王晨青 馬建敏

(復(fù)旦大學(xué)航空航天系 上海 200433)

0 引言

夾心式壓電換能器具有功率容量大、高機(jī)電轉(zhuǎn)換效率等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于大功率聲發(fā)射。隨著對大功率、高聲壓級換能器的需求不斷增加，設(shè)計和開發(fā)更高激勵電場的換能器成為學(xué)界熱點(diǎn)。壓電陶瓷是壓電換能器的核心部件，大多具有鐵電性，在高電場下會產(chǎn)生遲滯和非線性，此時經(jīng)典線性壓電理論不適用，換能器各零部件之間存在接觸損耗也會加劇換能器非線性特性。壓電陶瓷處于非線性工作域的大功率換能器的性能參數(shù)往往不同于小電壓激勵下的測量值，會出現(xiàn)諧振頻率漂移、諧波滋生、跳躍等非線性現(xiàn)象，導(dǎo)致?lián)Q能器性能參數(shù)難以確定，使換能器優(yōu)化設(shè)計和電控制變得困難[1]。因而，關(guān)于大功率壓電換能器的非線性研究受到學(xué)者持續(xù)關(guān)注。

不同學(xué)者從換能器材料、結(jié)構(gòu)、工藝，以及溫度、驅(qū)動電源、負(fù)載等多種因素研究了大功率工作狀態(tài)下壓電陶瓷換能器的非線性特性[1-4]。近幾年來，Zhang 等[5]通過振速衰減率和共振頻率確定換能器振動系統(tǒng)的非線性參數(shù)，采用拉格朗日方法和多尺度方法對非線性模型進(jìn)行分析，并通過實驗驗證了非線性模型的準(zhǔn)確性。Li等[6]研究了用于微創(chuàng)手術(shù)螺栓式夾心式換能器，分析了共振頻率漂移對換能器負(fù)載和電阻抗匹配的影響，探究了不同形狀的變幅桿對處于非線性工作域的換能器性能的影響。Ghasemi等[7]建立了用激勵電壓和共振頻率表示換能器阻抗的非線性函數(shù)經(jīng)驗關(guān)系式，研究了不同頻率下的換能器非線性特征隨激勵電壓變化的趨勢。Andres 等[8]將換能器與平板輻射器連接，通過設(shè)計結(jié)構(gòu)和工作模式使該系統(tǒng)避免出現(xiàn)頻移、滯后或模態(tài)交互等非線性效應(yīng)。Li 等[9-10]設(shè)計開發(fā)了通過雙壓電換能器V 型連接組合的超聲輻射器，通過調(diào)諧方法降低了壓電材料在高電壓下引起的非線性特性對輻射器電流諧波的影響。在夾心式壓電換能器的非線性模型方面，Guyomar等[11-12]基于Joshi[13]提出的非線性模型，將夾心式壓電換能器視作單自由度的集中參數(shù)系統(tǒng)，在壓電陶瓷二階壓電本構(gòu)方程中加入非線性項，得到換能器的非線性振動方程，可用于分析和解釋壓電陶瓷的弱彈性非線性問題。

對于前蓋板較大和輻射端加入匹配層多孔板的換能器，本文在Guyomar 非線性模型基礎(chǔ)上，通過機(jī)電等效法將晶堆前向負(fù)載作為等效質(zhì)量和阻尼加入振動方程的質(zhì)量項和阻尼項，得到了換能器振速、輻射聲壓級和諧振頻率偏移率等表達(dá)式，計算分析了壓電陶瓷處于非線性工作域?qū)Q能器聲輻射性能和換能器參數(shù)匹配的影響。首先，分析了壓電陶瓷處于非線性工作域下的換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)對換能器聲輻射性能的影響，研究了壓電陶瓷非線性對換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)匹配的影響，比較了換能器輻射端匹配對換能器諧振頻率偏移率及聲輻射性能的影響，最后分析了換能器激勵源參數(shù)對壓電陶瓷處于非線性工作域換能器性能和結(jié)構(gòu)參數(shù)匹配的影響。得到的結(jié)論可以為換能器的設(shè)計、性能評價提供理論依據(jù)和幫助。

1 夾心式換能器壓電陶瓷非線性模型

錐形前蓋板夾心式壓電換能器示意圖如圖1 所示，由壓電陶瓷片組成的晶堆受激勵發(fā)射聲波，聲波自壓電陶瓷晶堆向前蓋板、匹配層、多孔板和空氣傳播。理論上縱振換能器存在位移為零的面(節(jié)面)可用于固定換能器。晶堆右側(cè)與前蓋板的連接面為晶堆前端面，晶堆左側(cè)與后蓋板連接為晶堆后端面，壓電晶堆節(jié)面到后端面和前端面距離分別為lp1和lp2。在保持換能器節(jié)面不變的情況下，若波長大于壓電疊片長度，換能器壓電晶堆可看作是一個以換能器節(jié)面為中心的質(zhì)量-彈簧的集中參數(shù)系統(tǒng)。壓電晶堆可視作一端固定的有質(zhì)量的短棒[14]，前蓋板、匹配層、多孔板和空氣介質(zhì)為壓電晶堆前向負(fù)載，后蓋板為后向負(fù)載。

圖1 錐形前蓋板的夾心式壓電換能器示意圖Fig.1 Sandwich piezoelectric transducer with tapered front cover

將壓電陶瓷本構(gòu)方程在靜應(yīng)力狀態(tài)(T0,D0)擴(kuò)展到二階[11-13]，含非線性壓電系數(shù)α、β、γ、δ，經(jīng)過簡化，應(yīng)力T和感應(yīng)系數(shù)D可表示為式(1)和式(2)的壓電方程。為方便計算分析，在換能器激勵動靜態(tài)不耦合的假設(shè)下，不考慮T0和D0項，忽略空氣介質(zhì)換能器在諧振頻率下工作時的電場非線性，可得到壓電晶堆非線性方程：

其中，S為應(yīng)變，E為電場，c、e、ε為經(jīng)典線性壓電系數(shù)，α、β、γ、δ為非線性系數(shù)。

壓電晶堆受激勵振動可表示為

其中，∑F為晶堆等效質(zhì)心受力，ξ1為晶堆前端面位移，晶堆等效質(zhì)量M大小為晶堆質(zhì)量的1/3。

晶堆前向負(fù)載(前蓋板、匹配層、多孔板和空氣介質(zhì))對晶堆前端面作用力可通過圖機(jī)電等效電路得到。換能器晶堆前向負(fù)載等效電路圖如圖2 表示，˙ξi代表輻射端各部振速，各個阻抗表達(dá)式詳見文獻(xiàn)[15]。將虛線方框內(nèi)電路代替為圓形活塞輻射阻抗Zfl可以得到無匹配層多孔板的機(jī)電等效電路。晶堆前向負(fù)載對換能器晶堆前端面的作用力ΔF表達(dá)式如下：

圖2 換能器晶堆前向負(fù)載等效電路Fig.2 Equivalent circuit of the forward load of the transducer stack

式(4)中，ZRa為換能器晶堆前向負(fù)載阻抗表示為

其中，Rm為連接層機(jī)械損失阻抗，Zf1、Zf2和Zf3為前蓋板機(jī)械特性阻抗，Zml1和Zml2為匹配層機(jī)械特性阻抗，Zcm、Zlm和Zhm為空腔的等效機(jī)械阻抗、孔內(nèi)損失機(jī)械阻抗和小孔輻射阻抗。晶堆等效質(zhì)心總受力為

式(7)中，S0為陶瓷片表面面積。將式(1)的應(yīng)力T代入，應(yīng)變S由壓電堆前端面位移ξ1與節(jié)面與晶堆前端面距離lp2之比代入，得到換能器晶堆前端面的非線性振動方程：

式(8)中，含ZRa項為新加入的前向負(fù)載阻抗，相當(dāng)于系統(tǒng)中加入等效質(zhì)量和等效阻尼；ω為換能器諧振頻率，含λ式為阻尼項(代表換能器前蓋板和壓電晶堆間的損耗)。式(8)中部分項如下：

對于穩(wěn)態(tài)激勵，受激位移和振速仍是周期性的，因此晶堆前端面位移可用傅里葉級數(shù)表示為

其中，Ω為掃頻激勵的頻率。電場激勵為

其中，E0為電場幅值。將表達(dá)式代入式(3)，得到方程：

通過式(14)可求解在頻率為Ω的電場激勵下Cn幅值和相位，即該頻率下?lián)Q能器晶堆前端面振幅。高次諧波分量(n ＞3)對求解結(jié)果影響較小，因此為簡化計算只考慮前三階分量(n≤3)。其中，|C1|為基頻幅值，|C2|和|C3|為二次和三次諧波分量的幅值，基頻晶堆前端面振速為

換能器輻射面振速為

去掉虛線方框可得未加多孔板和匹配層的換能器輻射面振速：

根據(jù)式(2)的壓電方程，可得壓電晶堆電位移表達(dá)式：

壓電晶堆電位移方向垂直于晶堆截面。電位移可以用傅里葉級數(shù)表示為

則晶堆輸入端電流基頻分量為

電場強(qiáng)度幅值為

其中，V0為壓電晶堆晶片電壓。

其中，Zhm和Zfl表達(dá)式推導(dǎo)詳見文獻(xiàn)[15]中式(10)和式(11)；Zis是多孔板小孔之間的互/自輻射阻抗，i和s為孔的序列；J1(x)為一階Bessel 函數(shù)，H1(x)為一階Struve函數(shù)。換能器輻射聲功率級為

其中，空氣參考聲功率W0=10-12Watt，W可由式(24)代入計算加/未加多孔板換能器的聲功率級。換能器指向性指數(shù)為

空氣中換能器軸線上距離換能器x處輻射聲壓級(Sound pressure level,SPL)可由式(29)計算：

通過電壓V0和式(22)晶堆輸入端電流I可得換能器輸入阻抗Zin=V0/I。令電抗為零，可得換能器偏移諧振頻率方程：

若將式(8)中的非線性項去掉，再通過相同方法得到換能器輸入阻抗，令電抗為零，可求解線性換能器諧振頻率。設(shè)線性狀態(tài)的換能器諧振頻率為f1，非線性工作域下的換能器最大偏移諧振頻率為f2，則換能器諧振頻率偏移率可以表示為

2 壓電陶瓷非線性對換能器聲輻射性能和參數(shù)匹配的影響

通過換能器輻射面SPL 表達(dá)式(29)，可以計算分析公式(8)中的非線性系數(shù)α和γ對換能器聲輻射性能的影響。換能器基本參數(shù)如表1 所示，部分非線性參數(shù)取自文獻(xiàn)[11]，換能器前蓋板材料為鋁合金，壓電晶堆的材料為鋯鈦酸鉛壓電陶瓷PZT-4。不考慮換能器附加輻射端的匹配層、空腔和多孔板，將圖2 虛線方框的電路替換為圓形活塞輻射阻抗，并將式(16)振速代入式(24) 可以計算換能器聲功率、式(27)聲功率級和式(29)輻射SPL。計算中，激勵電壓V0為220 V，電場強(qiáng)度通過式(23)得到。另外，空氣中非線性對本文距離換能器1 m 處SPL 計算結(jié)果的影響可忽略。

表1 夾心式壓電換能器參數(shù)Table 1 Sandwich piezoelectric transducer parameters

壓電陶瓷處于非線性工作域的換能器頻響曲線如圖3所示，參數(shù)取自表1。換能器驅(qū)動電壓越大，換能器諧振頻率偏移越明顯[11]，最終出現(xiàn)圖3 中明顯的頻率偏移。使壓電材料以及換能器出現(xiàn)明顯非線性的最小驅(qū)動電壓受到頻率偏移系數(shù)(壓電晶堆質(zhì)量、縱橫向尺寸比、材料特性等)和負(fù)載特性多種因素的影響。在換能器激勵電壓不變的情況下，換能器頻響曲線峰值由諧振峰變?yōu)橄虻皖l偏移諧振峰。圖3(a)換能器SPL曲線在點(diǎn)A到C端是不穩(wěn)定的，當(dāng)激勵源向上掃頻時，換能器的工作點(diǎn)自低頻移動至點(diǎn)A，隨后從點(diǎn)A躍遷到點(diǎn)B；當(dāng)激勵源向下掃頻時，換能器的工作點(diǎn)自高頻至點(diǎn)C，隨后躍遷至點(diǎn)D。圖3(b)為輸入電抗頻響曲線，電抗為零的點(diǎn)C處頻率即換能器最大偏移諧振頻率。

圖3 壓電陶瓷處于非線性工作域的換能器頻響曲線Fig.3 Transducer frequency curve of piezoelectric ceramics in nonlinear operating domain

2.1 壓電陶瓷處于非線性工作域的換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)對換能器聲輻射性能的影響

研究壓電晶堆節(jié)面位置對換能器聲輻射性能的影響。壓電晶堆節(jié)面到晶堆前蓋板距離lp2的改變意味著換能器節(jié)面位置的變化。換能器其他參數(shù)取自表1，計算結(jié)果如圖4 所示，橫坐標(biāo)是lp2，縱坐標(biāo)是換能器聲壓級和諧振頻率偏移率。計算結(jié)果表明，隨著lp2增大，換能器聲壓級和諧振頻率偏移率有所增加。若節(jié)面位置逐漸遠(yuǎn)離換能器前輻射面，換能器聲壓級頻響曲線頻率波峰偏移逐漸增大。這是由于隨著晶堆厚度增大，由壓電晶堆彈性非線性引起的頻率遲滯會隨晶堆厚度增大而累積。因此，在非線性參數(shù)確定的情況下，換能器節(jié)面越靠前，換能器聲輻射的頻率偏移越小。

圖4 壓電晶堆節(jié)面位置對換能器聲輻射性能的影響Fig.4 Influence of piezoelectric crystal stack nodes on acoustic radiation performance of transducer

研究前蓋板厚度對換能器聲輻射性能的影響。換能器其他參數(shù)取自表1，計算結(jié)果如圖5 所示。計算結(jié)果表明，隨著前蓋板厚度的增加，換能器SPL有所降低，換能器諧振頻率偏移率有所增加，這是由于增加前蓋板厚度相當(dāng)于增大了晶堆前向負(fù)載，進(jìn)而增加了換能器非線性損耗。對比圖和圖可以發(fā)現(xiàn)，與晶堆節(jié)面位置相比，前蓋板厚度對換能器頻率偏移的影響較小，晶堆前向負(fù)載的等效質(zhì)量是影響非線性現(xiàn)象的次要因素。

圖5 前蓋板厚度對換能器聲輻射性能的影響Fig.5 Influence of the thickness of the front cover on the acoustic radiation performance of the transducer

分析前蓋板大徑對換能器聲輻射性能的影響。換能器其他參數(shù)取自表1，計算結(jié)果如圖6 所示。計算結(jié)果表明，隨著前蓋板大徑的增加，換能器SPL有所增加，換能器諧振頻率偏移率有所增加。由于增加前蓋板大徑相當(dāng)于增大了晶堆前向負(fù)載，進(jìn)而增加了換能器非線性損耗，換能器諧振頻率偏移率因而增大。結(jié)合圖5 和圖6 可以發(fā)現(xiàn)，前蓋板徑向、縱向尺寸越大，換能器諧振頻率偏移率越大。

圖6 前蓋板大徑對換能器聲輻射性能的影響Fig.6 Influence of the large diameter of the front cover on the acoustic radiation performance of the transducer

討論換能器徑向尺寸對換能器聲輻射性能的影響，令徑向尺寸d1=d2。換能器其他參數(shù)取自表1，計算結(jié)果如圖7 所示。計算結(jié)果表明，隨著徑向尺寸的減小，換能器諧振頻率偏移率增大，在小于40 mm 后急劇增大。這是由于晶片存在內(nèi)徑dp，降低徑向尺寸會減小壓電晶堆有效面積和等效質(zhì)量，這就相當(dāng)于提高了振動系統(tǒng)中換能器晶堆前向負(fù)載，從而增加了換能器的諧振頻率偏移率。換而言之，降低換能器晶堆前向負(fù)載，可以減小換能器諧振頻率偏移率。對比圖4～7 可知，與換能器徑向尺寸相比，換能器的縱向尺寸對換能器諧振偏移率的影響更大。

圖7 換能器徑向尺寸對換能器聲輻射性能的影響Fig.7 Influence of the radial dimension of the transducer on the acoustic radiation performance of the transducer

2.2 壓電陶瓷非線性對換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)匹配的影響

研究壓電陶瓷非線性對換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)匹配的影響。換能器其他參數(shù)取自表1，計算不同前蓋板大徑、壓電晶堆節(jié)面到晶堆前蓋板距離和前蓋板厚度對換能器諧振頻率的影響。結(jié)果如圖8 所示，橫坐標(biāo)是各結(jié)構(gòu)參數(shù)，縱坐標(biāo)是頻率，圓點(diǎn)連線為理想線性狀態(tài)的換能器諧振頻率結(jié)構(gòu)參數(shù)曲線f1，方塊連線為壓電陶瓷處于非線性工作域下的換能器諧振頻率參數(shù)曲線結(jié)構(gòu)f2。同一頻率下的兩條曲線之間尺寸差就代表著該諧振頻率換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)需要調(diào)整的尺寸大小。計算結(jié)果表明，若換能器設(shè)計頻率確定，則壓電陶瓷處于非線性工作域的壓電換能器的結(jié)構(gòu)參數(shù)小于線性換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)，應(yīng)適當(dāng)減小以補(bǔ)償非線性引起的諧振頻率偏移；線性換能器結(jié)構(gòu)尺寸越大，壓電陶瓷處于非線性工作域的換能器需要調(diào)整的結(jié)構(gòu)尺寸越大；相較縱向結(jié)構(gòu)參數(shù)，徑向結(jié)構(gòu)參數(shù)需要調(diào)整的尺寸較小。

圖8 壓電陶瓷非線性對換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)匹配的影響Fig.8 Influence of piezoelectric ceramic nonlinearity on the matching of transducer structure parameters

2.3 輻射端匹配對壓電陶瓷處于非線性工作域換能器聲輻射性能的影響

研究換能器輻射端匹配對換能器非線性特性及聲輻射性能的影響。晶堆前負(fù)載阻抗的等效電路圖按圖2 表示，匹配層和多孔板參數(shù)取自表1。計算結(jié)果如表2 所示，相同的非線性系數(shù)下，換能器加入輻射端匹配可以降低換能器非線性遲滯，減小諧振頻率偏移率。這是由于換能器輻射端加入多孔板和匹配層后提高了輻射端阻抗匹配，改善了壓電晶堆前向負(fù)載特性，提高了前向負(fù)載等效質(zhì)量，減少了壓電陶瓷非線性對換能器性能的影響。

表2 換能器輻射端匹配對換能器諧振頻率偏移率及聲輻射性能的影響Table 2 Effects of transducer radiating end matching on transducer frequency off-set rate and acoustic radiation performance

2.4 激勵源參數(shù)對壓電陶瓷處于非線性工作域換能器性能及結(jié)構(gòu)參數(shù)匹配的影響

首先，探究壓電陶瓷非線性參數(shù)對換能器激勵電流的影響。電壓幅值不變，電流通過式(22)計算，換能器其他參數(shù)取自表1，計算結(jié)果如圖9 所示，橫坐標(biāo)是激勵頻率，縱坐標(biāo)是激勵電流。計算結(jié)果表明，換能器激勵源電流也會受到非線性遲滯的影響，非線性頻率偏移系數(shù)α越大，換能器電流非線性頻率偏移越明顯。在激勵電路設(shè)計中，應(yīng)考慮非線性控制補(bǔ)償以得到更精確穩(wěn)定的輸出信號。

圖9 壓電陶瓷非線性對換能器激勵電流的變化的影響Fig.9 Influence of piezoelectric ceramic nonlinearity on the change of transducer excitation current

分析激勵電場強(qiáng)度對換能器非線性和聲輻射性能影響。電場強(qiáng)度E0通過式(23)得到，換能器其他參數(shù)取自表1，計算結(jié)果如圖10所示，橫坐標(biāo)是激勵頻率，縱坐標(biāo)是SPL，不同顏色曲線對應(yīng)不同激勵電場強(qiáng)度下的換能器SPL 曲線。計算結(jié)果表明，激勵電場強(qiáng)度和電壓越大，強(qiáng)電場下應(yīng)變和電場的遲滯越大，SPL頻響曲線頻率漂移越大。

圖10 不同電場強(qiáng)度下?lián)Q能器SPL 頻響曲線Fig.10 SPL frequency curve of transducer under different electric field strength

進(jìn)一步計算電場強(qiáng)度對壓電陶瓷處于非線性工作域的換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)匹配的影響。以前蓋板厚度為例，結(jié)果如圖11 所示，不同顏色的折線表示不同激勵電場的計算結(jié)果。隨著激勵電場強(qiáng)度的增加，換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)的調(diào)整幅度非線性增加。因此，在大功率換能器應(yīng)用中，為了提高換能器功率而增加激勵電壓時，應(yīng)考慮壓電陶瓷非線性對結(jié)構(gòu)參數(shù)匹配的影響，適當(dāng)減小結(jié)構(gòu)參數(shù)。

圖11 電場強(qiáng)度對壓電陶瓷處于非線性工作域的換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)匹配的影響Fig.11 Influence of electric field strength on structural parameter matching of transducer working in nonlinear

3 結(jié)論

通過計算分析壓電陶瓷處于非線性工作域?qū)Q能器聲輻射性能和參數(shù)匹配的影響，得到了一些對換能器設(shè)計有意義的結(jié)論，主要結(jié)論如下：

(1) 非線性參數(shù)確定的情況下，換能器節(jié)面靠前，前蓋板厚度越小，前蓋板大徑越小，換能器諧振頻率偏移率越小。降低換能器晶堆前向負(fù)載，可以減小換能器諧振頻率偏移率。(2) 對于相同設(shè)計頻率的換能器，壓電陶瓷處于非線性工作域的換能器的結(jié)構(gòu)參數(shù)應(yīng)作適當(dāng)減小以補(bǔ)償非線性引起頻率偏移；線性換能器結(jié)構(gòu)尺寸越大，非線性工作域換能器需要調(diào)整的結(jié)構(gòu)尺寸越大；相較縱向結(jié)構(gòu)參數(shù)，徑向結(jié)構(gòu)參數(shù)需要調(diào)整的尺寸較小。(3) 換能器加入輻射端匹配后，提高了壓電晶堆前向負(fù)載阻抗匹配，可降低換能器諧振頻率偏移率。(4) 壓電陶瓷處于非線性工作域的換能器激勵源電流也會受到非線性遲滯的影響，隨著非線性α系數(shù)的增大，電流頻率曲線的偏移增大。(5) 激勵電場或電壓越大，壓電陶瓷非線性引起的頻率漂移越明顯。提高大功率換能器的激勵電壓時，應(yīng)考慮壓電陶瓷非線性引起的結(jié)構(gòu)參數(shù)失配問題，適當(dāng)減小結(jié)構(gòu)參數(shù)。