文章編號(hào)：1671-3559（2024）06-0769-09DOI：10.13349/j.cnki.jdxbn.20240924.001

摘要： 針對配電網(wǎng)能源市場交易中雙線性項(xiàng)非凸且求解精度差等問題，提出基于自適應(yīng)步長的McCormick包絡(luò)方法；該方法利用McCormick包絡(luò)方法松弛雙線性項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)雙線性項(xiàng)的線性化處理，采用邊界收緊方法迭代收緊雙線性項(xiàng)中變量的邊界，并基于迭代梯度結(jié)果更新步長，在已知可行解基礎(chǔ)上，迭代添加原目標(biāo)函數(shù)的上界約束，進(jìn)一步提升上層模型松弛后的求解質(zhì)量；將該方法應(yīng)用于雙層能源市場交易模型，對零售商與微電網(wǎng)交易電價(jià)引導(dǎo)下的多微電網(wǎng)能源交易運(yùn)營進(jìn)行仿真。結(jié)果表明， 與定步長的McCormick包絡(luò)方法相比，基于自適應(yīng)步長的McCormick包絡(luò)方法實(shí)現(xiàn)了配電網(wǎng)側(cè)含雙線性項(xiàng)雙層模型的有效求解，顯著提升交易電價(jià)平均值和邊界值場景下含雙線性項(xiàng)雙層模型的求解精度。

關(guān)鍵詞： 電工技術(shù)經(jīng)濟(jì)； 能源市場交易； 線性松弛； 目標(biāo)函數(shù)

中圖分類號(hào)： TM-9； TM74

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Distribution Network Energy Market Trading Strategy by Using Adaptive Step Based McCormick Envelope Method

ZHOU Chunsheng1， YUAN Sen1， CHEN Kuo1， QI Fujun2， WANG Luhao3

（1. State Grid Shandong Electric Power Company， Jinan 250001， Shandong， China;

2. Linyi Power Supply Company of State Grid Shandong Electric Power Company， Linyi 276000， Shandong， China;

3. School of Electrical Engineering， University of Jinan， Jinan 250022， Shandong， China）

Abstract： Aiming at the problems of non-convex bilinear terms and poor solving accuracy in the energy market trading of distribution network， an adaptive step based McCormick envelope method was proposed. McCormick envelope method was used to relax bilinear terms as linearized expressions. A boundary tightening approach was employed to iteratively tighten the boundaries of the two variables within the bilinear terms. The boundary tighteningmethodwasusedtoiterativelytighten the boundary of the variables in the bilinear term， and the step size was updated based on the iterative gradient results. On the basis of the known feasible solutions， the upper bound constraint of the original objective function was added iteratively to further improve the solution quality after relaxation of the upper layer model. This method was applied to the two-level energy market trading model to simulate the multi-microgrid energy trading operation under the guidance of retailers and microgrid trading prices. The results show that compared with McCormick envelope method with fixed step length， adaptive step based McCormick envelope method can effectively solve bilinear model with bilinear terms on the side of distribution network， and significantly improve the solving accuracy of bilinear model with bilinear terms in the average transaction price and boundary value scenarios.

Keywords： electrotechnical economy; energy market trading; linear relax; objective function

在配電網(wǎng)能源市場交易中， 微電網(wǎng)因受容量限制而無法直接參與投標(biāo)市場。 通常， 在上網(wǎng)電價(jià)的引導(dǎo)下， 零售商采用動(dòng)態(tài)定價(jià)策略參與配電網(wǎng)的能源市場交易， 因此， 可基于Stackelberg博弈理論將配電網(wǎng)側(cè)微電網(wǎng)能源市場交易問題描述為具有主從結(jié)構(gòu)的雙層能源市場交易模型［1］， 分別為上層零售商定價(jià)模型（簡稱上層模型）和下層微電網(wǎng)定量模型（簡稱下層模型）。 層級(jí)交易價(jià)格與交易電量所構(gòu)成的雙線性項(xiàng)導(dǎo)致上層模型難以直接求解。 為了實(shí)現(xiàn)雙線性項(xiàng)的精確求解， Ruiz等［2］采用強(qiáng)對偶定理等效替換目標(biāo)函數(shù)中的雙線性項(xiàng)， 盡管此方法可以得到雙層能源市場交易模型的真實(shí)解， 但其局限性較大。 當(dāng)下層模型強(qiáng)對偶定理不成立（如弱對偶、 非凸問題）和雙線性項(xiàng)處于約束中時(shí)， 該方法失效。

針對上層模型中雙線性項(xiàng)非凸、難以直接求解等問題，學(xué)者們提出了啟發(fā)式方法［3］、 凸包絡(luò)法［4］等近似求解方法。盡管啟發(fā)式方法可用于求解雙線性規(guī)劃并得到近似解；但要經(jīng)過多次求解以保證較小的偏差，因此必須進(jìn)一步研究雙線性規(guī)劃的確定性求解方法，實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu)解的逼近。作為一種簡單實(shí)用的凸包絡(luò)方法，McCormick包絡(luò)在已知變量邊界的前提下能夠?qū)崿F(xiàn)雙線性規(guī)劃問題的松弛求解［5］。上述基于變量區(qū)間的松弛方法雖然能夠降低雙線性規(guī)劃問題的求解難度，但是松弛解的質(zhì)量在很大程度上依賴雙線性項(xiàng)中變量的上界和下界，所得松弛問題最優(yōu)解并不一定是原問題的解［6］。換言之，松弛問題的解只為原最小化問題提供下界，因此必須探索收緊變量邊界、 縮小松弛問題的搜索空間的方法，用于提升模型的求解質(zhì)量。

目前常用的變量邊界收緊方法主要分為分段McCormick松弛方法［7］和連續(xù)邊界收緊方法［8-9］兩類。文獻(xiàn)［7］中對分段后的雙線性項(xiàng)變量添加更嚴(yán)格的約束用于收緊變量的上、 下邊界。雖然分段McCormick松弛方法可以通過區(qū)域劃分盡可能逼近最優(yōu)解，但是二進(jìn)制變量的大量引入會(huì)增加計(jì)算負(fù)擔(dān)。連續(xù)邊界收緊方法可以通過多次迭代縮小雙線性項(xiàng)變量的可行域［8-9］，根據(jù)上次迭代所得最優(yōu)解收緊變量的上、 下界，可以構(gòu)造McCormick包絡(luò)縮小可行域范圍。此方法避免了引入二進(jìn)制變量，但是要通過多次迭代來實(shí)現(xiàn)變量的收緊?；趦?yōu)化的邊界收緊與連續(xù)邊界收緊相結(jié)合，可以有效解決多個(gè)二進(jìn)制變量和多次迭代所導(dǎo)致的計(jì)算效率低下的問題［10］。為了提升求解質(zhì)量，減少迭代次數(shù)，文獻(xiàn)［11］中在收緊變量可行域的基礎(chǔ)上，迭代向原目標(biāo)函數(shù)添加邊界約束。雖然文獻(xiàn)［10-11］中實(shí)現(xiàn)了雙線性規(guī)劃的有效求解，但是雙線性變量收緊邊界的過程復(fù)雜。在連續(xù)邊界收緊方法的基礎(chǔ)上，引入遞減參數(shù)迭代收緊凸包絡(luò)的上、下邊界，可以有效簡化上述邊界收緊算法［12］； 然而，算法的求解精度與步長大小息息相關(guān)，因此必須進(jìn)一步研究如何實(shí)現(xiàn)參數(shù)遞減并進(jìn)一步提升求解質(zhì)量。此外，雖然上述方法可以提升求解質(zhì)量，但是無法獲得所適用模型的精確解，導(dǎo)致求解質(zhì)量難以衡量。

針對配電網(wǎng)側(cè)層級(jí)能源市場交易模型中雙線性項(xiàng)非凸、 難以有效求解的問題，本文中提出基于自適應(yīng)步長的McCormick包絡(luò)（adaptive step based McCormick envelope，AME）方法。首先，利用McCormick包絡(luò)方法實(shí)現(xiàn)模型中雙線性項(xiàng)的線性松弛，并加入松弛變量約束獲得線性化的上層模型； 其次，采用基于隨機(jī)梯度下降的連續(xù)邊界收緊方法迭代收緊雙線性項(xiàng)中2個(gè)變量的邊界，并利用迭代梯度結(jié)果更新步長，避免人為設(shè)定步長參數(shù)對變量邊界的影響； 然后，在已知可行解的基礎(chǔ)上迭代添加原目標(biāo)函數(shù)的上界約束，進(jìn)一步收緊邊界，提升松弛后上層模型的求解質(zhì)量； 最后，將該方法應(yīng)用于雙層能源市場交易模型，以精確解為基準(zhǔn)評估求解質(zhì)量。根據(jù)配電網(wǎng)與零售商交易的電價(jià)構(gòu)建2個(gè)仿真案例，驗(yàn)證所提方法的有效性。

1雙層能源市場交易模型

為了解決雙線性項(xiàng)導(dǎo)致模型非凸、 非線性，模型求解質(zhì)量難以有效衡量的問題，本文中采用雙層能源市場交易模型作為特例，并利用強(qiáng)對偶理論［13］和庫恩-塔克（Kuhn-Tucker）條件得到該模型含雙線性項(xiàng)模型最優(yōu)解。雙層能源市場交易框架的示意圖如圖1所示。該框架包含零售商和微電網(wǎng)2種類型的參與者。零售商以配電網(wǎng)作為支撐，向配電網(wǎng)購入、 售出電能以滿足微電網(wǎng)的功率平衡。根據(jù)配電網(wǎng)公布的上網(wǎng)電價(jià)，零售商作為上層優(yōu)先決策，確定交易電價(jià)，以實(shí)現(xiàn)自身收益最大化。下層的微電網(wǎng)響應(yīng)上層零售商電價(jià)，并根據(jù)電價(jià)作出最優(yōu)決策。每個(gè)微電網(wǎng)包含新能源發(fā)電、 負(fù)載和儲(chǔ)能設(shè)施。本文中所建立模型包含N個(gè)微電網(wǎng)，且假定每個(gè)微電網(wǎng)i只與零售商交易，微電網(wǎng)之間無交互。在日前調(diào)度中，全天時(shí)間T包含24個(gè)時(shí)段，以每個(gè)時(shí)段t為基本單元進(jìn)行合理調(diào)度。

1.1上層模型

在電力交易過程中，零售商根據(jù)配電網(wǎng)側(cè)公布的購電價(jià)格、 售電價(jià)格和微電網(wǎng)的購電量、 售電量確定零售電價(jià)并發(fā)布給微電網(wǎng)，以激勵(lì)微電網(wǎng)靈活決策。零售商通過協(xié)同配電網(wǎng)與微電網(wǎng)之間的能源交互實(shí)現(xiàn)社會(huì)福利最大化的目標(biāo)，因此，零售商的決策模型（即上層模型）可以表示為

max{F=∑Tt=1∑Ni=1（μdstPpsi，t-μdbtPpbi，t+μpbtPpbi，t-μpstPpsi，t）}，（1）

s.t.μpbt，min≤μpbt≤μpbt，max， t∈T ，（2）

μpst，min≤μpst≤μpst，max， t∈T ，（3）

∑Tt=1μpbt/24≤μpbave，（4）

∑Tt=1μpst/24≥μpsave，（5）

式中： F為目標(biāo)函數(shù)； μpbt、 μpst分別為零售商與微電網(wǎng)的交易電價(jià)；μdbt、 μdst分別為零售商與配電網(wǎng)的交易電價(jià)；μpbt，max、 μpbt，min分別為微電網(wǎng)購電價(jià)格的上、 下邊界； μpst，max、 μpst，min分別為微電網(wǎng)售電價(jià)格的上、 下邊界； μpbave、 μpsave分別為微電網(wǎng)24 h購、 售電價(jià)格平均值。

式（1）代表零售商的收益，主要包括與配電網(wǎng)交易的收益（售電收益減去購電費(fèi)用， μdstPpsi，t-μdbtPpbi，t）和與微電網(wǎng)交易的收益（向微電網(wǎng)售電收益扣除向微電網(wǎng)購電費(fèi)用， μpbtPpbi，t-μpstPpsi，t）。約束（2）中零售商制定的微電網(wǎng)購電價(jià)格滿足電價(jià)的邊界區(qū)間［μpbt，min， μpbt，max］。約束（3）中售電價(jià)格要滿足電價(jià)邊界區(qū)間［μpst，min， μpst，max］。在交易過程中，零售商希望以高價(jià)售電、 以低價(jià)購電，但這對微電網(wǎng)是不公平的。為了抑制零售商的定價(jià)權(quán)，約束（4）、 （5）對微電網(wǎng)購電價(jià)格和售電價(jià)格的平均值設(shè)定施加一個(gè)上界μpbave和下界μpsave。由于上層模型中， μpbtPpbi，t、 μpstPpsi，t是電價(jià)與電量2個(gè)連續(xù)變量的乘積，構(gòu)成的雙線性項(xiàng)導(dǎo)致模型求解困難，須要在模型求解時(shí)線性處理。

1.2下層模型

在下層模型中，微電網(wǎng)根據(jù)上層模型中零售電價(jià)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)調(diào)度及決策。微電網(wǎng)以最小化運(yùn)行成本為目標(biāo)，下層模型的目標(biāo)函數(shù)為

min∑Tt=1∑Ni=1［μpbtPpbi，t-μpstPpsi，t+cei（Peci，t+Pedi，t）］，（6）

式中： cei為電池充、 放電損耗費(fèi)用； Peci，t、 Pedi，t分別為儲(chǔ)能單元的充、 放電量； μpbtPpbi，t-μpstPpsi，t為微電網(wǎng)i與零售商的交易費(fèi)用； cei（Peci，t+Pedi，t）為儲(chǔ)能充放電的費(fèi)用損耗。

為了實(shí)現(xiàn)能源優(yōu)化，下層模型的約束為

Ppbi，t+Presi，t+Pedi，t=Ppsi，t+Pli，t+Peci，t

， i∈N， t∈T ，（7）

0≤Ppbi，t≤Ppbmax， i∈N， t∈T ，（8）

0≤Ppsi，t≤Ppsmax， i∈N， t∈T ，（9）

0≤Peci，t≤Pecmax， i∈N， t∈T ，（10）

0≤Pedi，t≤Pedmax， i∈N， t∈T ，（11）

Si，min≤Si，t≤Si，max， i∈N， t∈T ，（12）

Si，tCi=Si，t-1Ci+ηeciPeci，t-Pedi，t/ηedi， i∈N， t∈T，（13）

Si，24=Si，exp， i∈N ，（14）

式中： Presi，t、 Pli，t分別為新能源發(fā)電、 負(fù)載的預(yù)測值； Ppbmax、 Ppsmax分別為微電網(wǎng)購、 售電量的上界； Pecmax、 Pedmax分別為充、 放電量的上界； Si，max、 Si，min分別為儲(chǔ)能荷電狀態(tài)Si，t的上、 下邊界； Si，exp為儲(chǔ)能單元充放電結(jié)束時(shí)的期望值； Ci為微電網(wǎng)的電池容量； ηeci、 ηedi分別為電池的充、 放電效率。

約束（7）為系統(tǒng)功率平衡約束，在已知預(yù)測發(fā)電Presi，t和負(fù)載Pli，t的前提下，通過與配電網(wǎng)交易以及電池充放電實(shí)現(xiàn)微電網(wǎng)內(nèi)部功率平衡。約束（8）中微電網(wǎng)買電功率Ppbi，t滿足邊界區(qū)間［0， Ppbmax］。約束（9）中微電網(wǎng)售電功率Ppsi，t滿足邊界區(qū)間［0， Ppsmax］。約束（10）中充電功率Peci，t滿足邊界區(qū)間［0， Pecmax］。約束（11）中放電功率Pedi，t滿足邊界區(qū)間［0， Pedmax］。約束（12）中限制電池的荷電狀態(tài)Si，t在可用區(qū)間［Si，min， Si，max］內(nèi)，并且滿足電池內(nèi)部平衡約束（13），通過約束（14）限定電池的荷電狀態(tài)Si，24在全天結(jié)束時(shí)需達(dá)到期望值，以滿足次日用電需求。

1.3雙層能源市場交易模型的等效轉(zhuǎn)化

上述雙層能源市場交易模型包含上層定價(jià)模型（1）—（5）和下層定量模型（6）—（14），且下層模型的交易量會(huì)影響上層模型的零售電價(jià)。在已知電價(jià)的前提下，下層模型是一個(gè)線性、 連續(xù)問題，利用庫恩塔克條件對其等效替代后，整個(gè)雙層能源市場交易模型可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)單層帶有均衡約束的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型［14］，單層規(guī)劃模型中互補(bǔ)松弛約束中包含乘積項(xiàng)導(dǎo)致均衡約束是非線性的。利用大M法（M為大于0的數(shù)）線性化后，非線性約束可以等價(jià)表示為一組線性約束，但是，目標(biāo)函數(shù)中雙線性項(xiàng)的存在使得問題難以直接求解。

根據(jù)強(qiáng)對偶理論，凸優(yōu)化問題中原目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值等價(jià)于對偶問題的目標(biāo)值。給定零售電價(jià)后，下層問題是一個(gè)線性問題，因此，雙線性項(xiàng)μpbtPpbi，t、 μpstPpsi，t可以用線性表達(dá)式（15）等效替代。

μpbtPpbi，t-μpstPpsi，t+cei（Peci，t+Pedi，t）=

λproi，t（Pli，t-Presi，t）+λpbi，tPpbmax+λpsi，tPpsmax+λeci，tPecmax+

λedi，tPedmax+

λSmaxi，tSi，max+λSmini，tSi，min+λS2iSi，exp+λS1i，1Si，iniCi "，（15）

式中： Si，ini為儲(chǔ)能荷電狀態(tài)的初始值； λproi，t、 λpbi，t、 λpsi，t、 λeci，t、 λedi，t、 λSmaxi，t、 λSmini，t、 λS2i、 λS1i，1分別為對應(yīng)約束的對偶乘子。

通過上述變換， 雙層非線性規(guī)劃模型等效轉(zhuǎn)化為一個(gè)混合整數(shù)規(guī)劃模型， 所求得問題的解即為模型的最優(yōu)解， 因此， 該模型可以用于驗(yàn)證后續(xù)利用McCormick包絡(luò)方法松弛所得雙線性項(xiàng)的解的質(zhì)量。

1.4基于McCormick包絡(luò)實(shí)現(xiàn)雙線性項(xiàng)的線性化

基于McCormick包絡(luò)方法，令zpbi，t=μpbtPpbi，t和zpsi，t=μpstPpsi，t， 則目標(biāo)函數(shù)中的雙線性項(xiàng)可以松弛為線性表達(dá)式。以zpbi，t=μpbtPpbi，t為例，目標(biāo)函數(shù)的線性表達(dá)式為

max∑Tt=1∑Ni=1（μdstPpsi，t-μdbtPpbi，t+zpbi，t-zpsi，t），（16）

zpbi，t≥μpbt，minPpbi，t+Ppbmin μpbt-μpbt，minPpbmin，（17）

zpbi，t≥μpbt，maxPpbi，t+Ppbmax μpbt-μpbt，maxPpbmax，（18）

zpbi，t≤μpbt，minPpbi，t+Ppbmax μpbt-μpbt，minPpbmax，（19）

zpbi，t≥μpbt，minPpbi，t+Ppbmin μpbt-μpbt，maxPpbmin 。（20）

利用式（16）代替目標(biāo)函數(shù)并加入約束（17）—（20），原雙層能源市場交易模型中的雙線性規(guī)劃問題等效轉(zhuǎn)化為一個(gè)由凸目標(biāo)函數(shù)和一組線性約束組成的混合整數(shù)規(guī)劃問題。雖然McCormick松弛將雙線性項(xiàng)進(jìn)行凸化處理；但是其該松弛問題只能為最小化問題的最優(yōu)解提供一個(gè)下界，因此，本文中期望通過收緊變量邊界實(shí)現(xiàn)最優(yōu)目標(biāo)值的逼近。

上層模型問題（1）—（5）的目標(biāo)是通過確定交易電價(jià)實(shí)現(xiàn)社會(huì)福利最大化，因此，目標(biāo)函數(shù)中電價(jià)是關(guān)鍵指標(biāo)。本文中利用購、 售電價(jià)表示第k次迭代中購電量和售電量的梯度函數(shù)gpbt，k、 gpsi，k，即

gpbi，k=FPpbi，t=-μdbt+μpbt，（21）

gpsi，k=FPpsi，t=μdst-μpst。（22）

為了收緊變量邊界，提升求解質(zhì)量，文獻(xiàn)［12］中利用定步長迭代收緊邊界，即根據(jù)已知步長t，k+1，下層模型交易電量的邊界表示為

Ppbmin，k+1=max{（1-t，k+1）Ppbi，t，k， Ppb，inimin}，（23）

Ppbmax，k+1=min{（1+t，k+1）Ppbi，t，k， Ppb，inimax}，（24）

Ppsmin，k+1=max{（1-t，k+1）Ppsi，t，k， Pps，inimin}，（25）

Ppsmax，k+1=min{（1+t，k+1）Ppsi，t，k， Pps，inimax}，（26）

式中： Ppb，inimax、 Ppb，inimin分別為購電量上、 下邊界的初始值； Pps，inimax、 Pps，inimin分別為售電量上、 下邊界的初始值。

在迭代過程中，步長t，k難以準(zhǔn)確給出，影響迭代效果。為了解決此問題，避免人為設(shè)定參數(shù)對迭代過程的影響，本文中提出基于隨機(jī)梯度下降的變量收緊方法，在保證精度的同時(shí)提升方法適用性。

根據(jù)梯度下降算法，在第k+1次迭代時(shí)，自適應(yīng)步長t，k+1為

t，k+1←t，k-κkgt，kgt，k2 ，（27）

式中： κk為第k次迭代的學(xué)習(xí)率； gt，k為gpbt，k或gpst，k第k次迭代的梯度。

針對模型的最大化問題，利用McCormick包絡(luò)松弛雙線性項(xiàng)后，松弛模型的解為原始模型提供了上界（upper bound， UB）。將松弛模型所得的解回代到原問題中可以得到原始問題下界（lower bound， LB）。本文中采用上、 下界的相對誤差表征本次迭代的學(xué)習(xí)率，即

κk=Uk-LkUk ，（28）

式中： Uk為第k次迭代時(shí)原問題的上界； Lk為第k次迭代時(shí)原問題的下界。

1.5添加目標(biāo)函數(shù)邊界

為了進(jìn)一步約束模型，將松弛問題的最優(yōu)解Uk作為目標(biāo)函數(shù)（16）的上界加入約束中，表達(dá)式為

μdst，kPpsi，t，k-μdbt，kPpbi，t，k+zpbi，t，k-zpsi，t，k≤Uk。（29）

由于下界為模型的可行解，其邊界值隨著迭代不斷變化，因此下界難以直接作為邊界用于約束目標(biāo)函數(shù)（16）。為了獲取有效下界，當(dāng)微電網(wǎng)購、售電價(jià)分別為μpbt，min、 μpst，max時(shí)，零售商收益最小，零售商目標(biāo)函數(shù)的下界可以約束為

μdst，kPpsi，t，k-μdbt，kPpbi，t，k+zpbi，t，k-zpsi，t，k≥

μdst，kPps，*i，t-μdbt，kPpb，*i，t+ μpbt，minPpb，*i，t-μpst，maxPps，*i，t ，（30）

式中Ppb，*i，t、 Pps，*i，t分別為下層模型在微電網(wǎng)購、 售電價(jià)分別為μpbt，min、 μpst，max時(shí)的最優(yōu)決策。

1.6收斂條件

在迭代過程中，當(dāng)上界與下界的相對誤差κk或者第k、 k+1次連續(xù)迭代中上界結(jié)果的相對誤差Uk+1-UkUk+1相對較小且在允許容差δ范圍內(nèi)時(shí)，可視為邊界不再變化，即迭代停止； 否則，模型迭代計(jì)算至最大迭代次數(shù)K。具體迭代求解與計(jì)算流程如圖2所示。

2算例分析

2.1基礎(chǔ)數(shù)據(jù)及參數(shù)設(shè)定

結(jié)合用戶新能源發(fā)電和負(fù)載數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真模擬。雙層能源市場交易模型中包含1個(gè)零售商和2個(gè)微電網(wǎng)。本文中采用2組不同的電價(jià)、 新能源發(fā)電和負(fù)載數(shù)據(jù)用于驗(yàn)證方法的可用性。零售商在區(qū)間μpbt∈［μpbt，min， μpbt，max］、 μpst∈［μpst，min， μpst，max］內(nèi)決策最優(yōu)電價(jià)，實(shí)現(xiàn)利益最大化，微電網(wǎng)購、 售電電價(jià)區(qū)間如圖3中灰色區(qū)域所示。案例1［圖3（a）］中假定配電網(wǎng)與零售商交易的電價(jià)μdbt、 μdst位于微電網(wǎng)購、售電價(jià)區(qū)間的中值附近；案例2中［圖3（b）］假定配電網(wǎng)與零售商交易的電價(jià)μdbt、 μdst位于微電網(wǎng)購、 售電價(jià)區(qū)間的邊界。2個(gè)仿真案例中，新能源發(fā)經(jīng)模型變換和McCormick松弛后， 雙層能源市場交易模型變成一個(gè)混合整數(shù)規(guī)劃模型， 可以用Python3.7軟件結(jié)合Gurobi求解器實(shí)現(xiàn)問題的求解。

2.2結(jié)果分析

2.2.1上、 下層模型最優(yōu)解

為了對比不同仿真案例所得結(jié)果，利用強(qiáng)對偶定理等效替代雙線性項(xiàng)，以模型最優(yōu)值作為衡量松弛方法的基準(zhǔn)。在案例1中，上層模型零售商的最大效益為24 094.27元，下層模型微電網(wǎng)的運(yùn)行費(fèi)用為96 690.09元，模型的求解時(shí)間為1.09 s；在案例2中，上層模型零售商的最大效益為22 754.33元，下層模型微電網(wǎng)的運(yùn)行收益為17 943.60元，模型的求解時(shí)間為0.38 s。

在上述仿真結(jié)果的基礎(chǔ)上，對定步長McCormick包絡(luò)方法 （t=0.9，即方法1）、 （t=0.99， 即方法2），變步長的McCormick包絡(luò)方法（方法3）和本文中所提AME方法（方法4）對雙線性項(xiàng)的求解結(jié)果進(jìn)行分析。上述McCormick松弛計(jì)算方法所求雙層能源交易問題最優(yōu)解結(jié)果如表2、 3所示，負(fù)值表示微電網(wǎng)的運(yùn)行收益。

由表2可知， 案例1中的4種方法所得結(jié)果與強(qiáng)對偶定理所得最優(yōu)值結(jié)果基本一致。 與方法1、 2相比， 方法3、 4可以通過自適應(yīng)步長的方式實(shí)現(xiàn)問題求解， 避免多次嘗試不同步長取最優(yōu)解的過程。 由表3可知， 在案例2中， 方法1、 2都可以快速實(shí)現(xiàn)上層雙線性項(xiàng)的求解， 與最優(yōu)值的相對誤差分別為7.67%和12.57%。盡管上述方法可以多次嘗試，以獲得適用于模型的步長，但是人為因素影響較大?；谧儾介L的McCormick包絡(luò)算法可以有效緩解此問題。方法3采用基于變步長的McCormick包絡(luò)算法2次迭代可以實(shí)現(xiàn)模型求解， 與最優(yōu)值的相對誤差相對誤差為12.84%， 因此， 采用方法3可以取得與方法1、 2類似的結(jié)果。

為了進(jìn)一步提升上層含雙線性項(xiàng)模型的求解質(zhì)量，方法4中將每次迭代后的目標(biāo)函數(shù)值以約束的形式加入模型中，上層模型求解結(jié)果的相對誤差為1.32%，因此，方法4適用于計(jì)算雙線性問題，并得到高質(zhì)量的解。

2.2.2步長變化對比分析

由式（27）可知，方法4的步長變化與學(xué)習(xí)率κk和當(dāng)前梯度gt，k有關(guān)。在第k次迭代時(shí)，學(xué)習(xí)率κk由第k-1次迭代的目標(biāo)值上、 下界所決定，其數(shù)值只影響步長大小的變化。梯度gt，k受層級(jí)交易電價(jià)變化的影響，若層級(jí)交易電價(jià)與時(shí)變電價(jià)相同時(shí)，則梯度值為0，步長保持不變。以案例2中方法3、 4為例，對比步長在迭代過程中的變化，結(jié)果見圖5。由圖可知，步長只在局部時(shí)間點(diǎn)發(fā)生變化，即零售商與微電網(wǎng)的交易電價(jià)只在上述時(shí)間點(diǎn)變化，而其他時(shí)間的電價(jià)維持不變。由于微電網(wǎng)與零售商的能源交易受電價(jià)激勵(lì)，因此，與方法3相比，AME方法（方法4）可以實(shí)現(xiàn)步長在不同時(shí)段的差異性變化。

2.2.3變量邊界變化對比分析

設(shè)步長的初始值為1，結(jié)合式（23）—（26），可得多次迭代后微電網(wǎng)購、 售電功率的上、 下邊界。上、 下邊界值的改變使變量的可行域縮小，進(jìn)而提升模型的迭代效率。圖6所示為不同微電網(wǎng)購、 售電量邊界的變化。由圖可知，當(dāng)t時(shí)刻購、 售電量的上、 下邊界為0時(shí)，則該時(shí)刻微電網(wǎng)不與零售商交易。若步長維持1不變，由式（23）可知，購電的下邊界Ppbmin為0。隨著迭代次數(shù)增加，若t時(shí)刻Ppbi，t為0， 則上邊界Ppbmax為0， 如圖6（a）中的22時(shí)、 圖6（b）中的17時(shí)，因此，全天24 h的購電優(yōu)化問題簡化為局部時(shí)刻的費(fèi)用最小化問題。同理，由圖6（c）、 （d）可知，微電網(wǎng)售電邊界也限定微電網(wǎng)運(yùn)行優(yōu)化問題為局部時(shí)刻的費(fèi)用最小化問題。經(jīng)過上述邊界設(shè)定，方法4有助于通過收緊變量邊界提升模型單次迭代的計(jì)算效率。

2.2.4迭代收斂分析

方法3和方法4所求上界多次迭代結(jié)果和相對誤差如圖7所示。 由圖可知， 經(jīng)過7次迭代后， 上、下界連續(xù)2次迭代的相對誤差分別為0.064 0、0.006 7，滿足收斂條件δ=0.01，可以視為迭代過程收斂。

3結(jié)語

針對配電網(wǎng)側(cè)能源交易問題，本文中基于Stackelberg博弈理論構(gòu)建了零售商為領(lǐng)導(dǎo)者的上層模型、 微電網(wǎng)為跟隨者的下層模型的雙層能源市場交易模型。 在雙層模型中，層級(jí)能源交易價(jià)格和交易量的乘積所構(gòu)成的雙線性項(xiàng)導(dǎo)致模型非凸， 且使用庫恩塔克條件實(shí)現(xiàn)模型求解的方法受到下層模型結(jié)構(gòu)的限制， 為此， 利用McCormick包絡(luò)方法實(shí)現(xiàn)雙線性的線性化松弛， 并利用基于隨機(jī)梯度下降方法收緊變量包絡(luò)線邊界。 為了驗(yàn)證模型求解結(jié)果，以雙層能源市場交易模型最優(yōu)解為參考， 衡量AME方法的求解質(zhì)量。 仿真結(jié)果表明， AME方法能夠?qū)崿F(xiàn)雙層能源市場交易模型的有效求解， 避免了人為設(shè)定步長對求解結(jié)果的影響。 經(jīng)過7次迭代后， 2次連續(xù)迭代后上、 下界的相對誤差分別為0.064 0、 0.006 7， 滿足所設(shè)定的收斂條件， 基于AME的松弛迭代方法實(shí)現(xiàn)了配電網(wǎng)側(cè)雙線性模型的有效求解。

參考文獻(xiàn)：

［1］LIU N， YU X H， WANG C， et al. Energy sharing management for microgrids with PV prosumers： a Stackelberg game approach［J］. IEEE Transactions on Industrial Informatics， 2017， 13（3）： 1088.

［2］RUIZC，CONEJOAJ.Poolstrategyofaproducer with endogenous formation of locational marginal prices［J］. IEEE Transactions on Power Systems， 2009， 24（4）： 1855.

［3］ERBEYOGˇLUG，BILGE.PSO-basedandSA-basedmetaheuristicsforbilinear programming problems： an application to the pooling problem［J］. Journal of Heuristics， 2016， 22： 147.

［4］HASAN M M， KARIMI I A. Piecewise linear relaxation of bilinear programs using bivariate partitioning［J］. AIChE Journal， 2010， 56（7）： 1880.

［5］范志成， 朱俊澎， 袁越，等. 基于改進(jìn)型直流潮流算法的主動(dòng)配電網(wǎng)分布式電源規(guī)劃模型及其線性化方法［J］. 電網(wǎng)技術(shù)， 2019， 423（2）：170.

［6］CASTRO P M， GROSSMANN I E. Optimality-based bound contraction with multi-parametric disaggregation for the global optimization of mixed-integer bilinear problems［J］. Journal of Global Optimization， 2014， 59： 277.

［7］CASTROPM.TighteningpiecewiseMcCormickrelaxations for bilinear problems［J］. Computers amp; Chemical Engineering， 2015， 72： 300.

［8］SHUKLA S R， PAUDYAL S， ALMASSALKHI M R. Efficient distributionsystemoptimalpowerflowwithdiscretecontrolofloadtapchangers［J］.IEEETransactionsonPowerSystems，2019，34（4）：2970.

［9］PARK B， DEMARCO C L. Convex relaxation of Sparse Tableau Formulation for the AC optimal power flow［J］. Electric Power Systems Research， 2019， 171： 209.

［10］LYU S， WEI Z N， SUN G Q， et al. Optimal power and semi-dynamic traffic flow in urban electrified transportation networks［J］. IEEE Transactions on Smart Grid， 2019， 11（3）： 1854.

［11］DENG L， SUN H， LI B， et al. Optimal operation of integrated heat and electricity systems： a tightening McCormick approach. Engineering， 2021， 7（8）： 1076.

［12］CHEN S， CONEJO A J， SIOSHANSI R， et al. Unit commitment with an enhanced natural gas-flow model［J］. IEEE Transactions on Power Systems， 2019， 34（5）： 3734.

［13］LUENBERGER D G， YE Y. Linear and nonlinear programming［M］. Cham： Springer， 2021.

［14］CARRINM，ARROYOJM，CONEJOAJ.A bi-level stochastic programming approach for retailer futures market trading［J］. IEEE Transactions on Power Systems， 2009， 24（3）： 1451.

（責(zé)任編輯：劉建亭）

收稿日期： 2023-09-06網(wǎng)絡(luò)首發(fā)時(shí)間：2024-09-24T15：22：49

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（62273163）；國網(wǎng)山東省電力公司科技項(xiàng)目（2023A-14）

第一作者簡介： 周春生（1978—），男，山東濟(jì)南人。高級(jí)工程師，博士，研究方向?yàn)榕潆娋W(wǎng)智能調(diào)度與安全分析。E-mail： sddxzcs@126.com.

通信作者簡介： 王魯浩（1987—），男，山東濟(jì)南人。副教授，博士，研究方向?yàn)榕潆娋W(wǎng)智能調(diào)度與安全分析、 電力市場運(yùn)行。E-mail： cse_

wanglh@ujn.edu.cn。

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