李亞晶，岳義，2 ，韋寶琛，2 ，崔國華 ，劉國興

(1.上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201620；2.上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240)

0 前言

救護(hù)車在行駛過程中會(huì)因路面不平而引起上下振動(dòng)，因制動(dòng)與啟動(dòng)引起前后振動(dòng)，因轉(zhuǎn)彎引起左右振動(dòng)，即在x、y、z3個(gè)方向上振動(dòng)[1]。這些振動(dòng)通過車身傳遞到病人所在的擔(dān)架上，傷員會(huì)受到來自垂直、縱向、橫向的振動(dòng)沖擊，不僅不能有效地保護(hù)傷員，還會(huì)對(duì)傷員造成二次傷害。研究表明：大約10%的傷員會(huì)在運(yùn)輸?shù)倪^程中出現(xiàn)病情惡化的現(xiàn)象[2]。針對(duì)此類問題，國內(nèi)外研究機(jī)構(gòu)和學(xué)者通過設(shè)計(jì)不同減振裝置解決。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)因具有承載高、剛度好、精度高、動(dòng)態(tài)特性好等優(yōu)點(diǎn)[3]而被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。如運(yùn)動(dòng)模擬器(飛行模擬器、娛樂模擬系統(tǒng)、汽車運(yùn)行模擬器)、微操作機(jī)器人(醫(yī)療設(shè)備、微加工、生物工程)、航天對(duì)接器、并聯(lián)機(jī)床等。同樣，并聯(lián)機(jī)構(gòu)在減振裝置中也有很大的應(yīng)用，吸引了大批學(xué)者進(jìn)行研究。如KARNOPP等[4]設(shè)計(jì)并研究了有關(guān)航空航天器的整星隔振系統(tǒng)；WANG等[5]提出了一種新型的微隔振Stewart平臺(tái)；朱偉等人[6]構(gòu)建了以3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)為主體結(jié)構(gòu)的三平移減振平臺(tái)；楊啟志等[7]設(shè)計(jì)一種新型三自由度汽車并聯(lián)減振座椅；牛軍川、張福亮[8]針對(duì)3-PRC機(jī)構(gòu)的不足，設(shè)計(jì)一種3-PRRP4R并聯(lián)機(jī)構(gòu)，用來解決多維振動(dòng)問題；羅敏等人[9]設(shè)計(jì)了一種“并聯(lián)隔振裝置”承載隔振一體化系統(tǒng)用來保證成像質(zhì)量。

其中救護(hù)車減振裝置因?qū)χ匕Y傷員的保護(hù)作用而被重點(diǎn)研究。通過將擔(dān)架安裝在減振裝置上實(shí)現(xiàn)對(duì)不期望振動(dòng)的降低或抑制，來削減救護(hù)車行駛過程中對(duì)病人造成的二次傷害。早在1990年張鐵硯、劉軍[10]就對(duì)輕型救護(hù)車減振擔(dān)架進(jìn)行設(shè)計(jì)研究；同年黃永勇[11]對(duì)兩自由度減振擔(dān)架模型進(jìn)行了平順性分析。近年來，SHINTANI等[12]提出了救護(hù)車病床二維基礎(chǔ)隔離裝置；徐新喜等[13]提出了采用小剛度彈簧并附加液壓阻尼器的阻尼減振方案用于救護(hù)車擔(dān)架；李駿等人[14]利用 MATLAB/Simulink建立九自由度救護(hù)車—擔(dān)架—臥位人體振動(dòng)系統(tǒng)仿真模型，有效提高人體舒適度；高翔等人[15]對(duì)4-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)，有效隔離了沿坐標(biāo)軸的平移振動(dòng)以及繞X軸的旋轉(zhuǎn)振動(dòng)；徐鴻佳等[16]基于3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)對(duì)越野救護(hù)車車載平衡裝置進(jìn)行分析，得出該機(jī)構(gòu)在Z軸方向上的移動(dòng)和繞X、Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)有良好的輸出效果，在一定空間內(nèi)具有較高的靈巧度，且奇異性非常低。上述研究雖然在多維減振方面有了一定成果，但并沒有考慮實(shí)際救護(hù)車尺寸以及裝置的安裝空間，導(dǎo)致目前救護(hù)車減振裝置不能應(yīng)用在實(shí)際場景中。

為了隔離所有方向上的旋轉(zhuǎn)和移動(dòng)，需要一種六自由度的隔振裝置。但在救護(hù)車設(shè)計(jì)過程中，考慮到需要在擁堵路段快速通過，對(duì)車身的寬度進(jìn)行了壓縮，同時(shí)，車內(nèi)需要醫(yī)護(hù)人員陪同，車內(nèi)空間進(jìn)一步降低，這使得減振裝置的尺寸要求嚴(yán)格。五自由度以及六自由度的裝置安裝空間存在著較大的問題。二自由度以及三自由度不能很好地改善擔(dān)架的振動(dòng)影響，所以為了在有限空間內(nèi)能盡可能地補(bǔ)償更多維度的振動(dòng)，四自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種較好的解決方法?？臻g四自由度是少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中重要分支，已有不少學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究。馬履中等[17]基于船舶儀器設(shè)備的減振要求，提出具有冗余四自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為減振裝置；劉旭升等[18]提出一種四自由度廣義球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)來滿足踝關(guān)節(jié)康復(fù)運(yùn)動(dòng)需求；彭紅梅等[19]針對(duì)自動(dòng)化生產(chǎn)線分揀需求，提出一種新型四自由度的三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)(3T1R)并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)；盧月紅、徐彩蓮[20]提出一種可實(shí)現(xiàn)三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)的空間并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，并利用方位特征集理論分析機(jī)構(gòu)的自由度和方位特征集；HAN等[21]提出一種用于高速場合的3T1R四自由度并聯(lián)機(jī)器人。目前，許多學(xué)者仍將空間四自由度機(jī)構(gòu)的研究重心放在3T1R或者3R1T上面，2T2R的研究還相對(duì)缺乏。雖然2T2R四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)效果更佳，但因?yàn)闊o法避免奇異位型的出現(xiàn)，這類機(jī)構(gòu)的研究相對(duì)較少。

綜上所述，針對(duì)救護(hù)車在運(yùn)載重癥傷員時(shí)因啟動(dòng)、制動(dòng)、轉(zhuǎn)彎與顛簸使車身發(fā)生垂直、前后、橫滾與俯仰4個(gè)自由度方向的振動(dòng)問題，本文作者基于螺旋理論提出一種具有兩移兩轉(zhuǎn)(2T2R)運(yùn)動(dòng)特性的新型的2RRU-2UPS四自由度并聯(lián)隔振裝置。通過全雅克比對(duì)其奇異性進(jìn)行分析，不改變其運(yùn)動(dòng)特性的條件下，在2個(gè)RRU支鏈上分別增加RPU支鏈構(gòu)成混合支鏈用以避免奇異或者避免接近奇異，最終提出2-UPS-2-(RP-RR)U對(duì)稱并聯(lián)隔振裝置?；诼菪碚搶?duì)其連續(xù)轉(zhuǎn)軸進(jìn)行分析，確定該機(jī)構(gòu)的2條連續(xù)轉(zhuǎn)軸，驗(yàn)證該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性。通過分析其結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用閉環(huán)矢量法建立運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型，運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行編程，驗(yàn)證其運(yùn)動(dòng)模型的正確性，同時(shí)結(jié)合邊界搜索法仿真出該機(jī)構(gòu)的工作空間，為設(shè)計(jì)者提供理論基礎(chǔ)。

1 四自由度隔振裝置機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

1.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方法

在螺旋理論中，力螺旋與運(yùn)動(dòng)螺旋的互易積為零時(shí)互為反螺旋。并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的核心是尋找運(yùn)動(dòng)支鏈，為平臺(tái)提供相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)與約束。對(duì)設(shè)計(jì)n個(gè)自由度的非冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)來說，必須要滿足以下幾個(gè)條件：(1)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)至少有n個(gè)自由度；(2)每一個(gè)支鏈的自由度個(gè)數(shù)必須大于等于n；(3)所有的支鏈自由度共同作用之后其和一定等于n；(4)每個(gè)分支的約束螺旋個(gè)數(shù)必須小于等于(6-n)；(5)所有支鏈的約束螺旋共同作用之后，整個(gè)系統(tǒng)的約束螺旋一定為(6-n)。并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的約束可以表示為

(1)

設(shè)計(jì)一款每個(gè)分支都相互對(duì)稱并且每個(gè)分支上所受到的約束也相同的機(jī)構(gòu)十分困難。但如果單獨(dú)考慮并聯(lián)系統(tǒng)的所有分支，考慮4個(gè)特殊的子系統(tǒng)分布類型，設(shè)計(jì)過程將會(huì)被簡化。對(duì)于n自由度非冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，根據(jù)其約束的類型可分為兩大類：一類是分支機(jī)構(gòu)中有6個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋沒有約束集；另一類是運(yùn)動(dòng)螺旋不足6個(gè)有約束集。如式(2)所示：

(2)

1.2 四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

救護(hù)車的振動(dòng)主要是由道路顛簸引起的垂直振動(dòng)和救護(hù)車啟動(dòng)與制動(dòng)引起的前后振動(dòng)，即在Z軸與X軸方向上的移動(dòng)。同時(shí)為了保證患者的舒適度，救護(hù)車的傾斜也需要平衡，即在X軸以及Y軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)。所設(shè)計(jì)的救護(hù)車隔振裝置至少需要4個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)，即X&Z平移自由度和X&Y旋轉(zhuǎn)自由度，如圖1所示。

圖1 隔振裝置的運(yùn)動(dòng)分析Fig.1 Motion analysis of vibration isolation device

根據(jù)螺旋理論當(dāng)中的運(yùn)動(dòng)螺旋以及約束螺旋的關(guān)系，可以得到四自由度2R2T(2-旋轉(zhuǎn)-2-平移)移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)螺旋系統(tǒng)。移動(dòng)平臺(tái)的2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)2個(gè)移動(dòng)運(yùn)動(dòng)螺旋(2-ξ0-2-ξ∞) 如圖2(a)所示，相應(yīng)的約束螺旋如圖2(b)所示，包含了沿Y軸方向的力約束以及沿Z軸方向的力矩約束。ξ0、ξ∞、ζ0和ζ∞分別代表著轉(zhuǎn)動(dòng)、移動(dòng)、約束力和約束力矩。

圖2 2R2T并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)螺旋(a)和約束螺旋(b)Fig.2 Motion screw (a)and constraint screw (b)of 2R2T parallel mechanism

許多分支系統(tǒng)所呈現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)是等效的，如一個(gè)約束力與一個(gè)約束力偶共同作用與兩個(gè)約束力共同作用所產(chǎn)生的約束是等價(jià)的。第一個(gè)約束螺旋系是由一個(gè)沿Y方向的約束力以及一個(gè)沿Z軸方向的約束力偶組成的。第二個(gè)是由沿Y軸方向的兩個(gè)約束力組成的，同時(shí)這兩個(gè)約束力所組成的平面要垂直于Z軸。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)分支中的約束螺旋包括1-ξ0、1-ξ∞、1-ξ0-1-ξ∞或者是沒有運(yùn)動(dòng)螺旋。根據(jù)螺旋理論當(dāng)中約束螺旋與運(yùn)動(dòng)螺旋的關(guān)系，即當(dāng)約束力與該分支所有轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線共面且與所有移動(dòng)副軸線相互垂直時(shí)，兩者互為反螺旋；當(dāng)約束力偶與該分支所有轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線相互垂直時(shí)，兩者互為反螺旋。

如圖3所示：只有一個(gè)約束力的支鏈應(yīng)滿足：(1)所有的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線都應(yīng)平行于約束力；(2)所有的移動(dòng)副都應(yīng)垂直于約束力。如圖4所示，只有一個(gè)約束力偶的支鏈應(yīng)滿足所有的轉(zhuǎn)動(dòng)副垂直于約束力偶。如圖5所示，一個(gè)約束力與一個(gè)約束力偶共同作用的分支鏈應(yīng)滿足：(1)所有的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線都應(yīng)平行于約束力；(2)所有的轉(zhuǎn)動(dòng)副都應(yīng)垂直于約束力偶；(3)所有的移動(dòng)副都應(yīng)垂直于約束力。

圖3 帶有一個(gè)約束力的分支Fig.3 Branch with a force constraint

圖4 帶有一個(gè)約束力偶的分支Fig.4 Branch with a torque constraint

圖5 帶有一個(gè)約束力和一個(gè)約束力偶的分支Fig.5 Branch with a force constraint and a torque constraint

通過公式(2)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)分支類型進(jìn)行選取。令公式(2)中的m=2，使得4個(gè)分支中的2個(gè)分支提供所有的約束，另外2個(gè)分支不提供約束。帶有約束螺旋的分支可以從1-ξ0、1-ξ∞、1-ξ0-1-ξ∞這3種分支中選擇，這些分支的約束螺旋共同作用后為1-ξ0-1-ξ∞或 2-ξ0的約束系。2R2T并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的其他2個(gè)不帶約束螺旋的分支可以選擇UPS鏈。2R2T并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖如圖6所示。

圖6 2RRU-2UPS機(jī)構(gòu)簡圖Fig.6 2RRU-2UPS mechanism diagram

2 全雅可比矩陣奇異分析

2RRU-2UPS的結(jié)構(gòu)簡圖如圖6所示。2個(gè)UPS支鏈中的移動(dòng)副作為其驅(qū)動(dòng)副(軸線位于AiBi之上)，2個(gè)RRU支鏈中與機(jī)架相連的2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副作為其驅(qū)動(dòng)副(軸線位于Ai沿Y軸方向向上)。靜平臺(tái)(A1A2A3A4)位于靜坐標(biāo)系O-XYZ當(dāng)中，其原點(diǎn)位于A1A2中心處，動(dòng)平臺(tái)(B1B2B3B4)位于動(dòng)坐標(biāo)系P-xyz當(dāng)中，其原點(diǎn)位于B1B2中心處。

一個(gè)球關(guān)節(jié)相當(dāng)于3個(gè)相交的非共面轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，一個(gè)萬向節(jié)相當(dāng)于2個(gè)相交的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)。移動(dòng)平臺(tái)的瞬時(shí)螺旋$p表達(dá)式如下：

(3)

式中：θj，i定義為速度；＄j，i定義為第i條支鏈的第j個(gè)關(guān)節(jié)的單位螺旋；ci定義為每條支鏈的自由度個(gè)數(shù)；移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)螺旋定義為$p=[ωTvT]T，其中ω是移動(dòng)平臺(tái)的角速度，v是運(yùn)動(dòng)平臺(tái)中一點(diǎn)的線速度，它與表示螺旋的參考系的原點(diǎn)瞬間重合。

該機(jī)構(gòu)的全雅可比[22]為

(4)

(5)

其中：bi=PBi；mi=BiCi；sj，i為第i條支鏈第j個(gè)關(guān)節(jié)的軸線方向。

Jc為該機(jī)構(gòu)的約束雅可比，由支鏈所提供的約束螺旋構(gòu)成，其表達(dá)式為

(6)

其中：ni為垂直于萬向鉸平面的單位約束力偶。

機(jī)構(gòu)將會(huì)在以下幾種情況下發(fā)生奇異：(1)4個(gè)驅(qū)動(dòng)約束力共面即動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)重合；(2)4個(gè)驅(qū)動(dòng)約束力在空間相交于一點(diǎn)；(3)2條RRU支鏈不在同一平面且不完全對(duì)稱；(4)4個(gè)驅(qū)動(dòng)約束力兩兩相交的交點(diǎn)所形成的轉(zhuǎn)軸與動(dòng)平臺(tái)Y軸平行。

機(jī)構(gòu)不僅在奇異點(diǎn)處無法正常運(yùn)行，同時(shí)其性能在奇異點(diǎn)的周邊空間極差。為避免機(jī)構(gòu)奇異或接近奇異，并在有限空間內(nèi)保證該機(jī)構(gòu)具有高剛度、抗偏載能力強(qiáng)、運(yùn)動(dòng)響應(yīng)快等性能，在2個(gè)RRU支鏈上分別增加RPU支鏈構(gòu)成一個(gè)混合鏈，萬向鉸作為共用U副，如圖7所示；4個(gè)移動(dòng)副作為機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)副，其結(jié)構(gòu)簡圖如圖8所示；三維模型如圖9所示。

圖7 混合支鏈局部示意Fig.7 Partial schematic of mixed branching chain

圖8 機(jī)構(gòu)簡圖Fig.8 Mechanism diagram

圖9 機(jī)構(gòu)三維模型Fig.9 Mechanism 3D model

3 運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸的連續(xù)性

3.1 自由度分析

基于螺旋理論對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析，將移動(dòng)副看作是節(jié)距為無窮大的偶量，將轉(zhuǎn)動(dòng)副看作是節(jié)距為零的線矢量，使用修正的G-K公式對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度求解：

(7)

其中：d為機(jī)構(gòu)的階；n為機(jī)構(gòu)中包括機(jī)架總的活動(dòng)構(gòu)件的數(shù)目；g為運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)目；v為機(jī)構(gòu)的過約束；ξ為機(jī)構(gòu)的局部自由度。

式中，N為脈沖波形的總的采樣點(diǎn)，m為飽和點(diǎn)數(shù)，a為線性系數(shù)，c為修正偏移量.通過窗寬自適應(yīng)形心修正算法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理濾波，并根據(jù)不同飽和度波形的飽和點(diǎn)獲得適應(yīng)本波形的窗寬，進(jìn)而以調(diào)整后的窗寬滑窗取樣，獲得窗寬W的數(shù)據(jù)x=[xa xa+1…xa+W]和y=[ya ya+1…ya+W]，對(duì)獲得的波形數(shù)據(jù)求加權(quán)和并與前一次比較，在滑窗過程中獲得形心計(jì)算的起始位置xt

M=6×(14-16-1)+24+2-4=4

通過修正的G-K公式可以得到該機(jī)構(gòu)的自由度為4，符合預(yù)先設(shè)定的動(dòng)平臺(tái)自由度要求。

3.2 初始位形下連續(xù)轉(zhuǎn)軸分析

在初始位形下，在動(dòng)平臺(tái)建立動(dòng)坐標(biāo)系P-xyz，在靜平臺(tái)建立靜坐標(biāo)系O-XYZ。點(diǎn)Ai在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(XAi，YAi，0)，點(diǎn)Bi的坐標(biāo)為(XBi，YBi，ZBi)。機(jī)構(gòu)位形如圖10所示。

圖10 初始位形簡圖Fig.10 Initial configuration diagram

該機(jī)構(gòu)的約束螺旋[23]為

(8)

4個(gè)分支對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的2個(gè)約束螺旋構(gòu)成平臺(tái)的約束螺旋系，對(duì)其求反螺旋可得：

(9)

3.3 繞B1B2桿連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)后的轉(zhuǎn)軸分析

機(jī)構(gòu)繞B1B2桿連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)后的機(jī)構(gòu)位形如圖11所示。

圖11 繞B1B2桿連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)后的機(jī)構(gòu)簡圖Fig.11 Mechanism diagram after continuous rotation around the B1B2 rod

轉(zhuǎn)動(dòng)后的機(jī)構(gòu)約束螺旋為

(10)

4個(gè)分支對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的2個(gè)約束螺旋構(gòu)成平臺(tái)的約束螺旋系，對(duì)其求反螺旋可得

(11)

3.4 先繞Y軸再繞B1B2連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)后的轉(zhuǎn)軸分析

復(fù)合轉(zhuǎn)動(dòng)后機(jī)構(gòu)位形如圖12所示。

圖12 兩次轉(zhuǎn)動(dòng)后的機(jī)構(gòu)簡圖Fig.12 Mechanism diagram after two rotations

轉(zhuǎn)動(dòng)后該機(jī)構(gòu)的約束螺旋為

(12)

4個(gè)分支對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的2個(gè)約束螺旋構(gòu)成平臺(tái)的約束螺旋系，對(duì)其再次求反螺旋可得：

(13)

綜上所述，在動(dòng)平臺(tái)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)后仍可以繞B1B2桿與靜坐標(biāo)系Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即B1B2桿與Y軸為該機(jī)構(gòu)的2個(gè)連續(xù)轉(zhuǎn)軸。其中靜坐標(biāo)系中的Y軸是該機(jī)構(gòu)的固定轉(zhuǎn)軸，不隨動(dòng)平臺(tái)的變化而變化，B1B2桿為任意轉(zhuǎn)軸，隨著動(dòng)平臺(tái)的變化而變化。

4 運(yùn)動(dòng)學(xué)反解模型

求解2-UPS-2-(RP-RR)U并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)位置反解，即給定機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)、動(dòng)平臺(tái)末端點(diǎn)x和z方向上的坐標(biāo)以及動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)(θx，θy)，求4個(gè)驅(qū)動(dòng)副的位移qi(i=1，2，3，4)。如圖10所示，在動(dòng)平臺(tái)建立動(dòng)坐標(biāo)系P-xyz，在靜平臺(tái)建立靜坐標(biāo)系O-XYZ。定義p為動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)相對(duì)于靜坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置矢量；定義ai為在靜坐標(biāo)系下點(diǎn)Ai的位置矢量；定義bi為在動(dòng)坐標(biāo)系下點(diǎn)Bi的位置矢量；定義li為各個(gè)支鏈在靜坐標(biāo)系中的位置矢量。

在該并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，θx、θy、θz分別為繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，因?yàn)樵摍C(jī)構(gòu)沒有在z方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)，即θz=0，則動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于靜坐標(biāo)系的姿態(tài)可以表示為

R=Ryx(θy，θx)=Ry(θy)Rx(θx)

(14)

根據(jù)該機(jī)構(gòu)的幾何特性可以得到以下的閉環(huán)方程：

p+Rbi=ai+li…(i=1，2，3，4)

(15)

解得支鏈在靜坐標(biāo)系中的位置矢量li為

li=p+Rbi-ai…(i=1，2，3，4)

(16)

設(shè)機(jī)構(gòu)位于初始位置時(shí)各個(gè)支鏈的長度為Li(i=1,2,3,4)，可以得到各個(gè)支鏈的驅(qū)動(dòng)輸入qi(i=1,2,3,4)，如下所示：

(17)

若已知該機(jī)構(gòu)末端在靜坐標(biāo)系中的廣義位姿信息，可以通過上式求出各個(gè)支鏈的驅(qū)動(dòng)輸入。上述公式為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解模型。

5 工作空間

機(jī)器人的工作空間是衡量機(jī)器人性能的重要指標(biāo)。文中所述的2-UPS-2-(RP-RR)U對(duì)稱并聯(lián)隔振機(jī)構(gòu)能實(shí)現(xiàn)在XOZ平面的二維移動(dòng)以及繞X軸與Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。

現(xiàn)給定該機(jī)構(gòu)的基本尺寸參數(shù)如表1所示。

表1 參數(shù)尺寸Tab.1 Parameter size

在運(yùn)動(dòng)模型的基礎(chǔ)上，以運(yùn)動(dòng)反解算法為原型，結(jié)合邊界搜索法在MATLAB仿真軟件中編寫工作空間算法，給定桿長范圍(450～730 mm)并通過隨機(jī)選取未知參數(shù)來獲得參考點(diǎn)p可達(dá)到的所有點(diǎn)，即2-UPS-2-(RP-RR)U并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間。仿真結(jié)果如圖13所示。

圖13 工作空間Fig.13 Workspace

由圖13可知：該新型2-UPS-2-(RP-RR)U對(duì)稱并聯(lián)隔振機(jī)構(gòu)的工作空間關(guān)于X=0對(duì)稱。結(jié)合該機(jī)構(gòu)采用關(guān)于YOZ平面完全對(duì)稱布置這一結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，該工作空間符合機(jī)構(gòu)的理論分析與實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀況。

6 結(jié)論

(1)提出了一種新型的2-UPS-2-(RP-RR)U對(duì)稱并聯(lián)隔振裝置，該機(jī)構(gòu)具有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和2個(gè)移動(dòng)自由度，具有承載能力高、動(dòng)態(tài)特性好等優(yōu)點(diǎn)。

(2)通過全雅可比矩陣對(duì)其奇異性進(jìn)行分析，采用2-(RP-RR)U混合支鏈代替2-RRU支鏈，在不改變其運(yùn)動(dòng)特性的情況下避免了奇異位形的出現(xiàn)。

(3)確定了該機(jī)構(gòu)的兩條連續(xù)轉(zhuǎn)軸，分別為過靜坐標(biāo)系原點(diǎn)且沿Y軸方向的固定轉(zhuǎn)軸與過動(dòng)平臺(tái)兩U副中心點(diǎn)的任意轉(zhuǎn)軸，驗(yàn)證了該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性。

(4)采用封閉矢量法建立了運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型，結(jié)合邊界搜索法在MATLAB中仿真出的工作空間，驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。