張欣宇 肖玉善 吳 振,?,2) 任曉輝

* (西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院,西安 710072)

? (強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)完整性全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710065)

** (西安航空學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院,西安 710065)

引言

梯度功能材料(functionally graded material,FGM)是兩種或多種材料復(fù)合成組分和結(jié)構(gòu)連續(xù)梯度變化的一種新型復(fù)合材料,其材料性能在某一方向上連續(xù)梯度變化,消除了明顯的界面和性能突變,在工程結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用越來越廣泛.作為智能材料,壓電材料以獨(dú)有的正逆壓電效應(yīng),廣泛應(yīng)用在電聲學(xué)、傳感器技術(shù)、噪聲控制、微型機(jī)電系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)振動控制和柔性結(jié)構(gòu)的主動控制等領(lǐng)域[1-2].因此,將FGM 與壓電材料相結(jié)合而產(chǎn)生的智能結(jié)構(gòu)和材料,引起了各國學(xué)者的廣泛關(guān)注.

目前,國內(nèi)外學(xué)者對壓電智能結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)和動力學(xué)[3-4]等問題做了一系列的研究工作.對于壓電層合結(jié)構(gòu)的力學(xué)問題,Ray 等[5-6]給出了精確解.此外,三維有限元方法[7-11]也被廣泛運(yùn)用.然而對于多層結(jié)構(gòu),三維分析方法要劃分大量網(wǎng)格,計(jì)算效率低.因此,Pablo 等[12-13]在經(jīng)典層合板理論的框架下提出了不需考慮電自由度的壓電層合結(jié)構(gòu)有限元方法;Malikan[14]基于一階剪切變形理論(first-order shear deformation theory,FSDT)研究了壓電功能梯度板的力電剪切屈曲問題;基于三階剪切變形理論,Ngoc-Tu等[15]提出了一種分析含壓電功能梯度多孔材料振動的方法和基于位移和速度反饋的閉環(huán)控制算法;此外,分層理論(layerwise theory)也被用于壓電層合結(jié)構(gòu)的研究[16-18],這種理論可以精確地獲取結(jié)構(gòu)的層間應(yīng)力,但其自由度會隨著層數(shù)增加而上升,從而嚴(yán)重影響計(jì)算效率.因此,Li 等[19]發(fā)展的整體?局部高階理論(global-local higher-order theory,GLHT)消去了依賴于層數(shù)的自由度,在保證精度的前提下,提高了計(jì)算效率.Beheshti-Aval 等[20]基于GLHT預(yù)測了壓電層合梁剪切行為,雖然該模型未知參數(shù)僅比FSDT 多一個(gè),但對厚梁的計(jì)算精度更高.

Li 等[21]利用雙向B 樣條有限元法推導(dǎo)了壓電層合板的位移和應(yīng)力解,在分析中厚板時(shí)效果很好;Wu 等[22]構(gòu)造了一種滿足單元間C1弱連續(xù)的三角形精化單元,避免了剪切閉鎖的同時(shí)可以很好地預(yù)測壓電層合結(jié)構(gòu)的力電行為;Ray[23]構(gòu)建了基于分層理論的無網(wǎng)格法,實(shí)現(xiàn)了壓電智能結(jié)構(gòu)的靜力分析,但無法準(zhǔn)確分析由于壓電致動器的橫向致動引起的響應(yīng).考慮到GLHT 理論中位移函數(shù)存在橫向位移的一階導(dǎo)數(shù),需要滿足單元間C1連續(xù)條件,而等幾何方法[24](isogeometric analysis,IGA)將計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中用于表達(dá)幾何模型的非均勻有理B 樣條(non-uniform rational B-splines,NURBS)的基函數(shù)作為形參數(shù),實(shí)現(xiàn)了任意階次的平滑性,可以方便地求解薄板殼等高階連續(xù)問題.等幾何分析方法已用于靜力、振動和裂紋擴(kuò)散等模型的分析[25-27].Nguyen 等[28]研究了材料性質(zhì)和外部條件對梯度壓電材料多孔板固有頻率的影響;Phung 等[29]進(jìn)行了智能壓電功能梯度材料板的非線性瞬態(tài)分析;Akbar等[30]計(jì)算了壓電層合板通過結(jié)構(gòu)振動獲得的能量.

已有研究表明,整體?局部高階理論和分層理論具有較高精度[16,22].在使用整體?局部高階理論構(gòu)造有限元方法時(shí),應(yīng)變中包含撓度的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),需要構(gòu)造滿足單元間C1連續(xù)的橫向位移函數(shù)[22],而等幾何分析方法很好地解決了C1連續(xù)問題[31].因此,針對含壓電層的層合結(jié)構(gòu)和含壓電層的功能梯度夾芯結(jié)構(gòu),本文用Reddy 型整體?局部高階理論模擬結(jié)構(gòu)位移場,用Layerwise 分層理論模擬結(jié)構(gòu)沿厚度方向電勢,構(gòu)造了可準(zhǔn)確分析結(jié)構(gòu)力電行為的精化模型.結(jié)合等幾何分析方法,分析了壓電層的層合結(jié)構(gòu)的彎曲行為.此外,探究了含壓電層的功能梯度夾芯結(jié)構(gòu)在力電載荷作用下,功能梯度系數(shù)和鋪層角度對結(jié)構(gòu)彎曲行為的影響規(guī)律.最后,構(gòu)建了含壓電層的功能梯度結(jié)構(gòu)的速度閉環(huán)控制系統(tǒng),通過調(diào)整速度反饋增益(Gv),實(shí)現(xiàn)了對無阻尼壓電功能梯度結(jié)構(gòu)的振動主動控制.

1 理論方法

1.1 Reddy 型整體?局部高階理論

在Li 等[19]發(fā)展的1,2-3 整體?局部高階理論中,結(jié)構(gòu)的任一層位移函數(shù)可以分解為整體位移分量以及局部位移分量.通過將局部位移函數(shù)引入Reddy理論[32]面內(nèi)位移場,可以將Reddy 型整體?局部高階理論的初始位移場表示為

其中,上標(biāo)k表示結(jié)構(gòu)第k層,下標(biāo)G表示整體位移分量,下標(biāo)L表示局部位移分量.對于夾芯結(jié)構(gòu),其整體坐標(biāo)系以及結(jié)構(gòu)示意圖如圖1(a)所示,局部坐標(biāo)系如圖1(b)所示.

圖1 夾芯結(jié)構(gòu)的整體和局部坐標(biāo)系Fig.1 Global and local coordinate system of sandwich structures

整體位移分量采用Reddy 理論位移模式

面內(nèi)局部位移分量沿厚度方向每層截取3 次

其中

從初始位移函數(shù)可以看到,當(dāng)前模型共包含6n+5 個(gè)獨(dú)立未知變量.為使得最終的位移函數(shù)中未知變量的數(shù)目獨(dú)立于夾芯板層數(shù),依次施加面內(nèi)位移連續(xù)性條件,橫向剪切應(yīng)力連續(xù)條件以及上下表面自由邊界條件,可以消去共6n?2 個(gè)未知變量.最后得到可分析任意鋪層角度夾芯板的Reddy 型整體?局部高階理論的最終位移函數(shù)[33]

根據(jù)最終位移模式和幾何方程,夾芯板第k層應(yīng)變可表示為

1.2 Layerwise 理論

對于薄壓電層,可假設(shè)電位移沿厚度方向分段線性分布[18].因此,zi和zi+1之間的電勢可以寫為

且沿厚度方向全部電勢可以表達(dá)為

?i+1(x,y) 是z=zi+1處電勢,?i(x,y) 是z=zi處電勢.

1.3 壓電功能梯度板本構(gòu)方程

假設(shè)材料屬性P,如彈性模量和泊松比等,沿功能梯度板厚度方向呈指數(shù)變化[34]

其中P1為功能梯度板的上表面材料屬性,P2為功能梯度板的下表面材料屬性,n為功能梯度系數(shù),h為功能梯度板的總厚度.

基于平面應(yīng)力條件 σz=0,壓電材料在其材料軸系(1,2,3)中的本構(gòu)方程可以表示為

其中,σi,Di分別是應(yīng)力和電位移;εi,Ei分別是應(yīng)變和電場;Cij,kij和eij分別是壓電材料的彈性常數(shù)、介電常數(shù)和壓電常數(shù).其中

電場強(qiáng)度與電勢關(guān)系為

結(jié)合彈性力學(xué)轉(zhuǎn)軸公式,可得偏軸彈性矩陣Qs,則整體坐標(biāo)系下(x,y,z)的本構(gòu)方程如下

式中T為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣[35],其中

2 等幾何分析方法

2.1 NURBS 函數(shù)

在一維情況下,第i個(gè)p階B 樣條基函數(shù)定義為

二維情況下的B 樣條基函數(shù),可由兩個(gè)方向張量 [ξ0,ξ1,···,ξn+p] 和 [η0,η1,···,ηn+p] 的張量積構(gòu)成

在B 樣條函數(shù)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步構(gòu)造 NURBS函數(shù)[24],可表示為

2.2 電勢場離散化

第i層的電勢可表示為

將式(18)代入式(7)和式(12)可得

2.3 位移場離散化

夾芯板的幾何形狀xh和位移場uh可描述為

其中PA是控制點(diǎn)坐標(biāo),qA為控制點(diǎn)A自由度向量

將式(19)代入式(5)可得到應(yīng)變?yōu)?/p>

其中BdA為A點(diǎn)處的幾何矩陣,具體形式如下

2.4 控制方程和剛度矩陣

根據(jù)Hamilton 原理,在某一時(shí)間間隔t1和t2內(nèi)所有可能發(fā)生的位移中,真實(shí)位移會使得壓電智能結(jié)構(gòu)的Lagrange 函數(shù)取極小值

其中,T為結(jié)構(gòu)的動能,U為結(jié)構(gòu)應(yīng)變能和電能,W為面力和電場所做的功.

對式(22)變分,結(jié)構(gòu)控制方程可以表示為

其中F為力載荷,Qφ為壓電層表面電載荷,Kd為剛度矩陣,Kφd=KdφT為力電耦合剛度矩陣,Kφ為介電剛度矩陣,具體可表示為

M表示質(zhì)量矩陣[36],可表示為

聯(lián)立式(23)和式(24)消去電勢得

考慮等效瑞利阻尼[37]

其中 α和β 為瑞利阻尼參數(shù),可由試驗(yàn)獲取.將式(33)引入式(30),得

2.5 閉環(huán)主動控制

壓電功能梯度夾芯板結(jié)構(gòu)如圖2 所示,結(jié)構(gòu)頂層作為壓電致動器,底層作為壓電傳感器,則式(24)可改寫為

圖2 夾芯結(jié)構(gòu)主動控制系統(tǒng)Fig.2 Active control system of sandwich structures

其中下標(biāo)s代表傳感器層,下標(biāo)a代表致動器層.

當(dāng)夾芯板處于振動狀態(tài)時(shí),傳感器層的變形將通過壓電效應(yīng)產(chǎn)生電荷形成輸出電壓,通過放大器放大后,信號將被反饋到驅(qū)動器層中.由于逆壓電效應(yīng),致動器層會產(chǎn)生反驅(qū)動力來抑制結(jié)構(gòu)的變形,從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)閉環(huán)電路主動控制[38].

對于傳感器層,由于沒有額外施加外部電荷,傳感器層因壓電效應(yīng)所產(chǎn)生的電勢和電荷分別為

通過閉環(huán)電路的反饋,致動器層產(chǎn)生的電勢為

式中,Gd和Gv分別為位移和速度反饋增益.將式(39)代入式(35)中,可得致動器層電荷為

最后將式(35)～式(36)、式(38)和式(40)代入式(34)中,得

3 彎曲行為分析和變形主動控制

本章首先分析了壓電層合板的彎曲行為,以驗(yàn)證精化高階理論模型的有效性.隨后探究了壓電功能梯度層合板的鋪層角度和功能梯度系數(shù)對結(jié)構(gòu)彎曲的影響.最后對壓電功能梯度結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動主動控制.算例中,簡支邊界條件和固支邊界條件的具體形式如表1 所示.

表1 邊界條件具體形式Table 1 The specific form of boundary conditions

3.1 壓電層合板彎曲行為分析

復(fù)合材料層材料屬性:E1=172.5 GPa,E2=E3=6.9 GPa,G23=1.38 GPa,G12=G13=3.45 GPa,v12=v13=v23=0.25,k11=k22=k33=8.85×10?12C2/N·m2.壓電層材料屬性:Ex=Ey=Ez=2 GPa,vxz=vyz=vxy=0.29,k11=k22=k33=1.06×10?12C2/N·m2,e31=e32=?0.004 6 C/m2,e33=e24=e15=0 C/m2.

分別計(jì)算3 種跨厚比(a/h=4,10,100)和兩種力?電載荷加載形式下(qu0=1 Pa,qe0=0 V 和qu0=1 Pa,qe0=100 V)壓電層合板上表面中心點(diǎn)撓度,并做無量綱化處理

圖3 為本文模型計(jì)算的撓度收斂情況(a/h=4),使用13×13 網(wǎng)格,本文提出的等幾何分析結(jié)果已收斂.因此,后續(xù)均使用13×13 網(wǎng)格進(jìn)行分析.

圖3 不同網(wǎng)格上表面中心點(diǎn)撓度收斂性Fig.3 Convergence of the deflection at the center point of top surface using different meshes

為公平比較,在同一計(jì)算機(jī)上(處理器為Intel(R)Core(TM) i7-9700 CPU @3.00GHz)基于FSDT 的等幾何分析方法(FSDT-IGA,網(wǎng)格為13×13)計(jì)算了壓電層合板(a/h=10)的撓度,同時(shí)給出了基于本文模型等幾何分析方法的結(jié)果(網(wǎng)格為13×13),并提供了對應(yīng)的計(jì)算時(shí)間.Ray 等[6]已經(jīng)給出了三維精確解,Song 等[39]給出了FSDT 模型的分析結(jié)果,如表2 所示.結(jié)果表明: 在跨厚比為10 時(shí),基于FSDT等幾何分析方法的結(jié)果(剪切修正系數(shù)為5/6) 和Song 等[39]的分析結(jié)果相近.在0 和100 V 電壓作用下并使用相同的網(wǎng)格(13×13),基于FSDT 等幾何分析方法計(jì)算時(shí)間比本文等幾何分析方法計(jì)算時(shí)間快7.69 和7.74 s,但精度低于本文模型.

表2 壓電層合板上表面中心點(diǎn)撓度Table 2 The deflection of the top surface center point of piezoelectric laminated plates

可以發(fā)現(xiàn),與FSDT 模型計(jì)算結(jié)果相比,精化高階理論模型明顯有更高的精度,這在計(jì)算中厚板時(shí)更加明顯,具體表現(xiàn)為: (1) 在計(jì)算跨厚比為4 的結(jié)構(gòu)上表面中心點(diǎn)撓度時(shí),FSDT 模型未給出結(jié)果,而本模型的最大誤差僅為3.51%;(2)在計(jì)算跨厚比為10 的結(jié)構(gòu)上表面中心點(diǎn)撓度時(shí),FSDT 模型的最小誤差為13.70%,而本模型的最大誤差僅為7.2%;(3)在計(jì)算跨厚比為100 的結(jié)構(gòu)上表面中心點(diǎn)撓度時(shí),FSDT 模型的最小誤差為8.07%,而本模型的最大誤差僅為5.37%.

3.2 壓電功能梯度板靜態(tài)彎曲分析

本節(jié)以四邊簡支的5 層壓電功能梯度層合方板為例,探究功能梯度系數(shù)n和鋪層角度對結(jié)構(gòu)彎曲行為的影響.結(jié)構(gòu)形式為 (P/CFRP/FGM/CFRP/P),其中P 代表壓電層,CFRP 代表復(fù)合材料層,FGM表示功能梯度層.中芯層為由Ti-6Al-4V 和氧化鋁組成的功能梯度層;上下兩層為壓電層;在壓電層與功能梯度層之間各鋪設(shè)一層復(fù)合材料.結(jié)構(gòu)中復(fù)合材料層和功能梯度層3 層厚度均為3 mm,兩個(gè)壓電層的厚度均為0.04 mm,跨厚比a/h=4.在結(jié)構(gòu)上表面施加50 V 的均布電壓和1000 MPa 的均布載荷,下表面接地.壓電層和復(fù)合材料層的材料屬性[22]如下所示.

壓電層材料常數(shù):C11=238 GPa,C22=23.6 GPa,C33=10.6 GPa,C44=4.4 GPa,C55=2.15 GPa,C66=6.43 GPa,C12=3.98 GPa,C13=2.19 GPa,C23=1.92 GPa,k0=8.85×10?12C2/N·m2,k11/k0=12.5,k22/k0=11.98,k22/k0=11.98,e31=?0.13 C/m2,e32=?0.14 C/m2,e33=?0.28 C/m2,e24=e15=?0.01 C/m2.復(fù)合材料層材料常數(shù):C11=134.9 GPa,C22=14.35 GPa,C33=14.35 GPa,C12=5.156 GPa,C13=5.156 GPa,C23=7.133 GPa,C44=5.654 GPa,C55=3.604 GPa,C66=5.654 GPa,k0=8.85×10?12C2/N·m2,k11/k0=3.5,k22/k0=3,k22/k0=3.Ti-6Al-4V:E=105.7 GPa,v=0.298 1,ρ=4429 kg/m3.氧化鋁:E=320.24 GPa,v=0.26,ρ=3750 kg/m3.

圖4 研究了功能梯度系數(shù)n(0～50)和復(fù)合材料鋪層角度對(0～π/4)結(jié)構(gòu)彎曲行為的影響.結(jié)果表明: (1)當(dāng)復(fù)合材料鋪層角度不變,隨著功能梯度系數(shù)n逐漸增大,中心點(diǎn)撓度逐漸減小;(2) 當(dāng)功能梯度系數(shù)n不變,隨著復(fù)合材料鋪層角度逐漸增大,中心點(diǎn)撓度逐漸減小;(3) 當(dāng)功能梯度系數(shù)n在0～5之間時(shí),功能梯度系數(shù)n對結(jié)構(gòu)彎曲行為的影響比鋪層角度對結(jié)構(gòu)彎曲行為的影響更顯著.

圖4 上表面中心點(diǎn)撓度隨鋪層角度和功能梯度系數(shù)變化Fig.4 The variation of the deflection of the top surface center point with ply angles and functional gradient coefficients

3.3 壓電功能梯度板變形主動控制分析

本節(jié)分析了四邊固支壓電功能梯度夾芯方板的變形主動控制.方板結(jié)構(gòu)形式可表示為(P/FGM/P).方板尺寸為200 mm×200 mm×24 mm,其中功能梯度層厚度為20 mm,材料屬性與3.2 節(jié)的功能梯度層一致,功能梯度系數(shù)n=2;功能梯度層上下表面鋪設(shè)了厚度為2 mm 的壓電層,材料為PZT-G1195N[40],材料屬性如下.

定義4 種時(shí)變載荷,分別為階躍載荷、三角型載荷、正弦型載荷和爆炸沖擊載荷

其中,qt0=1000 Pa,t0=1.0×10?3s.

4 種載荷的時(shí)變函數(shù)圖像如圖5 所示.1.0×10?3s前,結(jié)構(gòu)處于強(qiáng)迫振動階段,此后進(jìn)入自由振動.不考慮結(jié)構(gòu)的瑞利阻尼,通過改變結(jié)構(gòu)速度反饋增益Gv來調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)主動阻尼.

圖5 4 種不同的時(shí)變函數(shù)Fig.5 Four different time-varying functions

結(jié)構(gòu)上表面中心點(diǎn)動態(tài)撓度的控制效果如圖6所示.結(jié)果表明: (1)當(dāng)Gv=0 時(shí),由于結(jié)構(gòu)本身未考慮阻尼,結(jié)構(gòu)將以當(dāng)前時(shí)刻對應(yīng)的靜態(tài)撓度為平衡位置,無衰減地持續(xù)著強(qiáng)迫振動和自由振動,且自由振動階段的幅值取決于強(qiáng)迫振動結(jié)束時(shí)刻系統(tǒng)的能量;(2)當(dāng)Gv不為0 時(shí),由式(42)可知結(jié)構(gòu)引入了主動阻尼,結(jié)構(gòu)將以當(dāng)前時(shí)刻對應(yīng)的靜態(tài)撓度為平衡位置,做逐漸衰減的強(qiáng)迫振動和自由振動,完全衰減后,上表面中心點(diǎn)的撓度為當(dāng)前加載狀態(tài)下的靜態(tài)撓度;(3)隨著Gv增大,由式(42)可知主動阻尼也增大,結(jié)構(gòu)震蕩的振幅在一個(gè)震蕩周期內(nèi)下降更多,完全衰減所需時(shí)間減少.這表明可以結(jié)合實(shí)際情況,調(diào)整控制系統(tǒng)的速度反饋增益Gv的大小,實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)震蕩的主動控制.

圖6 4 種載荷不同Gv 下對上表面中心點(diǎn)撓度的主動控制效果Fig.6 The active control effect of different Gv on the deflection of the top surface center point under four different loading conditions

4 總結(jié)

本文針對含壓電層的層合結(jié)構(gòu)和含壓電層的功能梯度結(jié)構(gòu)力學(xué)問題發(fā)展了一種高精度的數(shù)值計(jì)算方法.首先結(jié)合Reddy 型整體?局部高階理論和Layerwise 理論,發(fā)展了可準(zhǔn)確分析含壓電層的層合結(jié)構(gòu)和含壓電層的功能梯度夾芯結(jié)構(gòu)力電行為的精化高階理論和等幾何分析方法.之后對壓電層合板在力電載荷下的彎曲行為進(jìn)行了分析,并與精確解和有限元解進(jìn)行了對比,驗(yàn)證了本文模型的有效性.隨后,探究了壓電功能梯度層合板在力?電載荷作用下,功能梯度系數(shù)和鋪層角度對結(jié)構(gòu)彎曲行為的影響規(guī)律.最后,構(gòu)建了壓電功能梯度板的速度閉環(huán)控制系統(tǒng),對無阻尼壓電功能梯度結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動主動控制.本文得到主要結(jié)論如下.

(1)壓電功能梯度層合板在力電載荷下,當(dāng)鋪層角度不變,隨著功能梯度系數(shù)逐漸增大,中心點(diǎn)撓度逐漸減小;當(dāng)功能梯度系數(shù)不變,隨著鋪層角度逐漸增大,中心點(diǎn)撓度逐漸減小;當(dāng)功能梯度系數(shù)在0～5之間時(shí),功能梯度系數(shù)對結(jié)構(gòu)彎曲行為的影響比鋪層角度對結(jié)構(gòu)彎曲行為的影響更顯著.

(2)無阻尼壓電功能梯度板的速度閉環(huán)控制系統(tǒng)的控制效果取決于速度反饋增益Gv,即當(dāng)Gv為0 時(shí),結(jié)構(gòu)主動阻尼為0,結(jié)構(gòu)將做無衰減的震蕩;當(dāng)Gv不為0 時(shí),結(jié)構(gòu)主動阻尼不為0,結(jié)構(gòu)的震蕩逐漸衰減;隨著Gv增大,結(jié)構(gòu)主動阻尼增大,震蕩衰減速度變快,從而實(shí)現(xiàn)了對無阻尼壓電功能梯度結(jié)構(gòu)的振動主動控制.