縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)試題，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)列求和問題出現(xiàn)的頻率較高.求解此類問題，要熟練掌握并靈活運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也需要熟悉一些常用的求和方法.下面主要介紹求解數(shù)列求和問題的三個(gè)小措施.

一、分組求和

運(yùn)用分組求和法解題，需將數(shù)列的前n項(xiàng)按照某種規(guī)律分成幾個(gè)不同的組，求得每一組的和，并將所得的結(jié)果相加.在分組的時(shí)候，要先研究數(shù)列的通項(xiàng)公式，對其合理的變形、拆分.

例1.已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1，{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.

解：因?yàn)閧bn}為等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，

所以bn=3n-1，

所以cn=an+bn=3n-1+2n-1，

設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn=c1+c2+…+cn

=30+2×1-1+31+2×2-1+…+3n-1+2×n-1

=（30+31+…+3n-1）+（2×1+2×2+…+2n）-n

=+2×-n=+n2-.

所以數(shù)列{cn+n2-.

由于數(shù)列的通項(xiàng)公式cn=an+bn=3n-1+2n-1是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1與數(shù)列的通項(xiàng)公式bn=3n-1的和，所以可將數(shù)列的各項(xiàng)分為兩組，一組為等差數(shù)列{an}，一組為等比數(shù)列{bn}.分別根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和.

二、錯(cuò)位相減

若一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)由一個(gè)等差數(shù)列以及一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成，就可以用錯(cuò)位相減法來求和.運(yùn)用此種方法求和，要注意將指數(shù)相等的項(xiàng)對齊作差，以便運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來化簡和式.

例2.已知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

解：由題意可知

Tn=1×+2×2+…+n×n①，

Tn=1×2+2×3+…+n×n+1②，

將①-②可得Tn=+2+3+…-n×

n+1=1-1+n，

化簡得Tn=2-.

列出數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn后，在其左右同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比，即可得到與①式結(jié)構(gòu)相近的②式，將其錯(cuò)開一位，使指數(shù)相同的項(xiàng)對齊、相減，即可運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得Tn.

三、裂項(xiàng)相消

若數(shù)列的通項(xiàng)公式可裂為兩項(xiàng)之差的形式，就可以使用裂項(xiàng)相消法求和.將裂項(xiàng)后的各項(xiàng)重新組合，使某些項(xiàng)能夠相互抵消，即可快速求得數(shù)列的前n項(xiàng)和.運(yùn)用此類方法解題，需要特別關(guān)注數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對其進(jìn)行合理的裂項(xiàng).

例3.已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1=2，且a2、a4、a8成等比數(shù)列，若bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，d≠0，

因?yàn)閍1=2，且a2、a4、a8成等比數(shù)列，

所以（2+3d）2=（2+d）（2+7d），

解得d=2或d=0（舍去），

所以an=a1+（n-1）d=2n，

所以bn===-，

所以Sn=b1+b2+…+bn=1-+-+…

+-=1-.

解答本題的關(guān)鍵在于將數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式分裂為兩項(xiàng)之差的形式-，再運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

總而言之，上述三種方法都是求解數(shù)列求和問題的常用技巧.在解題時(shí)，同學(xué)們需根據(jù)通項(xiàng)公式的特征選擇與之相應(yīng)的技巧進(jìn)行求解.這樣才能有效地提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省啟東市第一中學(xué)）