三角函數(shù)求值問(wèn)題側(cè)重于考查三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式、二倍角公式、輔助角公式等.常見(jiàn)的三角函數(shù)求值問(wèn)題主要有三種類型，即給角求值問(wèn)題、給值求角問(wèn)題和給值求值問(wèn)題.下面結(jié)合實(shí)例，談一談這三類三角函數(shù)求值問(wèn)題的解法.

一、給角求值問(wèn)題

給角求值問(wèn)題的常見(jiàn)命題形式是：由一些非特殊角的三角函數(shù)式或值求某個(gè)三角函數(shù)式的值.我們需將已知角與所求值中的角關(guān)聯(lián)起來(lái)，進(jìn)行合理的拆分、拼湊，靈活運(yùn)用兩角和的正弦公式、兩角差的正切公式、二倍角公式、輔助角公式等進(jìn)行三角恒等變換，將目標(biāo)式化為含有已知角、特殊角的式子，從而順利求得目標(biāo)式的值.

例1.求tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°的值.

解：

本題中 20° 和 40° 都是非特殊角，無(wú)法直接求得函數(shù)的值.但仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn) 20° + 40° = 60° ，而 60° 是特殊角，于是根據(jù)兩角和的正切公式得出 tan 60° = tan（20° + 40°） = tan 20° + tan 40° 1 - tan 20°tan 40° ，就能直接利用特殊角 60° 的正切值求得函數(shù)式的值.

例2.求co（2）sc4（o）0（s）0°-s1的值.

解：

該函數(shù)式中涉及了根式、分式、非特殊角的三角函數(shù)式，較為復(fù)雜.我們需先運(yùn)用二倍角公式，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，將根號(hào)下的式子化為平方式，以去掉根號(hào)；然后根據(jù)輔助角公式、二倍角公式和誘導(dǎo)公式將分子和分母變形為只含有cos 10°式子，就能通過(guò)約分化簡(jiǎn)函數(shù)式.

二、給值求角問(wèn)題

給值求角問(wèn)題通常要求根據(jù)某些角的三角函數(shù)值求一個(gè)角的大小.解答這類問(wèn)題，往往要先建立已知角與所求角、特殊角之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用二倍角、輔助角公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、誘導(dǎo)公式等，求得所求角的正弦值、余弦值、正切值；然后根據(jù)已知條件確定所求角的范圍，進(jìn)而確定所求角的大小.

例3.已知α，β都是銳角，cosα=，cos（α+β）=，求β.

解法1.

我們先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出 sin α 的值；然后根據(jù)兩角和的余弦公式將 cos（α + β）= -11 14 展開(kāi)；再將已知的值代入，即可得到一個(gè)關(guān)于 sin β 和 cos β 的方程；最后結(jié)合方程 sin2 β + cos 2 β = 1 求出 cos β 的值

解法2

解法2采用了整體思想，先求出 sin α 和 sin（α + β） 的值；然后將 α + β 看作一個(gè)整體，用兩角差的余弦公式將 cos[（α + β）- α] 展開(kāi)，即可求出 cos β 的值.這種解法避免了解方程，更加簡(jiǎn)便.

三、給值求值問(wèn)題

給值求值問(wèn)題的常見(jiàn)命題形式是：已知某個(gè)角或多個(gè)角的三角函數(shù)值，求某個(gè)三角函數(shù)式的值.解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是建立已知式和目標(biāo)式之間的聯(lián)系.首先明確角之間的關(guān)系，然后靈活運(yùn)用拆角和拼角的技巧，將角統(tǒng)一；再根據(jù)輔助角公式、二倍角公式、兩角的和差公式將函數(shù)名稱統(tǒng)一，以求得所求角的三角函數(shù)值；最后根據(jù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得問(wèn)題的答案.

例4

解法1

解法2

解法1是將角3α-β拆分為2α+（α-β），解法2是將角3α-β拆分為2（α-β）+（α+β）；再分別根據(jù)誘導(dǎo)公式、兩角的和差公式、二倍角公式求得3α-β的正弦值.

可見(jiàn)，解答三角函數(shù)求值問(wèn)題，不僅要熟練運(yùn)用相應(yīng)的公式進(jìn)行恒等變換，還要善于發(fā)現(xiàn)角、函數(shù)名稱之間的聯(lián)系與區(qū)別，通過(guò)整體代換統(tǒng)一函數(shù)式中的角、函數(shù)名稱，以快速求得問(wèn)題的答案.

本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度“協(xié)同創(chuàng)新”專項(xiàng)課題《指向拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)模型的研究》（立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)Fjxczx23-287）；2021年度福建省基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究課題《“強(qiáng)基計(jì)劃”背景下拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的實(shí)踐研究》（項(xiàng)目編號(hào)MJYKT2021-176）階段性研究成果.

（作者單位：黃立，福建省泉州第一中學(xué)；蔡雙玉，福建省石獅市石光中學(xué)）