屈建龍, 周震寰, 徐新生

(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析優(yōu)化與CAE軟件全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,大連 116024)

1 引 言

隨著納米機(jī)電系統(tǒng)在航空航天、醫(yī)學(xué)和機(jī)械電子等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,對(duì)納米結(jié)構(gòu)的可靠性和安全性更加重視。納米板作為納米機(jī)電系統(tǒng)的基本構(gòu)件,其出現(xiàn)裂紋或損傷會(huì)直接影響系統(tǒng)的工作狀態(tài),甚至破壞[1-3]。因此,對(duì)含裂紋或損傷納米板動(dòng)力學(xué)特性的深入研究是必要的[4]。由于尺寸效應(yīng),經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論不再適用納米結(jié)構(gòu)的相關(guān)問題[5,6]。為此,Eringen[7]提出了一種適合納米級(jí)結(jié)構(gòu)的非局部彈性理論,如納米板的彎曲問題和振動(dòng)問題等[8]。非局部彈性理論假設(shè)某點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)不僅與該點(diǎn)的應(yīng)力有關(guān),而且與域內(nèi)的應(yīng)力都相關(guān)。相比于經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論,非局部彈性理論考慮了分子間的作用力對(duì)物體內(nèi)某一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)的影響。在納米尺度下,分子間的范德華力是不可忽略的,因而在分析含裂紋納米板的問題中,非局部彈性理論具有一定的優(yōu)勢(shì)。研究含裂紋納米板的問題時(shí),多采用修正的偶應(yīng)力理論[9]和應(yīng)變梯度理論[10],并以彈簧模型[11]擬合裂紋域內(nèi)近場(chǎng)應(yīng)力狀態(tài)[12],從而建立含裂紋納米板的控制方程。進(jìn)一步得到含裂紋納米板的固有頻率和固有振型[13],結(jié)果表明,裂紋效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致固有頻率降低。然而,這些方法僅適用于幾種特殊的邊界條件,因而有一定的局限性。因此,采用非局部彈性理論研究含裂紋納米板的振動(dòng)問題是一種嘗試。

鐘萬勰院士[14]以某一空間坐標(biāo)模擬虛擬的時(shí)間,并利用守恒性,開創(chuàng)了彈性力學(xué)問題求解新體系,從而形成一整套獨(dú)特的求解系統(tǒng)。在該哈密頓體系下,將問題歸結(jié)為辛本征值和本征解問題。由于辛本征解之間滿足辛共軛正交關(guān)系,因此存在辛本征解展開定理,從而形成一種有效的方法[15-21]。本文將非局部彈性理論與哈密頓體系方法相結(jié)合,提出一種研究含裂紋納米板振動(dòng)問題的思路。

2 基本問題

圖1 含裂紋納米板

(1-ξ22)σij=Cijklεkl

(i,j=1,2,3)

(1)

根據(jù)非局部本構(gòu)關(guān)系,可以將非局部彎矩用位移表示為

(2)

(3)

式中ξMx和ξNx為裂紋特征系數(shù)[23]。含裂紋納米板振動(dòng)的控制方程[22]為

(4)

利用關(guān)系式(2),用位移表示的控制方程(4)為

(5)

式中D1=D+ξ2N1

D2=D(1-ξMx)+ξ2N2(1+ξNx)

D12=D(2-υξMx)+ξ2N2(1+ξNx)+ξ2N1

K0=ρhω,K1=N1-ξ2K0

K2=N2(1+ξNx)-ξ2K0。

3 導(dǎo)入哈密頓體系

(6)

(7)

(8)

(9)

式中H為哈密頓算子矩陣

(10)

4 辛本征值和本征解

采用分離變量方法,設(shè)Ψ(x,y)=Ψμ(y)eμx,其中μ為辛本征值,Ψμ為對(duì)應(yīng)的辛本征解向量。將其代入方程(9)可得

μΨμ=HΨμ

(11)

求解式(11),可得特征方程

D2λ4+(D12μ2-K2)λ2+D1μ4-K1μ2-K0=0

(12)

記方程的四個(gè)根為λ=λk(k=1,2,3,4),其中λ2=-λ1,λ4=-λ3。方程(12)同時(shí)也給出頻率ω與辛本征值μ和特征根λ的關(guān)系。根據(jù)特征根,辛本征解可表示為

(13)

w=0,My=0

(14)

將辛本征解式(13)代入式(14),且利用非零解條件,可得

sinh(2λ1b)sinh(2λ3b)=0

(15)

(n=1,2,…)

(16)

式中λ1和λ3的關(guān)系可由方程(12)確定。由式(15)可知,待定系數(shù)A1k(k=1,2,3,4)存在相互關(guān)系。事實(shí)上,由式(12,16)可建立頻率ω與辛本征值μ的關(guān)系。

5 含裂紋納米板的固有頻率

以四邊簡(jiǎn)支的納米板為例。滿足y=±b簡(jiǎn)支側(cè)邊條件的特征方程(12)可表示為

D1μ4-[D12(nπ/2b)2+K1]μ2+D2(nπ/2b)4+K2(nπ/2b)2-ρhω2=0

(n=1,2,…)

(17)

式(17)給出辛本征值與固有頻率的直接關(guān)系。記滿足方程(17)的四個(gè)根為±μ1和±μ2。此時(shí)辛本征解(13)可表示為

(18)

該解也稱之為固有頻率對(duì)應(yīng)的固有振型。將解(18)代入x=±a簡(jiǎn)支條件,即w=0和Mx=0。同理存在非零解的條件為

sinh(2μ1a)sinh(2μ2a)=0

(19)

得μ1=imπ/2a或μ2=imπ/2a。對(duì)比式(17,19)的根,可得出固有頻率表達(dá)式

D12(nmπ2/4ab)2+N1(mπ/2a)2+N2γ(nπ/2b)2]

(n,m=1,2,…)

(20)

式中κnm=1/[1+ξ2(mπ/2a)2+ξ2(nπ/2b)2]和γ=1+ξNx。應(yīng)該指出,其他的邊界條件也可得到對(duì)應(yīng)的固有頻率表達(dá)式?？梢哉f,含裂紋納米板的固有頻率不僅與材料常數(shù)、非局部參數(shù)和裂紋特征有關(guān),而且與邊界條件和面內(nèi)載荷有關(guān)。

6 辛本征解間的辛共軛正交關(guān)系

(21)

經(jīng)過對(duì)辛本征解的辛正交歸一化并重新排序,存在辛共軛正交關(guān)系,即

(22)

在以上辛本征解的討論中,僅考慮了齊次方程和齊次邊界條件問題。對(duì)于一般問題,可將非齊次邊界條件轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件問題,對(duì)應(yīng)的方程增加一非齊次項(xiàng)。這樣,辛本征解線性疊加解可作為齊次方程通解,即

(23)

式中Anm和Bnm(n,m=1,2,…)為待定系數(shù)。該解加上一個(gè)特解,并滿足邊界條件即可得到問題的解。

7 數(shù)值結(jié)果分析

表1 含裂紋板的第一階固有頻率對(duì)比

表2 非局部參數(shù)和裂紋長(zhǎng)度對(duì)振動(dòng)基頻影響

圖2 裂紋長(zhǎng)度和非局部參數(shù)對(duì)納米板振動(dòng)基頻的影響

圖3 非局部參數(shù)對(duì)各階頻率的影響

圖4 納米板長(zhǎng)寬比對(duì)基頻的影響

圖5 面內(nèi)荷載對(duì)基頻的影響

圖6 x方向面內(nèi)力與基頻的關(guān)系

圖7 y方向面內(nèi)力與基頻的關(guān)系

(n,m=1,2,…)

(24)

(nπ)2[ξMx(nπ)2+υξMx(mπ)2]}

8 結(jié) 論

借助于非局部彈性理論建立含裂紋納米板振動(dòng)問題的哈密頓體系可將固有頻率和振型問題歸結(jié)為廣義辛本征值和辛本征解問題。由辛共軛正交關(guān)系,問題的解可表示為辛本征解級(jí)數(shù)的形式。結(jié)果表明,含裂紋納米板的固有頻率隨著裂紋長(zhǎng)度的增加而降低。隨著非局部尺度參數(shù)增大,固有頻率減小。作用在納米板面內(nèi)的拉力會(huì)使得納米板的固有頻率增加,而面內(nèi)的壓力則會(huì)降低納米板的固有頻率。因而,通過調(diào)整面內(nèi)兩個(gè)方向的拉力(壓力)比例關(guān)系,可在一定范圍內(nèi)控制固有頻率的數(shù)值。研究結(jié)果可為工程應(yīng)用及相關(guān)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。