徐 楠,鄭星航,周瀅瑤,王才林,張 歡,王克東

(南方科技大學 物理系,廣東 深圳 518055)

耦合振動是理論力學課程中的經(jīng)典內(nèi)容[1-2],它建立了簡正模和簡正頻率等基本概念,是分析復雜系統(tǒng)振動問題的重要工具. 長期以來,教材多以彈簧振子[3]為背景講解耦合振動的理論知識,實驗中通常在氣墊導軌上[4]展示彈簧振子的耦合振動特征. 為了拓展學生的視野,文獻[5]基于力學相似性原理[1],類比固定端/彈簧/質(zhì)塊/彈簧/質(zhì)塊系統(tǒng)設(shè)計了非對稱雙扭擺實驗,以剛體轉(zhuǎn)動為背景介紹了耦合振動的時間演化圖像、頻譜特征和測量方法,為耦合振動的實驗教學提供了新思路. 由于非對稱雙扭擺裝置在結(jié)構(gòu)上缺乏對稱性,難以展現(xiàn)對稱簡正模、反對稱簡正模和拍等經(jīng)典現(xiàn)象. 為豐富雙扭擺實驗,類比固定端/彈簧/質(zhì)塊/彈簧/質(zhì)塊/彈簧/固定端系統(tǒng),本文設(shè)計了對稱雙扭擺實驗,增加對稱簡正模、反對稱簡正模和拍的調(diào)節(jié)與觀測. 教學實踐表明:該實驗有助于學生直觀地學習耦合振動的基本規(guī)律,掌握通過控制初始條件調(diào)節(jié)系統(tǒng)振動模式的方法.

1 實驗裝置

對稱雙扭擺裝置主要由支架、鋼絲、轉(zhuǎn)盤、制動器和手機等5部分構(gòu)成,如圖1所示.

圖1 對稱雙扭擺裝置圖

支架的頂部和底部裝有緊固夾具,可以懸掛鋼絲. 2個轉(zhuǎn)盤被緊固于鋼絲的不同位置,將鋼絲分為上、中、下3段. 2個轉(zhuǎn)盤的形狀相同,上下2段鋼絲的尺寸也相同,形成了對稱結(jié)構(gòu). 轉(zhuǎn)盤的直徑為120.00 mm,轉(zhuǎn)動慣量為0.311 g·m2(含緊固夾具). 上下2段鋼絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)均為K,中段鋼絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)為k.由于扭轉(zhuǎn)系數(shù)依賴于鋼絲的幾何尺寸,因而可以通過鋼絲的直徑和長度調(diào)節(jié)扭轉(zhuǎn)系數(shù)[5]. 轉(zhuǎn)盤的釋放和停止受制動器控制. 在斷電狀態(tài)下,制動器夾持轉(zhuǎn)盤使其保持靜止;通電后,制動器釋放轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤可以自由轉(zhuǎn)動. 轉(zhuǎn)盤上貼有輕薄紙片,該紙片上印有度盤和標記點,度盤用于設(shè)置轉(zhuǎn)盤的初始轉(zhuǎn)角,標記點用于追蹤轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)角. 2部手機分別置于上下轉(zhuǎn)盤的上方,錄制相應(yīng)標記點的轉(zhuǎn)動視頻,錄像幀率為30 s-1.

2 實驗原理

(1)

(2)

其中,I為轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量.在實驗中,可通過改變鋼絲的直徑和長度調(diào)節(jié)K和k[5].將式(1)～(2)代入拉格朗日方程[1]

L=T-V,

(3)

(4)

可得兩轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動方程為

(5)

(6)

轉(zhuǎn)動方程等號右側(cè)表示鋼絲施加在轉(zhuǎn)盤上的回復力矩,其同時依賴于兩轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)角,可見兩轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動存在耦合.另外,式(5)～(6)同一維雙彈簧振子的運動方程具有力學相似性[1]:前者的轉(zhuǎn)角、角加速度和轉(zhuǎn)動慣量分別對應(yīng)于后者的位移、加速度和質(zhì)量.

為了求解式(5)～(6),不妨假設(shè)兩轉(zhuǎn)盤按相同的角頻率ω轉(zhuǎn)動,即

φ1=q1sin (ωt),

(7)

φ2=q2sin (ωt),

(8)

其中,q1和q2分別為上下兩轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)角隨時間演化的幅度.將式(7)～(8)分別代入式(5)～(6),并整理可得本征方程為

(9)

式(9)的非平庸解對應(yīng)于

(10)

由此可得對稱雙扭擺裝置的簡正頻率為

(11)

(12)

將簡正頻率ωɑ代入式(9)并歸一化,可得

(13)

可見,當兩轉(zhuǎn)盤均以角頻率ωα轉(zhuǎn)動時,幅度和方向均相同,故不引起中段鋼絲的扭轉(zhuǎn)形變,兩轉(zhuǎn)盤實則為脫耦合.該轉(zhuǎn)動形式稱為對稱簡正模,ωα稱為對稱簡正頻率.

同理,將角頻率ωβ代入式(9)并歸一化,可得

(14)

即當兩轉(zhuǎn)盤以角頻率ωβ轉(zhuǎn)動時,幅度相同但方向相反.該轉(zhuǎn)動形式稱為反對稱簡正模,ωβ稱為反對稱簡正頻率.

由式(11)～(12)可知,對稱簡正頻率低于反對稱簡正頻率,前者僅依賴于K,而后者還依賴于k.一般情況下,轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動是2種簡正模的線性疊加,即

(15)

其中,A和B為疊加系數(shù).

在實驗中,可以通過控制兩轉(zhuǎn)盤的初始轉(zhuǎn)角調(diào)節(jié)耦合轉(zhuǎn)動形式.令初始時刻φ1和φ2的值分別為φ10和φ20,代入式(15)并整理,可得

(16)

(17)

3 實驗方法

實驗操作如下:

1)平穩(wěn)放置支架,依次懸掛鋼絲和轉(zhuǎn)盤;

2)根據(jù)轉(zhuǎn)盤位置安裝制動器,將轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)至設(shè)定轉(zhuǎn)角后夾緊;

3)根據(jù)標記點位置放置手機;

4)打開手機錄像功能,開啟制動器同時釋放轉(zhuǎn)盤,拍攝兩轉(zhuǎn)盤上標記點的轉(zhuǎn)動視頻,然后依次關(guān)閉錄像和制動器;

5)導出兩轉(zhuǎn)盤上標記點的轉(zhuǎn)動視頻,運用Tracker提取標記點坐標的時間演化數(shù)據(jù).

學習耦合轉(zhuǎn)動規(guī)律的基礎(chǔ)在于分析轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)角的時間演化數(shù)據(jù).因此,在數(shù)據(jù)預(yù)處理部分,需要使用反正切函數(shù)將標記點的時間演化數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)角的時間演化數(shù)據(jù).

圖2 轉(zhuǎn)盤上標記點示意圖

4 實驗結(jié)果及分析

共使用6種不同尺寸的鋼絲,并運用文獻[6]中的方法測量扭轉(zhuǎn)系數(shù),結(jié)果見表1.其中,扭轉(zhuǎn)系數(shù)K=0.291 9 mN·m的鋼絲充當對稱雙扭擺裝置的上下段鋼絲,其余的鋼絲則先后充當中段鋼絲.按照實驗操作步驟得到不同中段鋼絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)k條件下的上轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)角φ1的時間演化數(shù)據(jù),結(jié)果如圖3所示.從圖3可以看出,由于兩轉(zhuǎn)盤之間存在耦合,φ1隨時間t的演化均較為復雜,已經(jīng)明顯偏離單扭擺的簡諧轉(zhuǎn)動特征[5].另外,在k較小時,φ1的時間演化具有明顯的拍特征,見圖3(a);但隨k增加,拍特征逐漸消失,見圖3(b)～(e).

表1 不同尺寸鋼絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)

(a)k=0.037 1 mN·m

運用式(15)對圖3中數(shù)據(jù)進行雙正弦函數(shù)擬合,實驗數(shù)據(jù)和擬合曲線符合良好,說明轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動包含2種簡正模成分,符合實驗原理預(yù)期.為了檢驗角頻率擬合結(jié)果的準確性,將K,k和I的值代入式(11)～(12),計算得到對稱簡正頻率ωα和反對稱簡正頻率ωβ,結(jié)果如表2所示.從表2可以看出,實驗擬合結(jié)果和理論值的相對偏差均低于0.5%.隨k增加,ωα基本不變,而ωβ上升,這是由于當兩轉(zhuǎn)盤以角頻率ωα做簡諧轉(zhuǎn)動時,中段鋼絲的彈性勢能維持恒定,故k不影響ωα,如式(11)所示.

表2 圖3中簡正頻率實驗的擬合值和理論值

圖4直觀地展現(xiàn)了簡正頻率ω隨k的變化關(guān)系.由圖4可以看出,簡正頻率分布于2個不同的分支.隨k增加,2種簡正頻率的差距逐漸變大,這也給出了圖3(a)～(e)中拍現(xiàn)象逐漸消失的原因.

圖4 簡正頻率隨中段鋼絲扭轉(zhuǎn)系數(shù)k的變化

下面依據(jù)實驗原理對兩轉(zhuǎn)盤的初始轉(zhuǎn)角做特殊設(shè)置,觀測對稱簡正模、反對稱簡正模和拍. 將上下段鋼絲和中段鋼絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)分別設(shè)置為0.291 9 mN·m和0.037 1 mN·m,由表2可知簡正頻率的理論值分別為ωα=0.968 1 rad/s和ωβ=1.084 rad/s. 將兩轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)至相同轉(zhuǎn)角后同時釋放,得到兩轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)角的時間演化數(shù)據(jù),如圖5所示.

(a)上轉(zhuǎn)盤

從圖5可以看出,兩轉(zhuǎn)盤起初均靜止于轉(zhuǎn)角約50°處. 在被同時釋放后,轉(zhuǎn)角開始隨時間振蕩,并且?guī)缀跬皆黾踊驕p小. 在60 s的觀測窗口內(nèi),兩轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)角振蕩幅度基本維持恒定,說明該體系的阻尼作用極小. 對振蕩部分的數(shù)據(jù)進行正弦擬合,結(jié)果如表3所示.

表3 圖5中兩轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)角-時間演化曲線的正弦擬合結(jié)果[擬合函數(shù)φ=Asin (ωαt+ɑ)]

實驗數(shù)據(jù)和正弦曲線符合良好,兩轉(zhuǎn)盤都近似做簡諧轉(zhuǎn)動;兩轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動幅度、頻率和相位基本一致,表明兩轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動較好地呈現(xiàn)了對稱簡正模的主要特征. 另外,兩轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動角頻率的擬合結(jié)果與理論值接近,相對偏差均低于0.3%.

為了觀測反對稱簡正模,將兩轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)至相反轉(zhuǎn)角后同時釋放,按實驗操作方法得到轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)角的時間演化數(shù)據(jù),如圖6所示.

(a)上轉(zhuǎn)盤

從圖6可以看出,兩轉(zhuǎn)盤被釋放后,轉(zhuǎn)角開始隨時間振蕩,而且當上轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)角增加時,下轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)角同步減小;當上轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)角減小時,下轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)角同步增加. 在60 s的觀測窗口內(nèi),兩轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)角幅度均未發(fā)生明顯衰減,說明該體系的阻尼作用極小. 對振蕩部分的數(shù)據(jù)進行正弦擬合,結(jié)果如表4所示.

表4 圖6中兩轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)角-時間演化曲線的正弦擬合結(jié)果[擬合函數(shù)φ=Bsin (ωβt+b)]

實驗數(shù)據(jù)和正弦曲線符合良好,兩轉(zhuǎn)盤都近似做簡諧轉(zhuǎn)動;兩轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動幅度和角頻率基本一致,相位差約為π;兩轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動角頻率的擬合結(jié)果與理論值接近,相對偏差均低于0.1%. 上述結(jié)果表明,兩轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動較好地呈現(xiàn)了反對稱簡正模的主要特征.

表5 圖7中轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)角-時間演化曲線的雙正弦擬合結(jié)果[擬合函數(shù)φ=Asin (ωαt+a)+Bsin (ωβt+b]

5 結(jié)束語

本文類比固定端/彈簧/質(zhì)塊/彈簧/質(zhì)塊/彈簧/固定端系統(tǒng)設(shè)計了對稱雙扭擺實驗,使用手機錄制轉(zhuǎn)盤的一般耦合轉(zhuǎn)動以及對稱簡正模、反對稱簡正模和拍等特殊耦合轉(zhuǎn)動的視頻,運用目標追蹤軟件從中提取轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)角的時間演化數(shù)據(jù),通過數(shù)據(jù)擬合得到耦合轉(zhuǎn)動的幅度、頻率和相位等信息,實驗結(jié)果與理論預(yù)期符合良好. 教學實踐表明,該實驗有助于學生直觀地學習耦合振動的基本原理,激發(fā)實驗興趣.