鋼筋和混凝土的相互作用類型為“內(nèi)置區(qū)域”約束，不考慮混凝土和鋼筋的粘結(jié)滑移效應(yīng)。TSOPELAS 等[27]在研究中指出，在硬土地區(qū)樁土相互作用對隔震支座的基礎(chǔ)振動周期是可以忽略不計(jì)的。為了減小數(shù)值計(jì)算的負(fù)擔(dān)，同時(shí)控制對無關(guān)因子對數(shù)值計(jì)算結(jié)果的影響，假定橋墩底部的約束為固結(jié)約束，不考慮樁土相互作用。

圖11 橋墩構(gòu)造 /mmFig.11 Pier structure

圖12 混凝土拉壓損傷本構(gòu) /mFig.12 Damage constitutive relationship of concrete

4.1.3 支座建模

摩擦擺支座組合金屬阻尼器已經(jīng)成為近斷層抗震中常用的組合減隔震措施[22,28]。在每一跨主梁的兩端分別布置2 個(gè)摩擦擺支座和14 根分離式減震榫，如圖13 所示。摩擦擺支座的等效半徑取1500 mm，摩擦系數(shù)假定為0.02[28]。分離式減震榫的實(shí)體單元建模如圖5 所示。通過綁定約束將分離式減震榫底部和橋墩頂部固結(jié)，通過MPC 約束固結(jié)傳力筒和主梁底部，隨后通過面面接觸定義傳力筒和分離式減震榫之間的接觸關(guān)系，從而以此限制主梁和橋墩之間的相對位移。通過設(shè)置3 種本構(gòu)進(jìn)行對比分析。首先通過ABAQUS 內(nèi)置的Chaboche 本構(gòu)模擬分離式減震榫在實(shí)際工作過程中的力學(xué)行為[29]，其參數(shù)標(biāo)定如表1 所示。作為對比，通過在主梁和橋墩之間設(shè)置笛卡爾連接器來描述圖9 的雙線性本構(gòu)的力學(xué)行為從而檢驗(yàn)滯回模型簡化算法的適用性，以及通過定義分離式減震榫的材料為圖6 中理想彈塑性本構(gòu)來對比忽略各向同性強(qiáng)化效應(yīng)對計(jì)算結(jié)果造成的影響。

圖13 鐵路簡支梁橋有限元模型Fig.13 Finite element model of simply-supported railway bridge

4.1.4 地震波輸入

根據(jù)《鐵路工程抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》[30]中的目標(biāo)反應(yīng)譜，從美國太平洋地震工程研究中心(PEER)數(shù)據(jù)庫中選取了7 條適合Ⅱ類場地的近斷層脈沖地震動記錄[31]。由于該橋梁位于9 度地區(qū)，考慮到遭遇罕遇地震的情況，分別將各條波的峰值加速度調(diào)整為0.64g，并沿縱橋向輸入。所選地震波參數(shù)見表2。將七條地震波的加速度反應(yīng)譜轉(zhuǎn)化成動力放大系數(shù)β 曲線，并在調(diào)整后與目標(biāo)反應(yīng)譜進(jìn)行對比，如圖14 所示。

表2 輸入地震記錄特征Table 2 Characteristics of selected earthquake records

4.2 支座位移對比

選取P2 橋墩的摩擦擺支座在1 號地震作用下的位移時(shí)程進(jìn)行詳細(xì)分析，如圖15 所示。從圖中可以看出，近斷層地震動的速度脈沖導(dǎo)致支座出現(xiàn)較大的位移沖擊，這使得理想彈塑性本構(gòu)和Chaboche 本構(gòu)下計(jì)算出來的支座位移在t=11.4 s和t=12.2 s 處出現(xiàn)了明顯的偏差。圖16 為分離式減震榫在三種本構(gòu)下的滯回曲線對比圖。由圖16可得，由于在每一次滯回過程中，分離式減震榫按照非等幅加載進(jìn)行滯回，各項(xiàng)同性強(qiáng)化效應(yīng)不明顯。雙線性本構(gòu)下的分離式減震榫的剪力總是偏大，從而導(dǎo)致其支座位移偏小于Chaboche 本構(gòu)下的支座位移，如圖16 中t=11.4 s 時(shí)所示。而在大幅值變形過程中則相反。如在t=12.2 s 時(shí)，各項(xiàng)同性強(qiáng)化效應(yīng)占據(jù)主導(dǎo)，Chaboche 本構(gòu)下的剪力與雙線性本構(gòu)下的剪力接近，進(jìn)而雙線性本構(gòu)下支座位移與Chaboche 本構(gòu)下的支座位移接近。理想彈塑性本構(gòu)則完全忽略了低碳鋼在循環(huán)荷載作用下的各向同性強(qiáng)化特性，進(jìn)而嚴(yán)重低估了分離式減震榫的變形剪力。故而，基于理想彈塑性本構(gòu)得到的支座位移峰總是偏大。表3 給出了基于不同本構(gòu)下的P2 橋墩位移峰值的對比，其中Difference1 和Difference2 分別表示了雙線性本構(gòu)和理想彈塑性本構(gòu)下支座位移峰值與Chaboche 本構(gòu)支座位移峰值的誤差百分比。由于雙線性本構(gòu)所計(jì)算的支座位移峰值相較于Chaboche 本構(gòu)所計(jì)算的結(jié)果的平均誤差能夠控制在5%以內(nèi)，基本能夠保證基于雙線性模型得到的計(jì)算結(jié)果的安全性，而基于理想彈塑性本構(gòu)計(jì)算所得到的支座位移峰值相較于Chaboche 本構(gòu)所計(jì)算的結(jié)果的平均誤差高達(dá)18.13%，并不適用于描述實(shí)際工程應(yīng)用中的分離式減震榫的工作性能。

表3 P2 支座位移時(shí)程最大值比較Table 3 Comparison of peak displacement of P2 bearing

圖15 支座位移時(shí)程對比Fig.15 Comparison of bearing displacement time history

圖16 分離式減震榫滯回曲線對比圖Fig.16 Comparison of hysteretic curves of separated shock absorber

4.3 墩底彎矩對比

圖17 為P2 橋墩在1 號地震下墩底彎矩時(shí)程對比。從圖中可以看出，三種本構(gòu)模型計(jì)算得到的墩底彎矩時(shí)程基本一致，其原因是由于在罕遇近斷層地震動作用下，墩底已經(jīng)出現(xiàn)了混凝土裂縫和鋼筋屈曲。表4 為不同本構(gòu)下P2 橋墩墩底彎矩峰值對比。從表4 可以看出，雙線性本構(gòu)計(jì)算所得到的墩底最大彎矩總是偏大，而理想彈塑性本構(gòu)計(jì)算所得到的墩底最大彎矩總是偏小，這說明基于雙線性本構(gòu)計(jì)算所得到的墩底彎矩時(shí)程是偏于安全的。

表4 P2 墩底彎矩峰值比較Table 4 Comparison of peak bending moment at pier bottom of P2

圖17 墩底彎矩時(shí)程曲線對比圖Fig.17 Comparison of pier bottom bending moment time history

5 結(jié)論

本文基于R-O 模型進(jìn)行了分離式減震榫的阻尼力模型研究，通過理論分析和數(shù)值模擬得到如下結(jié)論：

(1) 基于R-O 模型推導(dǎo)了分離式減震榫的力-位移骨架曲線的計(jì)算方法。計(jì)算結(jié)果表明，在設(shè)計(jì)位移以內(nèi)，基于R-O 模型計(jì)算所得到的骨架曲線能夠較好地吻合Chaboche 本構(gòu)下分離式減震榫的骨架曲線。

(2) 提出一種雙線性本構(gòu)的簡化方法。ABAQUS擬靜力計(jì)算結(jié)果表明，雙線性本構(gòu)能夠較好地?cái)M合Chaboche 本構(gòu)下的滯回曲線。在分離式減震榫位移較小時(shí)，雙線性滯回曲線所圍成的滯回面積大于Chaboche 本構(gòu)下的滯回面積；隨著變形的增大，Chaboche 本構(gòu)下的滯回面積逐漸大于雙線性滯回曲線所圍成的滯回面積。

(3) 在近斷層脈沖地震動作用下，雙線性本構(gòu)計(jì)算得到的支座位移時(shí)程能夠較好擬合Chaboche本構(gòu)計(jì)算所得到的支座位移時(shí)程。兩者計(jì)算得到的支座位移峰值的平均誤差可以控制在5%以內(nèi)?；陔p線性本構(gòu)所得到的墩底最大彎矩，普遍偏大于Chaboche 本構(gòu)下計(jì)算得墩底最大值彎矩，并且其平均誤差能夠控制在10%以內(nèi)。本文提出的雙線性滯回本構(gòu)的簡化方法用于工程計(jì)算是安全且合理的，基于R-O 模型的雙線性模型簡化算法能夠適用于高烈度地區(qū)近場脈沖地震動作用下的抗震設(shè)計(jì)。