臧春華 高偉

作者簡(jiǎn)介：臧春華（1963-），教授，從事系統(tǒng)建模與優(yōu)化控制的研究。

通訊作者：高偉（1998-），碩士研究生，從事系統(tǒng)辨識(shí)的研究，243679720@qq.com。

引用本文：臧春華，高偉.基于改進(jìn)CVA算法的系統(tǒng)辨識(shí)方法的研究[J].化工自動(dòng)化及儀表，2023，50（6）：000-000.

DOI：10.20030/j.cnki.1000-3932.202306000

摘? 要? 為了進(jìn)一步提高規(guī)范變量分析（CVA）辨識(shí)方法的準(zhǔn)確性，降低在干擾因素下辨識(shí)精度的損失，提出改進(jìn)CVA辨識(shí)方法?？刂撇呗陨媳容^兩種經(jīng)典的估計(jì)CVA型矩陣A和C方法，并分析這兩種方法所獲得的估計(jì)結(jié)果之間的差異。在此基礎(chǔ)上，為消除誤差，提出統(tǒng)一的估計(jì)系統(tǒng)矩陣A和C的方法，通過(guò)修正表達(dá)式的形式，將兩種經(jīng)典方法聯(lián)系起來(lái)。仿真結(jié)果表明：辨識(shí)結(jié)果在保證精度的同時(shí)，得到的傳遞函數(shù)可以很好地?cái)M合跟蹤工業(yè)數(shù)據(jù)，而且辨識(shí)方法具有較好的魯棒性。

關(guān)鍵詞? 改進(jìn)CVA算法? 系統(tǒng)辨識(shí)? 狀態(tài)空間模型? 子空間辨識(shí)方法? 擬合跟蹤? 工業(yè)數(shù)據(jù)? 一階誤差

中圖分類(lèi)號(hào)? TP18? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼? A? ? ? 文章編號(hào)? 1000-3932（2023）06-0000-00

子空間狀態(tài)空間基于加權(quán)矩陣的奇異值分解，在對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)單參數(shù)化的基礎(chǔ)上，能直接利用輸入輸出數(shù)據(jù)估計(jì)狀態(tài)序列，不受przori參數(shù)化和非線性?xún)?yōu)化引起的問(wèn)題的影響，能廣泛應(yīng)用于大規(guī)模、多工業(yè)過(guò)程領(lǐng)域，擁有易辨識(shí)、普遍適應(yīng)工況的特點(diǎn)[1～5]。隨著現(xiàn)代控制技術(shù)的突飛猛進(jìn)，控制對(duì)象的復(fù)雜性持續(xù)提高，多變量工業(yè)過(guò)程愈發(fā)常見(jiàn)，子空間辨識(shí)方法就被逐漸運(yùn)用到越來(lái)越多的領(lǐng)域中[6～8]。規(guī)范變量分析（Canonical Variate Analysis，CVA）辨識(shí)方法是一類(lèi)典型的子空間辨識(shí)方法，在子空間辨識(shí)方法的所有種類(lèi)中，CVA辨識(shí)方法是在最佳統(tǒng)計(jì)推理原則的基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)的，所以該方法具有高精度、易辨識(shí)的特點(diǎn)，一直是控制領(lǐng)域一種重要的辨識(shí)方法。實(shí)際生產(chǎn)中，CVA與N4SID（Numerical Algorithms for Subspace State Space System Identification）[9]和PO-MOESP[10]都作為子空間辨識(shí)方法的分支而被高度應(yīng)用，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者也都提出了關(guān)于采用此類(lèi)方法進(jìn)行辨識(shí)的研究[11，12]。CVA構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)時(shí)能夠在預(yù)測(cè)未來(lái)數(shù)據(jù)空間的基礎(chǔ)上，自高維系統(tǒng)數(shù)據(jù)中分離出低維狀態(tài)變量，從而估計(jì)最優(yōu)模型階次，全過(guò)程基于Akaike信息判據(jù)的基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)[13]。在子空間辨識(shí)方法的所有種類(lèi)中，由于CVA辨識(shí)方法是在最佳統(tǒng)計(jì)推理原則[14]的基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)的，故相比之下它能始終提供更好的估計(jì)參數(shù)，成功率要優(yōu)于其他子空間辨識(shí)方法。相較于傳統(tǒng)的使用回歸識(shí)別模型的方法，在實(shí)際工況中當(dāng)延時(shí)環(huán)節(jié)已知或者能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)時(shí)，子空間辨識(shí)方法的準(zhǔn)確性更好。

在實(shí)際工況中，噪聲的影響是不能忽視的，噪聲是伴隨工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程而存在的。CVA方法能夠有效辨識(shí)過(guò)程數(shù)據(jù)整體的特征，同時(shí)有利于削弱過(guò)程數(shù)據(jù)中噪聲的影響。文獻(xiàn)[15]提出一種基于正交分解的新型遞推子空間辨識(shí)方法，在處理數(shù)據(jù)變量時(shí)合理利用了投影理論，并且結(jié)合遺忘因子的引入，在優(yōu)化傳統(tǒng)方法的計(jì)算問(wèn)題的同時(shí)解決了閉環(huán)狀態(tài)下的噪聲影響，能一致估計(jì)系統(tǒng)矩陣的特征值。文獻(xiàn)[16]提出一種閉環(huán)二維可分性系統(tǒng)子空間辨識(shí)方法SIMPCA-AR，通過(guò)代數(shù)矩陣重排方法預(yù)測(cè)馬爾可夫參數(shù)，該方法能在噪聲影響下和缺乏控制器先驗(yàn)信息的情況下，直接預(yù)測(cè)狀態(tài)空間模型，還能同時(shí)利用輔助變量修正偏差問(wèn)題。文獻(xiàn)[17]針對(duì)在不同工況時(shí)域下子空間辨識(shí)過(guò)程復(fù)雜的問(wèn)題，提出時(shí)域非線性子空間重構(gòu)方法，基于測(cè)量到的非線性位置響應(yīng)數(shù)據(jù)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，最后通過(guò)載荷識(shí)別提升了辨識(shí)速度。上述辨識(shí)方法能夠有效提升子空間辨識(shí)速度，減弱實(shí)際工況噪聲的影響。然而，辨識(shí)準(zhǔn)確度仍然不夠優(yōu)秀。文獻(xiàn)[18]提出基于機(jī)器學(xué)習(xí)的隨機(jī)子空間辨識(shí)的方法，借助外嵌的數(shù)字特征模態(tài)辨識(shí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的深層結(jié)構(gòu)，并獨(dú)立地通過(guò)在線過(guò)程獲取模態(tài)參數(shù)，在求解矩陣的奇異值的過(guò)程中能避免人工干預(yù)，提高了辨識(shí)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[19]提出基于高光譜圖像子空間辨識(shí)的FPGA實(shí)現(xiàn)方法，以計(jì)算噪聲估計(jì)矩陣，通過(guò)數(shù)值穩(wěn)定的正交變換，避免了求解最小二乘方法的數(shù)值困難，同樣能夠保證辨識(shí)過(guò)程穩(wěn)定運(yùn)行。值得注意的是，上述方法基本能夠保證辨識(shí)過(guò)程的快速性或者穩(wěn)定性，然而，由于階次過(guò)高，有時(shí)會(huì)使辨識(shí)結(jié)果仍然在精準(zhǔn)度上有欠缺。筆者就此問(wèn)題對(duì)比CVA方法中估計(jì)矩陣A和C的傳統(tǒng)方法，并分析傳統(tǒng)方法所獲得的兩種估計(jì)值之間的差異。為減小這種差異，在整合并簡(jiǎn)化傳統(tǒng)方法中的表達(dá)式后，得到了近似于一階的誤差表達(dá)式，構(gòu)建出統(tǒng)一的改進(jìn)CVA算法。

1? CVA型矩陣A、C的經(jīng)典估計(jì)方法

直接利用輸入輸出數(shù)據(jù)估計(jì)得到系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的方法被稱(chēng)為子空間辨識(shí)方法，對(duì)于多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output）系統(tǒng)，子空間辨識(shí)方法的簡(jiǎn)單參數(shù)化是它能夠作為輸入輸出方法的有效替代方法的主要原因。在描述子空間辨識(shí)方法前，首先利用投影定理[20]，使用矩陣進(jìn)行以下定義。

將一個(gè)矩陣的行空間投射到矩陣B的行空間上的算符為：

（1）

其中，

A的行空間在B的行空間上的投影為：

（2）

將A的行空間投影到B的行空間的正交補(bǔ)上的算符是：

（3）

定義（為Hilbert 空間），A的行空間沿B的行空間在C的行空間上的斜投影定義為：

（4）

將矩陣A和矩陣B之間的協(xié)方差定義為：

其中，為期望值運(yùn)算符。

由于測(cè)量值有限，將協(xié)方差近似為：

其中，是測(cè)量的數(shù)量。

子空間辨識(shí)方法能夠從測(cè)量的輸入/輸出數(shù)據(jù)序列（和）中估計(jì)出下述系統(tǒng)[21]：

（5）

其中，假定輸入數(shù)據(jù)序列是一個(gè)持續(xù)激勵(lì)的準(zhǔn)平穩(wěn)確定性序列；；序列是一個(gè)具有的白噪聲隨機(jī)過(guò)程。

考慮以下輸入輸出數(shù)據(jù)：

其中，為采樣次數(shù)。

要想從收集到的數(shù)據(jù)中確定系統(tǒng)矩陣（A、B、C、D），就要定義：

輸入數(shù)據(jù)可以被寫(xiě)在以下block Hankel矩陣[21，22]中：

（6）

其中，前兩個(gè)block Hankel矩陣的下標(biāo)表示歷史數(shù)據(jù)，后兩個(gè)block Hankel矩陣的下標(biāo)表示未來(lái)數(shù)據(jù)。

同樣，輸出數(shù)據(jù)可以按照上述方法構(gòu)建成block Hankel矩陣，在中表示為，。

同時(shí)，定義輸入和輸出矩陣、。定義正交投影矩陣、，其中，表示矩陣P的行空間到M的行空間的正交投影，矩陣M的上標(biāo)的加號(hào)符號(hào)表示Moore-Penrose偽逆[23]。

當(dāng)輸入輸出數(shù)據(jù)被組織成具有這個(gè)特殊的block Hankel結(jié)構(gòu)的矩陣時(shí)，式（5）可以寫(xiě)為：

（7）

（8）

注意，是擴(kuò)展的可觀矩陣。

同時(shí)，有：

（9）

其中，和為矩陣在運(yùn)算的過(guò)程中產(chǎn)生的常數(shù)。

矩陣和是由一個(gè)卡爾曼濾波器組生成的狀態(tài)序列。

并行處理歷史輸入和輸出的block Hankel矩陣的每列：

（10）

（11）

是一個(gè)block Toeplitz[22，23]矩陣，如下所示：

（12）

在這個(gè)過(guò)程中，輸入持續(xù)地被激勵(lì)為f+p階，而且它與過(guò)程噪聲工作和測(cè)量噪聲不相關(guān)，測(cè)量次數(shù)也是無(wú)窮大的。過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲不會(huì)同時(shí)為0，加權(quán)矩陣W1和W2使得W1不是奇異的。定義作為斜投影：

（13）

的奇異值分解：

（14）

其中，矩陣等價(jià)于；系統(tǒng)的階數(shù)n等于方程（14）中奇異值的個(gè)數(shù)；擴(kuò)展的可觀矩陣[1，22]等價(jià)于；狀態(tài)序列為。

辨識(shí)時(shí)，在確定完模型的階數(shù)后，通過(guò)加權(quán)投影的奇異值分解估計(jì)可觀矩陣。其中，，再聯(lián)系到，可知與二者可以表示零空間的正交投影。假定是可觀的，那么由以及投影定理可知，并且能夠得到以下關(guān)系：

（15）

其中，是奇異值為的對(duì)角矩陣；是正交矩陣。

系統(tǒng)的階數(shù)n由S的非零奇異值的個(gè)數(shù)決定。然而，在許多實(shí)際工況下，噪聲是無(wú)法避免的，而噪聲又會(huì)影響測(cè)量值，進(jìn)而無(wú)法直接區(qū)分非零奇異值和零奇異值。此時(shí)，比較這些值或假設(shè)不同的順序以及比較模擬誤差都是必要的。和的列空間是相同的，所以，從中刪除最后1行后，可計(jì)算出=。然后可以得到系統(tǒng)矩陣，以求解以下最小二乘問(wèn)題：

（16）

其中，表示矩陣的Frobenius范數(shù)[24]。

值得注意的是，卡爾曼濾波器狀態(tài)序列可以在不知道系統(tǒng)矩陣的情況下，能直接從擴(kuò)展可觀矩陣的估計(jì)和輸入輸出數(shù)據(jù)確定，如式（1）～（4）。

綜上，提出了經(jīng)典的估計(jì)A、C矩陣的方法。

2.1? 移位不變性法

在移位不變性法中?？梢酝ㄟ^(guò)求解得到。其中，結(jié)合到的移位不變性，有，，因此，可得：

（17）

2.2? 最小二乘法

最小二乘法采用卡爾曼濾波狀態(tài)序列和求解最小二乘問(wèn)題。投影定理指出，和與正交投影和有關(guān)，由投影定理公式可以將卡爾曼濾波器狀態(tài)序列表示為

，將（9）重寫(xiě)為最小二乘問(wèn)題（18），并得到矩陣C、A和的估計(jì)值：

+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（18）

3? 改進(jìn)的CVA型矩陣A、C的統(tǒng)一估計(jì)方法

如果給定奇異值分解（式（15）），那么可得：

（19）

（20）

（21）

如果不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣，那么：

（22）

再考慮方程：

（23）

方程（9）的解和式（23）的解是相同的?？紤]到矩陣（）和（）的行空間是正交的，那么給定，可得：

）? ? ? ? ? （24）

給定，可知的行空間和））正交。在此基礎(chǔ)上，給定噪聲矩陣則Moore-Penrose偽逆可以近似為一階：

（25）

接下來(lái)，通過(guò)保持二階項(xiàng)，有：

（26）

對(duì)于CVA算法來(lái)說(shuō)，如果對(duì)給定式（15）中描述的SVD進(jìn)行分解，由最小二乘問(wèn)題給出的解和由移位不變性方法得到的解會(huì)略有不同，情況如下：

（27）

（28）

（29）

（30）

證明

首先，方程（9）的解可以寫(xiě)成：

（24）

然后，如果是標(biāo)準(zhǔn)正交的，那么，根據(jù)式（20）～（22），有，同時(shí)，由的行空間和（））正交可知：

（25）

（26）

（27）

（28）

在CVA算法中，有以及。再聯(lián)系式（25）、（26），可得：

（29）

因此有：

（30）

（31）

式（31）能夠在兩種經(jīng)典方法存在估計(jì)差值的基礎(chǔ)上，更準(zhǔn)確地估計(jì)出A、C的近似值，即式（31）為統(tǒng)一兩種經(jīng)典方法提供了公式基礎(chǔ)。事實(shí)上，改進(jìn)后的CVA方法就是要取代計(jì)算的偽逆，轉(zhuǎn)變?yōu)橛?jì)算，這個(gè)矩陣的行比要少。因此，新的算法在數(shù)值上比前一代更高效。

4? 仿真實(shí)例

為了驗(yàn)證筆者所述方法的性能，本研究展示的仿真案例有著動(dòng)態(tài)過(guò)程，并且質(zhì)量相關(guān)，系統(tǒng)階數(shù)為4。輸出的開(kāi)關(guān)概率為0.2，范圍為[-1，1]，白噪聲以單位矩陣為協(xié)方差。在實(shí)驗(yàn)中，收集了700個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，500個(gè)用于辨識(shí)步驟、200個(gè)用于驗(yàn)證。在辨識(shí)出模型之后，使用相同的輸入序列計(jì)算所辨識(shí)系統(tǒng)的輸出，并與原系統(tǒng)以及以經(jīng)典CVA方法辨識(shí)出的結(jié)果進(jìn)行比較。歷史和未來(lái)的上限是f= 20，p=20。

使用經(jīng)典位移不變性方法得到的估計(jì)值如下：

使用經(jīng)典最小二乘方法得到的估計(jì)值如下：

使用改進(jìn)統(tǒng)一估計(jì)方法得到的估計(jì)值如下：

同時(shí)，能夠得到：

6.3563

6.3531

6.3553

其中，trace為矩陣的跡，表明改進(jìn)的方法更好地縮小了傳統(tǒng)的兩種方法預(yù)估C、A矩陣的差異。

值得注意的是，改進(jìn)方法在預(yù)估矩陣A時(shí)，雖然已經(jīng)比傳統(tǒng)方法效果更好，但橫向?qū)Ρ劝l(fā)現(xiàn)，它仍然比自己預(yù)估矩陣C時(shí)產(chǎn)生的誤差略大，這是因?yàn)樵谑剑?5）、（26）中，某些二階項(xiàng)被忽略了。辨識(shí)系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)如圖1、2所示。

為了測(cè)試模型的質(zhì)量，現(xiàn)進(jìn)行驗(yàn)證。驗(yàn)證過(guò)程分別在原始系統(tǒng)中、用經(jīng)典CVA方法辨識(shí)得到的系統(tǒng)中以及用改進(jìn)后的CVA方法辨識(shí)得到的系統(tǒng)中輸入相同的序列，觀察并比較其各自的輸出情況。驗(yàn)證輸入序列如圖3所示，輸出序列如圖4所示。

辨識(shí)性能通過(guò)使用解釋方差（EV）評(píng)估：

（27）

其中，代表輸出的平均值；代表第i個(gè)輸出的平均值；k代表第k個(gè)采樣時(shí)間；是估計(jì)殘差。

當(dāng)一個(gè)模型返回一個(gè)輸出的時(shí)，解釋方差被近似為零。通常，若某方法的解釋方差越接近1，則代表該方法擬合系統(tǒng)的效果越好?？紤]4種不同級(jí)別的白噪聲。計(jì)算了一些解釋方差并取平均值，辨識(shí)和驗(yàn)證數(shù)據(jù)集的平均解釋方差EV的結(jié)果見(jiàn)表1。

可以看出，改進(jìn)后的CVA算法在辨識(shí)階段具有較好的性能，而且抗噪聲能力更強(qiáng)。同時(shí)，從圖4上也能看出，新方法能夠更好地?cái)M合原系統(tǒng)的曲線，展現(xiàn)出了很好的性能和更高的準(zhǔn)確性。

在此基礎(chǔ)上，更換一組輸入序列，只使用改進(jìn)的CVA算法進(jìn)行辨識(shí)，以便更加直觀地觀察它的性能，原始信號(hào)和所辨識(shí)系統(tǒng)的輸出如圖5、6所示。

可見(jiàn)，改進(jìn)后的CVA方法能夠很好地?cái)M合系統(tǒng)，反映系統(tǒng)的性能。

5? 結(jié)束語(yǔ)

筆者提出一種統(tǒng)一的估計(jì)系統(tǒng)矩陣A和C的算法，將傳統(tǒng)的兩種估計(jì)A、C矩陣的方法最小二乘法與移位不變性法相聯(lián)系，得到了近似于一階的誤差表達(dá)式，減小了傳統(tǒng)的兩種估計(jì)A、C矩陣方法所估算結(jié)果的誤差。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。通過(guò)圖像以及平均解釋方差可以看出，改進(jìn)后的CVA方法能夠更好地展現(xiàn)原系統(tǒng)的性能，并且在抗噪聲污染方面表現(xiàn)出了更好的性能，多次驗(yàn)證過(guò)程也驗(yàn)證了這個(gè)結(jié)論。證實(shí)筆者提出的方法，在保證精度的同時(shí)，得到的傳遞函數(shù)可以很好地?cái)M合跟蹤工業(yè)數(shù)據(jù)，辨識(shí)方法有著較好的魯棒性。

參? 考? 文? 獻(xiàn)

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（收稿日期：2023-01-11，修回日期：2023-04-04）