楊曉宇,于海生,李 哲

(青島大學(xué)a.自動化學(xué)院;b.山東省工業(yè)控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,青島 266071)

0 引言

工業(yè)機(jī)器人是工業(yè)領(lǐng)域中的多關(guān)節(jié)機(jī)械手或多自由度(degree of freedom,DOF)的機(jī)械裝置,具有靈活運(yùn)動和工作效率高的優(yōu)點(diǎn)[1]。因此,多關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人廣泛應(yīng)用于裝配、汽車制造、焊接等行業(yè)。隨著信息技術(shù)和現(xiàn)代制造業(yè)的快速發(fā)展,如何使多關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人同時具有優(yōu)越的控制精度、響應(yīng)速度和運(yùn)行穩(wěn)定性,成為了機(jī)器人關(guān)節(jié)伺服控制相關(guān)領(lǐng)域的研究難點(diǎn)[2-3]。機(jī)器人關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)包括驅(qū)動裝置、傳動裝置和機(jī)器人本體3部分,其中驅(qū)動裝置大多采用永磁同步電機(jī)(permanent magnetic synchronous machine,PMSM)[4],傳動裝置主要采用諧波減速器。PMSM通過諧波減速器將電磁轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)換為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩,以驅(qū)動機(jī)器人關(guān)節(jié)完成規(guī)定的運(yùn)動和功能。

在多關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人的控制算法方面,國內(nèi)外的研究學(xué)者提出了許多控制方法,如反步控制、滑?？刂坪湍：刂频?。反步控制(backstepping control,BC)算法簡單,能使控制器的設(shè)計過程系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化。在機(jī)器人關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)的位置控制中,BC通常與智能方法或其他非線性方法相結(jié)合[5-6]?；？刂?sliding mode control,SMC)對外部干擾和參數(shù)攝動具有很強(qiáng)的魯棒性,且具有調(diào)控快速的優(yōu)點(diǎn),因此被廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的控制[7-8]。模糊控制依賴研究人員的工作經(jīng)驗(yàn),且穩(wěn)態(tài)誤差通常較大,控制效果不理想。以上控制方法都是基于信號控制觀點(diǎn),雖然具有良好的動態(tài)性能,但系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能較差[9-10]。

目前,基于能量控制觀點(diǎn)的方法引起了研究學(xué)者們的重視,ORTEGA、BEATTIE等[11-13]提出了端口受控哈密頓(port-controlled hamiltonian,PCH),該控制方法把非線性系統(tǒng)看作為能量變化裝置,既有能量的存儲也有能量的耗散。并且把哈密頓函數(shù)作為Lyapunov函數(shù),簡化了直接選取Lyapunov函數(shù)的過程。

基于以上信號控制觀點(diǎn)和能量控制觀點(diǎn),本文提出了協(xié)同優(yōu)化控制策略。該策略可以使機(jī)器人關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)兼顧信號控制器和能量控制器的優(yōu)點(diǎn),同時做到快速調(diào)控和準(zhǔn)確跟蹤。首先分別設(shè)計了BSMC控制器與EPCH控制器,然后采用高斯函數(shù)作為協(xié)同優(yōu)化控制系數(shù),并進(jìn)一步設(shè)計了協(xié)同優(yōu)化控制策略。最后,仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,協(xié)同優(yōu)化控制策略可以使多關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人同時具有優(yōu)越的快速性和準(zhǔn)確性。

1 機(jī)器人關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

本文以六自由度機(jī)器人關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)作為研究對象,該系統(tǒng)包括PMSM、諧波減速器和機(jī)器人本體3部分?？紤]到關(guān)節(jié)間的摩擦特性,基于LuGre摩擦模型的機(jī)器人關(guān)節(jié)伺服控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為[14]:

(1)

2 控制器設(shè)計

2.1 BSMC控制器設(shè)計

(2)

步驟1:機(jī)器人關(guān)節(jié)的位置誤差定義為:

(3)

式中:q*為機(jī)器人關(guān)節(jié)的期望位置。

對式(3)求導(dǎo),得到:

(4)

(5)

選取步驟1時的系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)為:

(6)

結(jié)合式(5)和式(6)得:

(7)

步驟2:對式(4)進(jìn)行求導(dǎo),得到:

(8)

選取傳統(tǒng)滑模面為:

(9)

式中:β為對稱、正定常值矩陣。

對式(9)求導(dǎo)得:

(10)

定義步驟2時的Lyapunov函數(shù)為:

(11)

對式(11)求導(dǎo)得:

(12)

若e2=0,設(shè)計反步滑?？刂破鳛?

(13)

式中:ρ為對稱、正定常值矩陣,λ為正常數(shù)。

將式(13)代入式(12)中,得出:

(14)

此時機(jī)器人關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

2.2 EPCH控制器設(shè)計

對于非線性系統(tǒng),帶有能量耗散的PCH模型可以表示為[15]:

(15)

式中:x、u、y分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量、輸入向量和輸出向量,J(x)為互聯(lián)矩陣,且J(x)=-JT(x),表示系統(tǒng)內(nèi)部互聯(lián)結(jié)構(gòu);R(x)為阻尼矩陣,且R(x)=RT(x),反映了系統(tǒng)端口上的電阻結(jié)構(gòu);g(x)反映系統(tǒng)的端口特性,H(x)為哈密頓函數(shù),定義為系統(tǒng)內(nèi)部存儲的總能量。

定義機(jī)人關(guān)節(jié)的狀態(tài)變量、輸入變量分別為:

(16)

τe=[τe1,τe2,…,τe6]T

(17)

機(jī)器人關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)為:

(18)

式中:V(q)為機(jī)器人關(guān)節(jié)的勢能。

六自由度機(jī)器人關(guān)節(jié)的PCH模型為:

(19)

定義機(jī)器人關(guān)節(jié)的狀態(tài)誤差為:

(20)

則機(jī)器人閉環(huán)控制系統(tǒng)期望Hamiltonian函數(shù)為:

(21)

寫成EPCH形式,可以表示為:

(22)

根據(jù)式(19)、式(20)和式(22)可得:

(23)

由式(23)得到機(jī)器人關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩為:

(24)

式(21)描述的哈密頓函數(shù)即為Lyapunov函數(shù),則閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為:

(25)

對式(25)求導(dǎo),并將式(1)和式(24)代入得:

(26)

2.3 協(xié)同優(yōu)化控制策略

為了使機(jī)器人關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)同時具有良好的快速性與準(zhǔn)確性,設(shè)計了協(xié)同優(yōu)化控制策略。該策略通過引入?yún)f(xié)同優(yōu)化控制系數(shù),在BSMC控制器與EPCH控制器之間進(jìn)行平滑切換,使系統(tǒng)兼顧以上兩種控制器的優(yōu)點(diǎn)。

由文獻(xiàn)[16]可知,高斯函數(shù)對系統(tǒng)的協(xié)同控制效果最好。因此,本文直接采用高斯函數(shù)作為協(xié)同優(yōu)化控制系數(shù),并設(shè)計協(xié)同優(yōu)化控制器為:

(27)

協(xié)同優(yōu)化控制系數(shù)曲線如圖2所示。

圖2 協(xié)同優(yōu)化控制系數(shù)曲線

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為驗(yàn)證協(xié)同優(yōu)化控制策略的有效性,在MATLAB/Simulink環(huán)境中對機(jī)器人關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)的1、2關(guān)節(jié)進(jìn)行建模和仿真。

各參數(shù)取值為:m1=1.5 kg,m2=0.8 kg分別為機(jī)器人1、2關(guān)節(jié)質(zhì)量,l1=0.24 m,l2=0.14 m分別為機(jī)器人1、2關(guān)節(jié)長度。BSMC中λ=5,ρ=diag{200,200},β=diag{50,50};EPCH中KL=diag{50000,50000},Kt=diag{3000,3000},尺度參數(shù)σ=diag{0.01,0.01}。

仿真1:為驗(yàn)證BSMC在動態(tài)性能上的優(yōu)越性,將BSMC與反步控制(backstepping control,BC)進(jìn)行仿真對比,圖3為機(jī)器人1、2關(guān)節(jié)分別采用BSMC與BC的階躍響應(yīng)跟蹤曲線。

(a) 關(guān)節(jié)1的跟蹤曲線 (b) 關(guān)節(jié)2的跟蹤曲線

由圖3可知,兩個關(guān)節(jié)分別采用BSMC和BC時,采用BSMC能夠使系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度更快,快速性更好。

仿真2:為驗(yàn)證協(xié)同優(yōu)化控制策略的有效性,將協(xié)同優(yōu)化控制策略與單獨(dú)采用BSMC、單獨(dú)采用EPCH進(jìn)行仿真對比,圖4為機(jī)器人1、2關(guān)節(jié)分別采用以上3種控制方法的階躍響應(yīng)跟蹤曲線。

(a) 關(guān)節(jié)1的跟蹤曲線 (b) 關(guān)節(jié)2的跟蹤曲線

由圖4可知,單獨(dú)采用BSMC時,系統(tǒng)的上升時間為0.15 s左右,穩(wěn)態(tài)誤差為1.5×10-3rad;單獨(dú)采用EPCH時,系統(tǒng)的上升時間為1.16 s左右,穩(wěn)態(tài)誤差為7×10-5rad;采用協(xié)同優(yōu)化控制策略時,系統(tǒng)的上升時間為0.25 s左右,穩(wěn)態(tài)誤差為7×10-5rad。因此,協(xié)同優(yōu)化控制策略與單獨(dú)采用BSMC相比,跟蹤精度提高了約95%;與單獨(dú)采用EPCH相比,上升時間快了0.9 s左右。3種控制方法下的具體性能指標(biāo)如表1所示。

表1 3種控制方法下的性能指標(biāo)

由表1的性能指標(biāo)數(shù)據(jù)可知,單獨(dú)采用BSMC時,機(jī)器人關(guān)節(jié)具有較短的上升時間,但穩(wěn)態(tài)誤差較大;單獨(dú)采用EPCH時,機(jī)器人關(guān)節(jié)具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差,但上升時間較長;當(dāng)采用協(xié)同優(yōu)化控制策略時,機(jī)器人關(guān)節(jié)具有較短的上升時間和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

因此,協(xié)同優(yōu)化控制策略可以兼具BSMC與EPCH各自的優(yōu)點(diǎn),使機(jī)器人關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)同時具有良好的快速性與準(zhǔn)確性。

4 結(jié)論

本文為提高機(jī)器人關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)的控制性能,提出了BSMC與EPCH的協(xié)同優(yōu)化控制策略。當(dāng)系統(tǒng)處于動態(tài)階段時,BSMC起主導(dǎo)作用;當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)階段時,EPCH起主導(dǎo)作用。該策略采用基于關(guān)節(jié)位置誤差的高斯函數(shù),根據(jù)誤差大小實(shí)時對BSMC與EPCH進(jìn)行平滑切換,改善了系統(tǒng)的動態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,與單獨(dú)采用BSMC相比,所提出的協(xié)同優(yōu)化控制策略使系統(tǒng)的跟蹤精度提高了約95%;與單獨(dú)采用EPCH相比,所提出的協(xié)同優(yōu)化控制策略使系統(tǒng)的上升時間快了0.9 s左右。因此,BSMC與EPCH協(xié)同優(yōu)化控制策略能夠使機(jī)器人關(guān)節(jié)同時具有快速的響應(yīng)速度與準(zhǔn)確的跟蹤精度。