■許昌市高中數(shù)學(xué)胡銀偉名師工作室 胡銀偉

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、向量、解析幾何、數(shù)列等知識(shí)的交匯是高考命題的熱點(diǎn)和難點(diǎn),主要考查導(dǎo)數(shù)的工具性,同學(xué)們的綜合解題能力、數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)及數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

從高考命題形式及內(nèi)容來(lái)看:選填題主要考查導(dǎo)數(shù)概念、運(yùn)算、性質(zhì)與幾何意義等;解答題主要是以函數(shù)為載體,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或探討方程的根,利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)的值或取值范圍等。從高考命題難度來(lái)看:導(dǎo)數(shù)高考試題一般采取分層設(shè)問(wèn)和螺旋式上升的方式,即先以較易的問(wèn)題考查同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況,再逐步增加難度,以逐步提高同學(xué)們的解題能力和思維水平。總體而言,導(dǎo)數(shù)高考命題具有較高的難度和綜合性,需要大家具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的解題能力。

下面我們結(jié)合2023年高考真題,對(duì)導(dǎo)數(shù)高考考點(diǎn)進(jìn)行解讀。

考點(diǎn)一 對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查

例1【2023年全國(guó)甲卷文科第8題】曲線在點(diǎn)處的切線方程為( )。

命題意圖:本題考查導(dǎo)數(shù)計(jì)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識(shí),考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

解題思路:先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)可得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,即切點(diǎn)處的切線斜率,由直線方程的點(diǎn)斜式可得所求切線的方程。

考點(diǎn)解讀:應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題時(shí)應(yīng)注意:1.求曲線的切線方程時(shí)要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異,過(guò)點(diǎn)P的切線,點(diǎn)P不一定是切點(diǎn),點(diǎn)P也不一定在已知曲線上,而在點(diǎn)P處的切線,必以點(diǎn)P為切點(diǎn);2.函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值就是對(duì)應(yīng)曲線在該點(diǎn)處切線的斜率,切點(diǎn)既在原函數(shù)的圖像上也在切線上。

考點(diǎn)二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

例2【2023 年全國(guó)乙卷理科第16題】設(shè)a∈(0,1),若函數(shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是_____。

命題意圖:本題是考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

解題思路:原問(wèn)題等價(jià)于f'(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)≥0 恒成立,據(jù)此將所得不等式進(jìn)行恒等變形,可得由函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)建實(shí)數(shù)a的不等式,解不等式得實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析:由函數(shù)的解析式可得f'(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)≥0 在 區(qū) 間(0,+∞)上恒成立,則(1+a)xln(1+a)≥-axlna,即在區(qū)間(0,+∞)上恒成立。

考點(diǎn)解讀:已知函數(shù)的單調(diào)性,求參數(shù)的取值范圍,利用條件f'(x)≥0(或f'(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解),應(yīng)注意參數(shù)的取值是f'(x)不恒等于0的參數(shù)的范圍。

例3【2023 年全國(guó)乙卷文科第20題】已知函數(shù)

(1)當(dāng)a=-1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;

(2)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

命題意圖:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí),還考查邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

解題思路:(1)由題意首先確定導(dǎo)函數(shù)的解析式,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo),再求切線的方程;(2)原問(wèn)題即f'(x)≥0在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,整理變形可得g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1)≥0在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,分a≤0三種情況進(jìn)行討論,可得實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析:(1)當(dāng)a= -1 時(shí),f(x)=

函數(shù)在(1,f(1))處的切線方程為y-0=-(x-1)ln 2,即xln 2+y-ln 2=0。

(2)由函數(shù)的解析式可得f'(x)=-1),滿足題意時(shí)f'(x)≥0在區(qū)間(0,+∞)上恒成立。

令g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1),原問(wèn)題等價(jià)于g(x)≥0 在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,則g'(x)=2ax-ln(x+1)。

①當(dāng)a≤0時(shí),由于2ax≤0,ln(x+1)＞0,故g'(x)＜0,g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,此時(shí)g(x)＜g(0)=0,不符合題意。

令h(x)=g'(x)=2ax-ln(x+1),則

考點(diǎn)解讀:1.由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍常見題型如下。(1)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增,則f'(x)≥0(x∈M)恒成立;若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞減,則f'(x)≤0(x∈M)恒成立;(2)若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間,則f'(x)＞0(或f'(x)＜0)在該區(qū)間上存在解集;(3)已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性,當(dāng)區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí),可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,I是其單調(diào)區(qū)間的子集。

2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵:(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要確定函數(shù)的定義域;(2)單調(diào)區(qū)間的劃分要注意對(duì)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的確認(rèn);(3)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍,要注意導(dǎo)數(shù)等于零的情況。

考點(diǎn)三 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值

例4(1)【2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷第11題】(多選)若函數(shù)(a≠0)既有極大值也有極小值,則( )。

A.bc＞0 B.ab＞0

C.b2+8ac＞0 D.ac＜0

(2)【2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷第6題】已知函數(shù)f(x)=aex-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,則a的最小值為( )。

A.e2B.e C.e-1D.e-2

命題意圖:本題是考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值等知識(shí),考查邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

解題思路:(1)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x),由已知可得f'(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根進(jìn)行解答。(2)根據(jù)f'(x)在(1,2)上恒成立,分離參數(shù)求最值即可。

故b2+8ac＞0,ab＞0,ac＜0。顯然a2bc＜0,即bc＜0,A 錯(cuò)誤,BCD 正確。選BCD。

考點(diǎn)解讀:1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法:(1)若求極值,則先求方程f'(x)=0的根,再檢查f'(x)在方程根的左右時(shí)函數(shù)值的符號(hào);(2)若已知極值大小或存在情況,則轉(zhuǎn)化為已知方程f'(x)=0根的大小或存在情況來(lái)求解;(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值時(shí),在求得極值的基礎(chǔ)上,結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b)與f(x)的各個(gè)極值比較得到函數(shù)的最值。

2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值應(yīng)注意的問(wèn)題:(1)不能忽略函數(shù)f(x)的定義域;(2)f'(x0)=0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件;(3)函數(shù)的極小值不一定比極大值小;(4)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上有唯一極值點(diǎn),則這個(gè)極值點(diǎn)也是最大(小)值點(diǎn),此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到。

考點(diǎn)四 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

例5【2023年全國(guó)乙卷文科第8題】函數(shù)f(x)=x3+ax+2存在3個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( )。

A.(-∞,-2) B.(-∞,-3)

C.(-4,-1) D.(-3,0)

命題意圖:本題是考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)的知識(shí)內(nèi)容,考查邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

解題思路:求得f'(x)=3x2+a,并求出極值點(diǎn),轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可。

解析:因?yàn)閒(x)=x3+ax+2,所以f'(x)=3x2+a。若f(x)存在3個(gè)零點(diǎn),則f(x)要存在極大值和極小值,即a＜0。

考點(diǎn)解讀:1.判斷、證明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法:(1)令f(x)=0,則方程解的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)利用單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理求解;(3)化原函數(shù)為兩個(gè)函數(shù),利用兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)求解。2.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍的常用方法:(1)分離參數(shù)(a=g(x))后,將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=g(x)的值域(最值)問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為直線y=a與y=g(x)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題(優(yōu)選分離、次選分類)求解;(2)利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式進(jìn)行求解;(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的位置關(guān)系問(wèn)題,從而構(gòu)建不等式求解。

考點(diǎn)五 導(dǎo)數(shù)與不等式

角度1 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立、存在性問(wèn)題

例6【2023年全國(guó)甲卷理數(shù)第20題】已知函數(shù)

(1)當(dāng)a=8時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)＜sin 2x恒成立,求a的取值范圍。

命題意圖:本題是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及不等式的恒成立問(wèn)題,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

解題思路:(1)求導(dǎo),然后令t=cos2x,討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得所求;(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-sin 2x,計(jì)算g'(x)的最大值,然后與0比較大小,得出a的分界點(diǎn),再對(duì)a進(jìn)行討論即可。

所以當(dāng)a∈(-∞,3]時(shí),f(x)＜sin 2x,符合題意。

②若a∈(3,+∞),當(dāng)t→0,

所以φ(t)→-∞,φ(1)=a-3＞0。

因此,?t0∈(0,1),使得φ(t0)=0,即,使得g'(x0)=0。當(dāng)t∈(t0,1)時(shí),φ(t)＞0,即當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g'(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增。

所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g(x)＞g(0)=0,不符合題意。

綜上,a的取值范圍為(-∞,3]。

考點(diǎn)解讀:1.由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的策略:(1)求最值法,將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題;(2)分離參數(shù)法,將參數(shù)分離出來(lái),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為a＞f(x)max或a＜f(x)min的形式,通過(guò)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出f(x)的最值,即得參數(shù)的取值范圍。2.對(duì)于含參數(shù)的不等式,如果易分離參數(shù),那么可先分離參數(shù),然后構(gòu)造函數(shù),將問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題,否則應(yīng)進(jìn)行分類討論。在解題過(guò)程中,必要時(shí)可作出函數(shù)圖像,借助幾何圖形直觀分析。

角度2 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式中的參數(shù)問(wèn)題

例7【2023年全國(guó)甲卷文科第20題】已知函數(shù)

(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)+sinx＜0,求a的取值范圍。

命題意圖:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求不等式的含參問(wèn)題,還考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

解題思路:(1)代入a=1,對(duì)f(x)求導(dǎo),同時(shí)利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡(jiǎn)f'(x),再利用換元法判斷其分子與分母的正負(fù)情況,從而得解。(2)方法一,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)+sinx,從而得到g(x)＜0,注意到g(0)=0,從而得到g'(0)≤0,進(jìn)而得到a≤0,分類討論a=0 與a＜0 兩種情況即可得解;方法二,先化簡(jiǎn)并判斷得0恒成立,再分類討論a=0,a＜0與a＞0三種情況,利用零點(diǎn)存在性定理與隱零點(diǎn)的知識(shí)判斷當(dāng)a＞0時(shí)不滿足題意,從而得解。

解析:(1)因?yàn)閍=1,所以f(x)=x-

注意到g(0)=0,所以g(x)＞g(0)=0,即f(x)+sinx＞0,不滿足題意。

此時(shí)g'(x)在(0,x1)上有g(shù)'(x)＞0,所以g(x)在(0,x1)上單調(diào)遞增。

則在(0,x1)上有g(shù)(x)＞g(0)=0,即f(x)+sinx＞0,不滿足題意。

綜上可得,a≤0。

考點(diǎn)解讀:1.利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的不等式問(wèn)題,若能夠分離參數(shù),則常先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式,再通過(guò)求函數(shù)f(x)的最值求得參數(shù)范圍。一般地,若a＞f(x)對(duì)x∈D恒成立,則只需a＞f(x)max;若a＜f(x)對(duì)x∈D恒成立,則只需a＜f(x)min。若存在x∈D,使a＞f(x)成立,則只需a＞f(x)min;若存在x∈D,使a＜f(x)成立,則只需a＜f(x)max。由此構(gòu)造不等式,求解參數(shù)的取值范圍。2.解不等式求參問(wèn)題時(shí),常會(huì)通過(guò)不等式的同解變形,構(gòu)造一個(gè)與背景函數(shù)相關(guān)的函數(shù),利用函數(shù)最值確定參數(shù)的取值范圍。在構(gòu)造函數(shù)或求最值過(guò)程中常用到放縮法,如函數(shù)放縮法,基本不等式放縮法,疊加不等式放縮法等。

角度3 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例8【2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷第19題】已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)-x。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)證明:當(dāng)a＞0時(shí)

命題意圖:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及證明不等式等知識(shí),還考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

解題思路:(1)先求導(dǎo),對(duì)a≤0 與a＞0兩種情況分類討論,結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得解。(2)方法一,結(jié)合(1)中結(jié)論,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題,構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證得g(a)＞0 即可;方法二,構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex-x-1,證得ex≥x+1,從而得到f(x)≥x+lna+1+a2-x,進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題,由此得證。

解析:(1)已知f(x)=a(ex+a)-x,定義域?yàn)镽,則f'(x)=aex-1。

當(dāng)a≤0 時(shí),由于ex＞0,則aex≤0,故f'(x)=aex-1＜0 恒成立,f(x)在R 上單調(diào)遞減。

當(dāng)a＞0時(shí),令f'(x)=aex-1=0,解得x=-lna。

當(dāng)x＜-lna時(shí),f'(x)＜0,則f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x＞-lna時(shí),f'(x)＞0,則f(x)在(-lna,+∞)上單調(diào)遞增。

綜上,當(dāng)a≤0 時(shí),f(x)在R 上單調(diào)遞減;當(dāng)a＞0時(shí),f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減,在(-lna,+∞)上單調(diào)遞增。

(2)(方法一)由(1)得,f(x)min=f(-lna)=a(e-lna+a)+lna=1+a2+lna。

所以當(dāng)a＞0時(shí),恒成立,證畢。

(方法二)令h(x)=ex-x-1,則h'(x)=ex-1。

因?yàn)閥=ex在R 上單調(diào)遞增,所以h'(x)=ex-1在R 上單調(diào)遞增。

又h'(0)=e0-1=0,所以當(dāng)x＜0 時(shí),h'(x)＜0;當(dāng)x＞0時(shí),h'(x)＞0。

所以h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故h(x)≥h(0)=0,即ex≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),等號(hào)成立。

考點(diǎn)解讀:利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本方法如下。(1)利用單調(diào)性:若f(x)在[a,b]上是增函數(shù),則①?x∈[a,b],有f(a)≤f(x)≤f(b);②?x1,x2∈[a,b],且x1＜x2,有f(x1)＜f(x2)。對(duì)于減函數(shù)有類似結(jié)論。(2)利用最值:若f(x)在某個(gè)范圍D內(nèi)