劉樹博,李 智,賴招宇,羅先喜,李躍忠,劉建文

(東華理工大學a.江西省康復輔具產業(yè)技術研究院;b.機械與電子工程學院,南昌 330013)

0 引言

機器人進行接觸性作業(yè)的過程中,其末端既要沿約束環(huán)境表面做理想的軌跡運動,又要對環(huán)境施加一定的作用力。此外,機器人是一類具有非線性、強耦合和不確定性的系統(tǒng),且工作環(huán)境復雜多變。因此研究一種能夠同時抑制不確定性及擾動的非線性位/力控制策略,具有十分重要的意義。

針對機器人的位/力控制問題,國內外學者對其進行了研究,并取得了一定成果[1-4]?；？刂剖且活愄厥獾姆蔷€性控制[5],已被成功應用于機器人位/力控制中。LI、ZHU等[6-7]針對約束重構機器人位力控制問題,提出一種滑模自適應神經網絡的控制算法,仿真結果表明了所提方法的有效性。針對機械臂位力混合控制問題,LUIS等[8]設計了滑模力控制器和低優(yōu)先級跟蹤控制器,保證位/力的有效跟蹤控制。HAMED、ZHENG等[9-11]將模糊邏輯與傳統(tǒng)滑模相結合,提出了自適應模糊滑模控制策略,降低了機械臂位力跟蹤誤差,提高了控制精度。PENG等[12]提出了一種適用于移動機器人的滑模自適應位/力控制,利用Lyapunov定理對系統(tǒng)穩(wěn)定性及位/力跟蹤誤差的有界性進行了證明,仿真和實驗結果驗證了所提算法的有效性和魯棒性。CAO等[13-14]針對受限機械臂位/力控制問題,提出了一種有限時間自適應擴展終端滑?？刂?在有限時間內保證了位力誤差收斂到零。

到目前為止,設計得到的滑?？刂圃鲆娲蠖酁楣潭ň仃?在面對機器人時變參數(shù)和外界干擾時,無法滿足控制性能的更高要求。此外,具有固定增益的自適應滑?？刂撇呗?雖然提高了控制性能,但其中可變參數(shù)的自適應學習率大多是由設計者通過湊試而得,缺乏理論指導。因此研究一種依賴于系統(tǒng)狀態(tài)和參數(shù)的變增益滑?？刂?來提高控制性能是十分必要的。

SOS是非線性控制系統(tǒng)設計與分析中的一門新興理論[15],可將復雜的多項式非線性控制問題轉化為凸優(yōu)化問題,目前已成功應用于航天器和衛(wèi)星等非線性時變系統(tǒng)[16-21,23],但對于非線性不確定機器人及滑模控制策略,該理論卻鮮有涉及。鑒此,針對受環(huán)境約束的時變機器人模型,考慮控制器攝動,將SOS理論與滑模控制相結合,提出復合滑模非脆弱H∞控制,給出了非線性變參數(shù)狀態(tài)反饋增益存在的條件。在進行了詳細的理論推導后,對雙關節(jié)機器人進行仿真分析,并與已有算法進行比較,進一步驗證了所提策略的有效性和優(yōu)越性。

1 預備知識與問題描述

1.1 預備知識

引理2[15]:若P(x)∈φSOS成立,當且僅當存在一個半正定矩陣Q,使得P(x)=Z(x)QZ(x)成立,其中Z(x)是關于x的單項式向量。

引理3[16]:取D和V為適維多項式實矩陣,對任意滿足不等式ηT(t)η(t)≤I且η(t)的,則以下兩條件等價:

(1)Dη(t)V+VTηT(t)DT<0。

(2)?σ∈[0,+∞),使得σDDT+σ-1VTV<0。

1.2 機器人位/力控制問題描述

考慮一個具有環(huán)境約束的剛性n連桿機器人,在關節(jié)空間中的靜態(tài)環(huán)境約束和機器人動力學模型分別描述為:

Ψ(q)=0

(1)

(2)

考慮到機器人的參數(shù)攝動,將式(2)改寫為:

(3)

(4)

當機器人末端與環(huán)境接觸時,由于受環(huán)境約束的影響,使機器人失去了m個自由度[13],因此可用n-m個關節(jié)變量來描述受約束系統(tǒng)的運動情況。定義向量q=[q1,q2]T,其中q1∈Rn-m代表機器人未受環(huán)境約束部分,q2∈Rm代表受環(huán)境約束部分。由于Ψ(q)滿秩,基于隱函數(shù)存在定理,q2可用q1表示,即存在函數(shù)q2=φ(q1)。然后,采用坐標變換法獲取約束機器人的降階動力學模型。引進矩陣:

H(q1)=[In-m?φT/?q1]T∈Rn×(n-m)

則有:

(5)

(6)

將式(5)和式(6)帶入式(4),可得到受約束機器人動力學方程為:

(7)

對式(7)兩邊同時左乘矩陣HT(q1),結合機器人性質[22],可得等價的機器人降階動力學模型為:

(8)

式中:

令qd(t)和λd(t)分別為機器人期望軌跡和期望力輸出,位/力跟蹤誤差可分別表示為:

(9)

2 CSNH位/力控制

注1:為方便書寫,本文作如下簡寫:F(x,t,…)=F(·),其中“·”代表多個自變量。

2.1 復合位/力滑模面設計

假設1:機器人期望力λd∈Rm及其一階導數(shù),機器人期望軌跡qd∈Rn-m及其一、二階導數(shù),均為有界變量。

復合滑模面函數(shù)定義如下:

s=γT·s1+JT·s2

(10)

式中:s∈Rn,s1∈Rn-m為軌跡跟蹤滑模函數(shù),s2∈Rm為力跟蹤滑模函數(shù),二者具體形式分別為:

(11)

(12)

對式(10)兩端左側分別乘以γΘT(q1),可得γΘT(q1)s=s1+γΘT(q1)·JT·s2,根據(jù)機器人性質對其化簡可得s1=γΘT(q1)s,當系統(tǒng)到達滑模面s=0處時,滑模函數(shù)s收斂于0,此時滑模函數(shù)s1→0;由式(10)可得,JTs2=s-γT·s1,由于J(q)的行滿秩為m和s2∈Rm,即可得到s2→0。因此當s=0時,滑模函數(shù)s1、s2→0,軌跡跟蹤誤差eq和力跟蹤誤差eλ將會在有限時間內收斂到0。

2.2 復合滑?？刂撇呗栽O計

(13)

根據(jù)機器人降階誤差模型(13),設計如下復合滑?？刂撇呗?

u=uα+uβ+uΩ

(14)

很顯然,式(14)為典型的復合滑模H∞控制策略,其性能取決于控制律uΩ的優(yōu)劣。在實際應用中,由于受到現(xiàn)場諸多因素的影響,控制器輸出會產生攝動,從而具有一定的脆弱性。由于控制器脆弱性的存在,使理想的位/力控制策略無法完美地執(zhí)行,降低了機器人系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制精度。

將控制律(14)帶入誤差狀態(tài)空間模型(13),可得增廣誤差閉環(huán)受擾系統(tǒng)模型為:

(15)

式中:ω(χ(·))∈R(n-m)×1表示閉環(huán)系統(tǒng)集總擾動量。

(16)

(17)

(18)

證明:定義Lyapunov函數(shù)V(e,t)為:

(19)

接下來,將Lyapunov函數(shù)V(e,t)對時間t求導,并結合閉環(huán)系統(tǒng)模型(15)可得:

(20)

對于ω中的未知量ωξ,考慮其具有以下形式:

ωξ(χ(·))=D(χ(·))η(t)V(χ(·))

式中:D(χ(·)),V(χ(·))∈R(n-m)×(n-m)為已知多項式矩陣,η(t)為未知時變矩陣,且滿足ηT(t)η(t)≤I。根據(jù)引理3,式(20)可化簡為:

(21)

由式(18)可得,?T是半負定,即:

?T+?3I≤0

(22)

(23)

對式(23)左右兩端分別乘以ΦT及Φ,可得:

基于式(19),上式可轉化為:

(24)

對式(24)兩邊在[t0,t]上進行積分,得:

結合式(19)和(24),對其做進一步化簡得:

(25)

綜上所述,誤差系統(tǒng)模型(13)在復合滑模控制策略(14)的作用下全局指數(shù)穩(wěn)定。證畢。

(26)

成立,則該系統(tǒng)為具有H∞干擾抑制的全局指數(shù)穩(wěn)定。

證明:顯然,式(25)成立,意味著式(18)成立,此時定理1成立,系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定。

定義如下形式的Lyapunov函數(shù):

(27)

由定理1可知,Lyapunov函數(shù)V(e,t)正定有界。

對上式進行化簡,定義增廣向量μ=[e;ωΛ;ω],可得:

(28)

由式(25)知:

(29)

(30)

結合式(28)和式(30)可得:

當V(0)=0時,對不等式兩邊關于時間t=0到t→∞積分,則有:

從而實現(xiàn)對擾動的H∞抑制。證畢。

基于定理2,可以得到如下推論。

(31)

(32)

(33)

成立,則系統(tǒng)(32)H∞狀態(tài)反饋控制問題可解。

3 仿真分析

本節(jié)以雙連桿機械臂為例進行設計,其模型如下:

假定二自由度雙連桿機械臂終端執(zhí)行器沿約束圓表面運動,其約束方程為Ψ(X)=x2+y2-r2=0,X=[x,y]T,r表示圓半徑。雙連桿機械臂運動學方程為:

3.1 仿真實例1

根據(jù)推論1,利用SOS工具箱對優(yōu)化問題(31)進行求解,得到最優(yōu)H∞性能γ∞和增益矩陣P如下:

γ∞=0.9378

由于變增益矩陣K精確度較高,多達12位小數(shù),考慮篇幅限制,K矩陣和復合控制律不再給出。設置滑模面參數(shù)kq=20,nΩ=100;期望軌跡和期望力為:

情況1:機器人無擾動,無控制器攝動;

情況2:只考慮外部集總擾動Γ(·);

情況3:只考慮控制器攝動ΔK(·);

情況4:外部集總擾動Γ(·)+控制器攝動ΔK(·)。

分別將上述4種情況的實際輸出軌跡與期望軌跡進行對比,仿真結果如圖1所示。通過比較發(fā)現(xiàn):①在理想情況下,CSNH控制策略使機器人具有良好位/力跟蹤效果,表明了文中機器人數(shù)學模型及控制算法推導的正確性。②在情況2～4中,機器人仍具有與理想情況1類似的跟蹤效果,展現(xiàn)出了CSNH控制策略對系統(tǒng)擾動和控制器攝動較好的抑制能力,驗證了算法的魯棒性和非脆弱性。

圖1 機器人跟蹤曲線圖

3.2 仿真實例2

文獻[24]以末端受限的剛性機械臂為研究對象,通過滑模自適應算法和RBF神經網絡滑模算法對機器人進行位/力控制,并給出了Lyapunov證明過程,確保位/力跟蹤誤差快速收斂至0。為進一步說明所提算法的優(yōu)越性,與文獻[24]的兩種滑?？刂扑惴ㄟM行對比,仿真結果如圖2所示,其中滑模面參數(shù)選取為kq=100,nΩ=2000,期望軌跡和期望力分別選為:

圖2 位/力跟蹤誤差對比圖

仿真內容包括以下4個方面,即:

情況1:文獻[24]滑模自適應算法+F(·)+無控制器攝動;

情況2:文獻[24] RBF神經網絡滑模算法+F(·)+無控制器攝動;

情況3:CSNH位/力控制+無集總擾動+無控制器攝動;

情況4:CSNH位/力控制+ΓM(·)+F(·)+控制器攝動ΔK(·)。

從位/力跟蹤誤差曲線對比可知:①情況4中的機器人具有和情況3相似的曲線輸出,表明了CSNH位/力控制降低了系統(tǒng)集總擾動和控制器攝動對系統(tǒng)造成的負面影響,取得了近似于理想情況的控制效果。②雖然情況4中的機器人同時受到ΓM(·)、F(·)和控制器攝動ΔK(·)三種干擾因素影響,與只考慮單一干擾因素F(·)情況1～2相比,系統(tǒng)輸出曲線仍具有光滑無超調、收斂速度更快、調節(jié)時間更短、穩(wěn)態(tài)誤差更小的優(yōu)點,表明了CSNH位/力控制比文獻[24]中的兩種滑?？刂扑惴ň哂懈叩目刂凭燃案鼉?yōu)的控制效果。

3.3 仿真實例3

選取文獻[13]中的機器人模型參數(shù),利用SOS工具箱對優(yōu)化問題(31)進行求解,所求得的最優(yōu)H∞性能γ∞和增益矩陣P如下:

γ∞=0.9312

文獻[13]設計了自適應終端滑模位/力控制器,并給出了自適應律以保證其位/力跟蹤誤差在有限時間內收斂到0。為進一步說明所提算法的優(yōu)越性,與文獻[13]的兩種滑?？刂扑惴ㄟM行對比,仿真結果如圖3所示,其中滑模面參數(shù)選取為kq=250,nΩ=23 000,期望軌跡和期望力分別選為:

圖3 位/力跟蹤誤差對比圖

仿真內容包括以下兩個方面,即:

情況1:CSNH位/力控制+無集總擾動+無控制器攝動;

情況2:CSNH位/力控制+ΓM(·)+F(·)+控制器攝動ΔK(·)。

從位/力跟蹤誤差曲線對比可知:①情況2中的CSNH位/力控制取得了與理想情況1相似的控制效果。②與文獻[13]算法相比,CSNH位/力控制系統(tǒng)輸出曲線無超調,收斂速度更快,穩(wěn)態(tài)誤差更小,且位/力誤差絕對值積分更小,體現(xiàn)出了更優(yōu)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。

4 結論

針對受環(huán)境約束的機器人位力控制問題,將SOS理論與滑模控制理論相結合,利用Lyapunov穩(wěn)定性理論設計了一種新型的CSNH位/力控制控制策略,給出了該控制策略在SOS框架下的可解性條件。大量的對比仿真結果表明,所提CSNH位/力控制對外界擾動和控制器攝動具有較強的抑制效果,使系統(tǒng)具有較小的軌跡跟蹤誤差,驗證了所提控制策略的實用性、有效性及優(yōu)越性。