巢 文，錢曉濤

（1.福建理工大學(xué) 管理學(xué)院，福建福州 350118；2.福建理工大學(xué) 計算機科學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)院，福建福州 350118）

一、引言

我國幅員遼闊、地形復(fù)雜且氣候多變，是世界上自然災(zāi)害數(shù)量最多、受影響最嚴重的國家之一。民政部門有關(guān)資料表明，我國每年因自然災(zāi)害造成的直接經(jīng)濟損失為500億元～600億元，折合每天損失額高達1億多元［1］。

巨災(zāi)保險是分散巨災(zāi)風(fēng)險的重要手段。2017年，原中國保監(jiān)會在全國范圍內(nèi)加速推進《建立城鄉(xiāng)居民住宅地震巨災(zāi)保險制度實施方案》，積極開展地震巨災(zāi)保險地方試點，探索研究覆蓋地震、臺風(fēng)和洪水等主要自然災(zāi)害的巨災(zāi)保險制度。然而，由于我國整體上巨災(zāi)風(fēng)險防范意識淡薄，資本市場發(fā)展緩慢，加上受巨災(zāi)風(fēng)險分散技術(shù)的限制，巨災(zāi)保險在我國分散巨災(zāi)風(fēng)險的作用十分有限。面對巨災(zāi)，我國目前主要采用行政手段進行救助，政府為此承擔(dān)了沉重的補償責(zé)任。為了減輕政府財政負擔(dān)、確保國家財政體系穩(wěn)定運行，探尋建立一個適合我國國情的巨災(zāi)保險制度體系勢在必行。為此，本文從破產(chǎn)概率的視角分析保險公司的巨災(zāi)保險償付能力，不僅對保險公司穩(wěn)健經(jīng)營具有重要的現(xiàn)實意義，而且有利于建立和完善我國巨災(zāi)保險制度體系。

破產(chǎn)概率是評估保險公司風(fēng)險償付能力的一個重要數(shù)量指標(biāo)。GERBER［2］和FELLER［3］使用隨機過程來刻畫保險公司的盈余，并分別利用鞅方法和更新理論得到了保險公司風(fēng)險模型破產(chǎn)概率的顯式表達式。在破產(chǎn)概率最小化的目標(biāo)下，YANG和ZHANG［4］通過求解HJB 方程，獲得了保險公司的最優(yōu)投資策略。WUTHRICH 和MARIO［5］從破產(chǎn)概率的視角，評估了多個因素對非壽險公司保險償付能力的影響。當(dāng)索賠額服從輕尾分布時，閆德志［6］給出了破產(chǎn)概率的顯式表達式。

然而，當(dāng)承保險種的索賠額服從重尾分布時（如地震、臺風(fēng)和洪災(zāi)等巨災(zāi)保險），保險公司的破產(chǎn)概率沒有顯式表達式，此時只能討論其數(shù)值模擬解［7］或者漸近結(jié)果［8-12］。劉昕龍等［7］應(yīng)用Monte Carlo 模擬法測算了巨災(zāi)保險共同體的巨災(zāi)風(fēng)險轉(zhuǎn)移效率與破產(chǎn)概率。LI［10］利用控制收斂定理給出了有限時間內(nèi)風(fēng)險模型破產(chǎn)概率的尾漸近估計。尚勤和李隆鑫［12］運用Peaks over Threshold（POT）模型擬合我國地震直接經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)，通過超額均值函數(shù)法（Mean Excess Function，MEF）和Hill 圖法確定POT模型中的閾值，進而利用破產(chǎn)概率漸近結(jié)果分析了保險公司的巨災(zāi)保險償付能力。

與已有文獻相比，本文的創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在：①用非參數(shù)核密度估計方法擬合巨災(zāi)損失的截尾數(shù)據(jù)，用廣義帕累托分布擬合巨災(zāi)損失的尾部數(shù)據(jù)，從而構(gòu)建了一種擬合巨災(zāi)損失的混合分布模型。②基于混合分布模型，考慮了對巨災(zāi)造成的所有直接經(jīng)濟損失都按比例進行保險償付的情形，給出了其破產(chǎn)概率的尾漸近估計，再以此評估保險公司對巨災(zāi)風(fēng)險的償付能力，彌補了已有研究僅對超出閾值部分的損失進行償付能力分析的不足。③應(yīng)用峰度法確定混合分布模型中的閾值，避免了使用MEF圖和Hill圖法所造成的主觀判斷誤差。

二、混合分布模型的構(gòu)建

設(shè)保險公司在t時刻的盈余過程U(t)為：

其中，x≥0為公司的初始資本；c＞0表示單位時間內(nèi)保費收入率；0 ＜k＜1 為損失賠付比例；N(t)表示在[0,t]內(nèi)巨災(zāi)發(fā)生的次數(shù)，服從參數(shù)為λ＞0 的Poisson 過程；{Yi,i≥1} 表示第i次巨災(zāi)造成的經(jīng)濟損失，是一列獨立同分布的非負隨機變量，其共同分布函數(shù)為FY(·)且與{N(t),t≥0} 相互獨立。

記T=inf{t:t≥0,U(t) ＜0} 為保險公司的破產(chǎn)發(fā)生時刻，于是在初始資本為x的條件下保險公司的破產(chǎn)概率可表示為：

（一）廣義帕累托分布

廣義帕累托分布（Generalized Pareto Distribution，GPD）可用于研究樣本超出量的分布特征，現(xiàn)已被廣泛地應(yīng)用于巨災(zāi)尾部風(fēng)險的研究［13-16］。GPD 將所有超出閾值u的巨災(zāi)損失數(shù)據(jù)y1,y2,…,yNu作為觀測樣本，其中Nu表示超出閾值的樣本數(shù)。

由損失變量Y的分布函數(shù)為FY(y)，有超出量Y-u的分布函數(shù)：

因此，當(dāng)Y≥u時，有

根據(jù)PBdH（Pickands-Balkama-de Hann）定理［17］，當(dāng)閾值u足夠大時，超出量分布函數(shù)Fu(y)可以用GPD近似：

其中，ξ＞0 是形狀參數(shù)，σ＞0 是尺度參數(shù)。當(dāng)ξ＜1 時，GPD 的均值為，否則GPD 的均值不存在。

（二）混合分布模型

由于GPD 僅擬合了巨災(zāi)損失超過閾值u的尾部數(shù)據(jù)，本文為此再尋找一個新的分布來擬合低于閾值的截尾數(shù)據(jù)，即建立混合分布模型來刻畫巨災(zāi)損失。對截尾數(shù)據(jù)的主體分布擬合通常有參數(shù)方法和非參數(shù)方法。參數(shù)方法是假定總體服從某種已知的分布，即密度函數(shù)已知，再由樣本估計其中的參數(shù)，顯然該方法依賴事先對總體分布的假設(shè)，非參數(shù)方法則避免了主觀假設(shè)總體分布的問題。因此，本文選擇非參核密度估計方法來擬合巨災(zāi)損失截尾數(shù)據(jù)。

記支撐集為[0,u]的核密度估計為：

其中，n為樣本容量，h為窗寬，K為核函數(shù)。已有的許多研究成果表明，Epanechnikov 核是最佳的核函數(shù)，因此在實證分析中本文也是采用該核函數(shù)，其表達式如下：

其中，I(·)為示性函數(shù)，當(dāng) ||x≤1 時，I(||x≤1)=1，否則I(||x≤1)=0。

綜合（2）式、（3）式和（4）式，損失變量Y的混合分布函數(shù)FY(y)可表示為：

三、基于混合分布模型的破產(chǎn)概率

定理1 若損失變量Y的混合密度函數(shù)為（5）式，則風(fēng)險模型（1）的破產(chǎn)概率滿足尾漸近估計：

證明：記Z=kY。眾所周知，GPD 是次指數(shù)分布。因此，應(yīng)用EMBRECHTS P 和VERAVERBEKE N的研究成果［18］，我們有

另一方面，又有

將（8）式和（9）式代入（7）式，則定理1得證。

四、實證分析

（一）數(shù)據(jù)描述

本文以我國大陸地區(qū)1990—2018 年震級5 級以上地震的直接經(jīng)濟損失為研究樣本，主要數(shù)據(jù)來源于《中國統(tǒng)計年鑒》《中國古今地震災(zāi)情總匯》和《中國大陸地震災(zāi)害損失評述》［19-24］的相關(guān)文獻。由于原始數(shù)據(jù)中各年份的損失值均為當(dāng)年實際經(jīng)濟損失，為了保證各年份之間的數(shù)據(jù)具有可比性，需要消除通貨膨脹的影響。因此，本文以2018 年為基期，采用GDP 調(diào)整法對歷年的地震直接經(jīng)濟損失進行調(diào)整。從表1 可以看到，樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差很大，偏度為9.52，峰度達到114.93。這說明數(shù)據(jù)右偏，具有明顯的“尖峰厚尾”特征，適合用GPD等重尾分布刻畫其尾部。

表1 地震直接經(jīng)濟損失（萬元）的基本描述性統(tǒng)計

（二）閾值選取

閾值的選取很重要，如果閾值太大，會導(dǎo)致超過閾值的數(shù)據(jù)太少，使得GPD 的參數(shù)估計值過大，還可能導(dǎo)致模型在估計過程中存在不收斂現(xiàn)象。如果閾值太小，樣本的超閾值不能滿足漸進服從GPD的性質(zhì)。

現(xiàn)有文獻大都采用MEF 和Hill 圖法來選取閾值u。對給定的樣本(y1,y2,…,yn)，MEF 圖法定義了經(jīng)驗平均超越值函數(shù)：

對于某個閾值u0，超出量Y-u0的分布近似服從GPD，則en(u)呈線性變化。因此，可以通過觀察en(u)關(guān)于u的圖像何時近似為線性來選取閾值。從圖1可以看到，圖形大致在u＞240 000后是近似線性的，所以按照MEF 方法，應(yīng)選取240 000 為閾值。

圖1 平均超越值函數(shù)圖

設(shè)y(1)＜y(2)＜…＜y(n)是樣本的次序統(tǒng)計量，則尾部指數(shù)Hill統(tǒng)計量為：

Hill 圖法在平面直角坐標(biāo)系上，以(m,)為點坐標(biāo)繪制曲線。通過觀察曲線的穩(wěn)定區(qū)域，以其起點的橫坐標(biāo)選作閾值。由圖2 可見，閾值u大約取77 000 之后的Hill統(tǒng)計值在尾部區(qū)域保持平穩(wěn)，因此根據(jù)Hill圖法，應(yīng)令閾值為77 000。

圖2 Hill圖

顯然，上述兩種方法通過觀察圖像的大致變化特征來進行閾值選取，存在較強的主觀性，特別是對數(shù)量級差別較大的巨災(zāi)損失數(shù)據(jù)，這種主觀判斷往往會造成很大的偏差。為了克服上述方法的不足，PATIE［25］提出了峰度法，利用正態(tài)分布峰度系數(shù)等于3 的條件，通過正態(tài)分布與偏態(tài)分布的交點來確定閾值，具體步驟如下：

第二步，比較樣本峰度和正態(tài)分布峰度，如果Kn≥3，則將使||-yi取值最大的yi從樣本中剔除；

第三步，重復(fù)第一步和第二步，直至樣本峰度Kn＜3；

第四步，將剩余樣本中最大的 ||yi選為閾值。

根據(jù)以上步驟，運用Matlab軟件編寫峰度法程序，可得閾值u=87 468，共有83 個數(shù)據(jù)超過閾值，即Nu=83。

（三）參數(shù)估計與擬合檢驗

首先，采用最大似然估計法對GPD 中的參數(shù)ξ和σ進行估計。對（3）式求導(dǎo)后可得GPD 的概率密度函數(shù)：

其次，對核密度估計中的窗寬h進行選取，其取值的大小會影響到的光滑性。如果h取值較大時，將有相對較多的樣本點對y處的估計值產(chǎn)生影響，而且距y較遠的點和較近的點所對應(yīng)的估計值也將比較接近，此時fh(y)圖像表現(xiàn)為光滑曲線，但同時也將丟失樣本數(shù)據(jù)所包含的一些信息。反之，如果h取值較小時，將有相對較少的樣本點對y處的估計值產(chǎn)生影響，而且距y較遠的點和較近的點所對應(yīng)的估計值也將比較疏遠，此時圖像表現(xiàn)為不光滑折線，但能反映出更多樣本數(shù)據(jù)所包含的信息。因此，選取合適的窗寬是核密度估計方法的一個關(guān)鍵步驟。

借鑒已有相關(guān)文獻的做法，定義積分均方誤差（mean integrated squared error，MISE）為關(guān)于窗寬h的函數(shù)：

其中，f(x)為總體的真實分布密度，通常可用正態(tài)分布近似。當(dāng)樣本容量n較大時，有

求解的最小值點，可得最佳窗寬的估計值：

利用Matlab 統(tǒng)計工具箱中所提供的ksdensity函數(shù)可求得=0.734 5。

最后，檢驗混合分布對直接經(jīng)濟損失的擬合效果。圖3 顯示了核密度估計分布對經(jīng)驗分布的擬合效果圖和QQ 圖?？梢钥吹?，核密度估計分布與經(jīng)驗分布擬合效果較好，且QQ 圖幾乎呈45 度直線，這說明核密度估計可以較好地擬合地震直接經(jīng)濟損失的截尾數(shù)據(jù)。圖4 顯示了GPD 對經(jīng)驗分布的擬合效果圖和QQ 圖?？梢钥闯觯珿PD 與經(jīng)驗分布擬合效果良好，而QQ 圖除了右上角有一個點有所偏離外，其他點幾乎呈45 度直線。需要指出的是，該異常值是由2008 年汶川特大地震造成。綜上可知，GPD也可以較好地擬合地震直接經(jīng)濟損失的右尾數(shù)據(jù)。

圖3 經(jīng)濟損失截尾數(shù)據(jù)的經(jīng)驗分布與核密度估計分布的比較

圖4 經(jīng)濟損失右尾數(shù)據(jù)的經(jīng)驗分布與GPD的比較

（四）破產(chǎn)概率視角下的巨災(zāi)保險償付能力分析

令保險公司的初始資本x=1 000億元；為了吸引更多人投保，相對安全系數(shù)不宜設(shè)置過高，令θ=0.1；參照我國保險公司在巨災(zāi)損失賠付中的實際情況，令賠付比例k=0.02，用經(jīng)驗分布函數(shù)估計，故；將四（三）節(jié)中的參數(shù)估計結(jié)果全部代入（6）式，并用Matlab 計算核密度積分的數(shù)值解，最后得到保險公司的破產(chǎn)概率ψ(x)=15.39%。

為了進一步確定各參數(shù)對償付能力的影響程度，本文分別對償付比例、相對安全系數(shù)和閾值進行敏感度分析。

1.從圖5 可以看出，隨著償付比例k的提高，破產(chǎn)概率增大。當(dāng)償付比例固定時，破產(chǎn)概率隨初始資本的增大而下降。如果我國將償付比例提高到較高的20%，在初始資本為1 000億元的條件下，破產(chǎn)概率將迅速從15.39%增加到38.26%。為了讓保險公司的巨災(zāi)保險償付能力保持一個較高的水平，可以通過給保險公司注入更多的初始資本來實現(xiàn)。這就需要擴大投保規(guī)模，或借助資本市場發(fā)行巨災(zāi)債券等方式變相增加初始資本。

圖5 θ=0.1時的破產(chǎn)概率敏感度分析

2.從圖6 可以看出，隨著相對安全系數(shù)θ的增大，破產(chǎn)概率下降。當(dāng)相對安全系數(shù)固定時，破產(chǎn)概率仍呈現(xiàn)出隨著初始資本增大而下降的規(guī)律。此外，對比圖5和圖6可見，破產(chǎn)概率對相對安全系數(shù)的敏感度要高于償付比例。這表明保險公司通過提高相對安全系數(shù)可以更有效地增強償付能力。然而，提高相對安全系數(shù)，意味著人們要為巨災(zāi)保險支付更高的保費，而提高保費這種做法將會導(dǎo)致保險公司的保險業(yè)務(wù)不斷流失，不能從根本上降低巨災(zāi)保險的償付風(fēng)險，因此保險公司不能過分依賴增加保費的方式。

圖6 k=0.02時的破產(chǎn)概率敏感度分析

3.為分析不同閾值對破產(chǎn)概率估計值的影響，圖7 以峰度法所確定的閾值u=87 468 為基準(zhǔn)，與前文MEF和Hill圖法所確定的閾值進行比較，都用最大似然法重新估計模型中的各個參數(shù)，進而描繪了不同初始資本下破產(chǎn)概率估計值的變動比例。可以看到，閾值的變化對破產(chǎn)概率的估計結(jié)果有著顯著的影響，如果忽視閾值的選取將嚴重影響破產(chǎn)概率估計的準(zhǔn)確性。因為MEF 和Hill 圖法是通過主觀觀察圖形變化來選擇閾值的，當(dāng)樣本數(shù)量級較大時，這兩種方法難以得到擬合效果較好的閾值，這也說明了本文在巨災(zāi)數(shù)據(jù)建模研究中應(yīng)用峰度法來客觀確定閾值的必要性。

圖7 閾值變化對破產(chǎn)概率估計值的影響

五、結(jié)語

近年來，巨災(zāi)造成的經(jīng)濟損失愈發(fā)嚴重，迫切需要開展巨災(zāi)風(fēng)險補償工作。保險作為社會穩(wěn)定器，在發(fā)揮化解巨災(zāi)風(fēng)險和損失補償?shù)墓δ芊矫?，具有不可替代的作用。本文?gòu)建了巨災(zāi)損失數(shù)據(jù)的混合分布模型。在該模型中，先利用峰度法確定閾值，再用非參數(shù)核密度估計擬合低于閾值的截尾損失數(shù)據(jù)，并用GPD 擬合超過閾值的尾部損失數(shù)據(jù)。在理論模型構(gòu)建的基礎(chǔ)上，選取我國1990—2018 年震級5 級以上地震災(zāi)害損失數(shù)據(jù)進行了實證分析。結(jié)果表明：

第一，一方面，增加保險公司的初始資本可以有效降低保險公司的破產(chǎn)概率，從而增強其巨災(zāi)保險的償付能力；另一方面，提高相對安全系數(shù)雖然可以增強償付能力，但會造成保險業(yè)務(wù)流失，因此保險公司不能過度依賴提高保費的方式。為了充分發(fā)揮保險的社會穩(wěn)定器作用，將我國的巨災(zāi)保險償付比例逐漸提高到發(fā)達國家水平，需要政府加大對保險公司的支持力度，如對開展巨災(zāi)保險業(yè)務(wù)的保險企業(yè)實行稅收優(yōu)惠政策；加大宣傳，引導(dǎo)更多居民購買巨災(zāi)保險，從多方面擴大保險企業(yè)的資本規(guī)模，以增強其巨災(zāi)保險的償付能力。

第二，閾值選取對破產(chǎn)概率的估計有顯著影響，在對巨災(zāi)損失數(shù)據(jù)進行建模分析時需要特別注意閾值選取的準(zhǔn)確性。本文利用峰度法定量選取閾值，克服了用MEF圖和Hill圖定性選取閾值的缺陷，有效保證了閾值選取的準(zhǔn)確性。

第三，本文所構(gòu)建的混合分布模型對巨災(zāi)損失數(shù)據(jù)的擬合效果良好，可以為我國建立巨災(zāi)保險制度提供理論參考，有利于進一步開拓巨災(zāi)保險市場，增強我國巨災(zāi)保險市場承保巨災(zāi)風(fēng)險的能力。