李國慶，田琳琳

(東華大學(xué) 理學(xué)院,上海)

保險公司增加利潤的重要手段之一即投資,再保險則是幫助保險公司規(guī)避或轉(zhuǎn)移過度風(fēng)險的關(guān)鍵。因此,再保險與投資成為保險精算的熱門話題。隨著持有的市場份額不斷增長,保險公司的索賠風(fēng)險大幅提升。金融市場上的風(fēng)險資產(chǎn)的波動以及不可預(yù)測的風(fēng)險為主要風(fēng)險來源。

在保險公司的經(jīng)典投資問題中,Browne[1]利用擴(kuò)散風(fēng)險模型研究了保險公司最終財富效用最大化和破產(chǎn)概率最小化的問題。Bai等[2]用多維幾何布朗運(yùn)動描述股票市場,在終端指數(shù)效用最大化下得到了最優(yōu)投資策略。而對于金融市場的風(fēng)險資產(chǎn)來說,其波動率不是常數(shù),因此常彈性方差CEV模型逐漸被運(yùn)用到股票價格中。Gu等[3]和Liang等[4]在跳-擴(kuò)散風(fēng)險過程中,分析了CEV模型下的最優(yōu)比例再保險與投資問題。Gu等[5]研究了盈余過程為帶漂移的布朗運(yùn)動時,CEV模型下的超額-損失再保險策略。Wu等[6]也研究了CEV模型下的再保險與投資策略。

近年來,不動產(chǎn)投資業(yè)務(wù)逐漸進(jìn)入了保險公司的視野。在一定程度上,投資不動產(chǎn)可以緩解金融市場波動對收益率的影響,有利于提高保險公司資產(chǎn)與負(fù)債的匹配度。但不能在無策略、無限制的方式下進(jìn)行不動產(chǎn)投資,否則可能會面臨巨大風(fēng)險。目前,關(guān)于不動產(chǎn)投資的研究大多停留在定性論述的層面,量化研究還是相對匱乏。

Decamps等[7]為了提高公司單位時間現(xiàn)金收益,考慮投資于新技術(shù)項(xiàng)目,其目標(biāo)為最大化期望累積分紅。Miao等[8]則在效用最大化框架下考慮了不動產(chǎn)投資問題,并假定該投資可以實(shí)現(xiàn)隨機(jī)收益。但以上研究并沒有考慮同時投資金融市場與不動產(chǎn)項(xiàng)目的情形。

假設(shè)保險公司同時投資于基金、股票和不動產(chǎn),其中風(fēng)險資產(chǎn)的價格由CEV模型決定。除去金融市場的投資外,保險公司還通過購買一定比例的再保險來轉(zhuǎn)移因保險索賠而產(chǎn)生的部分風(fēng)險。為了保險公司的財富最大化,采用終端指數(shù)效用函數(shù)去描述其趨勢,建立Hamilton-Jacobi-Bellmam (HJB)方程并求解,通過驗(yàn)證定理驗(yàn)證HJB方程所得到的解是最優(yōu)控制問題的解,并利用數(shù)值實(shí)例探討最優(yōu)策略的性質(zhì)。

1 保險公司收益模型與金融市場

首先,假設(shè)在金融市場上資產(chǎn)可以持續(xù)交易,交易中不涉及稅收與成本。設(shè)(Ω,,t,P)是完全概率空間,其中P表示概率測度,t表示到時刻t為止所有獲得的綜合信息,時刻t的決策基于信息流{t;t∈[0,T]}給出,且滿足通常條件(即為右連續(xù)且P-完備的),交易可在時間t∈[0,T]發(fā)生,T<∞是終端時刻。

經(jīng)典的Cramér-Lundberg風(fēng)險財富過程模型服從隨機(jī)微分方程式(1)：

(1)

(2)

dR1(t)=αμdt+σ0dW0(t)

(3)

假設(shè)保險公司可以通過購買一定比例再保險來控制風(fēng)險。對任意時間t∈[0,T],設(shè)保險公司以q(t)的比例購買再保險,且q(t)∈[0,1]。假設(shè)再保險公司使用期望保費(fèi)原則,即保費(fèi)率為α(1+θ)q(t),其中θ>μ代表再保險公司的安全負(fù)荷。因此,在存在比例再保險條約的情況下,保險公司的盈余過程為

(4)

假設(shè)金融市場有債券資產(chǎn)、股票資產(chǎn)和不動產(chǎn)3種資產(chǎn)可用于投資。設(shè)債券資產(chǎn)S0(t)的價格過程滿足

dS0(t)=r0S0(t)dt

(5)

式中：r0>0表示債券資產(chǎn)的利率。設(shè)股票資產(chǎn)S(t)的價格過程滿足CEV模型,如式(6)所示。

dS(t)=r1S(t)dt+σ1Sβ+1(t)dW1(t)

(6)

式中：r1>0為股票資產(chǎn)的收益率;σ1為股票資產(chǎn)波動率;-1<β<0為彈性因子;W1(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。Chen等[10]最早提出用跳-擴(kuò)散模型描述不動產(chǎn)資產(chǎn)價格,其價格過程S2(t)為

(7)

式中：r2>0為不動產(chǎn)資產(chǎn)的收益率;σ2為不動產(chǎn)資產(chǎn)波動率;{N(t),0≤t≤T}為強(qiáng)度為λ>0的泊松過程;{Ui,i≥1}為一個正且獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,用于描述無法預(yù)期的沖擊;W2(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動;泊松過程N(yùn)(t)與布朗運(yùn)動W2(t)相互獨(dú)立,且泊松過程N(yùn)(t)分別與前文W0(t),W1(t)獨(dú)立。由于不動產(chǎn)資產(chǎn)會帶來房租收益,Sing[11]最早提出房租收益模型,且房租收益過程S3(t)滿足

dS3(t)=S2(t)[r3dt+σ3dW3(t)]

(8)

式中：r3>0為租金與房價比;σ3>0為房租收益的波動率;W3(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動,且W3(t)與泊松過程N(yùn)(t)獨(dú)立。

按照“償二代”的風(fēng)險測算體系,權(quán)益類金融產(chǎn)品有比不動產(chǎn)更高的風(fēng)險因子,根據(jù)金融理論,風(fēng)險因子越高,收益也應(yīng)越高,因此有r1>r2>r0,σ2<σ1。假設(shè)股票資產(chǎn)的風(fēng)險與不動產(chǎn)資產(chǎn)的風(fēng)險獨(dú)立,而房地產(chǎn)價格過程和房租收益過程存在強(qiáng)相關(guān)關(guān)系。從而有W1(t)與W2(t)相互獨(dú)立,W1(t)與W3(t)相互獨(dú)立,W2(t)與W3(t)正相關(guān),其相關(guān)系數(shù)為ρ。

假設(shè)保險公司將全部收益進(jìn)行投資,a(t)為投資于股票資產(chǎn)的金額,b(t)為投資于不動產(chǎn)的金額,其中在任意t∈[0,T]時b(t)≥0,即在任何時候不動產(chǎn)投資不可以出現(xiàn)賣空的現(xiàn)象。剩余收益用于投資債券資產(chǎn),則公司財富過程X(t)滿足式(9)。

(9)

分別將(4)～(8)代入式(9)得到公司的財富過程為

dX(t)=[(μ-θq(t))α+X(t)r0+a(t)(r1-r0)+b(t)(r3+r2-r0)]dt+

(10)

假設(shè)保險公司可以動態(tài)購買比例再保險并投資于上述金融市場。區(qū)間[0,T]上的交易策略由三維隨機(jī)過程π=(q(t),a(t),b(t))表示。稱策略π為可行策略,若其滿足π=(q(t),a(t),b(t))是[t]t∈[0,T]循序可測的且滿足用Π表示所有可行策略形成的集合。

2 指數(shù)效用與HJB方程

假設(shè)效用函數(shù)具有如下指數(shù)形式：

(11)

將值函數(shù)定義為

(12)

根據(jù)隨機(jī)最優(yōu)控制理論,得到HJB方程如式(13)所示。

(13)

3 HJB方程的解與驗(yàn)證定理

求解HJB方程的解以及最優(yōu)控制策略π*,通過驗(yàn)證定理證明HJB方程的解析解是最優(yōu)值函數(shù)v(t,x,s)。

首先,假設(shè)HJB方程具有經(jīng)典解,最優(yōu)策略根據(jù)HJB方程一階最大化條件給出。

(14)

將式(14)代入式(13)可得：

(15)

設(shè)式(15)的解為

(16)

式中：m>0,且有邊值條件f(T)=1,g(T)=0,z(T)=0。

分別對t,x,s求一階與二階偏導(dǎo),并用矩母函數(shù)表示E(V(t,x+bU,s)-V(t,x,s))

(17)

(18)

易知使式(18)成立的b為式(19)的根。

(19)

當(dāng)b=0時,式(19)左端小于0;當(dāng)b趨向于無窮時,式(19)左端亦趨向于無窮,且式(19)左端關(guān)于b單調(diào)連續(xù)。因此式(19)存在唯一的正根,記b0(t)為式(19)的唯一正根。給定隨機(jī)變量U的分布,可以對b0(t)的閉式表達(dá)式進(jìn)行數(shù)值模擬,因此式(15)可化為

(20)

消除對x與s的依賴性,考慮邊值條件f(T)=1,g(T)=0可解得

(21)

將式(21)代入式(20)

(22)

結(jié)合邊值條件z(T)=0,U的分布及b0(t),可以求解微分方程式(22),將其解記為z0(t)。

將以上結(jié)果代入式(14)計算可得

(23)

b0(t)滿足

(24)

q*(t)=q0(t),a*(t)=a0(t),b*(t)=b0(t),t∈[0,T]

(25)

(26)

將q*(t)=0代入式(13)得

(27)

其中

(28)

將式(28)代入式(27)得

(29)

式(29)與式(15)解的構(gòu)造形式相同,則其偏導(dǎo)數(shù)也與式(17)相同,分別代入并化簡得

(30)

同理有

(31)

消除對x與s的依賴性,并考慮邊值條件f(T)=1,g(T)=0可解得

(32)

將式(32)代入式(31),計算得

(33)

連同邊值條件z(T)=0,記解為z1(t),將以上結(jié)果代入式(28)計算得

(34)

b1(t)滿足

(35)

(36)

(37)

其中b0(t)滿足

b1(t)滿足

綜上所述,HJB方程式(13)的解與最優(yōu)策略如下：

HJB方程的解V(t,x,s)為

(38)

式中：f*(t)=f0(t)、g*(t)=g0(t)、z*(t)=z0(t)。

HJB方程的解V(t,x,s)為

(39)

式中：f*(t)=f1(t),g*(t)=g1(t),

定理1由式(38)與式(39)給出的HJB方程的解是最優(yōu)控制問題式(12)的值函數(shù),即v(t,x,s)=V(t,x,s)可知,最優(yōu)控制策略為π*=(q*(t),a*(t),b*(t))。

(40)

其中算子

根據(jù)Bremaud[12]可知

利用BDG不等式可得

對式(40)兩端同時取條件期望可得

E[V(τn,X(τn),S(τn))|X(t)=x,S(t)=s]=V(t,x,s)+

易知V(τn,X(τn),S(τn)),n=1,2,……是一致可積的,因此

當(dāng)控制策略取π*時,不等式變?yōu)榈仁?即v(t,x,s)=V(t,x,s),可得π*為原優(yōu)化問題的最優(yōu)策略。

4 數(shù)值模擬

對最優(yōu)控制策略π*=(q*(t),a*(t),b*(t))進(jìn)行數(shù)值分析。設(shè)Z服從均值為0.5,方差為0.25的正態(tài)分布,U服從均值為2,方差為1的正態(tài)分布,且λ0=1,終端時刻T=3,模型的其余參數(shù)假設(shè)如下：

θ=0.3,μ=0.2,β=-0.5,r1=0.5,

r2=0.4,r3=0.3,σ1=0.3,σ2=0.2,

σ3=0.1,ρ=0.8,m=1,λ=1。

對于再保險策略q*(t),得到的結(jié)果與經(jīng)典比例再保險策略類似,隨著時間t增加,再保險比例逐漸降低,并且降低速率逐漸增長。取不同參數(shù)r0=0.2、r0=0.3時可知,當(dāng)債券資產(chǎn)的利率更大時,初始時刻的再保險比例也越大,且下降速率更快,而終端時刻再保險比例達(dá)到相同,如圖1所示。

圖1 債券利率對再保險策略的影響Fig.1 Influence of bond interest rate on reinsurance strategy

對于股票資產(chǎn)投資策略a*(t),由于股票資產(chǎn)滿足CEV模型,因此其與股票市場價格息息相關(guān),分別取s=1、s=2可得知股票資產(chǎn)價格上漲,投資力度更大。同樣的,隨著時間增加,投資力度也越大,如圖2所示。

圖2 股票價格對股票投資策略的影響Fig.2 Influence of stock prices on stock investment strategy

對于不動產(chǎn)投資策略b*(t),其策略走向與股票資產(chǎn)類似,投資策略依然滿足隨著時間的增加投資力度也增大,如圖3所示。

圖3 不動產(chǎn)投資策略Fig.3 Real estate investment strategy

5 結(jié) 語

在債券,股票及最優(yōu)再保險的投資組合基礎(chǔ)上,分析不動產(chǎn)及出租該不動產(chǎn)所獲得的隨機(jī)收益模型,以最大化終端效用為目標(biāo)研究了保險公司最優(yōu)投資組合。研究結(jié)果表明：時間、利率、股票價格等因素均會影響到保險公司的終端效用。從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度,隨時間變量的增加,保險公司更傾向于承擔(dān)更多索賠風(fēng)險,進(jìn)而獲得更多保費(fèi),同時對于固定資產(chǎn)的投資量也會增加,從而在終端獲得更大效用值。隨著股票價格的增加,增加股票頭寸可以獲得更多的投資收益。此外,當(dāng)利率增加時,保險公司應(yīng)適當(dāng)降低自留風(fēng)險,增加對于無風(fēng)險資產(chǎn)的投資,從而提高終端效用。