楊在， 吳訓蒙， 徐宗本

西安交通大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西 西安 710049

考慮由少量單頻正弦波疊加構成的譜稀疏信號，譜壓縮感知旨在從少量采樣中恢復出譜稀疏信號及其頻率參數(shù)，是信號與信息處理領域的基本問題.由于譜稀疏信號的頻率取值具有連續(xù)性，譜壓縮感知又被稱為連續(xù)壓縮感知、無限維壓縮感知或無柵格壓縮感知（Duarte et al.，2013；Tang et al.，2013）.數(shù)學上，譜稀疏信號X∈CN×L可以表示為

其中A(f) =[a(f1)，…，a(fK)]是一個N×K維的Vandermonde矩陣，

其中E∈CN×L為噪聲.譜壓縮感知的目標是從Y中恢復出原信號X和頻率向量f.

在信息技術中，譜稀疏信號及其參數(shù)恢復又稱信號頻譜分析（Stoica et al.，2005），其領域中經(jīng)典的快速傅里葉變換方法（FFT，F(xiàn)ast Fourier Transform）被譽為20世紀十大算法之一（Dongarra et al.，2000）.當通道數(shù)L= 1時，X=x∈CN×1被稱為單通道譜稀疏信號

當L＞1時，X∈CN×L被稱為多通道譜稀疏信號

信號頻譜分析問題在陣列與雷達信號處理中有著廣泛應用（Krim et al.，1996；Yang et al.，2018）.在國防軍事上，為通過雷達偵查空中飛行目標，若干接收天線被布置成天線陣列，監(jiān)測飛行目標的方位信息.每個信源均可引起空間中無線電信號的周期變化，其反映在天線陣列中的變化周期/頻率與信源方位密切相關.在短時間內采集多個時刻點的陣列輸出信號，這些信號組成了多通道的譜稀疏信號.基于信號頻譜分析便可從陣列輸出信號中估計出信源方位信息.另外，信號頻譜分析問題亦常見于無線通信和用戶感知定位（Garcia et al.，2017）等實際問題.

當L＞1 且S=BΦ，其中B= diag(b) ∈RK×K，bk＞0 且Φ ∈CK×L，Φkl= ei?kl時（即S在通道間的模恒定），X∈CN×L被稱為恒模譜稀疏信號（Leshem et al.，1999）：

顯然，恒模譜稀疏信號是一類具有恒模結構的多通道譜稀疏信號.由于無線通信和雷達中的發(fā)射信號經(jīng)常采用相位調制、頻率調制、相移鍵控和頻移鍵控等恒模調制方式，恒模譜稀疏信號普遍存在于陣列信號處理和通感一體化等實際問題中（Liu et al.，2018）.Wax（1992）、Williams et al.（1992）和Leshem et al.（1999）的研究表明，通過利用恒模結構，可以在頻率的可辨識個數(shù)和估計精度上帶來顯著的性能增益.

對于單通道和多通道譜稀疏信號，傳統(tǒng)頻譜分析方法對數(shù)據(jù)質量要求高，精度有限.早期基于FFT的波束成形方法雖然計算速度快，易于實現(xiàn)，但精度較低，需要充足的樣本數(shù)據(jù).極大似然估計具有漸近有效性，是統(tǒng)計估計的基本準則和終極目標.然而參數(shù)域上的極大似然估計方法（Feder et al.，1988；Starer et al.，1992）需要求解高度非凸的優(yōu)化問題，其性能通常嚴重依賴于優(yōu)化算法的初始化選取，導致其在實際中難以應用.上世紀70 年代提出的子空間方法（Paulraj et al.，1986；Schmidt，1986；Stoica et al.，1989）在理想數(shù)據(jù)環(huán)境下取得了不錯的性能，但在數(shù)據(jù)稀缺（即通道數(shù)少）和數(shù)據(jù)缺失等非理想數(shù)據(jù)環(huán)境下，子空間方法的性能急劇下降.本世紀初建立起來的基于原子范數(shù)最小化的凸優(yōu)化方法（Candès et al.，2013；Tang et al.，2013；Candès et al.，2014；Yang et al.，2016）雖然顯著降低了對數(shù)據(jù)質量的要求，但凸松弛導致其具有嚴格的分辨率限制，只能恢復相距較遠的頻率參數(shù)，算法精度受限.對于恒模譜稀疏信號，由于恒模結構會引入大量的非凸約束，現(xiàn)有的算法（Veen et al.，1996；Leshem et al.，1999；Leshem，2000；Stoica et al.，2000）要么無法完整利用信號先驗結構，要么對初始化高度敏感，從而導致性能不穩(wěn)定.

為提高算法精度，學界近期提出了針對譜壓縮感知的結構低秩矩陣非凸優(yōu)化框架（Wu et al.，2022a；2022b；2023）.在此框架內，通過精確刻畫譜稀疏信號的幾何結構，將譜稀疏信號嵌入到結構低秩矩陣中，從而將原參數(shù)域極大似然估計問題等價刻畫為信號域中的結構低秩矩陣恢復問題，進一步借助低秩矩陣恢復領域的前沿成果，提出了切實可行的信號域非凸優(yōu)化算法，避免了傳統(tǒng)參數(shù)域極大似然方法對于初始化敏感的根本缺陷，為譜壓縮感知問題求解提供了全新思路.本文綜述了針對單通道（Wu et al.，2022a）、多通道（Wu et al.，2023）和恒模（Wu et al.，2022b）這三類譜稀疏信號的結構低秩矩陣恢復模型，總結了相應的優(yōu)化求解算法，分析了這些模型的共性和特性，并對未來研究方向進行了展望.

1 結構低秩矩陣恢復框架

1.1 從參數(shù)域到信號域

假設頻率f和系數(shù)S是確定但未知的，E為隨機高斯白噪聲，頻譜分析中的參數(shù)域極大似然估計可以表述為以下非線性最小二乘問題

當f給定時，通過最小二乘法可以容易地得到S的估計，因此問題關鍵是求解f.Stoica et al.（2005）的研究表明，問題（6）中的目標函數(shù)關于頻率參數(shù)f高度非凸，難以設計算法找到全局最優(yōu)點.

為解決問題（6）的可求解問題，Candès et al.（2013），Tang et al.（2013），Candès et al.（2014）和Yang et al.（2016）提出了基于原子范數(shù)最小化的凸優(yōu)化方法，帶來了譜壓縮感知領域的技術變革，但凸優(yōu)化方法本質上是對原參數(shù)域非凸極大似然問題（6）的凸松弛，這種松弛帶來了精度和速度上的弊端.具體而言，凸松弛導致凸優(yōu)化方法具有嚴格的分辨率限制，只能恢復相距較遠的頻率參數(shù)，算法精度受限.事實上，即使在無噪環(huán)境中，凸優(yōu)化方法也需要頻率間保持適當距離.此外，凸優(yōu)化方法最終需求解半正定規(guī)劃問題，而針對后者的算法往往都存在計算復雜度過高的缺陷，這導致凸優(yōu)化方法在計算速度上受限.精度和速度的兩大弊端嚴重制約了凸優(yōu)化方法在實際場景中的應用.近幾年，學界在上述凸優(yōu)化框架下探索了精度與速度的折中（Morgenshtern et al.，2016；Wang et al.，2018；Zhang et al.，2022），但無法在兩方面同時進行改進.

不同于上述的參數(shù)域極大似然方法和凸優(yōu)化方法，Wu et al.（2022a）提出了信號域的極大似然方法，其將問題（6）等價表述為頻譜稀疏結構約束下的信號恢復問題

其中譜稀疏信號集合

其具體形式根據(jù)考慮的譜稀疏信號種類不同而有所變化.問題（7）的變量為信號X，故其被稱為信號域上的極大似然估計問題.通過將問題（6）等價為問題（7），目標函數(shù)的非凸性被轉移到約束中.針對問題（7）設計切實可行的非凸優(yōu)化算法，有望避免傳統(tǒng)參數(shù)域非凸優(yōu)化方法對于初始化敏感的根本缺陷，取得精度上的提升.

1.2 信號域上的結構低秩矩陣優(yōu)化

要使問題（7）變成一個可求解的優(yōu)化問題，關鍵是為S0構造一個等價且可計算的代理集合.注意到S0中蘊含了Vandermonde和稀疏這兩大類幾何結構，為刻畫這兩類結構同時保證問題的可求解性，學界提出了構造結構低秩矩陣的思想（Andersson et al.，2014；Wu et al.，2022a；Wu et al.，2022b；Wu et al.，2023），其中矩陣的特殊結構用于刻畫Vandermonde結構，矩陣的低秩性則是為了利用信號的稀疏性.在這一結構低秩矩陣框架下，問題（7）被等價轉化為低秩矩陣優(yōu)化問題：

其中SM是結構低秩矩陣約束下的信號集合，它滿足SM=S0.

值得注意的是，SM的構造并非易事.根據(jù)所利用的矩陣結構的不同，現(xiàn)有方法大致可以分為三類：基于Hankel 矩陣（Andersson et al.，2014；Yang et al.，2023）、基于Toeplitz 矩陣（Tang et al.，2013；Yang et al.，2016）、以及基于Hankel-Toeplitz 矩陣（Wu et al.，2022a；2022b；2023）.Wu et al.（2022a）分析指出，基于Hankel矩陣和基于Toeplitz矩陣的兩類方法都存在著難以克服的根本性缺陷.具體而言，Hankel方法中的優(yōu)化問題雖然易于求解，但其沒有利用譜稀疏信號的無衰減（即=1，j= 1，…，N）這一先驗結構，導致構造出的SM要大于S0.為利用無衰減的先驗，Yang et al.（2023）提出了基于double Hankel 矩陣的方法，其構造出的SM比Hankel方法的要更接近S0，但仍然無法保證完全等價.相反，Toeplitz方法通過引入新的Toeplitz矩陣變量，保證了其構造出的SM和S0間的等價性，但其非凸優(yōu)化問題中新引入變量的最優(yōu)解不唯一且無界，導致難以設計有效的非凸優(yōu)化算法進行求解.Wu et al.（2022a）提出的基于Hankel-Toeplitz 矩陣的方法克服了Hankel 方法和Toeplitz 方法的缺陷，并同時繼承了它們的優(yōu)點，即其構造的SM等價于S0，且對應的問題（8）的最優(yōu)解唯一.

本文重點介紹基于Hankel-Toeplitz 矩陣的這類方法.如前所述，單通道、多通道和恒模這三類譜稀疏信號雖然都屬于S0，但其各自系數(shù)S的具體形式各有特點，因此需要基于Hankel-Toeplitz矩陣構造不同的SM.在接下來的三節(jié)中，我們將對三類信號對應的基于Hankel-Toeplitz 低秩矩陣的模型和優(yōu)化算法進行逐一介紹.

2 單通道譜壓縮感知

2.1 單通道信號的Hankel-Toeplitz低秩矩陣模型

對于式（3）中的單通道譜稀疏信號x∈CN，對應的信號集合

不失一般性，假設N= 2n- 1，Wu et al.（2022a）中構造了基于Hankel-Toeplitz低秩結構矩陣的集合

和兩個互為共軛的Hermitian Toeplitz矩陣

定理1（Wu et al.，2022a） 假設K＜n，則如下命題成立：

假設原極大似然估計問題（6）的最優(yōu)解是{fML，sML}，其中sMLk≠0 幾乎成立（若不成立，則y可以由K- 1 個或更少的正弦波疊加而成，當有噪聲存在時，這種情況出現(xiàn)的概率為零）.根據(jù)唯一性，問題（11）具有如下唯一最優(yōu)解

最優(yōu)解唯一使得我們能夠設計非凸優(yōu)化算法有效地求解問題（11），繼而頻率f可以通過使用子空間方法（Paulraj et al.，1986；Schmidt，1986；Stoica et al.，1989）計算式（12）中Topelitz 矩陣的Vandermonde 分解得到.

2.2 優(yōu)化算法

由于秩約束的存在，問題（11）是非凸優(yōu)化問題.近年來交替方向乘子法（ADMM，Alternating Direction Method of Multipliers）（Boyd et al.，2011）在求解凸優(yōu)化和非凸優(yōu)化問題時都取得了優(yōu)異的性能表現(xiàn)（Andersson et al.，2014），因此Wu et al.（2022a）采用ADMM對問題（11）進行求解，具體求解過程如下：

問題（13）的增廣Lagrange函數(shù)

其中每步迭代中其它變量均使用往步迭代更新后的值.

子問題（14）的解為（Dax，2014）

其中投影是通過對Hermitian矩陣做截斷特征值分解實現(xiàn)，截斷的方式為：若正特征值的數(shù)量大于或等于K，則保留前K個特征值，令其余特征值為0；若正特征值的數(shù)量小于K，則保留所有的正特征值，令其余特征值為0.

其中I為單位陣，HH和TH分別表示Hankel 算子和Toeplitz 算子的伴隨算子，DH= diag{1，2，…，n，n- 1，…，1} 和DT= diag{n，n- 1，…，1}.

3 多通道譜壓縮感知

3.1 多通道信號的Hankel-Toeplitz低秩矩陣模型

對于式（4）中的多通道譜稀疏信號X∈CN×L，其對應的信號集合= S0.與單通道信號相比，多通道信號不僅擁有更多的通道數(shù)據(jù)，更重要的是各通道間都共享著相同的頻率參數(shù)，即聯(lián)合稀疏性.因此，有效地利用聯(lián)合稀疏性是解決多通道譜壓縮感知問題的核心.為刻畫中的信號幾何結構，Wu et al.（2023）構造了基于Hankel-Toeplitz低秩結構矩陣的集合

且其最優(yōu)解唯一.

3.2 優(yōu)化算法

與單通道情形相同，Wu et al.（2023）提出采用ADMM 對秩約束下的非凸優(yōu)化問題（17）進行求解.不同的是，此處問題（17）中的變量{tl}和t耦合在一起，不能分離求解.Wu et al.（2023）的求解過程簡要概況如下：

問題（18）的增廣Lagrange函數(shù)

ADMM的算法迭代步驟如下

其中每步迭代中其它變量均使用往步迭代更新后的值.

子問題（19）的解為（Dax，2014）

對于關于{{tl}，t}的子問題，使用Lagrange乘子法，可以得到如下更新公式

4 恒模譜壓縮感知

4.1 恒模信號的Hankel-Toeplitz低秩矩陣模型

對于式（5）中的恒模譜稀疏信號X∈CN×L，其對應的信號集合

與多通道信號相比，恒模信號的特性在于系數(shù)S在其通道間的模是恒定的.針對恒模信號去構造結構低秩矩陣的關鍵在于有效利用恒模結構.Wu et al.（2022b）構造了基于Hankel-Toeplitz低秩矩陣的集合

其中CM是constant modulus的縮寫，并給出了如下定理：

定理3假設K＜n，則如下命題成立：

和單通道情形類似，由定理3 知問題（23）的最優(yōu)解是唯一的.由于實際計算中難以保證兩個矩陣的秩相等，Wu et al.（2022b）考慮松弛后的問題

通過分析和實驗得出，這種松弛是近似緊的，一般不會改變問題的最優(yōu)解.

4.2 優(yōu)化算法

和問題（17）相比，問題（24）中變量有所減少.Wu et al.（2022b）同樣采用了ADMM 求解.首先簡記引入一系列輔助變量{Ql∈C2n×2n}，問題（24）可以等價為

問題（25）的增廣Lagrange函數(shù)

ADMM的迭代更新步驟為

子問題（26）的解為（Dax，2014）

5 總結與展望

本文從模型和算法兩方面系統(tǒng)地總結了譜壓縮感知問題的結構低秩矩陣恢復方法.從模型層面而言，單通道、多通道和恒模這三類譜稀疏信號的優(yōu)化模型雖都利用了Hankel-Toeplitz低秩矩陣，但在具體形式上卻有著本質區(qū)別.從算法層面而言，三個優(yōu)化模型都采用了ADMM算法求解.值得注意的是，單通道的模型可以看作多通道模型和恒模模型的特殊形式，當通道數(shù)L= 1時，以上針對多通道信號和恒模信號的結果均退化為單通道信號的結果.Wu et al.（2022a；2022b；2023）給出了大量的實驗仿真，驗證了相對于已有最先進的方法，上述基于Hankel-Toeplitz低秩矩陣的方法在算法精度上都有著顯著提升.

由于上述方法中的ADMM 算法在每步迭代中都要進行K截斷特征值分解，此分解通常有著較高的計算復雜度O(N2K)（Halko et al.，2011），制約了方法整體的計算速度，因此未來的一個研究方向是對于Hankel-Toeplitz低秩矩陣模型，設計加速算法，降低計算復雜度，以此來滿足實際系統(tǒng)中低時延高速度的需求.另外，由于學界對ADMM 算法在求解非凸優(yōu)化問題時的理論收斂性和最優(yōu)性還處在研究之中，導致上述方法的收斂性結果（Wu et al.，2022a；2022b；2023）較弱，給出更強的理論保證也將是未來研究的方向.最后，我們考慮將上述的結構低秩矩陣恢復框架應用于具體的工程問題，結合實際系統(tǒng)的特性來改進和拓展模型.