肖凱文，李楓韻，李昊

（550025 貴州省 貴陽市 貴州大學(xué) 機械工程學(xué)院）

0 引言

近年來，永磁同步電機（PMSM）由于具有效率高、結(jié)構(gòu)簡單、制造成本低等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于航天飛機、電動汽車、特種設(shè)備等領(lǐng)域[1-2]。永磁同步電機在實際應(yīng)用中多數(shù)仍采用PID 控制，由于PID 算法比較簡單，很難對多變量和強耦合的非線性PMSM 進行高精度控制。因此，提出更加有效的智能控制方案以解決系統(tǒng)中的混沌震蕩和不確定參數(shù)問題是非常有必要的。

隨著智能控制技術(shù)的不斷提升，學(xué)者們提出很多強魯棒性和抗干擾性的非線性控制策略，如自適應(yīng)控制[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[4]、分數(shù)階控制[9]等。游星星等[5]采用狀態(tài)觀測器對非線性系統(tǒng)不可測的狀態(tài)參數(shù)進行模糊估計，保證了閉環(huán)系統(tǒng)輸出信號的一致有界性；黃依婷等[6]提出了最小二乘法觀測永磁同步電機系統(tǒng)的參數(shù)，實現(xiàn)了變結(jié)構(gòu)滑?？刂?，從而提高了系統(tǒng)的性能和響應(yīng)速度。但是以上研究都沒有分析系統(tǒng)的動力學(xué)行為，過于依賴所建立的數(shù)學(xué)模型。外部環(huán)境和參數(shù)的變化，系統(tǒng)可能會產(chǎn)生有害的動力學(xué)行為，比如混沌與分岔等[7]。Luo等[8]利用相圖揭示永磁同步電機系統(tǒng)的混沌行為，提出了事件觸發(fā)控制方法，以節(jié)省系統(tǒng)有限的通訊資源和提高系統(tǒng)跟蹤誤差精度；吳雷等[9]提出了一種微機電系統(tǒng)的分數(shù)階最優(yōu)控制策略，成功抑制了系統(tǒng)的混沌行為。系統(tǒng)外部擾動問題上述研究未考慮。

迄今為止，反演控制方法在面對外部干擾或參數(shù)不確定的非線性系統(tǒng)有著十分明顯的優(yōu)勢。然而，傳統(tǒng)反推控制的缺陷在于其虛擬信號求導(dǎo)會引起“微分項爆炸”，不僅降低系統(tǒng)性能，還會增加計算難度。Ma 等[10]針對不確定分數(shù)階非線性系統(tǒng)設(shè)計了一種基于動態(tài)面的有效控制器。動態(tài)面控制方法雖然消除反演技術(shù)造成的重復(fù)微分產(chǎn)生的影響，但是會降低控制精度，導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降；Hao 等[11]采用自適應(yīng)命令濾波器控制方法，解決非線性懸架系統(tǒng)虛擬信號的微分項復(fù)雜的問題。

受以上研究的啟發(fā)，針對帶有外界擾動的永磁同步電機，本文提出加速自適應(yīng)反推控制策略和2階微分跟蹤器，借助相圖和Lyapunov 指數(shù)圖分析系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象，抑制系統(tǒng)的混沌震蕩和減少系統(tǒng)跟蹤誤差的收斂時間，最后通過仿真實驗證明所提控制方法的可靠性。

1 系統(tǒng)建模

1.1 永磁同步電機數(shù)學(xué)模型和動力學(xué)分析

基于楞次定律和基爾霍夫定律，永磁同步電機的動力學(xué)方程[12]為

為便于后續(xù)計算，對轉(zhuǎn)子角速度、q-d軸的電流和時間進行無量綱變換，令因此式（1）可以重新寫為

永磁同步電機具有復(fù)雜的動力學(xué)行為，當參數(shù)設(shè)置為特定的區(qū)域時，將產(chǎn)生混沌行為。電機的初始參數(shù)選擇為γ1=5.44，γ2=20，TL=3，x1(0)=0.49，x2(0)=0.2，x3(0)=2。

圖1、圖2 說明電機系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象，會導(dǎo)致系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，影響系統(tǒng)性能。因此，為了抑制電機內(nèi)部混沌震蕩，提高其工作性能，設(shè)計有效的控制器具有重要的研究意義和現(xiàn)實價值。

圖1 永磁同步電機的相圖和時間歷程圖Fig.1 Phase diagram and time history diagram of the PMSM

圖2 李亞普洛夫指數(shù)圖Fig.2 Lyapunov exponent diagram of the PMSM

1.2 區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更擅長解決系統(tǒng)未知參數(shù)和外界干擾問題[13-14]，由輸入層、模糊層、隸屬度層、規(guī)則層、輸出層構(gòu)成，其工作原理可以概括為以下幾個方面：

（2）區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的IF-THEN 模糊規(guī)則定義為

式中：μil(i=1，2，…，Nn)——l階隸屬函數(shù)的i階輸入。

（3）區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的上下激活規(guī)則為

（4）區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層的數(shù)學(xué)表達式為

區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以逼近任意連續(xù)函數(shù)，使如式（8）所示的不等式成立。

式中：Ωz——z的緊集；ε——逼近誤差且ε>0。

2 控制器設(shè)計

為了提高永磁同步電機的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程、提高控制精度、減少收斂時間，設(shè)計的速度函數(shù)為

式中：?(t)——速度函數(shù)，是嚴格單調(diào)遞增的正定函數(shù)，初始值?(0)=1；?！蓸訒r間；?(t)——單調(diào)非遞減的任意光滑函數(shù)，令?(t) 滿足?(0)=1 且(t)≥0；為后續(xù)控制器設(shè)計方便，令B?=(t)/ ?(t) 。

在控制器設(shè)計中，定義跟蹤誤差變量zi和加速誤差Si（i=1，2，3）為

自適應(yīng)反演控制器的設(shè)計有以下3 個步驟。

步驟1：計算加速誤差變量S1的導(dǎo)數(shù)

設(shè)計第1 個Lyapunov 函數(shù)：

根據(jù)式（13），對V1求導(dǎo)得到

根據(jù)楊氏不等式，得到

可以計算虛擬控制α和自適應(yīng)控制律為

式中：χ1、Λ1、r1——控制器參數(shù)。

將式（14）—式（17）代入式（13），可得式（18）不等式

步驟2：計算加速誤差變量S2的導(dǎo)數(shù)

設(shè)計第2 個Lyapunov 函數(shù)：

對V2求導(dǎo)可得

因為計算式（16）中虛擬控制α的導(dǎo)數(shù)很困難，容易產(chǎn)生“復(fù)雜微分項爆炸”問題，不利于后續(xù)的控制器設(shè)計與計算，因此設(shè)計了2 階微分跟蹤器：

式中：λ1>0，λ2>0，?>0；α——虛擬控制信號輸入；φ1，φ2——微分跟蹤器的狀態(tài)參數(shù)。

q軸控制輸入uq和自適應(yīng)律為

將式（24）和式（25）代入式（22），得到

步驟3：計算加速誤差變量S3的導(dǎo)數(shù)

設(shè)計第3 個Lyapunov 函數(shù)：

對V3求導(dǎo)可得

d軸控制輸入ud和自適應(yīng)控制律為

將式（31）和式（32）代入式（30），可得

基于線性微分方程的通解，式（33）的解為

因此，PMSM 系統(tǒng)內(nèi)的所有控制信號都是半全局一致有界的。

3 仿真實驗分析

在仿真實驗分析中，永磁同步電機系統(tǒng)的參考軌跡為xd=0.5cos（t）-0.6 sin（2t），系統(tǒng)的初始狀態(tài)取值為x1（0）=0.49，x2（0）=0.2，x3（0）=2。永磁同步電機模型參數(shù)選擇為γ1=5.44，γ2=20，TL=3。控制輸入?yún)?shù)設(shè)置為χ1=200，χ2=150，χ3=120。自適應(yīng)律參數(shù)選取為Λn=2，rn=0.5，n=1，2，3。速度函數(shù)參數(shù)取值為Γ=0.5，?(t)=1。PMSM 外界干擾為d（i）=0.2x2sin（2t），i=1，2，3。2 階微分跟蹤器的相關(guān)參數(shù)定義為λ1=200，λ2=0.5，?=2。最后，區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)選取為隸屬函數(shù)中心確定為[-0.5 0 0.5]。

圖3、圖4 中，實線表示有外界干擾、虛線表示無外界干擾。圖3 描述了PMSM 在有無外界干擾的情況下的實際軌跡與基本重疊，實現(xiàn)了目標信號軌跡的高精度跟蹤。在有、無外界擾動的條件下，圖4 顯示了d-q軸的控制輸入基本重合。圖5 和圖6 顯示了PMSM 中在系統(tǒng)參數(shù)變化和不同初始狀態(tài)下的速度跟蹤誤差的對比。由此可得，提出的控制方案能有效抑制PMSM 的混沌震蕩，證明所設(shè)計的控制器具有良好的抗干擾能力和魯棒性。

圖4 有、無外界干擾的q-d 軸的控制輸入Fig.4 q-d axis control input with or without external disturbance

圖5 當γ1=5.44 時，不同γ2下的速度跟蹤誤差Fig.5 Tracking errors under γ1=5.44 and different γ2

圖6 不同x2(0)和x3(0)的速度跟蹤誤差Fig.6 Tracking errors under different x2(0) and x3(0)

4 結(jié)論

針對具有外界干擾的PMSM，本文提出了加速自適應(yīng)反演控制方法。建立了PMSM 的數(shù)學(xué)建模并分析其固有的混沌現(xiàn)象。在控制器設(shè)計過程中，首先結(jié)合余弦障礙函數(shù)、2 階微分跟蹤器、速度函數(shù)、區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，利用余弦障礙函數(shù)保證了狀態(tài)約束不被違反；然后利用2 階微分跟蹤器處理重復(fù)微分造成的“信號爆炸”的問題，利用速度函數(shù)提高系統(tǒng)瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)的工作性能，提高了控制精度；最后仿真實驗證明了所設(shè)計控制器的有效性及魯棒性。在后續(xù)研究中，將進一步解決永磁同步電機的最優(yōu)控制問題。