凌金成,劉志強(qiáng),2 ,周振華,2,周民瑞

(1. 長沙理工大學(xué) 汽車與機(jī)械工程學(xué)院,湖南 長沙 410114;2. 機(jī)械裝備高性能智能制造關(guān)鍵技術(shù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖南 長沙 410114)

0 引言

壓電陶瓷具有納米級(jí)分辨率、高精度[1]、大輸出力[2]及寬帶寬[3]等優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于微定位[4]、微操作[5]和微組裝的各種精密系統(tǒng)[6]的致動(dòng)器中。但壓電陶瓷具有嚴(yán)重的遲滯非線性現(xiàn)象[7],如果沒有合適的控制方案,利用壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的精密系統(tǒng),其精度和速度等性能會(huì)急劇下降。因此,建立最優(yōu)的模型和控制方法,減小遲滯非線性,提高壓電驅(qū)動(dòng)平臺(tái)的精度,一直是熱門研究課題。

為了更好地描述非線性遲滯問題,實(shí)際應(yīng)用中需要通過建立非線性模型和控制來提高控制精度。國內(nèi)外學(xué)者主要在現(xiàn)象模型上做了大量的研究,因?yàn)楝F(xiàn)象模型是不考慮其工作原理,將遲滯曲線看成數(shù)學(xué)問題?，F(xiàn)象建模得到廣泛應(yīng)用,其簡單性和準(zhǔn)確性使其在工程應(yīng)用上具有物理建模所不具備的優(yōu)勢(shì)。一般現(xiàn)象模型根據(jù)數(shù)學(xué)模型不同分為微分類遲滯模型和積分類遲滯模型。常見的微分類模型有Duhem模型[8]、Dahl模型[9]、Bouc-Wen(B-W)模型[10]等,常見的積分模型有Prandtl-Ishlinski模 型[11]、Preisach模型[12]等。壓電陶瓷運(yùn)動(dòng)時(shí),不同頻率下其遲滯非線性表現(xiàn)出率相關(guān)特性,因此在建模過程中需要加入率相關(guān)影響因子。文獻(xiàn)[13-15]在頻率相關(guān)遲滯模型方面進(jìn)行了較多研究。在建立模型過程中,模型的參數(shù)辨識(shí)很重要,國內(nèi)外學(xué)者主要通過改進(jìn)基于最小二乘法、粒子群算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、遺傳算法、免疫算法和蟻群算法等來獲取很好的參數(shù),提高建模精度,更好地?cái)M合非線性遲滯模型。在遲滯控制方面有前饋控制、反饋控制[16]及前饋反饋復(fù)合控制。前饋反饋復(fù)合控制是前饋和反饋控制方法相結(jié)合的控制方案,是目前應(yīng)用最廣的控制方法。前饋反饋復(fù)合控制一般通過逆模型前饋補(bǔ)償快速減小遲滯誤差,為減小開環(huán)逆補(bǔ)償下各種擾動(dòng)的影響,在逆模型基礎(chǔ)上加入反饋控制,以實(shí)現(xiàn)前饋反饋復(fù)合控制。

綜上分析,為更好地描述非線性遲滯問題,本研究基于傳統(tǒng)的B-W模型[17],建立與Hammerstein結(jié)構(gòu)相結(jié)合的模型。因?yàn)閭鹘y(tǒng)的B-W模型是利用一個(gè)具有遲滯形狀參數(shù)的非線性微分方程來描述遲滯特性,根據(jù)選擇不同遲滯形狀的參數(shù),可以得到各種形狀的遲滯環(huán),而且它只需要用一個(gè)輔助的非線性微分方程來描述遲滯行為,計(jì)算效率較高,逆模型求解也較方便。但該模型關(guān)于中心點(diǎn)嚴(yán)格對(duì)稱,對(duì)于非對(duì)稱遲滯特性的擬合精度有限,并且該模型未加入頻率影響因子,達(dá)不到率相關(guān)效果,故需與Hammerstein結(jié)構(gòu)[18]相結(jié)合加入一個(gè)二階非線性系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)率相關(guān)。本研究在傳統(tǒng)的B-W模型中加入二階系統(tǒng),利用粒子群算法辨識(shí)參數(shù),在滑模反饋時(shí)利用卡爾曼做狀態(tài)預(yù)估,實(shí)現(xiàn)前饋加滑模反饋復(fù)合控制?；诒狙芯刻岢龅腍ammerstein結(jié)構(gòu)模型,對(duì)比研究了前饋補(bǔ)償、前饋加比例、積分、微分(PID)控制反饋補(bǔ)償、前饋加滑模控制反饋補(bǔ)償3種控制方法的效果。

1 B-W率相關(guān)模型建立

1.1 傳統(tǒng)B-W模型

傳統(tǒng) B-W模型是分別對(duì)線性分量和磁滯分量進(jìn)行建模,表示為微分方程。經(jīng)典的B-W模型(CBW)模型已廣泛應(yīng)用于具有遲滯特性的非線性系統(tǒng)中[19],在用于表征壓電執(zhí)行器(PEA)的遲滯非線性時(shí),可采用遲滯算子和位移算子建立模型,具體形式為

Y(t)=KU(t)+H(t)

(1)

(2)

CBW模型涉及參數(shù)少,易建立逆模型,但是模型的參數(shù)未涉及頻率相關(guān),如果直接描述非線性遲滯模型,在不同頻率激勵(lì)輸入時(shí)難以得到較高的擬合度,因此需加入率相關(guān)模型。

1.2 建立率相關(guān)的B-W模型

在驅(qū)動(dòng)電壓作用下壓電陶瓷將產(chǎn)生遲滯,且遲滯的形狀與輸入信號(hào)的頻率有關(guān),這種率相關(guān)遲滯非線性特性嚴(yán)重影響壓電陶瓷的應(yīng)用。為了能準(zhǔn)確描述壓電陶瓷遲滯非線性,本研究采用Hammerstein模型結(jié)構(gòu)(見圖1)描述壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)微定位平臺(tái)的率相關(guān)遲滯特性。圖1中,u為輸入電壓,H為遲滯模型,Y為CBW模型輸出,G(s)為二階系統(tǒng),y為輸出位移。Hammerstein模型是塊連接結(jié)構(gòu)的非線性模型,由一個(gè)靜態(tài)非線性函數(shù)串聯(lián)一個(gè)線性動(dòng)態(tài)模塊組成。靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)采用B-W遲滯模型描述,線性動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)等效為一個(gè)二階線性時(shí)不變系統(tǒng)。二階系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

圖1 Hammerstein-模型結(jié)構(gòu)框圖

(3)

Y(t)=KU(t)+H(t)

(4)

(5)

式中:M,B,K1分別為遲滯系統(tǒng)等效的質(zhì)量、阻尼、剛度;Y(t)為CBW模型輸出。加入二階系統(tǒng)后能更好地描述遲滯模型非線性系統(tǒng),具有較高的擬合度,實(shí)現(xiàn)率相關(guān)的跟蹤。

2 遲滯非線性復(fù)合補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)

本文采用遲滯前饋補(bǔ)償與滑模控制反饋補(bǔ)償復(fù)合控制策略,使用B-W逆模型對(duì)壓電執(zhí)行器的靜態(tài)遲滯非線性進(jìn)行補(bǔ)償。滑?？刂破飨韧ㄟ^狀態(tài)空間方程對(duì)ARX動(dòng)態(tài)遲滯率相關(guān)模型進(jìn)行描述,然后通過卡爾曼濾波器對(duì)動(dòng)態(tài)率相關(guān)性的狀態(tài)變量進(jìn)行預(yù)測(cè),再將預(yù)測(cè)的狀態(tài)矩陣反饋到滑模控制器進(jìn)行反饋補(bǔ)償,形成一個(gè)前饋和反饋相結(jié)合的復(fù)合控制系統(tǒng)。

2.1 CBW逆模型的前饋補(bǔ)償控制

前饋逆模型補(bǔ)償控制能夠通過期望位移來輸入控制電壓,可有效降低PEA的遲滯非線性[20],且遲滯模型的解析逆模型存在與否決定了逆模型前饋控制器設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)的難度?；谒岢龅腃BW模型和二階系統(tǒng)設(shè)計(jì)逆模型,具體控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。前饋控制器為

圖2 逆控制模型

(6)

由于Uff(t)與H(t)不可同時(shí)獲得,但在采樣頻率較高時(shí)有:

H(t)≈H(t-1)

(7)

因此逆模型前饋補(bǔ)償為

(8)

(9)

式中:xd(t)為期望位移;Uff為前饋控制的輸出電壓;t為采樣的順序點(diǎn)。

2.2 卡爾曼觀測(cè)器設(shè)計(jì)

實(shí)際應(yīng)用中,誤差的主要來源于建立描述遲滯特性的數(shù)學(xué)模型與壓電陶瓷執(zhí)行器實(shí)際輸出的誤差、壓電陶瓷執(zhí)行器工作過程中其他行為的影響以及外界的干擾與系統(tǒng)測(cè)量噪聲的影響。前面兩種誤差主要為建模控制上的影響,外界干擾與系統(tǒng)測(cè)量噪聲會(huì)直接影響反饋信號(hào)的準(zhǔn)確度,為了減小外界干擾的誤差影響,本文引入卡爾曼觀測(cè)器對(duì)信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)預(yù)估,提高了測(cè)量精度。

壓電陶瓷執(zhí)行器的遲滯率相關(guān)采用ARX模型描述,因此,在設(shè)計(jì)卡爾曼觀測(cè)器中利用ARX模型進(jìn)行離散化得到的狀態(tài)空間矩陣方程為:

(10)

式中:A、B、C為ARX方程離散化的狀態(tài)空間矩陣系數(shù);xk為線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)變量;uk為CBW模型的輸出分量;yk為輸出位移量。

本文使用離散卡爾曼預(yù)測(cè)得到的狀態(tài)變量xk為

(11)

式中:w,v分別為過程噪聲和測(cè)量噪聲,都是為零均值不相關(guān)的高斯白噪聲,在卡爾曼觀測(cè)中方差分別用Q和R表示;uk為CBW模型的輸出量;yK為測(cè)量的位移值。狀態(tài)變量的推算公式如下:

(12)

式中:PK,DK分別為預(yù)測(cè)誤差方差矩陣和預(yù)測(cè)誤差方差更新矩陣;KK為卡爾曼增益矩陣;YK,XK分別為先驗(yàn)狀態(tài)變量和估計(jì)狀態(tài)變量。UK在為CBW模型的輸出量;yK為測(cè)量的位移值。

2.3 S型滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

B-W模型的逆模型屬于開環(huán)控制,抵抗外部干擾的能力差。本文設(shè)計(jì)了一種基于S型函數(shù)的滑模控制來消除剩余的滯后部分,提高控制器的魯棒性,實(shí)現(xiàn)高信號(hào)跟蹤精度。具體控制策略如圖3所示。圖中,r(t)為期望位移信號(hào),X(t)為卡爾曼觀測(cè)的狀態(tài)矩陣,y(t)為執(zhí)行器實(shí)際輸出位移信號(hào),Y(t)為CBW靜態(tài)模型輸出信號(hào),Ufb為滑?？刂戚敵龅碾妷盒盘?hào),Uff為逆模型輸出的電壓信號(hào)。X1、X2、X3分別為卡爾曼觀測(cè)器輸出的位移、速度、加速度值,X1、X2可由狀態(tài)矩陣直接輸出,根據(jù)二階系統(tǒng)可得到X3=Y(t)-BX2-K1X1,r1、r2、r2分別為期望的位移、速度、加速度值。

圖3 基于滑?？刂撇呗阅Ｐ?/p>

為了設(shè)計(jì)S型滑模控制器,定義誤差函數(shù)為

(13)

為了減小控制器的穩(wěn)態(tài)誤差,定義積分滑動(dòng)面為

(14)

式中λ為正常數(shù)。為控制效果更好,在控制規(guī)律函數(shù)上選擇冪指數(shù)趨近律函數(shù)為控制函數(shù):

(15)

式中η為增益ε(0<ε<1)的常數(shù),其決定滑動(dòng)面的收斂速度。

(16)

根據(jù)滑模規(guī)律可得:

(17)

將誤差一階導(dǎo)數(shù)替換,得到基于冪次趨近律的控制輸出:

(18)

前饋加反饋控制可得總輸出為

U=Uff+Ufb

(19)

為了證明控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,定義李雅普諾夫函數(shù)V=s/2,其一階導(dǎo)數(shù)為

-η|s|t+1≤0

(20)

根據(jù)李雅普諾夫定理可知,控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

3 模型仿真與分析

3.1 模型參數(shù)辨識(shí)與驗(yàn)證

根據(jù)前面的建模和壓電陶瓷執(zhí)行器[20]可知,傳統(tǒng)的B-W模型(見式(1)、(2))需要利用智能算法對(duì)α、β、γ和K4個(gè)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí),本文采用粒子群算法辨識(shí)上述4個(gè)參數(shù)的最優(yōu)值。1995年,Eberhart和Kenndy提出了粒子群算法。粒子群算法(PSO)本質(zhì)上是一種隨機(jī)搜索算法,一種智能優(yōu)化技術(shù)。該算法具有概念簡明,參數(shù)設(shè)置少,易實(shí)現(xiàn),精度高和收斂快等優(yōu)點(diǎn),已被廣泛應(yīng)用于優(yōu)化問題和搜索問題中。具體的辨識(shí)步驟為:

1) 首先對(duì)壓電執(zhí)行器施加幅值為100 V,頻率為1 Hz的正弦激勵(lì)信號(hào),并同步采集與激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)的位移量[20-21]。

2) 在Matlab程序上設(shè)置PSO的迭代次數(shù)、粒子數(shù)量、粒子的初始速度將壓電陶瓷執(zhí)行器的實(shí)際位移與CBW模型輸出位移的均方根誤差作為算法停止條件。

根據(jù)上述步驟可辨識(shí)得到1 Hz單頻激勵(lì)的傳統(tǒng)B-W模型參數(shù),也稱作率無關(guān)參數(shù)。本文研究辨識(shí)得到K=0.065 493 211 703 623,α=-0.032 622 992 806 397,β=0.029 945 089 706 869,γ=-0.052 690 344 204 044。將上述辨識(shí)得到的參數(shù)輸入到CBW模型中,然后用1 Hz,的正弦信號(hào)激勵(lì)得到的模型輸出如圖4所示。其中最大誤差為0.290 87 μm,誤差均方根為0.086 022 μm。

圖4 1 Hz激勵(lì)的模型位移與實(shí)際位移

由圖4可看出,在1 Hz下跟蹤效果較好,但隨著頻率改變,誤差越來越大,因此需要加入Hammerstein結(jié)構(gòu)模型,增強(qiáng)模型率相關(guān)跟蹤,減小誤差。Hammerstein結(jié)構(gòu)模型跟蹤步驟:

1) 首先將幅值為100 V、頻率為0～100 Hz的掃頻正弦電壓作為激勵(lì)輸入傳統(tǒng)B-W模型中,然后得到傳統(tǒng)B-W模型輸出。

2) 利用Matlab二階系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)工具辨識(shí)參數(shù),將傳統(tǒng)B-W模型輸出作為二階系統(tǒng)的輸入,將壓電陶瓷執(zhí)行器在0～100 Hz掃頻激勵(lì)下得到的實(shí)際位移作為二階系統(tǒng)輸出位移。辨識(shí)得到的二階系統(tǒng)為

(21)

將辨識(shí)得到的二階系統(tǒng)與傳統(tǒng)B-W模型結(jié)合,然后進(jìn)行驗(yàn)證,利用100 Hz的激勵(lì)信號(hào)作為傳統(tǒng)B-W模型的輸入,得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證,其中傳統(tǒng)B-W模型的最大誤差為 1.228 1 μm,誤差均方根為0.654 95 μm。加入Hammerstein結(jié)構(gòu)模型后,經(jīng)誤差分析可知,模型最大誤差為0.419 95 μm,誤差均方根為0.186 39 μm,跟蹤誤差減少了87.99%。因此,基于傳統(tǒng)B-W模型的Hammerstein 結(jié)構(gòu)模型能精確描述壓電定位平臺(tái)的遲滯非線性特性,具體跟蹤效果如圖5、6所示。

圖5 遲滯模型的誤差

圖6 100 Hz下加入率相關(guān)系統(tǒng)軌跡對(duì)比

3.2 跟蹤控制結(jié)果與分析

基于上面的參數(shù)辨識(shí)和模型設(shè)計(jì),在Matlab程序中設(shè)計(jì)好控制器,仿真分析中,設(shè)計(jì)了前饋控制、前饋PID反饋控制,并與本研究設(shè)計(jì)的前饋滑?？刂七M(jìn)行對(duì)比。仿真過程中分別輸入幅值為6 μm、不同頻率的正弦信號(hào)作為期望信號(hào),再與模型輸出的仿真軌跡進(jìn)行對(duì)比,其跟蹤效果與誤差如圖7-14所示。

圖7 1 Hz的跟蹤效果

圖8 1 Hz跟蹤誤差

圖9 10 Hz的跟蹤效果

圖10 10 Hz的跟蹤誤差

圖11 50 Hz的跟蹤效果

圖12 50 Hz的跟蹤誤差

圖13 90 Hz的跟蹤效果

圖14 90 Hz的跟蹤誤差

由圖7-14可看出,基于傳統(tǒng)的B-W模型Hammerstein結(jié)構(gòu)的前饋補(bǔ)償、 PID 反饋復(fù)合控制方法與本文提出的基于傳統(tǒng)的B-W模型Hammerstein結(jié)構(gòu)的滑?？刂蒲a(bǔ)償方法都能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)跟蹤控制。但在不同頻率正弦信號(hào)輸入下,本文提出的基于傳統(tǒng)的B-W模型Hammerstein結(jié)構(gòu)的滑?？刂蒲a(bǔ)償跟蹤均方根誤差遠(yuǎn)小于其他兩種控制方法,在1 Hz時(shí),跟蹤的均方根誤差僅0.001 592 3 μm,基本能跟蹤上,效果非常明顯。

雖然跟蹤均方根誤差隨頻率增加而增大,但在正弦信號(hào)90 Hz激勵(lì)下,本文提出的控制方案跟蹤均方根誤差為 0.073 625 μm。在很多實(shí)際工程應(yīng)用中,反饋測(cè)量精度約為0.1 μm。相對(duì)于基于傳統(tǒng)的B-W模型Hammerstein結(jié)構(gòu)的前饋補(bǔ)償控制方法,在90 Hz時(shí)跟蹤均方根誤差精度提高87.99%。相對(duì)于前饋補(bǔ)償與 PID 反饋復(fù)合控制方法,在90 Hz時(shí)跟蹤均方根誤差精度提高58.69%。因此,與其他兩種方法相比,本文提出的模型與控制方案精度更高。表1為3種控制方法的均方根誤差對(duì)比。

表1 3種控制方法的均方根誤差對(duì)比

4 結(jié)束語

針對(duì)傳統(tǒng)的B-W模型無法精確表征壓電陶瓷執(zhí)行器非對(duì)稱、率相關(guān)遲滯非線性特性,本文提出了一種基于傳統(tǒng)的B-W模型Hammerstein結(jié)構(gòu)新模型,并且利用粒子群算法辨識(shí)模型參數(shù)。在參數(shù)辨識(shí)后,通過與文獻(xiàn)[20]的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn),本文提出的模型在遲滯非線性描述上與傳統(tǒng)的模型相比更精確。在1 Hz單頻靜態(tài)激勵(lì)下,模型的描述均方根誤差為0.086 μm;在100 Hz 高頻激勵(lì)下,模型的均方根誤差為0.186 μm,與100 Hz下傳統(tǒng)模型均方根誤差為0.654 95 mm相比,其精度得到提升。本文提出了前饋滑模復(fù)合控制方法,也同時(shí)設(shè)計(jì)了前饋和前饋PID復(fù)合控制兩種控制器并進(jìn)行對(duì)比。在1 Hz、10 Hz、50 Hz、90 Hz下,本文提出的控制方法的模型跟蹤誤差分別為0.001 592 3 mm、0.014 714 mm、0.047 274 mm、0.073 625 mm;前饋控制的模型跟蹤誤差分別為0.084 091 mm、0.109 21 mm、0.35816 mm、0.608 97 mm;前饋PID反饋復(fù)合控制的模型跟蹤誤差分別為0.010 823 mm、0.020 86 mm、0.088 56 mm、0.178 88 mm。通過誤差分析對(duì)比發(fā)現(xiàn),在1～100 Hz激勵(lì)下,對(duì)比跟蹤均方根誤差,本文提出的控制策略比前饋控制和PID前饋復(fù)合控制的誤差低,提高了 PEA 的定位精度和跟蹤性能,能夠應(yīng)用于寬頻帶、高速精密定位控制及主動(dòng)振動(dòng)控制等領(lǐng)域。