北京市第五中學(xué) 胡 芳

數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合表現(xiàn)?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標準（2017版2020年修訂）》明確指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生思考，掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動的全過程。因此，高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量評價要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，同時還要關(guān)注學(xué)生獲取知識的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要隨時關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平的變化，而且要根據(jù)學(xué)生學(xué)業(yè)水平的變化及時調(diào)整教學(xué)策略，以更好地促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。

學(xué)業(yè)質(zhì)量評價要以教學(xué)目標為導(dǎo)向，以教學(xué)目標的達成度為依據(jù)，同時還要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識的掌握程度，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的學(xué)習(xí)態(tài)度、方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣，最終落實到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成。確定學(xué)業(yè)質(zhì)量標準的依據(jù)主要是三個維度：課程目標中的“四基”“四能”，內(nèi)容標準、學(xué)科核心素養(yǎng)水平，因此在課堂教學(xué)中對學(xué)生的學(xué)業(yè)質(zhì)量評價也應(yīng)當(dāng)圍繞以上幾個方面進行設(shè)計和實施。

一、案例1：學(xué)生作業(yè)中的問題反饋與評價

作為一名數(shù)學(xué)教師，我們經(jīng)常要反饋學(xué)生作業(yè)中的問題，多數(shù)情況下這些問題的處理方式是教師課上集中點評或者課下個別輔導(dǎo)，但我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)某些問題在課堂講過，在作業(yè)中練過，但一到考試中再次面對類似問題時，學(xué)生仍然是錯誤不斷。究其原因，就是學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中只是單純地模仿訓(xùn)練，并沒有真正理解問題背后所蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)。如果在教學(xué)中通過教師設(shè)計問題進行引導(dǎo)，讓學(xué)生不僅思考問題、解決問題，更能提出問題、設(shè)計問題，讓學(xué)生在這個過程中提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。不僅是教師考學(xué)生，也可以學(xué)生“考”學(xué)生，豐富評價主體，讓師生之間、組組之間、生生之間進行評價，引導(dǎo)學(xué)生融入教學(xué)活動中來，提升課堂學(xué)生參與度，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

例如，在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)后，學(xué)生作業(yè)中有這樣一個問題：

已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）(ω＞0)的部分函數(shù)圖像，如圖1所示，則ω＝____。

圖1

本題要求學(xué)生能結(jié)合函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的圖像，理解參數(shù)A，ω，φ的意義，了解參數(shù)變化對函數(shù)圖像的影響。由于圖像提供的信息有限，學(xué)生在考慮函數(shù)的對稱性、最值和周期性時，難以全面把握性質(zhì)與圖像信息之間的充要關(guān)系，所以從當(dāng)天的作業(yè)反饋中看出錯誤率比較高。

學(xué)業(yè)質(zhì)量評價要以教學(xué)目標為導(dǎo)向，因此教師要先明確教學(xué)的基本任務(wù)。

（1）經(jīng)歷研究函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的圖像與基本性質(zhì)的過程，理解參數(shù)A，ω，φ與正弦型函數(shù)基本性質(zhì)之間的聯(lián)系；

（2）通過分析錯例，合理轉(zhuǎn)化正弦型函數(shù)問題中的圖形信息與代數(shù)信息，并注意轉(zhuǎn)化的等價性，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想；

（3）通過設(shè)計問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性和靈活性，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

課堂教學(xué)實施如下。

1．創(chuàng)設(shè)情境與問題，落實知識與技能

本節(jié)課的問題源自學(xué)生的實際錯例，本身就能引起學(xué)生的關(guān)注，圍繞教學(xué)任務(wù)設(shè)計以下幾組問題。

問題1：如果已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的解析式，我們?nèi)绾窝芯克膱D像及性質(zhì)？

追問：參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的圖像有什么影響？

問題2：如果已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的性質(zhì)或者部分圖像，我們能否能得到參數(shù)A，ω，φ的相關(guān)信息？

通過問題啟發(fā)學(xué)生回顧上節(jié)課的知識，并進行獨立思考，考查學(xué)生對教學(xué)任務(wù)（1）的達成度，也是對學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象是否達成“水平一”進行判斷。

問題3：通過分析本題題干中的圖像，大家可以得到函數(shù)性質(zhì)的什么信息？（對稱軸以及最小值點）

追問1：有了這些信息，是否可以解決問題？

追問2：圖像描述了函數(shù)在兩個點處函數(shù)值相等，能否代數(shù)刻畫這個等量關(guān)系？

為什么與剛才的結(jié)論不同？（等價性轉(zhuǎn)化問題）

追問4：如果根據(jù)圖像，得到多解時，如何取舍？

問題4：現(xiàn)在去掉函數(shù)的圖像，請你在下面的橫線上補上恰當(dāng)?shù)臈l件，使得問題成立：

預(yù)設(shè)①f（x）在區(qū)間有最小值，無最大值（√）；

預(yù)設(shè)②f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（√）；

預(yù)設(shè)③f（x）在區(qū)間只有一條對稱軸（x）。

追問5：為什么③是錯誤的？

教學(xué)以學(xué)生的真實問題為脈絡(luò)，教師通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生深入思考函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的基本性質(zhì)以及圖像，體會單調(diào)性、對稱性、最值和周期等重要性質(zhì)之間的聯(lián)系，在這個環(huán)節(jié)中通過問題設(shè)計，將學(xué)生思考不斷引向深入，思考函數(shù)圖像在變化過程中的本質(zhì)性問題，教師要通過觀察學(xué)生語言表達的邏輯性、注意力是否集中、證明過程是否有邏輯性和簡潔性等，及時作出點評。

2．鼓勵學(xué)生提出問題，展開討論，訓(xùn)練學(xué)生思維與表達能力，引導(dǎo)交流與反思

問題5：通過前面的討論，大家基本理解了函數(shù)f（x）中的參數(shù)對函數(shù)的性質(zhì)以及圖像的影響，并能根據(jù)圖像和性質(zhì)解釋參數(shù)的變化范圍。那么你能否以此函數(shù)的圖像和性質(zhì)研究為背景，再提出一個新的問題考考大家呢？

同學(xué)們對這個問題的思考十分踴躍，他們提出了不少問題，部分記錄如下。

（3）函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，1］至少出現(xiàn)2次最大值，則ω的取值范圍是______；

學(xué)生在分析和解決問題的過程中，發(fā)現(xiàn)其中蘊含的數(shù)學(xué)關(guān)系，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光找到合適的條件，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言進行表達，并用數(shù)學(xué)思維進行分析，提出新的問題，并借助圖形探索解決問題，這個過程就是一個學(xué)習(xí)的過程，是一個在做中思、做中學(xué)、做中突破難點的積極思考的過程。教師在這個過程指導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題條件，并將其合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，有助于進一步發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，這可作為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象是否達成“水平三”進行判斷。

解題中發(fā)生錯誤和改正錯誤貫穿于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)全過程。教師以教學(xué)任務(wù)為導(dǎo)向，通過學(xué)生的真實問題為教學(xué)情境，通過問題設(shè)計引發(fā)學(xué)生進行深入討論：自己分析錯在哪里？為什么錯？如何避免？對這些問題的關(guān)注和研究無疑會加深學(xué)生對問題本質(zhì)的理解。在這個過程中教師還要不斷觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，有針對性地及時做出教學(xué)評價。例如，在問題1的解釋中學(xué)生是否使能想到利用五點法作圖？在問題4的解決中，有學(xué)生提出當(dāng)f（x）在區(qū)間只有一條對稱軸時ω＝5，教師及時調(diào)整教學(xué)方程，引導(dǎo)學(xué)生討論圖形信息與代數(shù)信息在轉(zhuǎn)化中的等價性等，在學(xué)生自己設(shè)計問題時，個別學(xué)生在提出問題進行解題闡述時，自己就發(fā)現(xiàn)了問題設(shè)計的漏洞，又重新進行改進和調(diào)整，這顯然比單純的紙筆測試進行學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量水平判斷要豐富得多，效果也要好得多。

二、案例2：學(xué)生探究性學(xué)習(xí)活動的評價

數(shù)學(xué)探究是運用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的綜合實踐活動，承載著提升學(xué)生學(xué)科能力和素養(yǎng)的重要使命。在學(xué)生探究性活動過程中，對學(xué)生學(xué)習(xí)行為和態(tài)度的評價非常重要。教師可以采用形成性評價的方式，注重觀察和評估學(xué)生的學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)方式，從學(xué)生的探究性作業(yè)中了解學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握情況，了解學(xué)生獨立思考以及提出、發(fā)現(xiàn)問題的能力和合作交流的意識等，把握學(xué)生的思維活動特征，記錄他們學(xué)習(xí)中的問題，調(diào)整教學(xué)策略，以期發(fā)展學(xué)生的“四基”“四能”，形成學(xué)科素養(yǎng)。下面以人教A版第四冊探究性學(xué)習(xí)——楊輝三角的教學(xué)為例。

明確教學(xué)目標：

（1）從不同角度探究楊輝三角中的數(shù)字規(guī)律，從中體會研究一般數(shù)陣的方法；

（2）在“觀察實驗—歸納猜想—推理證明”的探究過程中體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識；

（3）通過對楊輝三角的探究，感悟數(shù)學(xué)之美，體會數(shù)學(xué)價值，提升邏輯推理素養(yǎng)。

課堂教學(xué)實施如下。

1．初探楊輝三角——提供探究范本

問題1：首先請大家觀察楊輝三角中的數(shù)字（只給前5行）（見圖2），能否繼續(xù)往下再寫出兩行呢？

圖2

問題2：你能用一個數(shù)學(xué)關(guān)系式表示這個發(fā)現(xiàn)嗎？

追問1：你是如何想到用組合數(shù)表示呢？

引導(dǎo)學(xué)生說明楊輝三角第n行的各數(shù)就是（a+b）n的展開式的二項式系數(shù)（見圖3）。

圖3

問題4：在這個結(jié)論的探究過程中，是否可以總結(jié)出楊輝三角研究的一些基本方法呢？

指導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：①如何觀察數(shù)陣？②如何歸納結(jié)果？

對高中生而言，探究楊輝三角的規(guī)律有一定困難，為了降低探究難度，采用示范演示楊輝三角基本性質(zhì)的探究過程，為學(xué)生開展自主探究提供研究范本。

2．再探楊輝三角——開展分組合作、自主探究

進行分組探究，將每組的研究結(jié)果在黑板上進行粘貼展示，并給出嚴格證明。

學(xué)生探究結(jié)果記錄如下。

結(jié)論1：對稱性：兩邊是1——＝＝1。

結(jié)論2：每行中與首末兩端等距的數(shù)相等——＝。

結(jié)論3：第n行的數(shù)字之和為2n——++…+＝2n。

結(jié)論4：第n行奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和

結(jié)論5：從斜向角度分析——與邊平行的斜行求和（見圖4）。

圖4

結(jié)論6：從斜向角度分析——第n斜行是n階等差數(shù)列（見圖5）。

圖5

第n斜行是第n-1斜行的一階差數(shù)列。

結(jié)論7：從橫向角度分析——第n行的各數(shù)的平方和等于第2n行中間的數(shù)（見圖6）。即

圖6

結(jié)論8：從局部分析——將梯形中5個數(shù)相加就是下面隔行的數(shù)（見圖7）。即

圖7

結(jié)論9：從橫向角度分析——每行看作是一個正整數(shù)，與11的冪有關(guān)。

第0行：1＝110；

第1行：11＝111；

……

在楊輝三角中第n行乘以11采用“不進位相加”可得到第n+1行。

學(xué)生合作探究，得到楊輝三角性質(zhì)的一般表示，體現(xiàn)從特殊到一般的思想。通過學(xué)生歸納猜想，引導(dǎo)學(xué)生驗證猜想結(jié)論是否正確，引導(dǎo)學(xué)生多角度地分析問題、探究問題、解決問題，既加深學(xué)生對前后知識內(nèi)在聯(lián)系的理解，又從深度和廣度上讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)知識的串聯(lián)和呼應(yīng)。

3．深探楊輝三角——拓展思維，深入思考

問題：我們對楊輝三角的規(guī)律探究，容易圍繞在數(shù)字規(guī)律上進行研究，而我們?nèi)菀妆蛔约簯T有思維所約束，打破常規(guī)也許會有意想不到的結(jié)果。

比如，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨構(gòu)造了分數(shù)數(shù)陣（見圖8）。

圖8

比如，牛頓構(gòu)造了直角三角形數(shù)陣（見圖9）。

圖9

比如，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯構(gòu)造了楊輝三角中的奇偶數(shù)陣（見圖10）。

圖10

通過以上數(shù)陣的介紹，得出這些數(shù)陣的研究基礎(chǔ)都離不開學(xué)生探究的楊輝三角基本性質(zhì)讓學(xué)生感受課堂探究的基礎(chǔ)性作用，感受成功的力量。

三、結(jié)語

課堂教學(xué)評價不僅要關(guān)注學(xué)生當(dāng)前的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，還要關(guān)注學(xué)生成長與發(fā)展的過程；不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，還要關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的獲得與變化。教師要注意評價主體的多元化，將教師點評與學(xué)生互評結(jié)合，甚至在課下還可以讓學(xué)生家長、學(xué)生本人參與到評價過程中。教學(xué)評價不僅包括了量化評價，還包括了質(zhì)的評價，采用口頭點評、觀察記錄、作業(yè)反饋等多樣化的評價方式，促進學(xué)生更好地參與到學(xué)習(xí)過程中，同時也促進教師根據(jù)評價反饋更好的調(diào)整教學(xué)方向。教師對學(xué)生的評價直接影響著學(xué)生的學(xué)科發(fā)展，因此教師要站位更高，從學(xué)科的高度進行科學(xué)性評價，用發(fā)展的眼光進行鼓勵性評價，從教學(xué)整體性角度進行全面評價。