周 瀟，張海成，施奇佳，徐道臨，鄒偉生

（1.湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，長沙 410000；2.長沙理工大學(xué)水利工程學(xué)院，長沙 410114）

0 引 言

隨著經(jīng)濟(jì)和社會的發(fā)展，人類對能源的需求越來越大。為了解決能源短缺問題，尋找替代的可再生能源已經(jīng)成為全球共識[1-2]。在可再生能源中，波浪能因具有能量密度高[3]、連續(xù)性好[4]等優(yōu)點(diǎn)而受到人們的廣泛關(guān)注。

到目前為止，已經(jīng)有超過1000種波能轉(zhuǎn)換技術(shù)獲得了專利[5]。這些裝置中，鉸接浮體波能轉(zhuǎn)換器（WEC）由于無需依賴固定約束結(jié)構(gòu)[6]，所以具有相對較高的海域適應(yīng)性。鉸接浮體波能轉(zhuǎn)換器主要利用相鄰模塊的相對轉(zhuǎn)動來驅(qū)動發(fā)電系統(tǒng)，使波浪能轉(zhuǎn)化為電能。在國外，早期關(guān)于鉸接浮體波能轉(zhuǎn)換器的著名研究是由Haren 等[7]開展的，他們對一些浮體的輪廓進(jìn)行了全面的理論分析，研究了浮體幾何參數(shù)對波能捕獲效率的影響規(guī)律。海蛇型波能轉(zhuǎn)換器（Pelamis WEC）[6]是鉸接浮體波能轉(zhuǎn)換器最成功的應(yīng)用之一。Pelami波能轉(zhuǎn)換器是一種半潛式蛇狀圓柱形裝置，模塊間由鉸鏈接頭連接，使相鄰模塊能夠在關(guān)節(jié)周圍進(jìn)行相對的縱搖和艏搖運(yùn)動，以捕獲波浪能量。除了上述的代表性應(yīng)用外，基于鉸接模塊波能轉(zhuǎn)換器的原理還有一些潛在的應(yīng)用。一些學(xué)者提出將鉸接波能轉(zhuǎn)換器與浮式防波堤相結(jié)合，組合成消波吸能復(fù)合結(jié)構(gòu)物[8]。同時，利用海洋空間和波浪能的多功能海洋平臺[9]所附連的鉸接減搖結(jié)構(gòu)[10-12]是減少平臺水彈性響應(yīng)和增強(qiáng)波能吸收的良好選擇。雖然鉸接浮體波能轉(zhuǎn)換裝置在海洋技術(shù)方面有著巨大的應(yīng)用潛力，但仍然未得到大規(guī)模的工程應(yīng)用[13]，其中制約傳統(tǒng)線性波能轉(zhuǎn)換器最重要的問題是捕獲效率較低和頻帶窄。波能裝置的轉(zhuǎn)換效率與許多因素有關(guān)，包括入射波頻率、波能裝置形狀、吃水深度、重心以及能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的參數(shù)等[14]。眾所周知，線性波能轉(zhuǎn)換器為了達(dá)到較好的波能捕獲效率通常設(shè)置為特定頻率進(jìn)行諧振。由于海浪的主導(dǎo)頻率可能隨時間而變化，使其偏離系統(tǒng)的設(shè)計頻率，從而導(dǎo)致線性波能轉(zhuǎn)換器在效率方面可能不佳。此外，真實(shí)的波浪是具有波譜特征的不規(guī)則波，由于線性波能轉(zhuǎn)換器較窄的波能捕獲頻帶同樣不能很好地捕獲非規(guī)則波中各個頻率分布下的能量，從而影響總體捕獲效率。為了提高波能轉(zhuǎn)換器的捕獲效率，很多研究者已經(jīng)進(jìn)行了多項(xiàng)工作。一些學(xué)者[15-16]致力于通過優(yōu)化浮體模塊的形狀和尺寸，進(jìn)而優(yōu)化鉸接浮體波能轉(zhuǎn)換裝置的波能轉(zhuǎn)換效率。他們針對浮體橫截面、浮體半徑等結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)方面進(jìn)行了研究，但是發(fā)現(xiàn)通過結(jié)構(gòu)改進(jìn)提高效率的效果有限。另一方面，對于鉸接波能轉(zhuǎn)換器來講，要捕獲低頻長波的能量，需要浮體尺度與波長匹配（共振時）才能有效，這就需要設(shè)計尺度較大的浮體來吸收波浪中的長波能量，這對于結(jié)構(gòu)的安全性是個極大的挑戰(zhàn)。也有學(xué)者采用主動控制技術(shù)來提高波能轉(zhuǎn)換器的效率。閉鎖控制[17]及最優(yōu)控制策略[18]等方法已在多個自由度（degree of freedom，DOF）波能轉(zhuǎn)換器中得以實(shí)現(xiàn)。數(shù)值結(jié)果表明，控制方法對提高規(guī)則和不規(guī)則波中波能轉(zhuǎn)換器的性能是有效的。但值得注意的是，控制器的性能必須依賴于入射波的所有信息[19]，然而，對于真實(shí)的波況，波面信息的預(yù)測是復(fù)雜而困難的[20]。此外，主控控制方法還存在可靠性低、維護(hù)難等一些實(shí)際問題。

提高波能轉(zhuǎn)換裝置效率的另一個途徑是利用非線性捕獲機(jī)制[21]。近年來，已有學(xué)者提出了許多基于非線性剛度或阻尼機(jī)制的能量捕獲裝置，其在機(jī)械振動、微型機(jī)電系統(tǒng)[22-23]的能量采集領(lǐng)域得到了廣泛的研究與應(yīng)用。對于波能捕獲系統(tǒng)，Zhang 等[24-25]最早將由兩個對稱斜彈簧組成的經(jīng)典負(fù)剛度機(jī)構(gòu)引入到點(diǎn)吸收波能轉(zhuǎn)換器中，研究了負(fù)剛度機(jī)構(gòu)對點(diǎn)吸收波能轉(zhuǎn)換器的波能捕獲特性，數(shù)值結(jié)果表明，附加合適參數(shù)的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)后能顯著提高波能吸收效率，擴(kuò)大捕獲頻帶寬度。基于相同的原理，磁彈簧[26-27]和氣動彈簧[28]形成的其它非線性負(fù)剛度機(jī)構(gòu)也應(yīng)用于點(diǎn)吸收式波能轉(zhuǎn)換器。其基本原理均是通過附加負(fù)剛度機(jī)構(gòu)從而減小系統(tǒng)的等效固有頻率，同時附加的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)與浮子的靜水恢復(fù)力形成雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，由于雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的阱間跳躍機(jī)理可放大浮體的運(yùn)動幅值，從而有效提高波能捕獲效率。與上述負(fù)剛度機(jī)制不同，Younesian 和Alam[29]提出了一種由兩個傾斜的剛性連桿和兩個傾斜的線性彈簧組成的非線性負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，并將其應(yīng)用于點(diǎn)吸收波能轉(zhuǎn)換裝置中，該裝置與浮子的靜水恢復(fù)力耦合可形成多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。數(shù)值結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的非線性負(fù)剛度機(jī)制相比，新型非線性負(fù)剛度裝置還可以通過減小穩(wěn)態(tài)間的勢壘，從而提高非線性波能轉(zhuǎn)換器的穩(wěn)定性。值得注意的是，上述研究都僅涉及點(diǎn)波能轉(zhuǎn)換器，且均理想地考慮浮體僅沿垂蕩方向運(yùn)動。然而，在實(shí)際海況下，浮式波能捕獲裝置一般都具有多個運(yùn)動自由度，應(yīng)考慮多自由度耦合對浮體系統(tǒng)的影響，所以多模塊浮體結(jié)構(gòu)的一般分析較為復(fù)雜。由于多自由度之間的耦合效應(yīng)和能量交換，多自由度波能轉(zhuǎn)換器中使用的非線性負(fù)剛度裝置的機(jī)理尚不明確，需進(jìn)一步深入研究。另一方面，針對海洋復(fù)雜環(huán)境，如何設(shè)計易于海洋波能捕獲裝置海上安裝實(shí)施的簡易負(fù)剛度機(jī)構(gòu)也是值得關(guān)注的。

本文針對鉸接浮體波能轉(zhuǎn)換器能量捕獲效率低、捕獲頻帶窄的技術(shù)瓶頸，提出一種簡潔緊湊的非線性負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，并對其開展動力學(xué)建模以及能量捕獲特性研究。首先，提出負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的概念設(shè)計，其由一簡單的拉伸彈性元件組成。其次，基于Cummins方程建立鉸接兩浮體系統(tǒng)的非線性運(yùn)動控制方程。非線性控制方程里面的卷積積分項(xiàng)使用狀態(tài)空間模型代替，以加快其計算速度。最后，在數(shù)值模擬中，針對鉸接兩浮體波能轉(zhuǎn)換器來研究能量吸收和動力學(xué)響應(yīng)的特性，進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，以驗(yàn)證模型的正確性。最后開展非線性鉸接波能轉(zhuǎn)換器的波能捕獲特性和系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)特性研究，揭示波能轉(zhuǎn)換器效率提升的機(jī)制，研究系統(tǒng)參數(shù)對波能捕獲效率的影響規(guī)律。

1 鉸接雙浮體非線性波能轉(zhuǎn)換器的動力學(xué)模型

1.1 非線性波能轉(zhuǎn)換器的結(jié)構(gòu)概念設(shè)計

圖1 顯示了鉸接雙浮體波能轉(zhuǎn)換裝置。浮體形狀設(shè)計為橢圓形，波能轉(zhuǎn)換器的相鄰浮體通過兩個鉸鏈和一個非線性能量捕獲系統(tǒng)相連。其中，能量捕獲系統(tǒng)主要由液壓系統(tǒng)、非線性剛度機(jī)構(gòu)和能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)組成。液壓缸的一端與活塞桿相連接，另一端通過油管與能量轉(zhuǎn)換裝置相連接。當(dāng)浮體受到波浪激勵作用時，兩個浮體將產(chǎn)生繞鉸鏈的相對縱搖運(yùn)動，推動活塞做功，最后通過能量轉(zhuǎn)換裝置進(jìn)行發(fā)電。非線性能量捕獲系統(tǒng)的等效力學(xué)模型如圖2 所示（側(cè)視圖）。其中，能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)可表征為具有線性阻尼系數(shù)的阻尼器c0。本文提出的非線性剛度機(jī)構(gòu)可表征為一個具有剛度系數(shù)k0的線性彈簧，線性彈簧的原長為L0，當(dāng)兩相鄰浮體沒有相對旋轉(zhuǎn)時，該彈簧處于預(yù)拉伸狀態(tài)，即此時彈簧兩端鉸接點(diǎn)之間的距離δ＞L0。對于施加此非線性剛度機(jī)構(gòu)的兩模塊鉸接系統(tǒng)，當(dāng)兩浮體發(fā)生小角度的相對轉(zhuǎn)動時（即轉(zhuǎn)角始終保證彈簧處于拉伸狀態(tài)），彈簧力對浮體繞鉸鏈相對轉(zhuǎn)動產(chǎn)生負(fù)剛度的作用效果，從而降低縱搖自由度方向的系統(tǒng)等效剛度。

圖1 非線性鉸接雙浮體波能轉(zhuǎn)換器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of wave energy converter with nonlinear hinged double floating body

圖2 非線性能量捕獲系統(tǒng)等效力學(xué)模型Fig.2 Equivalent mechanical model of the nonlinear power take-off system

1.2 波能轉(zhuǎn)換器的運(yùn)動控制方程

本文僅考慮頂浪方向的波浪激勵，且每個模塊只考慮縱蕩、垂蕩和縱搖三個運(yùn)動自由度。首先，我們建立兩套參考坐標(biāo)系，如圖3 所示。其中全局坐標(biāo)系（OXZ）的（X-Z）平面垂直于未擾動自由液面，且Z軸指向向上。另一個是以浮體m的質(zhì)心為原點(diǎn)建立的局部坐標(biāo)系（xm，zm），其中水平軸xm軸指向浮體的縱向，zm軸豎直向上。

圖3 雙浮體系統(tǒng)坐標(biāo)系示意圖Fig.3 Coordinate systems for two-module system

由Cummins方程[30]可知，非線性波能轉(zhuǎn)換器的時域運(yùn)動控制方程可寫為

公式（1）等號左側(cè)的三項(xiàng)FC、FP、FN分別表示鉸接連接器、能量轉(zhuǎn)換裝置阻尼器和非線性剛度機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的力矢量。它們將在下文中逐步推導(dǎo)出。

對于剛性鉸接連接器，傳統(tǒng)可采用拉格朗日乘子法[32-33]建立其位移約束數(shù)學(xué)模型，并與浮體運(yùn)動微分方程聯(lián)立組成鉸接浮體的微分代數(shù)控制方程組。若系統(tǒng)中存在非線性特性，系統(tǒng)運(yùn)動控制方程將變?yōu)榉蔷€性微分代數(shù)方程組，該方程數(shù)學(xué)上求解相對較困難。為了避免求解非線性微分代數(shù)方程組，本文采用柔性鉸接連接器剛化模型來模擬剛性連接器模型，即將鉸接連接器模擬為具有彈性的柔性鉸接連接器，后將連接器剛度設(shè)置為相對較大值來模擬剛性鉸接連接器。以下模型推導(dǎo)時，由于只考慮頂浪的情況，不考慮相鄰浮體的相對艏搖運(yùn)動，可假定僅在浮體的縱向中心線安裝一個鉸接連接器。

將連接器考慮為柔性連接器時，兩個浮體上鉸鏈接頭的兩個連接點(diǎn)的位移矢量可以表示為

式中，Tm(m=1,2)表示變換矩陣，其一般形式[34]可定義為

其中，(xcm,zcm)表示第m個模塊質(zhì)心的全局坐標(biāo)，(x0m,z0m)表示所連接浮體的連接點(diǎn)的坐標(biāo)。

因此，安裝在兩個浮體之間的連接器變形矢量可以表示為

浮體2對浮體1的連接器載荷可以寫為

式中，Kc表示鉸接連接器的剛度矩陣，可表示為

其中，kx和kz分別表示縱向和垂向剛度系數(shù)，且本文中令kx=kz=kc。

考慮作用力與反作用力的關(guān)系，浮體2上連接器載荷可表示為F21=-F12。

由連接器變形而產(chǎn)生的作用力可以通過變換矩陣將其施加在兩個浮體的質(zhì)心上，有

下面進(jìn)一步推導(dǎo)引入的非線性能量捕獲裝置的力學(xué)模型。基于浮體小旋轉(zhuǎn)角度的假設(shè)，由圖2力學(xué)模型的幾何關(guān)系可知，能量捕獲系統(tǒng)的兩個鉸接點(diǎn)之間的相對位移可以表示為

式中，r0為鉸接點(diǎn)到鉸鏈連接器中心的垂直距離（如圖2所示）。

能量捕獲系統(tǒng)作用在浮體1上的阻尼力矩Mp可表示為

對于非線性剛度機(jī)構(gòu)，當(dāng)兩浮體發(fā)生相對縱搖運(yùn)動時，其運(yùn)動簡圖如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)運(yùn)動簡圖Fig.4 System motion diagram

當(dāng)兩浮體運(yùn)動到圖4（a）的位置時，由圖4（b）中幾何關(guān)系可得的任意時刻彈簧長L可表示為

基于胡克定律，浮體1受到的彈簧力可表示為

彈簧力對鉸接點(diǎn)的力臂Lb為

考慮作用力與反作用力的關(guān)系，浮體2 上能量捕獲系統(tǒng)產(chǎn)生的阻尼力矩為M'p=-Mp，彈簧力對浮體2的力矩為M'n=-Mn，即能量捕獲系統(tǒng)和非線性機(jī)構(gòu)的力向量可以寫成

1.3 狀態(tài)空間模型

式（1）中表示輻射力的卷積積分項(xiàng)在數(shù)值求解中會消耗大量的計算時間。已有研究表明，采用狀態(tài)空間模型替換卷積積分項(xiàng)比直接求解卷積積分快近八倍[31]。本文同樣采用狀態(tài)空間替代模型求解卷積積分項(xiàng)。令式（1）中的卷積積分項(xiàng)為

式中，Uij是由狀態(tài)空間模型引入的狀態(tài)矢量，其維度取決于狀態(tài)空間模型的識別維度。

狀態(tài)空間模型中關(guān)鍵的問題是確定系數(shù)矩陣Aij，Bij和Cij。本文采用基于水動力系數(shù)的頻域識別方法[31]。由傅立葉變換可知，

1.4 波能捕獲模型

基于數(shù)值模擬獲得鉸接浮體波能轉(zhuǎn)換器的動力學(xué)響應(yīng)后，可由式（10）的阻尼力矩做功來計算波能轉(zhuǎn)換器捕獲能量的平均功率：

式中，T0是波浪周期的整數(shù)倍。

根據(jù)線性波浪理論，有限水深規(guī)則波的單位波前的入射波功率可以通過下式[36]計算：

式中，g是重力加速度，A為波幅，ρ為水的密度，cg表示波的群速度，其可以通過下式求得：

其中，d表示水深，k表示波數(shù)且滿足色散關(guān)系ω2=gktanh(kd)。

捕獲寬度比被廣泛用于評估波能轉(zhuǎn)換器的性能，其可以通過下式表示：

2 非線性波能轉(zhuǎn)換器的能量捕獲特性

2.1 仿真參數(shù)

本文以兩個相同橢圓浮體組成的鉸接多浮體波能轉(zhuǎn)換器為例[33]進(jìn)行數(shù)值仿真研究，模型如圖5所示。其中浮體的幾何參數(shù)采用文獻(xiàn)[33]已優(yōu)化的結(jié)果。表1給出了該波能轉(zhuǎn)換器的主要參數(shù)值，其中每個浮體的慣性參數(shù)可基于均質(zhì)材料的假設(shè)來計算獲得。

表1 兩模塊波能轉(zhuǎn)換器的主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of two-module wave energy converter

圖5 浮體模型尺寸示意圖Fig.5 Model design dimensions of the modules

為了計算結(jié)果不失一般性，引入以下無量綱數(shù)：

式中，kβ表示浮體縱搖方向的靜水恢復(fù)剛度系數(shù)，即為ks的第三個對角線元素。

2.2 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證連接器模型和卷積積分項(xiàng)替換的正確性，下面將不考慮非線性剛度機(jī)構(gòu)的結(jié)果與文獻(xiàn)[33]進(jìn)行對比，選取線性系統(tǒng)峰值頻率ω*=1.80，波浪幅值A(chǔ)*=0.2，拉伸彈簧無量綱剛度k*0=0。為了表征剛性鉸接連接器，我們選取相對較大的無量綱連接器剛度為k*c=1。使用龍格庫塔方法求解系統(tǒng)的時域動力學(xué)方程（1），并將其獲得的波能捕獲寬度的結(jié)果與參考文獻(xiàn)[33]中頻域方法獲得的相應(yīng)結(jié)果進(jìn)行對比，如圖6 所示。從圖中可以看出，該方法的結(jié)果與鄭等人[33]的結(jié)果一致，表明本文中推導(dǎo)的鉸接力學(xué)模型和狀態(tài)空間模型中參數(shù)識別的正確性。對比同時說明，連接剛度k*c=1 可等效表征剛性鉸接連接器，下文中鉸接連接器剛度均取該值。

圖6 系統(tǒng)能量捕獲寬度比隨阻尼系數(shù)變化驗(yàn)證圖（入射波頻率ω*=1.80，連接器剛度k*c=1，波浪幅值A(chǔ)*=0.2，彈簧剛度k*0=0）Fig.6 Numerical verification of system capture width ratio under different damping coefficients (Incident wave frequency ω*=1.80,connector stiffness k*c=1,wave amplitude A*=0.2,spring stiffness k*0=0)

2.3 非線性鉸接浮體波能轉(zhuǎn)換器的靜力學(xué)特性分析

波能轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的剛度直接影響系統(tǒng)的固有頻率，進(jìn)而影響系統(tǒng)的波能捕獲效率，下面通過波能轉(zhuǎn)換器的勢能研究非線性波能轉(zhuǎn)換器的剛度特性。不考慮重力勢能，非線性鉸接浮體波能轉(zhuǎn)換器縱搖自由度彈性力（靜水恢復(fù)力和附加非線性剛度機(jī)構(gòu)）的勢能可以寫成

為了更加直觀地了解非線性剛度機(jī)構(gòu)對于鉸接浮體波能轉(zhuǎn)換器的靜力學(xué)特性的影響規(guī)律，首先給出線性系統(tǒng)即不附加非線性剛度機(jī)構(gòu)的勢能圖像，如圖7所示。

圖7 線性系統(tǒng)勢能云圖（阻尼系數(shù)c*0=0.01，波浪幅值A(chǔ)*=0.2，彈簧剛度系數(shù) k*0=0）Fig.7 Potential energy surface of linear system (Damping coefficient c*0=0.01, wave amplitude A*=0.2, spring stiffness k*0=0)

圖8 給出了不同非線性系統(tǒng)參數(shù)下浮體系統(tǒng)縱搖自由度方向的勢能變化云圖。將非線性剛度機(jī)構(gòu)引入鉸接多浮體波能轉(zhuǎn)換器時，系統(tǒng)的縱搖勢能曲面由圖7 的圓形等值線變成如圖8（a）、（b）、（d）所示的具有橢圓形等值線的形狀，當(dāng)附加非線性機(jī)構(gòu)的剛度系數(shù)k*0增大，同時參數(shù)α較小時，即參數(shù)如圖8（c）所示時，非線性剛度機(jī)構(gòu)提供的縱搖扭轉(zhuǎn)負(fù)剛度越來越大，負(fù)剛度項(xiàng)對于勢能的影響越來越大，勢能井將會由圖8（a）、（b）、（d）所示的單井變成圖8（c）所示的位于二四象限的雙井的啞鈴型云圖。此時在浮體靜水平衡位置處，附加負(fù)剛度機(jī)構(gòu)提供的負(fù)剛度值大于靜水恢復(fù)正剛度，導(dǎo)致系統(tǒng)在靜水平衡位置處于不穩(wěn)定的負(fù)剛度現(xiàn)象，所以系統(tǒng)出現(xiàn)雙井勢能曲面，此時系統(tǒng)存在兩個穩(wěn)定平衡點(diǎn)和一個不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

圖8 各個參數(shù)下縱搖自由度方向的勢能變化（阻尼系數(shù)c*0=0.01，波浪幅值A(chǔ)*=0.2）Fig.8 Change of potential energy in the direction of pitch freedom under various parameters(Damping coefficient c*0=0.01,wave amplitude A*=0.2)

2.4 規(guī)則波激勵下鉸接雙浮體波能轉(zhuǎn)換器的波能捕獲特性

為了探究鉸接雙浮體波能轉(zhuǎn)換器提升效率的效果和機(jī)理，本節(jié)將研究本裝置在規(guī)則波下的波能捕獲特性。為了與文獻(xiàn)[33]中的經(jīng)典雙模塊波能轉(zhuǎn)換器進(jìn)行對比研究，圖9 給出了該文獻(xiàn)中傳統(tǒng)線性波能轉(zhuǎn)換器的捕獲寬度隨波浪頻率和阻尼系數(shù)變化云圖。從圖中可以看出，在無量綱波浪頻率ω*=1.80 時，有一個能量捕獲相對較大的頻帶，當(dāng)阻尼系數(shù)c*0=0.01 時，該筏式波能捕獲系統(tǒng)的捕獲寬度達(dá)到最大。

圖9 線性系統(tǒng)捕獲寬度比隨波浪激勵頻率和阻尼系數(shù)變化圖（波浪幅值A(chǔ)*=0.2，彈簧剛度系數(shù) k*0=0）Fig.9 Capture width ratio of linear system versus wave frequency and damping coefficient(Wave amplitude A*=0.2,spring stiffness k*0=0）

采用圖8（b）中的非線性系統(tǒng)初始拉伸比和剛度系數(shù)參數(shù)，且采用線性系統(tǒng)獲得的最優(yōu)阻尼系數(shù)，計算非線性系統(tǒng)的捕獲寬度比隨入射波頻率的變化曲線，并與線性系統(tǒng)最優(yōu)捕獲寬度比隨入射波頻率的變化曲線進(jìn)行對比，如圖10所示。從圖看出，通過引入負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，可有效提高系統(tǒng)的捕獲寬度比峰值，同時向低頻拓寬能量捕獲的頻帶。

圖10 捕獲寬度比隨波浪激勵頻率的變化圖（阻尼系數(shù)c*0=0.01，波浪幅值A(chǔ)*=0.2，非線性系統(tǒng)彈簧參數(shù)為 k*0=4, α=0.7）Fig.10 Variation of capture width ratio with wave excitation frequency(Parameter damping coefficient c*0=0.01,wave amplitude A* = 0.2,the nonlinear system parameters of the spring k*0=4, α=0.7)

為了揭示引入非線性剛度機(jī)構(gòu)提高波能捕獲效率的機(jī)理，下面分析線性和非線性波能轉(zhuǎn)換器的勢能圖和相軌跡圖。

圖11（a）和圖11（b）分別是取圖10 中線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)捕獲寬度比峰值處對應(yīng)的波浪頻率下（非線性系統(tǒng)ω*=1.56，線性系統(tǒng)ω*=1.80）縱搖自由度勢能和相軌跡圖。對比勢能云圖可知，通過引入非線性剛度機(jī)制，系統(tǒng)縱搖運(yùn)動的勢能曲面從圖11（a）所示的圓形變?yōu)閳D11（b）所示的橢圓，且圖11（b）中勢能等值線的橢圓長半軸方向與兩浮體縱搖運(yùn)動的模態(tài)方向基本相同，由此可誘導(dǎo)浮體產(chǎn)生更大的縱搖運(yùn)動。同時對比線性和非線性相軌跡圖可知，由于非線性剛度機(jī)構(gòu)的加入，橢圓形勢能曲面會使得浮體縱搖運(yùn)動軌跡由橢圓狀變成近乎斜線狀。由振動理論可知，即兩個浮體的縱搖運(yùn)動幾乎變成反向運(yùn)動，也可增大相對縱搖角度，從而可以提高波能捕獲效率。

圖11 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)勢能曲面與相圖（阻尼系數(shù)c*0=0.01，彈簧初始拉伸比α=0.7，波浪幅值A(chǔ)*=0.2）Fig.11 Contour diagram of potential energy and phase diagram of linear system and nonlinear system(Damping coefficient c*0=0.01,spring stretch ratio α=0.7,wave amplitude A*=0.2)

以上僅分析了某特定非線性剛度機(jī)構(gòu)參數(shù)的波能捕獲特性，附加裝置的參數(shù)配比會直接影響系統(tǒng)的剛度特性進(jìn)而影響系統(tǒng)的波能捕獲特性。下面繼續(xù)分析非線性機(jī)構(gòu)參數(shù)配比對能量捕獲特性的影響。為了評價不同參數(shù)的能量捕獲性能，選擇峰值捕獲寬度比C*Wmax和相應(yīng)的峰值頻率（亦即中心頻率）ω*max作為兩個關(guān)鍵指標(biāo)，探索非線性剛度機(jī)構(gòu)的相對最優(yōu)參數(shù)。圖12（a）和圖12（b）分別給出了不同剛度和初始彈簧拉伸比所對應(yīng)的峰值捕獲寬度比和相應(yīng)的峰值頻率云圖，圖中紅色實(shí)線分別表示未施加非線性剛度機(jī)構(gòu)的線性系統(tǒng)所對應(yīng)的峰值捕獲寬度比和峰值頻率值。從圖12（a）可以看出，紅實(shí)線將參數(shù)域分成兩個區(qū)域，當(dāng)非線性系統(tǒng)參數(shù)處于左上角區(qū)域時，附加的非線性系統(tǒng)將起到負(fù)面作用，即降低系統(tǒng)的捕獲寬度比，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)處于右下角區(qū)域時，可有效提高系統(tǒng)的捕獲寬度比。從圖12（b）可以看出，紅實(shí)線將參數(shù)區(qū)域分割成三個條帶區(qū)域，但參數(shù)處于中間藍(lán)色條帶時，波能捕獲頻帶會相應(yīng)地向低頻移動，有利于波能轉(zhuǎn)換器捕獲低頻波浪能量。綜合圖12中的峰值捕獲寬度比和峰值頻率云圖可知，應(yīng)將非線性系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)置在C點(diǎn)所在的黃色條帶上，此時附加的非線性剛度機(jī)構(gòu)一方面可有效提高系統(tǒng)的波能捕獲寬度比，另一方面可以向低頻拓寬波能捕獲頻帶，從而捕獲更多的低頻波浪能量。從最大的峰值捕獲寬度比來看，圖12（a）中最優(yōu)參數(shù)下的最大捕獲寬度比（其值為2.14）比線性系統(tǒng)峰值（其值為1.30）提高65%。

圖12 剛度和初始彈簧拉伸比所對應(yīng)的最大捕獲寬度比和相應(yīng)的峰值頻率（阻尼系數(shù)c*0=0.01，波浪幅值A(chǔ)*=0.2）Fig.12 Maximum capture width ratio and corresponding peak frequency corresponding to stiffness and initial spring tension ratio(Damping coefficient c*0=0.01,wave amplitude A*=0.2)

為了解釋圖12（a）和圖12（b）中的現(xiàn)象，選取圖12（a）中三個典型點(diǎn)參數(shù)，繪制系統(tǒng)的縱搖運(yùn)動相軌跡和勢能圖，如圖13 所示。A、B、C三個點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)值分別為α=0.5，k*0=18；α=0.72，k*0=10；α=0.86，k*0=6。

圖13 典型參數(shù)下系統(tǒng)縱搖勢能曲面與相軌跡圖（阻尼系數(shù)c*0=0.01，波浪幅值A(chǔ)*=0.2）Fig.13 Pitching potential energy surface and phase trajectory of the system under typical parameters(Damping coefficient c*0=0.01,wave amplitude A*=0.2)

對于圖12（a）深藍(lán)色區(qū)域，從圖13（a）可以看出，當(dāng)附加負(fù)剛度取該參數(shù)時，系統(tǒng)呈現(xiàn)雙井勢能特性，兩個井之間有一個相對較高的勢壘，如同山脊一般。從圖13（a）的軌跡可以看出，在A點(diǎn)，鉸接浮體波能轉(zhuǎn)換器由于雙井勢能的作用，使其始終處于井內(nèi)的小幅運(yùn)動，所以該參數(shù)下非線性剛度波能轉(zhuǎn)換器的波能捕獲寬度比很小。與圖13（a）相比，圖13（b）中的勢壘急劇下降，兩個勢能井之間的距離也縮小了，浮體的運(yùn)動可以越過較低的勢壘，并且其相圖軌跡接近橢圓。與圖13（a）和圖13（b）相比，圖13（c）中的運(yùn)動軌跡更平坦、更長。與圖13（b）中的現(xiàn)象一樣，軌跡越扁平，兩個浮體的縱搖運(yùn)動就更接近反相振蕩，可以計算出其對應(yīng)的縱搖響應(yīng)相位差分別為0.41、2.62、2.77，即處于C點(diǎn)的兩浮體縱搖運(yùn)動響應(yīng)更接近反向運(yùn)動。因此，對于該鉸接非線性波能捕獲系統(tǒng)的捕獲效率提升的機(jī)理是：通過引入負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，系統(tǒng)的彈性力在縱搖運(yùn)動的相位平面上能形成一個橢圓勢井，其長軸接近鉸接浮體縱搖運(yùn)動的模態(tài)方向，一方面放大模塊的縱搖運(yùn)動幅值，另一方面致使相對縱搖運(yùn)動的相位差為反向，起到被動相位控制的作用。

由振動理論可知，不同于線性系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵力幅值相關(guān)，所以下面進(jìn)一步分析波高參數(shù)對波能捕獲效率的影響。選取圖13（c）中的彈簧參數(shù)，展示在不同波浪幅值下的非線性波能轉(zhuǎn)換器的捕獲寬度比隨波浪頻率和阻尼系數(shù)的變化云圖，如圖14所示。由圖14（a）可知，黃色區(qū)域捕獲寬度最大，通過比較圖9 和圖14（a），可以看到非線性波能轉(zhuǎn)換器的峰值捕獲寬度比是線性波能轉(zhuǎn)換器的1.65 倍，非線性波能轉(zhuǎn)換器的最佳阻尼系數(shù)也小于線性波能轉(zhuǎn)換器。非線性波能轉(zhuǎn)換器的頻帶寬度大于線性波能轉(zhuǎn)換器的頻帶寬度。由圖14 可知，在不同波振幅的影響下，非線性波能轉(zhuǎn)換器的捕獲寬度比取決于不同的入射波振幅，捕獲寬度比隨波振幅的增加而減小。這是由于引入負(fù)剛度機(jī)構(gòu)后，系統(tǒng)呈現(xiàn)非線性剛度特性，即負(fù)剛度可減小浮體靜水平衡位置處的剛度，但會提高系統(tǒng)在大幅運(yùn)動時的剛度，從而會抑制大幅運(yùn)動。

圖14 非線性系統(tǒng)各參數(shù)下的捕獲寬度（阻尼系數(shù)c*0=0.01，彈簧剛度系數(shù)k*0=6，彈簧初始拉伸比 α=0.86）Fig.14 Capture width of nonlinear system under various parameters(Damping coefficient c*0=0.01,spring stiffness k*0=6,spring stretch ratio α=0.86)

3 結(jié) 語

本文針對傳統(tǒng)線性鉸接雙浮體波能轉(zhuǎn)換器的波能捕獲效率低的問題，提出了新型非線性剛度波能轉(zhuǎn)換裝置，研究了雙浮體非線性波能轉(zhuǎn)換器的能量捕獲特性。首先，本文針對雙浮體鉸接波能轉(zhuǎn)換器，提出了一種新穎的非線性剛度機(jī)構(gòu)，相比于傳統(tǒng)的非線性剛度機(jī)構(gòu)，能夠在保持功用性的前提下，結(jié)構(gòu)更加簡單，易于工程實(shí)現(xiàn)。其次，通過數(shù)值仿真分析，研究了鉸接雙浮體非線性剛度波能轉(zhuǎn)換器的波能捕獲效率，結(jié)果表明非線性剛度機(jī)構(gòu)能通過設(shè)置適當(dāng)參數(shù)，擴(kuò)大能量吸收的頻帶，將諧振峰值移至低頻區(qū)域，從而提高波能捕獲效率。最后，揭示了非線性剛度機(jī)構(gòu)提高雙浮體鉸接波能轉(zhuǎn)換器的捕獲效率的相位控制新機(jī)理，即系統(tǒng)的彈性力在縱搖運(yùn)動的相位平面上能形成一個橢圓勢井，其長軸接近鉸接兩浮體縱搖運(yùn)動的模態(tài)方向，使兩浮體的縱搖運(yùn)動趨于反向，實(shí)現(xiàn)被動相位控制的作用，有利于波浪能量的捕獲。同時需要說明的是，本文僅開展了數(shù)值仿真分析，該非線性波能捕獲機(jī)制還需要開展試驗(yàn)研究進(jìn)行驗(yàn)證。