王曉丹

(江蘇省梁豐高級中學,江蘇 蘇州 215600)

剛從初中升上高中的學生普遍不能立刻適應,都覺得高一數(shù)學難學,數(shù)學成績出現(xiàn)嚴重滑坡,漸漸地他們認為數(shù)學神秘莫測,從而產(chǎn)生畏懼心理,動搖了學好數(shù)學的信心,甚至失去了學習數(shù)學的興趣.如何根據(jù)學生現(xiàn)有的認知水平,幫助學生盡快適應高中數(shù)學教學特點和學習特點,跨過“高臺階”,成為了高一數(shù)學教師的首要任務[1].本文以“分段函數(shù)”為例,對高一數(shù)學復習課教學進行分析,以發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

1 分段函數(shù)的定義

(1)分段函數(shù)是一個函數(shù),而不能誤認為它是幾個函數(shù);

(2)分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)自變量范圍的并集,值域也是各段函數(shù)中y取值范圍的并集.

2 解決分段函數(shù)的兩種思想

2.1 分類討論,面面俱到

解析因為f(-1)=11,

綜上,x的取值范圍是(-1,+∞).

點評解方程、不等式或求取值范圍時,應該根據(jù)自變量的分段范圍把分段函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為不同區(qū)間上的方程、不等式(組)求解,然后再取這些方程、不等式(組)解集的并集.

2.2 數(shù)形結(jié)合,化繁為簡

分段函數(shù)雖然分段,但是當遇到常規(guī)思路進行處理難以奏效或計算冗繁的時候,通過分析分段函數(shù)的數(shù)量及圖形特征,可以嘗試從整體著眼,跳過常規(guī)解題步驟,尋求解決問題的方法,這是分段函數(shù)考查的一個重要方面[2].

3 分段函數(shù)的幾類問題

3.1 分段函數(shù)奇偶性相關(guān)問題

在思考本題時,學生很容易作出函數(shù)的圖象,但對于f(a-2)+f(a)>0的處理會出現(xiàn)困難,嘗試得到f(a-2)>-f(a),觀察所作圖象及奇函數(shù)定義可以判斷出函數(shù)f(x)為奇函數(shù),那么式子可以變形得到f(a-2)>f(-a),結(jié)合圖象得到f(x)在R上單調(diào)遞減,所以a-2<-a,解得a<1.

分析本題有兩個難點需要突破,首先要求解出a,b,c的值,可以利用分段函數(shù)的奇偶性:

當x>0時,f(x)=ax2-2x-1,則-x<0,f(-x)=(-x)2+b(-x)+c=x2-bx+c=ax2-2x-1.

利用待定系數(shù)法,我們很快能得到a=1,b=2,c=-1.

第二個難點是學生對于解的個數(shù)的理解,方程的解可以轉(zhuǎn)換為兩個函數(shù)圖象y=f(x)和y=t的交點問題,結(jié)合偶函數(shù)圖象,得到實數(shù)t的取值范圍是(-2,-1).

3.2 分段函數(shù)單調(diào)性問題

3.3 絕對值函數(shù)的單調(diào)性問題

對于函數(shù)解析式中帶有絕對值的問題,我們該怎樣來求它的單調(diào)區(qū)間和最值呢?

絕對值函數(shù)問題初看上去不是一個分段函數(shù),但根據(jù)絕對值意義分類討論后,去掉絕對值,其本質(zhì)仍然是分段函數(shù)問題.

變式7 已知函數(shù)f(x)=|x|(x-a)(a<0),求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

變式8 設函數(shù)f(x)=-x2+a|x-1|,若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,求實數(shù)a的取值范圍.

4 絕對值函數(shù)的最值問題

分析因為1

羅增儒教授曾把解題總結(jié)為“條件預示可知并啟發(fā)解題手段,結(jié)論預告須知并誘導解題方向”.我們一線教師的根本任務就是幫助學生把一個個具體知識理解到位,并能用于解決實際問題.這要求我們在日常教學中,要思考和貫徹新理念方法,從不同層面幫助學生進一步加深對分段函數(shù)的理解并靈活應用,從而在數(shù)學知識的教學中尋找發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的途徑.