潘艷梅

1 問題提出

數學概念是數學的邏輯起點，是數學思維活動的核心與基礎．有效的數學概念教學應積極引導學生在自主探究中建構數學概念，理解概念的來龍去脈，領悟其中所蘊含的數學思想方法，不斷促進學生數學核心素養(yǎng)的發(fā)展．

二面角的平面角在高中數學中是一個十分重要的內容，也是一個較難突破的教學難點．在當前的課堂上，我們經常看到這樣一種現象：教師引領學生浮光掠影地掃過二面角的平面角概念，強調幾個注意點后，立即進入運用概念解題階段．這種概念教學讓位于習題教學的做法，忽視了知識的發(fā)生發(fā)展，回避了由具體到抽象、由感性到理性的認知過程，缺少學生自己的數學建構，導致學生對概念一知半解，大多數學生只能機械記憶和模仿．

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：基于數學學科核心素養(yǎng)的教學活動應該把握數學的本質，創(chuàng)設合適的教學情境、提出合適的數學問題，引發(fā)學生思考與交流，形成和發(fā)展數學學科核心素養(yǎng)[1]．筆者在執(zhí)教二面角的平面角概念時，以發(fā)展學生數學核心素養(yǎng)為導向，以培養(yǎng)學生用數學的觀點去思考問題和解決問題的能力為目標，引導學生自主探究，經歷觀察、操作實驗、抽象概括、推理論證等必要的數學思維活動，建構二面角的平面角的概念，領悟化歸的數學思想，取得了較好的教學效果．下面筆者和各位同行分享“二面角的平面角”這一概念的教學實踐過程和感悟．

2教學實錄

師：現在我把筆記本電腦慢慢打開，請同學們觀察，隨著打開的程度不同，筆記本電腦的鍵盤和顯示屏的相對位置在改變，你能把這個實際問題數學化嗎？

設計意圖波利亞說：“抽象的道理是重要的，但是要用一切辦法使它們能看得見、摸得著．”上課伊始教師的操作和提問，意在為學生提供直觀具體的形象性材料，將新知識與已有知識經驗建立內在聯(lián)系，培養(yǎng)學生直觀想象的數學素養(yǎng)．

生1：這個實際問題相當于二面角的一個面以二面角的棱為軸旋轉，二面角的大小在改變．

師：生1提出了“二面角的大小”的概念，二面角是空間角，如何度量它的大小呢？

生2：一時想不到辦法．

師：有什么經驗可以借鑒嗎？

生3：可以找一個平面角來度量二面角．

師：你是怎么想到的？

生3：因為前面我們學習過異面直線所成角和斜線與平面所成角，這兩種空間角都是轉化為平面角來度量的！

師（追問）：具體來講，是如何轉化的？

生3：異面直線所成角是用兩條相交直線所成的銳角或直角來度量的，斜線與平面所成角是用斜線和它在平面上的射影所成的銳角來度量的．

師：生3類比前面解決過的問題及獲得的方法，將空間問題平面化——降維，活學活用，值得稱贊！那么，怎樣作出一個平面角來度量二面角呢？

設計意圖 通過設疑，產生問題和認知沖突，使學生陷入困惑之中，以此產生內在的學習需求，激發(fā)學生的學習欲望和探索新知的積極性[2]．

師：請大家拿出你們的二面角模型，再加兩支筆，你能找到這個平面角嗎？（師生共同做實驗，兩分鐘后請學生匯報交流）

生4：我發(fā)現角的頂點及兩條邊都不固定，難以作出平面角來度量二面角．

生5：我在棱上取了一點0，將兩支筆當作角的兩邊OA，OB分別緊貼在二面角的兩個面上，這樣，角的頂點固定了，角的兩邊活動范圍也相對固定，如圖1，我發(fā)現，當OA，OB繞著點О分別在它們所在半平面內旋轉時，LAOB就可以由0變化到180，這樣4OB的大小就不確定了，因此，不能用它來度量二面角.

生5：我在棱上取了一點0，將兩支筆當作角的兩邊OA，OB分別緊貼在二面角的兩個面上，這樣，角的頂點固定了，角的兩邊活動范圍也相對固定，如圖1，我發(fā)現，當OA，OB繞著點О分別在它們所在半平面內旋轉時，LAOB就可以由0變化到180，這樣4OB的大小就不確定了，因此，不能用它來度量二面角.

面內的所有直線所成角中的最小角．

師：說得很好！事實上，除了這樣定義的角具有唯一性外，它還具有什么性質？

生8：最值性（最小性）．

師：這就是數學所說的“不變量”和“不變性”．

根據這兩點，讓我們繼續(xù)尋找平面角來度量二面角，請大家小組合作探究．（兩分鐘后匯報交流）

生（眾）：還是找不到這樣的最小角．

師：一步將二面角轉化為線線角，似乎走得太急，我們不妨先退一步，將它化為線面角，這樣做是否可以？如果可以，該怎樣選取這條直線和平面呢？[3]

設計意圖 在學生根據“不變量”和“不變性”尋找平面角受阻的“憤、悱”之時，教師適時點撥，引導學生思考先退一步將二面角轉化為線面角，降低了問題的難度，激發(fā)了學生進一步探究的熱情．

生9：我想這條直線應選在二面角的其中一個面內，然后考查這條直線與另一個半平面所成的角．

師（追問）：這條直線與二面角的棱是什么位置關系？

生9：只能相交，不能平行或重合，否則，這條直線與另一個面所成的角就恒為0，就不能反映二面角大小了．

師：經過我們的共同探究，我們發(fā)現與棱垂直的那條射線與另一個面所成的角是這無數個線面角中的最大角．

師：有資格做二面角的平面角嗎？∠AOBαβ??l

生（眾）：有．

師：請大家總結一下二面角的平面角有什么特征？

生14：有三個特征：（1）頂點在棱上；（2）兩邊分別在二面角的兩個面內；（3）兩邊都與棱垂直．

師：誰能總結一下二面角平面角的尋找過程？

生15：我們先將二面角轉化為線面角，然后繼續(xù)將線面角轉化為線線角．根據“唯一性”“最值性”，最終找到度量二面角的平面角，它的大小僅隨著兩個半平面的相對位置變化而變化． 設計意圖 數學直覺是對數學對象的直接洞察和感悟，具有創(chuàng)造性．教師創(chuàng)設問題情境，催發(fā)學生數學直覺，將數學直覺與數學邏輯有機融合，數學抽象、邏輯推理等素養(yǎng)得到有效培育． 師：二面角的平面角的大小與點o在棱上的位置有關系嗎？為什么？

生16：無關，用等角定理證明：在棱1上另任取點o'，按同樣方法作出LA'O'B'，如圖4，因為OA，O'A'， OB，O'B'都垂直于棱1，所以OAI/o'A' ，OBIO'B'，且LAOB和LA'O'B'的兩邊分別平行且方向相同，根據等角定理，LAOB= LA'O'B'，即平面角大小與角的頂點在棱上的位置無關．

設計意圖 通過等角定理，進一步體會平面角的唯一性，理解二面角平面角定義的合理性．

3教學感悟3.1教師要從“教教材”轉向“二次開發(fā)教材” 教材是教師確定教學目標、組織學習活動、設計學習評價的重要依據．課程改革對教師如何使用教材提出了新的更高的要求，即建議教師要從“教教材”轉向“二次開發(fā)教材”．教材的二次開發(fā)是對教材隱含的能夠促進學生發(fā)展的元素進行重組、拓展、延伸，并加以經驗化和體驗化的教學設計[4]． 數學概念教學應該讓學生看到數學概念的確立，不是來自權威，而是來自實踐，出自合理，在此過程中，學生才能學會如何給數學概念下定義，學到研究數學問題的基本思想和方法，從而發(fā)展數學素養(yǎng)．基于此，筆者在二次開發(fā)教材的基礎上，將二面角平面角定義的合理性作為教學設計的首要考慮．

當二面角為銳角時，把二面角的一個面內與棱垂直的直線與另一個面所成的角定義為二面角的平面角，是基于以下命題的真實性：銳二面角的一個面內與棱垂直的直線與另一個面所成的角，是銳二面角的一個面內的所有直線與另一個面所成角中最大的角．因此，“把銳二面角的一個面內所有直線與另一個面所成的最大角定義為二面角的平面角”等價于“以銳二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角”（課本的普遍定義）．事實上，基于這樣定義的角除了具有唯一性外，還具有最值性，這就是數學中所說的“不變量”和“不變性”．本節(jié)課，筆者引導學生充分展開討論，探究二面角的平面角定義的多種構想，理解二面角的平面角的定義的唯一性和最值性，感受了立體幾何“轉化”“降維”思想，體會了立體幾何研究的一般思路和方法，有助于學生直觀想象、邏輯推理、數學抽象素養(yǎng)的提升． 3.2 在概念的生成過程中培育數學核心素養(yǎng)數學概念是不斷抽象的結果，其形成過程蘊含著數學核心素養(yǎng)的每一個要素，因此，數學概念教學是數學核心素養(yǎng)培育的突破口．教材上關于二面角平面角的內容隱去了概念形成的思維過程，教師在數學教學中，應立足于教材，著眼于學生的發(fā)展，引領學生有效開展概念建構活動． 本節(jié)課采用了啟發(fā)探究、實驗和討論多元結合的教學方法，通過創(chuàng)設“憤悱”的教學情境，形成認知和情感的不平衡態(tài)勢，啟發(fā)質疑，同時運用類比的方法鋪墊，通過問題串和兩個主要探究活動（二面角平面角的唯一性和最值性），引導學生進行主動思考、探究，幫助學生實現從具體到抽象、從感性到理性的過渡，從而完成二面角的平面角概念的建構，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程．學生通過直覺思維和類比的數學方法對二面角的平面角定義作出猜想，然后再加以論證．學生在親身經歷概念的形成過程中，體會到數學思想方法（類比、化歸）的重要性，直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算的核心素養(yǎng)自然生成．

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S]．北京：人民教育出版社，2020

[2]謝國生．二面角及其平面角．名師授課錄（中學數學高中版）[M]．上海：上海教育出版社，2009

[3]明強，方異平．掀起你的蓋頭來[J]．中學數學（高中版），2009（4）：16-18

[4]李冰雪．教材二次開發(fā)的內容向度及其實踐追求[J]．基礎教育課程，2021（19）：47-55