田翠鋒，柏圓圓，高彩云，王 萍

（山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

法拉第波是自由液體表面在垂直振蕩驅(qū)動(dòng)下，形成駐波波形圖案并以驅(qū)動(dòng)器的一半頻率振動(dòng)的非線性駐波[1]。Rayleigh[2]通過(guò)觀察驗(yàn)證了法拉第觀點(diǎn)，即水駐波振動(dòng)頻率為激勵(lì)棒頻率一半的結(jié)論。Benjamin[3]通過(guò)分析圓柱形容器中液體垂直振動(dòng)規(guī)律，推導(dǎo)得出Mathieu 方程并證實(shí)了法拉第結(jié)論。Faraday[4]研究了不同液面波形，觀察到了三角形、方形、六邊形等形態(tài)。液體表面波模態(tài)、振幅和頻率變化是探究流體從有序流動(dòng)到混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變機(jī)制，判斷穩(wěn)定性與非穩(wěn)定性現(xiàn)象閾值等的表征手段，因此探究法拉第表面駐波模態(tài)具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義。科學(xué)工作者研究了表面波模態(tài)與激發(fā)頻率、容器形狀或邊界條件、液體深度以及液體粘度之間關(guān)系[5-11]。在低頻驅(qū)動(dòng)下，Jiang[12]在矩形容器中（水深3 cm）發(fā)現(xiàn)了凹窩波峰。近期，法拉第不穩(wěn)定性問(wèn)題依然是流體力學(xué)研究熱點(diǎn)之一，Jin[13]應(yīng)用六自由度晃動(dòng)矩形容器（水深12 cm）研究高階法拉第模態(tài)，通過(guò)快速傅里葉變換方法識(shí)別頻率反應(yīng)，發(fā)現(xiàn)多模態(tài)法拉第波是在多頻率激勵(lì)下觸發(fā)的。Wilson和Shao[14-15]在圓柱形容器中研究了粘性液體（液體厚度0.7 cm）法拉第波模態(tài)，高于法拉第波閾值的驅(qū)動(dòng)振幅會(huì)產(chǎn)生次諧波，而低于閾值的驅(qū)動(dòng)振幅會(huì)導(dǎo)致諧波邊緣波，并給出了多組表面波模態(tài)結(jié)果。長(zhǎng)方形水槽和圓柱形是常用充液容器，兩者液體表面波模態(tài)和振幅有差別，圓柱形容器模態(tài)表現(xiàn)更多樣[8,16]。

綜上所述，目前的研究中液體表面駐波的驅(qū)動(dòng)頻率大多在幾十赫茲，討論驅(qū)動(dòng)源振幅對(duì)駐波的影響偏少，因此實(shí)驗(yàn)利用高功率數(shù)控超聲波清洗器作為振蕩源頭，觀察低濃度鹽水的表面波模態(tài)，通過(guò)改變驅(qū)動(dòng)振幅、液體濃度及容器形狀探究法拉第波的模態(tài)及振幅變化規(guī)律，深入了解流體力學(xué)駐波物理特性。

1 法拉第波模態(tài)理論解釋

借助理想流體法拉第波流體力學(xué)方程，獲得波函數(shù)滿足的振動(dòng)方程，分析矩形和圓形兩種形狀容器下波函數(shù)解。通過(guò)本征函數(shù)法得到Mathieu 方程，進(jìn)一步獲得穩(wěn)態(tài)下色散關(guān)系，理解頻率與波數(shù)、深度、密度和力之間的關(guān)系，最后由MATLAB模擬給出不同剛性容器下表面波模態(tài)結(jié)果。

1.1 法拉第表面波對(duì)應(yīng)的流體方程

一般情況下，描述理想流體法拉第波的流體力學(xué)方程[3]為：

其中：g為重力加速度；Fcos(ωt)為振動(dòng)臺(tái)垂直振動(dòng)的加速度；ρ為液體密度；γ為表面張力系數(shù)；ξ為豎直方向上位移；φ為流勢(shì)。根據(jù)邊界條件可知，ξ、φ可以根據(jù)本征函數(shù)Sm(x,y)的完全正交集展開(kāi)：

解方程，獲得本征值和本征函數(shù)：

其中：l和m包含0 和正整數(shù)，分別表示沿x軸和y軸兩個(gè)方向的波數(shù)。MATLAB 模擬波形圖如圖1，z為波函數(shù)Slm。

唐湘如教授在現(xiàn)場(chǎng)介紹了全國(guó)以及廣東省農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的化肥使用情況，強(qiáng)調(diào)平衡施肥、科學(xué)種植的重要意義，呼吁在科學(xué)指導(dǎo)下合理施用化肥。唐教授帶領(lǐng)大家逐一參觀各試驗(yàn)處理表現(xiàn)情況，實(shí)地向參會(huì)者講解農(nóng)戶常規(guī)施肥及不同梯度鉀肥施用量對(duì)水稻生長(zhǎng)發(fā)育、產(chǎn)量等的具體差別，介紹鉀肥對(duì)水稻生產(chǎn)指標(biāo)的重要影響。

對(duì)于邊界曲線是半徑為R的圓時(shí)，使用圓柱形極坐標(biāo)(r,θ)是很方便的，此時(shí)Slm滿足

其解為：

其中：klmR是的第m個(gè)零點(diǎn)；m為沿圓周分布的整波數(shù)；l為方位角模式，沿半徑分布的最大值個(gè)數(shù)。

MATLAB 模擬圓柱形壁波函數(shù)分布如圖2，z為波函數(shù)Slm，圖2（a）～（d）為4 個(gè)典型模態(tài)（m，l）理論示意圖，其中，(a)圖為(2,0)模態(tài)、(b)圖為(1,2)模態(tài)、(c)圖為(2,2)模態(tài)、(d)圖為(3,3)模態(tài)，灰色區(qū)域?yàn)楸砻娌ǜ哂陟o止水平面，等高線區(qū)域?yàn)楸砻娌ǖ陀陟o止水平面。

圖2 圓形壁波函數(shù)分布

以上模擬是穩(wěn)態(tài)結(jié)果，當(dāng)有激勵(lì)源時(shí)，波函數(shù)會(huì)隨時(shí)間發(fā)生變化。另外，從以上結(jié)果可以看出，圓柱形剛性壁表面波模態(tài)比矩形容器內(nèi)模態(tài)形狀多，這一結(jié)論與文獻(xiàn)[8]、[16]一致。

1.2 色散關(guān)系與模態(tài)之間的關(guān)系

接下來(lái)推導(dǎo)色散關(guān)系，利用公式（1），將ξ、φ逐項(xiàng)展開(kāi)：

這里a0(t)=0，h為液體深度，km為本征值。將（5）式代入（1）式得到：

由于函數(shù)Sm(x,y)是線性無(wú)關(guān)的，所以系數(shù)am(t)滿足Mathieu方程[3]：

法拉第波出現(xiàn)穩(wěn)定模態(tài)的色散關(guān)系不含時(shí)間項(xiàng)，由公式（6）可知對(duì)應(yīng)的色散關(guān)系為

當(dāng)頻率和外激勵(lì)滿足一定條件時(shí)，本征模態(tài)會(huì)被激發(fā)，由此可以導(dǎo)出相應(yīng)的花紋。表面張力和重力對(duì)頻率都有影響。由于km=從公式（7）也可以看出，波長(zhǎng)與頻率不再是線性關(guān)系。

2 鹽水中法拉第表面波實(shí)驗(yàn)

為了給出高頻率激勵(lì)鹽水表面波模態(tài)，實(shí)驗(yàn)選用KQ-600KDE 型高功率數(shù)控超聲波清洗器作為驅(qū)動(dòng)源，頻率為40 kHz，輸入功率可以調(diào)節(jié)到某個(gè)固定值，分別為240、300、360、420、480、540、600 W。超聲振幅與輸入功率關(guān)系為

其中：A為超聲振幅；P為輸入功率；f為超聲頻率；s為振動(dòng)面積；α為傳輸系數(shù)。通過(guò)計(jì)算可知，不同超聲輸入功率對(duì)應(yīng)的超聲振幅分別為106、133、160、186、212、239、265 μm。應(yīng)用不同驅(qū)動(dòng)功率對(duì)低濃度鹽水的法拉第波表面波模態(tài)進(jìn)行了定性觀測(cè)，探究了容器形狀、驅(qū)動(dòng)振幅和溶液濃度對(duì)法拉第波的影響規(guī)律。

2.1 鹽水中振動(dòng)表面波模態(tài)觀察

2.1.1 同一濃度鹽水不同形狀容器下表面波模態(tài)

對(duì)照理論解釋部分，實(shí)驗(yàn)容器形狀選擇矩形和圓形截面。為了避免額外的能量耗散和振動(dòng)遲滯，必須選用剛性容器。矩形剛性容器為超聲儀自帶容液器，其內(nèi)槽尺寸長(zhǎng)、寬、高分別為30、24、15 cm。圓形容器選用500 mL的燒杯（直徑為90 mm）作為充液器，并且燒杯與驅(qū)動(dòng)源之間采用剛性連接。液體選濃度為1%的鹽水，驅(qū)動(dòng)源輸入功率600 W，通過(guò)高速攝像機(jī)獲得法拉第表面波模態(tài)圖案，如圖3。

圖3 法拉第表面波模態(tài)圖案

為了更清晰地看到波形，用白色虛線沿著表面波紋描出。從圖3（a）可以看出，方形容器的表面駐波模態(tài)為條紋狀，與圖1 波形相似，在出水口出有變形，主要原因是水深落差和邊界的影響，另外鹽水并非理想流體。圖3（b）圓形容器的表面駐波模態(tài)為圓環(huán)狀，與圖2（a）模態(tài)相似。從波形圖來(lái)看，圖3 與公式（3）和公式（4）所展示的解一致，說(shuō)明模態(tài)結(jié)構(gòu)主要受容器形狀影響。為了避免容器內(nèi)部的高低落差影響，后面的研究選用圓形容器。

2.1.2 同一濃度鹽水不同驅(qū)動(dòng)振幅下表面波模態(tài)

為了探究激勵(lì)源振幅變化對(duì)鹽水表面波模態(tài)的影響，實(shí)驗(yàn)固定頻率，固定鹽水濃度，只變化驅(qū)動(dòng)振幅。當(dāng)驅(qū)動(dòng)振幅從240 W 升至600 W，駐波圖案形狀無(wú)明顯變化，但隨著振幅增大，形貌更清晰明顯。選取驅(qū)動(dòng)功率360 W，鹽水濃度為1%質(zhì)量百分比條件下的駐波圖作為展示，圖4 為所錄視頻中的一幀，其規(guī)律用白色虛線描畫(huà)，虛線代表最高峰位置。從圖4 可以看出，整體呈圓環(huán)狀，并且觀測(cè)到（m，l）=（5，1）振動(dòng)模態(tài)。

圖4 功率360W濃度1%時(shí)表面駐波模態(tài)圖

2.2 鹽水中振動(dòng)表面波波幅觀察

從垂直角度觀察，不同驅(qū)動(dòng)振幅對(duì)駐波形狀沒(méi)有影響。從水平角度觀察，法拉第波波峰受哪些因素影響，主要從驅(qū)動(dòng)振幅和鹽水濃度兩個(gè)方面探究波幅變化規(guī)律。

2.2.1 驅(qū)動(dòng)振幅對(duì)法拉第波波幅影響

增大振幅會(huì)使所形成的表面駐波圖案更加明顯，也可通過(guò)研究法拉第波振幅變化來(lái)證實(shí)這一結(jié)論。調(diào)整高速攝相機(jī)的位置、焦距和光強(qiáng)到合適值，使其正好能從側(cè)面看清液面。測(cè)量不同功率下法拉第波波峰峰值，振幅高度以水平溶液為基準(zhǔn)，如圖5，以驅(qū)動(dòng)振幅600 W 鹽水濃度1%為例，紅色虛線之間為所測(cè)波峰峰值，其余振幅和濃度測(cè)法類(lèi)似，所測(cè)數(shù)據(jù)列于表1。

表1 不同功率下表面波振幅變化

圖5 功率600W 1%鹽水濃度表面波振幅示意圖

從表1可以看出，增大驅(qū)動(dòng)振幅會(huì)使駐波波峰增大，即法拉第波振幅增大，功率由240 W 增到600 W時(shí)，表面波波幅幾乎增大4 倍。另外，波峰幅度數(shù)量級(jí)與文獻(xiàn)[8-9]低頻驅(qū)動(dòng)下的波高一致，說(shuō)明高頻驅(qū)動(dòng)下，并未引起大幅度變化。

2.2.2 鹽水濃度對(duì)法拉第波波幅影響

提高激勵(lì)功率會(huì)增大表面波波幅，接下來(lái)研究鹽水濃度對(duì)法拉第波波幅的影響規(guī)律。圖6 是驅(qū)動(dòng)功率480 W，不同鹽水濃度下表面波波幅變化結(jié)果。從圖6 可以看出，隨著濃度增大，表面波波幅最大值有下降趨勢(shì)，這可能是由于增大鹽水濃度會(huì)使溶液變得更加黏稠，從而使鹽水與燒杯壁之間的黏滯力增大，導(dǎo)致波峰下降。

圖6 功率480W不同鹽水濃度表面波振幅變化圖

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)MATLAB 模擬和實(shí)驗(yàn)分析，對(duì)鹽水表面波在小振幅（100 μm＜A＜300 μm）高頻率超聲儀激勵(lì)下模態(tài)進(jìn)行了研究。通過(guò)改變?nèi)萜餍螤睢Ⅱ?qū)動(dòng)振幅和鹽水濃度，研究低濃度鹽水的法拉第波模態(tài)變化規(guī)律。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析，矩形容器法拉第波呈現(xiàn)條形狀，圓形容器波模態(tài)為圓環(huán)狀，與模擬結(jié)果一致。激勵(lì)振幅變化對(duì)駐波形狀影響較弱，增大驅(qū)動(dòng)振幅，對(duì)應(yīng)的法拉第波振幅增大，而增加鹽水濃度，對(duì)應(yīng)的法拉第波振幅減小。另外，高頻驅(qū)動(dòng)并未引起駐波波幅發(fā)生量級(jí)變化。研究結(jié)果對(duì)于流體力學(xué)領(lǐng)域波動(dòng)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和理解有一定的參考意義。