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從算盤到三角形數(shù)

2023-12-11 12:05:54萬廣磊
初中生世界·七年級 2023年11期
關(guān)鍵詞:約數(shù)舉例數(shù)學(xué)家

萬廣磊

我國的珠算是世界文明的瑰寶。明清時期,能夠到店鋪站柜臺的人,都要有打算盤的童子功——算百子,也就是能用算盤快速計算1+2+3+4+…+100+…的結(jié)果。

我在童年時學(xué)打算盤,會經(jīng)常練習(xí)1+2+3+…+36。為什么只加到36呢?因為它的結(jié)果是666,我很喜歡這個數(shù)字。據(jù)說,數(shù)學(xué)家高斯8歲時就能很快計算出1+2+3+4+…+100的結(jié)果。同學(xué)們,如果你不會算盤,也沒關(guān)系,我們現(xiàn)在可以直接用等差數(shù)列的計算公式得到它的結(jié)果。

1+2+3+4+…+100=[12]×100×(100+1)=5050。5050這個數(shù)字也很特殊,因為5050其實是一個“三角形數(shù)”。

什么是“三角形數(shù)”呢?古希臘的大數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯喜歡用“小石子圖形”研究數(shù)列。他把一定數(shù)目的點或圓,進行等距離的排列,如果能得到一個等邊三角形,那么這樣的數(shù)就被稱為“三角形數(shù)”。如圖1所示,1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91……這些數(shù)量的石子都可以排成等邊三角形,所以這些數(shù)都是“三角形數(shù)”。

從“三角形數(shù)”的構(gòu)成方法中,我們可以發(fā)現(xiàn)它有以下特點:

1.第n個“三角形數(shù)”是從1開始的n個自然數(shù)的和。

舉例:第5個“三角形數(shù)”是15,15=1+2+3+4+5。

2.所有大于3的“三角形數(shù)”都不是質(zhì)數(shù)。

舉例:6=2×3,28=4×7。

3.從1開始的n個立方數(shù)的和是第n個“三角形數(shù)”的平方。

舉例:1+8+27+64=100=102=(1+2+3+4)2。

4.任何“三角形數(shù)”乘8,再加1,結(jié)果是一個平方數(shù)。

舉例:10×8+1=81=92。

5.兩個連續(xù)的“三角形數(shù)”之和是平方數(shù)。

舉例:1+3=4,3+6=9,21+28=49。

6.一部分“三角形數(shù)”(3、10、21、36、55、78……)可以用n2n+1表示;而剩下的另一部分(1、6、15、28、45、66……)則可以用n2n-1表示。

7.所有“三角形數(shù)”的倒數(shù)之和是2。

舉例:[11]+[13]+[16]+[110]+…+[1n(n+1)2]=2。

8.所有偶完美數(shù)都是“三角形數(shù)”。

完美數(shù)又稱完全數(shù)或完備數(shù),是一些特殊的自然數(shù),它所有的真因子(即除了自身以外的約數(shù))的和恰好等于它本身。第一個完全數(shù)是6,它有約數(shù)1、2、3、6,除去它本身6外,其余3個數(shù)相加,1+2+3=6。第二個完全數(shù)是28,它有約數(shù)1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其余5個數(shù)相加,1+2+4+7+14=28。第三個完全數(shù)是496,有約數(shù)1、2、4、8、16、31、62、124、248、496,除去其本身496外,其余9個數(shù)相加,1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。

9.大數(shù)學(xué)家高斯發(fā)現(xiàn):任何自然數(shù)是最多三個“三角形數(shù)”的和。

對于以上特點,同學(xué)們可以自由選幾個數(shù),動手算算看。當(dāng)我們學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)之后,我們可對“三角形數(shù)”的以上特點進行說理。后面4個特點的說理比較有難度,尤其是第9個,如果你感興趣,說不定可以自主解決哦。

(作者單位:江蘇省南京市鼓樓實驗中學(xué))

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