林利飛，王彥偉，李金陽，王恒力

（1.延長油田股份有限公司，陜西 延安 716099；2.延安大學 石油工程與環(huán)境工程學院，陜西 延安 716000）

蘇里格氣田已經(jīng)成為中國年產(chǎn)氣量最大的致密氣藏，為保障中國經(jīng)濟發(fā)展和能源安全做出了巨大貢獻［1-3］。壓裂水平井大規(guī)模開發(fā)已經(jīng)成為蘇里格致密氣藏高效開發(fā)的重要保障，因此探究蘇里格致密氣藏水平井產(chǎn)能影響因素對致密氣藏開發(fā)具有重要意義［4］。

壓裂水平井技術之所以能夠使氣井保持高效開發(fā)，主要因為通過壓裂增大了裂縫的泄流面積，減小了流動阻力，同時使井筒周圍的流動方式由徑向流變?yōu)榫€性流，使地層壓力下降更加緩慢，充分利用了地層能量［5-6］。壓裂水平井在生產(chǎn)過程中，流動狀態(tài)絕大多數(shù)時間處于不穩(wěn)定流動階段［7］。在其不同壓力響應和產(chǎn)量遞減的階段，儲層流體具有不同的流動形態(tài)，因而具有不同的壓力和產(chǎn)量遞減特征［8］。然而，由于致密氣藏應力敏感性普遍較強，加之壓裂后裂縫應力敏感性再次加強，導致應力敏感性對壓裂水平井產(chǎn)能的影響不可忽略［9-11］。目前常采用油藏數(shù)值模擬技術、機器學習和數(shù)學模型的方法對壓裂水平井產(chǎn)能進行評價［12-14］。但是，油藏數(shù)值模擬技術難以考慮應力敏感性因素的影響，而應力敏感性在致密氣藏中普遍存在，因此油藏數(shù)值模擬技術分析誤差較大［15］。機器學習技術則受到樣本數(shù)量、機器學習方法的影響，其計算精度仍有待于提高［16］。數(shù)學模型方法的優(yōu)點是可以根據(jù)各個氣藏的特點針對性地考慮一些因素，例如滑脫效應、應力敏感、啟動壓力梯度等［17］。強賢宇等［18］考慮裂縫參數(shù)建立了強適用性的壓裂水平井氣-水同產(chǎn)產(chǎn)能預測模型，進一步完善了水平井產(chǎn)能評價體系。然而，針對蘇里格致密氣藏儲層特征的水平井產(chǎn)能影響主控因素仍然模糊，尤其是產(chǎn)能影響因素的敏感性研究報道極少。

針對以上亟需解決的實際問題，本研究充分考慮氣-水兩相滲流在地層和裂縫中不同滲流規(guī)律及裂縫間相互干擾，基于致密儲層滲流理論，建立壓裂水平井各個流動階段的數(shù)學模型，獲得各流動階段井底壓力的解析解，在此基礎上，利用杜哈美原理，將產(chǎn)量與壓力進行轉換，得到產(chǎn)量遞減曲線。重點分析裂縫數(shù)量、裂縫長度、裂縫導流能力以及應力敏感等因素對水平井產(chǎn)能的影響。該研究有助于解決目前蘇里格氣田壓裂水平井開發(fā)的實際問題，指導開發(fā)人員準確把握氣井生產(chǎn)動態(tài)。

1 數(shù)學模型的建立

根據(jù)實際區(qū)塊的地質條件，假定在均質氣藏中心有口壓裂水平井，模型的邊界條件為封閉圓形，裂縫方向為垂直橫向，如圖1所示。水平段方向為y軸方向，裂縫面與水平段方向垂直。模型假設水平井壓裂縫為有限導流，每條橫切水平井的裂縫具有相同屬性，即裂縫的長度、寬度、高度和導流能力都保持一致，流體通過裂縫流入水平井筒，且總流量保持不變。流體在儲層內的流動主要有基質到裂縫的流動、裂縫內的流動、裂縫向井筒內的流動。由于其儲層為致密砂巖，沒有壓裂就沒有產(chǎn)能，所以忽略由基質向井筒內的流動。

圖1 壓裂水平井物理模型圖

在圓形封閉氣藏內的壓裂水平生產(chǎn)井模型中，其地層及流體滿足：1）氣藏頂?shù)缀蛨A形邊界均為不滲透邊界；2）氣體的滲流過程符合達西定律，不考慮毛管力和重力的影響；3）假定裂縫半長為Lf，其方向與井筒方向垂直，完全穿透儲層。

對于壓裂水平井的多裂縫間相互干擾問題，AMINI 等［19］采用數(shù)值離散的方法來描述裂縫之間的干擾流動，但這種方法比較復雜，而且中期徑向流動特征描述不是很明確。本文利用疊加原理表征裂縫干擾的影響。若水平井包含n條裂縫，考慮整個系統(tǒng)時，每條裂縫看作一個單元，那么將有n+1 個未知量，由點源解沿裂縫方向進行積分，得到線源解，將各影響函數(shù)進行疊加，解決了裂縫之間的干擾問題，同時引入裂縫導流能力影響函數(shù)，給出有限裂縫導流能力壓裂水平井產(chǎn)量動態(tài)分析。

根據(jù)物質平衡方程、狀態(tài)方程和達西定律建立偏微分方程。在均質地層中其連續(xù)性方程為

真實氣體定律：pM=ZgρRT。

根據(jù)Warren 和root 理論，由于致密氣藏的滲透率比較小，認為在基質中流動為擬穩(wěn)態(tài)流動［20］，則式（1）可轉換為

其中，L和Lf分別為水平段長度和裂縫半長，m；h為儲層厚度，m；μ和μi分別為氣體黏度和原始地層條件下氣體黏度，mPa·s；?為孔隙度；Ct和Cgi分別為綜合性壓縮系數(shù)和原始地層條件下氣體等溫壓縮系數(shù)，MPa-1；γ為應力敏感系數(shù)；ppi和pp分別為原始和目前地層壓力，MPa。

將式（3）和（4）代入式（2）中，滲流方程可轉化為

由于滲流方程的非線性，難以求解，因此為了將方程線性化，對滲流方程進行Pedrosa 代換。式（5）符合貝塞爾方程的條件，因此方程通解為

再根據(jù)其邊界條件得到

其中，reD為無因次供給半徑。

對裂縫面上某點處壓力解沿裂縫方向進行積分，則式（6）變?yōu)?/p>

其中，K1(x)、I1(x)稱為第二類變形函數(shù)K0(x)、I0(x)的一次積分，S為裂縫導流能力。

貝塞爾函數(shù)的比值tS在初期幾乎為零，但在后期對貝塞爾變形函數(shù)積分很難取得精確值，因此，對式（7）的右邊采用Ozkan 給出單條裂縫井在封閉氣藏中產(chǎn)生的壓力降：降落，所以在地層中任意一點產(chǎn)生的壓力降都等于各條裂縫產(chǎn)生的壓力降之和。第i條裂縫處的壓力為

再經(jīng)過轉換

由于壓裂水平井的產(chǎn)量為各條裂縫產(chǎn)量之和，然后對其進行拉普拉斯變換即可得到

其中，xeD為供給邊界與x方向的無因次距離，xwD為井筒邊界與x方向的無因次距離；ywD為井筒邊界與y方向的無因次距離；I為水平井的無因次累積生產(chǎn)時間為井筒內流動產(chǎn)生的無因次壓力降；為裂縫產(chǎn)生的無因次壓力降總和為基質內流動產(chǎn)生的無因次壓力降為裂縫內流動產(chǎn)生的無因次壓力降，因值較小，計算忽略為基質向裂縫流動產(chǎn)生的無因次壓力降。壓裂水平井沿井筒方向壓裂產(chǎn)生n條裂縫，在生產(chǎn)過程中，每條裂縫都會有地層中的氣體向其流動，造成壓力

因為是無限導流，所以每條裂縫處的無因次壓力相等，所以

因此式（15）和（16）中有n+1 個變量和n+1 個方程，所以建立方程矩陣為

如果考慮到裂縫為有限導流能力，那么裂縫內存在壓力降，對于封閉油藏壓裂水平井有限導流裂縫壓力分布建立起來的矩陣方程對角線上的元素發(fā)生變化：

根據(jù)杜哈美原理無因次壓力和無因次產(chǎn)量的拉普拉斯空間下的轉換關系為

則根據(jù)stephest 反演即可解得無因次壓力和無因次產(chǎn)量。

2 壓裂水平井的滲流特征分析

利用式（20），經(jīng)過stehfest反演計算封閉邊界氣藏壓裂水平井的井底壓力公式，對該公式進行編程計算，可繪制封閉氣藏壓裂水平井的壓力動態(tài)曲線，如圖2 所示。根據(jù)無因次壓力一階導數(shù)曲線形態(tài)劃分，可將壓裂水平井流動階段劃分為5段：早期線性流（Ⅰ）、中期徑向流（Ⅱ）、中期線性流（Ⅲ）、系統(tǒng)徑向流（Ⅳ）和邊界控制流（Ⅴ）。在早期線性流階段，曲線主要反映2個線性流動同時發(fā)生，即流體從人工裂縫流向井筒和流體從儲層流向人工裂縫，該階段的壓力及壓力導數(shù)曲線的形態(tài)是斜率為1/4的直線；在中期徑向流階段曲線主要反映流體從儲層到人工裂縫的流動；在中期線性流階段曲線主要反映流體從儲層到人工裂縫的橢圓流動；系統(tǒng)徑向流階段，曲線主要反映后期流體從儲層到人工裂縫的徑向流動，該階段的無因次壓力導數(shù)曲線為近似水平直線；邊界控制流階段，壓力波探測到了封閉外邊界，流體開始進行擬穩(wěn)定流動，其壓力和壓力導數(shù)曲線為斜率為1的直線。

圖2 壓裂水平井的無因次壓力曲線

同時應用杜哈美原理，根據(jù)式（20）經(jīng)過stehfest 反演，應用Blasingame 方法計算得無因次產(chǎn)量的遞減曲線如圖3 所示，可知圖包括兩部分曲線，前半部分是非穩(wěn)態(tài)流動的曲線特征，后半部分是邊界控制流的曲線特征。與水平井Blasingame的典型曲線圖對比，可知壓裂水平井的產(chǎn)量更高，尤其是在邊界控制流動階段，產(chǎn)能差異更大。因此如果壓裂水平井的生產(chǎn)數(shù)據(jù)直接采用典型水平井曲線來擬合、計算，將會對壓裂水平井產(chǎn)量造成很大的偏差。

圖3 壓裂水平井的無因次產(chǎn)量遞減曲線

3 影響因素分析

3.1 裂縫數(shù)量的影響

在無因次供給半徑reD=40，裂縫半長Lf=80 m，裂縫間距LD=200 m，無應力敏感和無限導流能力下，繪制不同裂縫數(shù)量時壓力變化動態(tài)曲線和無因次產(chǎn)量遞減曲線，如圖4 所示。由壓力動態(tài)曲線（圖4A）可知，隨著裂縫數(shù)量增多，近井地帶儲層改造效果變好，在短時間內儲層中大量的天然氣從基質滲流至裂縫中并被采出，表現(xiàn)為開發(fā)初期井底壓力降低的幅度增大。對比發(fā)現(xiàn)裂縫數(shù)量越多，裂縫之間的線性流和徑向流時間越長。由產(chǎn)量遞減曲線（圖4B）可知，隨著裂縫數(shù)量的增多，水平井初期的產(chǎn)量增加，但是產(chǎn)量遞減也加快。因此水平井裂縫數(shù)增多，可以有效的提高水平井初期產(chǎn)量。

圖4 裂縫數(shù)量對壓力和產(chǎn)量動態(tài)曲線的影響

3.2 裂縫半長的影響

在無因次供給半徑reD=40，裂縫數(shù)n=5，裂縫間距LD=200 m，無應力敏感和無限導流能力下，繪制不同裂縫半長時壓力動態(tài)曲線和無因次產(chǎn)量遞減曲線，如圖5 所示。由圖5A 可知，在不同的裂縫半長下，早期線性流階段壓降速率線幾乎重合，表明裂縫半長對早期線性流沒有影響。其原因在于早期線性流階的滲流過程為流體從人工裂縫流向井筒和從儲層流向人工裂縫，裂縫半長的大小并不能影響流體早期滲流的速率，因此裂縫半長對早期線性流沒有影響。裂縫半長主要影響中期線性流、系統(tǒng)徑向流和邊界控制流階段，裂縫半長越大，中期線性流持續(xù)時間越長，中期徑向流越短，壓降也越大。在中期線性流至邊界控制流階段，流體分別經(jīng)過了從儲層到人工裂縫的橢圓流動、從儲層到人工裂縫的徑向流動、擬穩(wěn)定流動狀態(tài)，此時裂縫半長越大則參與滲流的基質范圍越廣，因此壓降速率越大。圖5B 表明，隨著裂縫半長的增大，開發(fā)早期水平井產(chǎn)量增大，同時遞減率也增加。在進入開發(fā)后期，不同裂縫半長的產(chǎn)量曲線重疊，表明在開發(fā)后期裂縫半長對產(chǎn)量的影響逐漸減小。因此，相同條件下水平井的初期產(chǎn)量隨著裂縫半長的增大而增大。

圖5 裂縫半長對壓力和產(chǎn)量動態(tài)曲線的影響

3.3 導流能力的影響

在無因次供給半徑reD=40，裂縫數(shù)n=5，裂縫半長Lf=80 m，裂縫間距LD=200 m，無應力敏感下，繪制不同導流能力時的壓力動態(tài)曲線和無因次產(chǎn)量遞減曲線，如圖6 所示。由圖6A 可知，裂縫導流能力主要影響早期裂縫線性流和徑向流，在該階段，裂縫導流能力越大，壓力降落速率越快，在其他滲流階段壓力降落曲線重合，表明裂縫導流能力對中期線性流、系統(tǒng)徑向流和邊界控制流階段幾乎無影響。圖6B表明，在水平井開發(fā)早期，裂縫導流能力越大，早期產(chǎn)量越大，開發(fā)后期對產(chǎn)量的影響逐漸減弱。其主要原因：在開發(fā)早期氣體從人工裂縫流向井筒和流體從儲層流向人工裂縫，因此裂縫的導流能力至關重要，導流能力越大則早期產(chǎn)能越大；在開發(fā)中后期，主要的滲流特征為氣體從儲層到人工裂縫的徑向流動，該階段以基質孔喉內的滲流為主，加之開發(fā)后期地層壓力下降引起人工裂縫閉合，因此裂縫導流能力的大小在該階段對產(chǎn)能影響較弱。

圖6 裂縫導流能力對壓力和產(chǎn)量動態(tài)曲線的影響

3.4 應力敏感的影響

為確定應力敏感系數(shù)的取值，選取蘇里格氣田蘇54 區(qū)盒8 段致密儲層的樣品進行了應力敏感性實驗。實驗過程：將巖心在104 ℃下干燥10 h，將干燥后的巖心放入巖心夾持器中，并將圍壓增加到2 MPa，驅替壓力為0.2 MPa，出口端壓力為大氣壓，記錄固定時間（60 s）出口處的氣體體積，當連續(xù)3 次測量的誤差小于2%時則認為達到穩(wěn)定滲流狀態(tài)，停止計量。隨后將圍壓提高1 MPa，待穩(wěn)定后再次測量出口端氣體體積。根據(jù)測量得到的壓力、時間、氣體體積等參數(shù)計算巖心滲透率，當圍壓為25 MPa時，滲透率不再減小，結束實驗。實驗最終得到了巖心在不同圍壓條件下的滲透率。應力敏感系數(shù)計算公式如下：

其中，K0為初始滲透率，mD；?K為滲透率變化量，mD；?P為壓力變化量，Mpa。

圖7為實驗所得到的相對滲透率和應力敏感系數(shù)與圍壓的關系曲線圖，相對滲透率為樣品目前的滲透率與初始滲透率之比。由7A 圖可知，巖心樣品的相對滲透率隨著圍壓的增加而降低，根據(jù)滲透率變化率將圍壓加載過程分為3 個階段，圍壓由2 MPa增加至5 MPa時相對滲透率減小至0.63，在這個階段相對滲透率的損失率為37%，相對滲透率隨著圍壓的增加而迅速減小；圍壓由5 MPa 增加至15 MPa時，相對滲透率由0.63 減小至0.25，相對滲透率的損失率比前一階段小，但對致密氣藏開發(fā)的影響仍不可忽視；圍壓由15 MPa 增加至25 MPa 時，相對滲透率減小至0.15，意味著圍壓為25 MPa 時滲透率僅為初始滲透率的15%，在這個階段相對滲透率的變化率最小。由圖7B 可知，致密氣藏應力敏感系數(shù)隨圍壓增加而不斷減小，其分布范圍為0.015～0.077，因此本研究應力敏感系數(shù)取值為0、0.06、0.08。

圖7 相對滲透率和應力敏感系數(shù)與圍壓的關系曲線圖

在無因次供給半徑reD=40，裂縫數(shù)n=5，裂縫間距LD=20，裂縫半長Lf=80，無限導流能力下，繪制不同應力敏感系數(shù)時的壓力動態(tài)曲線和無因次產(chǎn)量遞減曲線，如圖8 所示。由圖8A 可知，應力敏感主要影響地層邊界控制流，應力敏感越強，其擬壓力及其導數(shù)越往上翹，邊界流時間也越短；在線性流和系統(tǒng)徑向流時期影響比較小。圖8B表明，在曲線形態(tài)上的擬穩(wěn)態(tài)階段，產(chǎn)量下降幅度最大，產(chǎn)量遞減曲線不再遵循調和遞減，導致可動用儲量減小。主要是因為在擬穩(wěn)態(tài)階段地層壓力下降幅度較大，在該階段應力敏感系數(shù)較大，儲層滲透率大幅度下降，引起產(chǎn)能下降，結果表明應力敏感越強，對產(chǎn)量的影響越大。

圖8 應力敏感對壓力和產(chǎn)量動態(tài)曲線的影響

4 主控因素分析

本文以蘇里格氣田蘇54 區(qū)盒8 段儲層為例，分析致密氣藏壓裂水平井產(chǎn)能影響的主控因素。蘇54 區(qū)主要巖石類型為石英砂巖、巖屑石英砂巖和巖屑砂巖，其中石英砂巖含量最大，可達到52.2%，巖屑石英砂巖含量次之，可達到39.6%。碎屑成分以石英類為主，巖屑類次之。填隙物以伊利石、高嶺石、硅質居多。目標儲層主要以粗砂中-粗粒（43.9%）、中粒（38.5%）為主。研究區(qū)目標層位孔隙度分布范圍為4.5%～11.3%，平均孔隙度為8.8%；滲透率介于0.12～3.85 mD，平均為0.36 mD；平均含氣飽和度為54.3%，儲層厚度為6.5 m。根據(jù)以上儲層物性特征判斷，研究區(qū)屬于典型的致密氣藏。研究區(qū)目標層位水體不發(fā)育，開發(fā)過程幾乎不產(chǎn)水。

分別求取裂縫數(shù)量、裂縫半長、裂縫導流能力、應力敏感系數(shù)對水平井初期產(chǎn)量、累積產(chǎn)量的相關系數(shù)，進而根據(jù)相關系數(shù)確定水平井產(chǎn)量的主控因素。分別根據(jù)圖4B、圖5B、圖6B 和圖8B 獲得不同影響因素下的無因次產(chǎn)量，結果如表1所示。

表1 不同影響因素下的無因次產(chǎn)量

根據(jù)式（21）計算各個因素與無因次產(chǎn)量的相關系數(shù)，結果如表2 所示。無因次初期產(chǎn)量相關性最強的是裂縫數(shù)量，其相關系數(shù)達到2.35，相關性最弱的是導流能力，相關系數(shù)僅有0.22。無因次累積產(chǎn)量的相關性由強到弱順序為裂縫數(shù)量>裂縫半長>應力敏感>導流能力。因此對于致密氣藏水平井開發(fā)，在經(jīng)濟效益允許的范圍內，應該增加裂縫數(shù)量、增大裂縫半長。

表2 影響因素的相關系數(shù)計算結果表

其中，R為相關系數(shù)；ΔqDd為無因次產(chǎn)量的變化量；a1、a2分別為影響因素的無因次特征值。

5 結論

1）有限導流裂縫壓裂水平井的曲線形態(tài)主要為線性流和徑向流，導數(shù)曲線形態(tài)可劃分5個階段：早期線形流、中期徑向流、中期線性流、系統(tǒng)徑向流和邊界控制流。

2）裂縫數(shù)量增加，水平井開發(fā)初期產(chǎn)量增加，但是遞減也加快；裂縫半長主要影響中期線性流、系統(tǒng)徑向流和邊界控制流階段，裂縫半長越大，開發(fā)初期單井產(chǎn)量越大；在水平井開發(fā)早期，裂縫導流能力越大，早期產(chǎn)量越大，開發(fā)后期對產(chǎn)量的影響逐漸減弱；應力敏感主要影響地層邊界控制流，在水平井開發(fā)后期，應力敏感越強，產(chǎn)量下降幅度越大。

3）影響致密氣藏壓裂水平井滲流的影響因素按作用大小排序為裂縫數(shù)量>裂縫半長>應力敏感>導流能力。因此在致密氣藏水平井開發(fā)過程中，可通過增加裂縫數(shù)量和增大裂縫半長來提高水平井產(chǎn)量。