符康琦 張樂榕 李慶軍,2) 鄧子辰 吳志剛 蔣建平

* (中山大學(xué)航空航天學(xué)院,廣東深圳 518107)

? (西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院,西安 710072)

引言

超大型航天結(jié)構(gòu)的空間組裝近年來受到高度關(guān)注[1-2].空間組裝可以突破單次火箭發(fā)射體積和質(zhì)量的限制,同時避免超大型結(jié)構(gòu)在軌展開帶來的技術(shù)挑戰(zhàn)和風(fēng)險.目前國內(nèi)外研究機構(gòu)已經(jīng)提出多個空間組裝大型航天結(jié)構(gòu)的方案[3],包括空間太陽能電站[4-5]、太空望遠鏡[6]、人造重力航天器[2]等.

超大型航天結(jié)構(gòu)的空間組裝涉及長時間在艙外執(zhí)行組裝任務(wù),有些任務(wù)需要在高軌、甚至在深空執(zhí)行,完全依賴航天員執(zhí)行空間組裝任務(wù)是不現(xiàn)實的,因此使用機器人執(zhí)行超大型結(jié)構(gòu)的空間組裝任務(wù)成為必然[7].目前已有成熟的空間機器人理論和技術(shù)[7-9],所以機器人技術(shù)不作為本文的研究重點.機器人在空間環(huán)境下組裝超大型、多模塊結(jié)構(gòu)面臨許多難題,其中動力學(xué)與控制是研究組裝過程動力學(xué)特性、掌握控制規(guī)律和設(shè)計組裝方案的基礎(chǔ),是空間組裝的關(guān)鍵問題之一[1].然而,超大型、多模塊結(jié)構(gòu)的空間組裝過程需要通過機器人對模塊進行抓捕、運輸、位姿調(diào)整、安裝和鎖定等重復(fù)操作[5],同時,組裝過程系統(tǒng)參數(shù)隨時間發(fā)生變化,給動力學(xué)與控制帶來新的挑戰(zhàn).

目前,國內(nèi)外針對航天器空間組裝的研究大多集中在概念論證、方案設(shè)計、機器人控制、模塊與結(jié)構(gòu)設(shè)計等方面,針對組裝過程動力學(xué)與控制的研究較少.Badawy 等[10]針對大型航天結(jié)構(gòu)的模塊自組裝過程,提出了基于人工勢場法的位置和姿態(tài)控制方法.Chen 等[11]針對多個柔性航天器自組裝過程,采用浮動坐標(biāo)法建立了柔性航天器的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型,通過橢圓描述航天器的人工勢場,實現(xiàn)了柔性航天器的自組裝和防撞控制.然而,文獻[10-11]的方法要求模塊具有自主感知和控制的能力,而超大型多模塊結(jié)構(gòu)的組裝則需要機器人執(zhí)行,這兩種組裝方式面臨不同的動力學(xué)與控制問題.Boning 等[12]針對機器人群體空間組裝大型柔性結(jié)構(gòu)的過程,建立了系統(tǒng)的動力學(xué)模型,基于機器人高頻控制與結(jié)構(gòu)低頻控制相解耦的控制策略,設(shè)計了機器人群體的協(xié)調(diào)控制系統(tǒng),完成組裝任務(wù)的同時降低了結(jié)構(gòu)振動.楊勝麗等[13]針對三分支機器人在空間柔性結(jié)構(gòu)上爬行的問題,將結(jié)構(gòu)等效為懸臂條件的歐拉-伯努利梁,建立了機器人-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型,研究了降低結(jié)構(gòu)振動的機器人爬行步態(tài)優(yōu)化方法.然而,文獻[12-13]采用了線性模態(tài)方法將結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為常微分方程,難以推廣到大柔性、剛?cè)狁詈系目臻g結(jié)構(gòu).

從動力學(xué)建模的角度而言,空間組裝過程既包含軌道、姿態(tài)等剛體運動,也包含組裝模塊的結(jié)構(gòu)振動,同時還包含空間機器人的復(fù)雜操作,導(dǎo)致系統(tǒng)的動力學(xué)模型非常復(fù)雜.在這種情況下,基于絕對坐標(biāo)的方法是一種比較合適的建模方法,包括描述剛體的自然坐標(biāo)法[14]和描述柔性體的絕對節(jié)點坐標(biāo)法[15].這兩種方法在同一個全局坐標(biāo)系下描述剛體的位置和姿態(tài)、柔性體節(jié)點的位置坐標(biāo)和位置梯度,完全通過笛卡爾坐標(biāo)描述系統(tǒng)的大變形和任意轉(zhuǎn)動,適合用于構(gòu)型復(fù)雜的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)建模.Li 等[16]針對衛(wèi)星天線的組裝過程,采用自然坐標(biāo)法和絕對節(jié)點坐標(biāo)法建立了衛(wèi)星本體-機械臂-組裝模塊的動力學(xué)模型,研究了減小機械臂操作過程對衛(wèi)星本體姿態(tài)干擾的軌跡優(yōu)化方法,通過動力學(xué)仿真驗證了建模和軌跡規(guī)劃方法的有效性.榮吉利等[17]基于自然坐標(biāo)法和絕對節(jié)點坐標(biāo)法對大型桁架展開和組裝過程進行了動力學(xué)仿真,并與ADAMS和ANSYS 軟件結(jié)果進行了對比,分析了組裝時間、組裝機構(gòu)阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)對組裝過程的影響.然而,文獻[16-17]沒有考慮空間環(huán)境干擾力對組裝過程動力學(xué)的影響.Li 等[18]基于矩陣直積推導(dǎo)了適用于所有絕對節(jié)點坐標(biāo)法單元的分布式萬有引力(包含萬有引力梯度)表達式,提出了基于絕對節(jié)點坐標(biāo)法的航天器軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)建模方法.王啟生等[19-20]針對機器人組裝大型梁結(jié)構(gòu)的過程,采用自然坐標(biāo)法和絕對節(jié)點坐標(biāo)法建立了主結(jié)構(gòu)-機器人-待組裝結(jié)構(gòu)耦合的動力學(xué)模型,分析了組裝過程的軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)響應(yīng).在此基礎(chǔ)上,Yang 等[21]基于準(zhǔn)靜態(tài)、小變形等假設(shè)推導(dǎo)了該過程的結(jié)構(gòu)振動、夾持機構(gòu)受力、機器人關(guān)節(jié)控制力矩的解析解,研究發(fā)現(xiàn)萬有引力梯度和科氏力對組裝過程產(chǎn)生重要影響,且組裝過程的結(jié)構(gòu)振動幅值至少隨梁長度的4 次方增長.然而,上述文獻只研究了單次模塊安裝過程,而沒有研究超大型結(jié)構(gòu)多次模塊安裝過程的動力學(xué)行為.

超大型、多模塊結(jié)構(gòu)的空間組裝過程中,結(jié)構(gòu)構(gòu)型和尺寸將隨著組裝進程逐漸增長.針對該特點,王恩美等[22]在有限元方法的基礎(chǔ)上提出了節(jié)點自由度加載方法,用于描述系統(tǒng)自由度逐漸增加的過程.他們在另一篇論文中針對該過程的結(jié)構(gòu)振動問題,提出了分布式自適應(yīng)振動控制方法,實現(xiàn)了控制器數(shù)量逐漸增加的結(jié)構(gòu)振動抑制[23].Cao 等[24]研究了圓環(huán)形支撐結(jié)構(gòu)的空間組裝過程,基于相對軌道運動方程、有限元模型和車橋耦合模型,建立了系統(tǒng)的動力學(xué)方程,并研究了不同組裝策略下的動力學(xué)響應(yīng).羅建軍等[25]針對機器人搭建空間桁架的過程,進行了動力學(xué)建模、運動序列規(guī)劃、裝配序列規(guī)劃和機器人控制等方面的研究.然而,文獻[22-25]沒有考慮空間環(huán)境干擾力帶來的影響.超大型結(jié)構(gòu)具有尺寸超大、柔性超大等特點,在空間環(huán)境干擾力作用下會出現(xiàn)大幅振動、結(jié)構(gòu)失穩(wěn)、軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合等復(fù)雜動力學(xué)行為[26-28].文獻[21]研究表明,不考慮萬有引力梯度或科氏力將導(dǎo)致低估結(jié)構(gòu)振動幅值和空間機器人的控制力矩.

本工作針對從單個模塊到千米量級結(jié)構(gòu)的空間組裝過程,基于自然坐標(biāo)法和絕對節(jié)點坐標(biāo)法提出了一個考慮空間攝動的動力學(xué)分析、規(guī)劃與控制的仿真框架,建立了考慮萬有引力梯度和科氏力的主結(jié)構(gòu)-機器人-組裝模塊組合系統(tǒng)的軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)模型,開展了機器人的運動規(guī)劃、軌跡規(guī)劃和控制器設(shè)計研究,分析了不同俯仰姿態(tài)角和姿態(tài)控制方案下的組裝過程動力學(xué)特性,以期為超大型航天結(jié)構(gòu)的組裝方案設(shè)計提供參考.

1 問題描述

本工作旨在提出一個基于絕對坐標(biāo)方法的機器人組裝超大型、多模塊結(jié)構(gòu)的軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)與控制仿真框架,并以組裝長度為1600 m 的梁結(jié)構(gòu)為例開展動力學(xué)仿真與姿態(tài)控制研究.在此算例中,機器人在軌道上以給定姿態(tài)逐個組裝長度為100 m 的梁模塊,如圖1 所示.為了提高仿真效率,本文只研究組裝過程系統(tǒng)在軌道平面內(nèi)的運動,后續(xù)研究中可以通過將平面單元更換成三維單元將本文的研究思路和方法拓展到三維情形.

圖1 機器人空間組裝超大型多模塊結(jié)構(gòu)示意圖(以質(zhì)心為基點將組裝系統(tǒng)放大了50 000 倍)Fig.1 Conceptual drawing of the robotic assembly of an ultra-large multi-modular structure in space (the assembly system is magnified by 50 000 times form the center of mass for clearness)

組裝系統(tǒng)由機器人、主結(jié)構(gòu)(已完成的部分)和組裝模塊(未完成的部分)組成,其中機器人采用雙臂構(gòu)型,每個機械臂在軌道平面內(nèi)具有3 個關(guān)節(jié)自由度和1 個夾持機構(gòu).由于空間機器人的剛度遠遠大于超大型結(jié)構(gòu),所以將空間機器人簡化為多剛體系統(tǒng),主結(jié)構(gòu)和組裝模塊簡化為歐拉-伯努利梁.在仿真中考慮軌道運動引起的科氏力和分布式萬有引力梯度,研究不同組裝姿態(tài)和控制情形下的動力學(xué)特性.

機器人組裝超大型多模塊梁的軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)仿真框架如圖2 所示.首先,從動力學(xué)模型的角度出發(fā),用自然坐標(biāo)法和絕對節(jié)點坐標(biāo)法建立空間機器人、主結(jié)構(gòu)和組裝模塊的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型,其中主結(jié)構(gòu)由多個組裝模塊連接而成.建立對接機構(gòu)和機器人夾持機構(gòu)的等效模型(包括對接過程、夾持機構(gòu)抓緊和松開過程的參數(shù)變化),考慮空間攝動因素的影響,得到組裝系統(tǒng)的軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)模型.通過數(shù)值算法求解微分-代數(shù)方程,從而得到系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng).

圖2 軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合仿真框架Fig.2 Orbit-attitude-structure coupled simulation framework

從空間機器人的角度來看,需要獲得下一個組裝模塊的屬性,例如組裝位置、組裝方向和約定的抓捕地點等信息.隨后,進行操作序列規(guī)劃、動作序列規(guī)劃和笛卡爾空間軌跡規(guī)劃,最終轉(zhuǎn)化到關(guān)節(jié)空間的軌跡.此外,通過反饋控制算法使空間機器人的關(guān)節(jié)跟蹤給定軌跡,完成組裝過程.除了機器人控制之外,主結(jié)構(gòu)和組裝模塊根據(jù)實際情況可能需要軌道、姿態(tài)和結(jié)構(gòu)等方面的控制.

最后,從仿真程序整體的角度,需要首先設(shè)計超大型多模塊結(jié)構(gòu)的組裝序列,給每一個組裝模塊賦相應(yīng)的屬性.然后,在給定時間和地點生成新的組裝模塊(模擬運輸機器人將組裝模塊運輸?shù)浇o定地點),進入機器人組裝階段,直到組裝完成.

2 軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)建模

本節(jié)簡要介紹組裝系統(tǒng)的軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)建模方法,詳細(xì)建模過程可參考文獻[19-21].首先建立全局慣性坐標(biāo)系OXY,坐標(biāo)原點在地球質(zhì)心,如圖1 所示.

2.1 自然坐標(biāo)法與絕對節(jié)點坐標(biāo)法

在軌道平面內(nèi)運動的剛體具有3 個自由度,為了簡化多剛體的建模過程,采用自然坐標(biāo)法建立空間機器人的動力學(xué)模型.空間機器人具有7 個剛體和9 個自由度.平面剛體的自然坐標(biāo)法有兩類形式,一種是采用4 個廣義坐標(biāo)的表示方法,含有1 個約束,例如兩點格式;另一種是采用6 個廣義坐標(biāo)的表示方法,含有3 個約束,例如兩點一矢格式.為了便于快速拓展到三維情形,本文采用兩點一矢格式,如圖3 所示,剛體AB 的廣義坐標(biāo)為[14]

圖3 平面剛體的自然坐標(biāo)法[21]Fig.3 Natural coordinate formulation of a planar rigid body[21]

其中rA和rB分別為A點和B點的全局坐標(biāo),v1為固連于剛體且垂直于剛體的單位矢量.由于eAB有6 個分量,而剛體AB 只有3 個自由度,所以eAB將受到以下3 個約束

其中l(wèi)1為A點和B點之間的距離.為了描述剛體內(nèi)任意一點在OXY中的坐標(biāo),采用以下插值

其中局部坐標(biāo)系A(chǔ)x1y1固連于剛體,且x1軸指向B點,C(x1,y1) 稱為剛體的形函數(shù).

對于柔性組裝模塊,采用一維二節(jié)點的歐拉-伯努利絕對節(jié)點坐標(biāo)法梁單元進行建模,單元的廣義坐標(biāo)為

其中xe為梁的弧長坐標(biāo),le為梁單元的長度.單元中軸線上任意一點的全局坐標(biāo)可表示為

其中,S(xe) 為3 次插值的形函數(shù),具體形式參見文獻[15].

通過約束Hamilton 方程可獲得組裝系統(tǒng)的動力學(xué)模型,其中的動能和彈性勢能表達式見文獻[14-15].為了模擬組裝系統(tǒng)的軌道和姿態(tài)運動,還需要考慮剛體和柔性體的萬有引力勢能.自然坐標(biāo)法和絕對節(jié)點坐標(biāo)法都具有相同的描述形式,即式(3)和式(5)都是通過形函數(shù)和廣義坐標(biāo)獲得剛體/柔性體單元內(nèi)任意一點的全局坐標(biāo),而且形函數(shù)C(x1,y1) 和S(xe)都可以表示為一個行向量與單位矩陣的直積形式[18].因此,文獻[18]提出了一種適用于自然坐標(biāo)法和所有絕對節(jié)點坐標(biāo)法單元的萬有引力廣義力表達式,并已經(jīng)包含了萬有引力梯度的作用.

為了推導(dǎo)組裝系統(tǒng)的動力學(xué)模型,需要將組裝系統(tǒng)的所有廣義坐標(biāo)寫成一個廣義坐標(biāo)向量q,其中包括空間機器人7 個剛體和16 個組裝模塊.這些組裝模塊共包含 16×4(n+1) 個廣義坐標(biāo)(n為每個組裝模塊的單元數(shù),取n=5).對于空間機器人,雖然每個剛體具有6 個廣義坐標(biāo),但7 個剛體之間有6 個點可以共用,所以空間機器人共有30 個廣義坐標(biāo).組裝系統(tǒng)的動力學(xué)模型為

其中,M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣,p稱為廣義動量,λ 為Lagrange 乘子,g(q) 為系統(tǒng)的所有約束,U(q) 包含了系統(tǒng)的萬有引力勢能和彈性勢能,Q是廣義外力向量.廣義外力包括夾持機構(gòu)、對接機構(gòu)對機器人和組裝模塊的力,以及機器人對組裝模塊的控制力,可通過虛功原理獲得.

在此模型中,所有剛體和柔性體的萬有引力和萬有引力梯度已經(jīng)包含在 ?U(q)/?q中.通過給定合適的軌道和姿態(tài)初始條件,即可實現(xiàn)動力學(xué)仿真.系統(tǒng)的軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合效應(yīng)體現(xiàn)在兩方面: 一方面是物體所受的外力是分布式的,將同時對軌道、姿態(tài)、結(jié)構(gòu)產(chǎn)生影響;另一方面則是計算這些分布式外力時,需要同時用到系統(tǒng)的軌道、姿態(tài)和結(jié)構(gòu)的狀態(tài).在圖1 所示的組裝場景,柔性結(jié)構(gòu)保持指向地面的姿態(tài),即結(jié)構(gòu)隨軌道運動發(fā)生旋轉(zhuǎn),因此結(jié)構(gòu)組裝時沿徑向運動的過程會存在科氏力.科氏力已經(jīng)包含在方程(6)的慣性力中,無需額外考慮.

2.2 夾持與對接機構(gòu)的接觸碰撞

除了機器人和組裝模塊的動力學(xué)模型以外,動力學(xué)仿真過程還需要包含機器人末端夾持機構(gòu)、組裝模塊之間對接機構(gòu)的動力學(xué)模型.在超大型多模塊結(jié)構(gòu)的組裝過程中,夾持與對接機構(gòu)存在接觸、摩擦、碰撞等典型的非光滑動力學(xué)行為,其動力學(xué)特性與接觸面的具體形狀有關(guān),準(zhǔn)確建模過程非常復(fù)雜[29],不是本文關(guān)注的重點.

本文采用傳統(tǒng)的Kelvin-Voigt 線性彈簧阻尼模型等效夾持機構(gòu)和對接機構(gòu)的動力學(xué)行為.對于機器人的夾持機構(gòu),假設(shè)組裝模塊上已有可供夾持的抓手,能與夾持機構(gòu)緊密配合,完成夾持后能提供平面內(nèi)兩個方向的力和一個力矩,則機器人末端受到的夾持力和力矩可表示為

式中,Δr為機器人夾持機構(gòu)和組裝模塊夾持抓手形心之間的相對位置矢量,α 為兩者的相對轉(zhuǎn)角,kF,cF和kM,cM分別為對應(yīng)的彈性系數(shù)和阻尼系數(shù).彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)在實際工程中可通過實驗測得,在本文的數(shù)值仿真中,通過多次調(diào)試決定選擇數(shù)值為kF=kM=1000 和cF=cM=3000 (采用國際單位),使夾持誤差較小且對仿真步長的影響較小.同理,對接機構(gòu)的彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)都選為1000.

夾持機構(gòu)的等效動力學(xué)模型在數(shù)值仿真中還需要處理松開狀態(tài)和夾緊狀態(tài)之間的切換.機器人爬行時,其中一個機械臂的夾持機構(gòu)處于松開狀態(tài),當(dāng)其遇到下一個抓手時需要切換為夾緊狀態(tài).為了在仿真程序中描述這個過程,需要處理兩個問題.一是夾持機構(gòu)形心與抓手形心在數(shù)值仿真中不可能完全重合,難以確定何時切換;二是如果切換狀態(tài)時kF和cF從0 突變成1000 和3000,勢必造成夾持力和力矩的突變,引起系統(tǒng)不穩(wěn)定.針對這兩個問題,本文給出簡化處理方法: 首先,規(guī)定機器人在完成給定軌跡后立即開始切換(此時 Δr和 α 均不為0);然后,規(guī)定kF和cF經(jīng)過2 s 從0 線性變成1000 和3000,從夾緊狀態(tài)到松開狀態(tài)時kF和cF經(jīng)過2 s 從1000 和3000 線性變成0.通過這兩種簡化處理方法,避免了切換過程力和力矩突變而引起的數(shù)值發(fā)散問題.對接機構(gòu)鎖定過程的處理方式與夾持機構(gòu)相同,鎖定過程時間為10 s.

至此,已經(jīng)建立了組裝系統(tǒng)的軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)模型,可以采用文獻[30]的保能量-保約束算法進行數(shù)值求解.然而,這種做法將空間機器人和所有組裝模塊的動力學(xué)方程當(dāng)作一個非常高維的微分-代數(shù)方程組進行求解,其中每一步都需要采用Newton-Raphson 迭代法求解離散的高維代數(shù)方程組,需要多次求系統(tǒng)受力及其雅克比矩陣,導(dǎo)致數(shù)值仿真效率極低.為此,本文提出一個簡化處理方法: 對于夾持機構(gòu)而言,夾持力和力矩認(rèn)為與上一時間步的夾持誤差及其導(dǎo)數(shù)成正比,因此在當(dāng)前時間步可以將其視為常力和常力矩.通過該簡化方法,在當(dāng)前時間步,空間機器人和16 個組裝模塊變成了相互獨立的動力學(xué)模型: 空間機器人的動力學(xué)方程是包含30 個廣義坐標(biāo)的二階微分-代數(shù)方程(每一步仍需迭代),每個組裝模塊的動力學(xué)方程是包含4(n+1)個廣義坐標(biāo)的二階常微分方程(不需要迭代).這些獨立的動力學(xué)模型可以單獨求解,還可以方便地實現(xiàn)并行計算,提高數(shù)值仿真效率.該方法的合理性將在后續(xù)動力學(xué)仿真中討論.

3 軌跡規(guī)劃與控制系統(tǒng)設(shè)計

通過上述動力學(xué)模型和數(shù)值求解,可以實現(xiàn)組合系統(tǒng)的軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)仿真,但是機器人還無法實現(xiàn)組裝任務(wù).為此,本節(jié)給出空間機器人的軌跡規(guī)劃、控制器設(shè)計以及主結(jié)構(gòu)和組裝模塊的姿態(tài)控制.

3.1 空間機器人組裝規(guī)劃

為了完成組裝任務(wù),首先需要設(shè)計組裝序列,現(xiàn)有文獻中已有大量組裝序列設(shè)計方法研究[25,31-32].本文的算例較為簡單,采用逐個模塊依次組裝的序列,且空間機器人針對每個模塊都采用相同的抓捕、穩(wěn)定、安裝、鎖定和爬行的操作序列,如圖4所示.下面介紹每一種操作的動作序列及軌跡規(guī)劃過程.

圖4 機器人組裝一個模塊的操作序列Fig.4 Operation sequence planning of the robot to assemble a module

(1) 抓捕操作

首先,假設(shè)組裝模塊處于完全展開的狀態(tài),且通過運輸機器人已經(jīng)按給定姿態(tài)運輸?shù)街付ǖ攸c.為了簡單起見,假設(shè)組裝模塊抓捕前與主結(jié)構(gòu)處于共線狀態(tài),兩者之間的距離為 (20-xcapt)m,其中xcapt為抓捕過程由于動量守恒導(dǎo)致主結(jié)構(gòu)向后退的距離.

抓捕之前,機器人已位于主結(jié)構(gòu)的下一個安裝點處.抓捕過程中,機器人將前臂伸出,且保證夾持機構(gòu)最終以垂直于梁軸線向下的方向運動,直至到達抓手位置(上、下的定義是垂直于梁軸線且機器人所在的方向為上,前、后的定義是沿梁軸線且組裝方向為前,如圖1 所示).前臂伸出時,機器人本體向前移動的距離為前臂伸出距離的一半,使機器人在完成抓捕后保持對稱的構(gòu)型.前臂末端夾持機構(gòu)抬高最大高度設(shè)為1 m.

(2) 調(diào)整與穩(wěn)定操作

完成抓捕后,組裝模塊和主結(jié)構(gòu)可能并非處于共線狀態(tài),如果在安裝階段需要對主結(jié)構(gòu)和待組裝結(jié)構(gòu)進行姿態(tài)調(diào)整,則可能引起大型結(jié)構(gòu)的低頻振動,在無阻尼的太空環(huán)境下持續(xù)較長時間,影響組裝效率和組裝精度.為此,抓捕完成后需要先對主結(jié)構(gòu)和組裝模塊進行姿態(tài)和位置的調(diào)整與穩(wěn)定,使兩者盡可能處于共線的狀態(tài)并保持合適的距離,同時機器人可以調(diào)整自身的構(gòu)型.在本文的算例中,組裝模塊假設(shè)每次都以共線的形式出現(xiàn)在給定地點,因此抓捕完成后只需要經(jīng)過短時間的穩(wěn)定操作,使主結(jié)構(gòu)和組裝模塊共線,并保持20 m 的距離.

(3) 安裝與鎖定操作

在安裝階段,主結(jié)構(gòu)和組裝模塊在機器人帶動下相互靠近,直至對接機構(gòu)發(fā)生接觸、鎖定.該過程不僅要求主結(jié)構(gòu)和組裝模塊的距離按五次多項式從20 m 減小到0 m,還要求機器人質(zhì)心到主結(jié)構(gòu)的距離保持不變,以減小機器人引起主結(jié)構(gòu)和組裝模塊的振動,具體的規(guī)劃過程見文獻[19-21].安裝完成后,還需要預(yù)留時間實現(xiàn)鎖定操作.

(4) 爬行操作

安裝和鎖定完成后,機器人需要采用如圖4 所示的爬行步態(tài)從當(dāng)前位置移動到下一個組裝點.假設(shè)每一步爬行距離為20 m,需要通過5 步才能爬到下一個組裝點.在爬行一步的過程中,機器人需要先松開前夾持機構(gòu)、前臂伸出至下一個抓手處并夾緊,然后對后臂和后夾持機構(gòu)作同樣的動作.

在抓捕操作和爬行操作的前臂伸出過程中,同樣也要求機器人質(zhì)心到主結(jié)構(gòu)的距離保持不變,規(guī)劃思路與安裝操作類似,分為前后方向和上下方向.在上下方向,首先用148 s 將H點的軌跡向上抬起1 m,然后用剩下的148 s 向下移動1 m;在前后方向,用290 s 將H點向前移動20 m,同時機器人本體向前移動10 m,使得剩下的6 s 時間內(nèi)H點只有上下方向的運動而沒有前后方向的運動,以保證夾持機構(gòu)以垂直于梁軸線向下的方向運動.通過上述規(guī)劃,得到了機器人組裝超大型多模塊結(jié)構(gòu)過程的動作序列,如圖5 所示.在實際工程中,機器人還需要進行感知、決策、實時規(guī)劃等,可能無法在3710 s 的短時間內(nèi)完成1 個模塊的組裝.為了提高仿真效率,對機器人的操作都作了簡化處理,主要關(guān)注組裝過程的動力學(xué)仿真.

圖5 機器人組裝超大型多模塊結(jié)構(gòu)的動作規(guī)劃Fig.5 Movement planning of the robot to assemble an ultra-large multi-modular structure

對于軌跡規(guī)劃過程,先在笛卡爾空間采用五次多項式進行軌跡規(guī)劃,然后通過幾何關(guān)系轉(zhuǎn)換到機器人關(guān)節(jié)空間.安裝操作的笛卡爾空間軌跡規(guī)劃及轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)空間的具體規(guī)劃過程見文獻[21].機器人在組裝一個模塊過程的關(guān)節(jié)軌跡如圖6 所示,其中 θ1～ θ3和 θ5～ θ7表示的角度見圖1.此外,θ4表示圖1 中機器人本體DE 與機器人位置矢量的夾角,即俯仰姿態(tài)角.動力學(xué)仿真中將選取不同的 θ4.

圖6 機器人組裝一個模塊的關(guān)節(jié)軌跡Fig.6 Joint trajectories of the robot assemblying a module

3.2 控制系統(tǒng)設(shè)計

為了完成規(guī)劃的動作,機器人關(guān)節(jié)需要采用反饋控制跟蹤規(guī)劃好的軌跡.本文采用簡單的PD 控制方法進行關(guān)節(jié)軌跡跟蹤,對 θi,i=1,2,···,7 的反饋控制力矩可表示為

其中Kp=40 000 和Kd=5000 分別為比例和微分反饋增益(采用國際單位),ei=θi,p-θi為誤差(下標(biāo)p 代表規(guī)劃的值),為ei對時間的導(dǎo)數(shù).式(8) 中,i=4代表機器人本體的俯仰姿態(tài)誤差和控制力矩.

除此之外,主結(jié)構(gòu)和組裝模塊都需要進行控制.本文的算例中沒有考慮軌道攝動力,不需要進行主結(jié)構(gòu)的軌道調(diào)整,而且認(rèn)為組裝模塊的軌道控制已由其他運輸機器人完成.因此,主結(jié)構(gòu)和組裝模塊主要進行姿態(tài)和結(jié)構(gòu)控制.主結(jié)構(gòu)和組裝模塊都屬于超大型結(jié)構(gòu),可以采用分散式控制力矩陀螺進行姿態(tài)-結(jié)構(gòu)聯(lián)合控制[33].假設(shè)每個結(jié)構(gòu)模塊都具有若干個控制力矩陀螺,每個控制力矩陀螺將與共位布置的姿態(tài)傳感器構(gòu)成獨立的PD 姿態(tài)反饋控制器(相鄰的控制器沒有信息交互),且比例增益為69 600,微分增益為835 200 (采用國際單位).動力學(xué)仿真考慮4 種姿態(tài)及控制情形.

(1) 情形1: 組裝過程中主結(jié)構(gòu)和組裝模塊的俯仰姿態(tài)角均為0,如圖1 所示.由于此時系統(tǒng)的姿態(tài)角是萬有引力梯度穩(wěn)定的,所以不進行姿態(tài)控制.

(2) 情形2: 假設(shè)每個組裝模塊具有6 個均勻分布在模塊上的PD 姿態(tài)反饋控制器,相鄰控制器相隔20 m,如圖7 所示,其余狀態(tài)與情形一相同.

圖7 姿態(tài)控制器布局Fig.7 Placement of attitude controllers

(3) 情形3: 組裝過程中主結(jié)構(gòu)和組裝模塊的俯仰姿態(tài)角均為 π/2 .由于此時系統(tǒng)姿態(tài)不穩(wěn)定,所以需要采用控制力矩陀螺進行姿態(tài)控制,假設(shè)每個模塊具有1 個PD 姿態(tài)反饋控制器,放置在距離前對接點40 m 處.

(4) 情形4: 假設(shè)每個組裝模塊具有6 個均勻分布在模塊上的PD 姿態(tài)反饋控制器,相鄰控制器相隔20 m,其余狀態(tài)與情形3 相同.

4 軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)仿真

通過上述動力學(xué)建模、軌跡規(guī)劃與控制,即可實現(xiàn)機器人空間組裝超大型、多模塊結(jié)構(gòu)過程的軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)仿真.通過該仿真框架,可以研究不同組裝方案(軌道、姿態(tài)、組裝序列、機器人類型與數(shù)量等)、不同控制方案(推力器、動量交換裝置、壓電智能材料等)、不同的機器人和模塊參數(shù)等對組裝過程動力學(xué)響應(yīng)的影響.本文主要研究不同的組裝姿態(tài)和控制方案的影響.

采取與文獻[21]相同的機器人與組裝模塊的幾何、質(zhì)量和剛度參數(shù),每個模塊的質(zhì)量為3132 kg,抗彎剛度為EI=1.14×107N·m2;機械臂3 個連桿的長度分別為7 m,7 m 和2 m,兩個機械臂(D點和E點)之間的距離為2 m,機器人總質(zhì)量為3271 kg.第一個模塊和機器人初始位于地球靜止軌道,時間步長取為0.005 s,得到動力學(xué)仿真結(jié)果如圖8～圖17 所示.

圖8 組裝系統(tǒng)質(zhì)心的長半軸變化率Fig.8 Variation of the semimajor axis of the mass center of the assembly system

圖8 和圖9 分別給出了4 種情形下組裝系統(tǒng)質(zhì)心的軌道長半軸變化量和離心率.由圖可知,情形1 的軌道長半軸在整個組裝過程中呈現(xiàn)階梯式增長的特點,每組裝一個模塊,長半軸都顯著增加.值得注意的是,雖然超大型梁的長度僅為1600 m,在仿真中組裝結(jié)束時刻的長半軸卻比初始時刻增加了2301.4 m;一個組裝模塊的長度僅為100 m,生成模塊3 后系統(tǒng)的長半軸卻比生成模塊3 前增加了129.5 m.這個現(xiàn)象與生成新組裝模塊的方法有關(guān).本文認(rèn)為只要模塊生成成功了,就可以參與組裝系統(tǒng)質(zhì)心以及軌道的計算.生成一個新組裝模塊時,認(rèn)為組裝模塊處于新組裝點的正前方(對于情形1 是天頂方向,對于情形2 和情形3 是軌道運行速度的反方向).這種生成方式使得情形1 中組裝模塊的軌道高度比主結(jié)構(gòu)和空間機器人更高;此外,對于圓形軌道,軌道高度越高,運動速度應(yīng)該越小,而情形1 使新生成的組裝模塊與新組裝點同步繞地心運動,即組裝模塊的運動速度比主結(jié)構(gòu)和空間機器人更快.換句話說,新生成的組裝模塊的軌道為橢圓軌道.這兩個方面的原因共同造成了情形1 的軌道長半軸和離心率快速增加.

圖9 組裝系統(tǒng)質(zhì)心的離心率Fig.9 Orbital eccentricity of the mass center of the assembly system

為了驗證上述機理,針對情形1 的模塊3 組裝前后進行對比.模塊3 生成后,系統(tǒng)質(zhì)心的軌道半徑將增加Δr

其中,計算質(zhì)心的參考點為模塊2 的前對接點,此時機器人正好位于該點.由于主結(jié)構(gòu)和組裝模塊的角速度相同,因此生成模塊3 后,系統(tǒng)的角速度基本保持不變.因此,軌道半徑的增長將導(dǎo)致線速度變化

根據(jù)軌道動力學(xué)知識可知

其中 ε 為單位質(zhì)量的軌道運動機械能.由于 Δr和Δv均為小量,所以有

代入地球靜止軌道的數(shù)據(jù)計算,得到結(jié)果為Δa=134.296 m,與數(shù)值仿真129.5 m 的結(jié)果接近,說明了上述機理的有效性.在式(12)的兩項中,第1 項和第2 項各占約50%.

由于情形2 采取了與情形1 相同的姿態(tài)條件,所以其軌道長半軸和離心率變化情況與情形1 類似.對于情形3 和情形4,由于組裝俯仰姿態(tài)角選擇為 π/2,則新生成的組裝模塊與主結(jié)構(gòu)幾乎處于相同的軌道高度且具有相同的運行速度,所以軌道長半軸和離心率基本保持不變.這表明了不同的組裝姿態(tài)下會出現(xiàn)不同的組裝過程系統(tǒng)軌道躍變規(guī)律.

組裝過程姿態(tài)角變化規(guī)律和姿態(tài)控制力矩如圖10 和圖11 所示,其中情形1、情形2 和情形4 的每個模塊有6 個相距20 m 的姿態(tài)測量點,情形3 每個模塊只有1 個姿態(tài)測量點.由于圖10 和圖11中曲線太多,為清晰起見,不再給出每條曲線對應(yīng)的姿態(tài)測量點位置.由圖可知,情形1 沒有進行姿態(tài)控制,在機器人操作干擾和科氏力作用下,主結(jié)構(gòu)和組裝模塊的姿態(tài)角逐漸增大,最終出現(xiàn)約3.2°的姿態(tài)誤差.情形2 由于采用了姿態(tài)控制,所以姿態(tài)誤差不超過0.1°,但是控制力矩出現(xiàn)了多次突然增大的情況.情形3 的組裝姿態(tài)為不穩(wěn)定的平衡點,每個模塊采用了1 個PD 姿態(tài)控制器,在組裝過程中姿態(tài)角都控制在0.4°范圍內(nèi),但最大控制力矩達到了400 N·m,而且在機器人抓捕組裝模塊的瞬間會出現(xiàn)較大的姿態(tài)誤差和控制力矩突變.相比而言,情形4 的姿態(tài)誤差和控制力矩都僅為情形3 的 1/20 左右,在機器人抓捕組裝模塊瞬間也出現(xiàn)沖擊突變的情況.此外,情形4 的姿態(tài)誤差和控制力矩在時間為13 600 s,34 500 s,46 100 s 以及51 800 s 處出現(xiàn)振幅先增大后減小的“鼓包”現(xiàn)象.此時,姿態(tài)誤差和控制力矩的值可大幅增加,例如情形4 在13 600 s 附近控制力矩的極大值為9095 s 附近極大值的3.2 倍.

圖10 主結(jié)構(gòu)和組裝模塊的姿態(tài)誤差Fig.10 Attitude errors of the main structure and assembly module

圖11 主結(jié)構(gòu)和組裝模塊的姿態(tài)控制力矩Fig.11 Attitude control moments of the main structure and assembly module

為了研究結(jié)構(gòu)振動,首先需要定義一個局部的坐標(biāo)系,不同的定義方法會得到不同的結(jié)構(gòu)振動結(jié)果.為了簡單起見,本文將局部坐標(biāo)系原點定義在主結(jié)構(gòu)模塊1 的第1 個節(jié)點,其方向與梁在該點處的軸線相切,圖12 給出了在此坐標(biāo)系下主結(jié)構(gòu)端點的振動情況.在組裝過程中,主結(jié)構(gòu)的長度逐漸增長,結(jié)構(gòu)剛度快速下降,空間干擾力快速增加,而且機器人操作干擾力的作用點也逐漸遠離系統(tǒng)質(zhì)心,因此四種情形下的主結(jié)構(gòu)末端點振動幅值也隨著組裝進程快速增長.對比不同的情形,情形1 的最大振動幅值達到51.8 m,情形2 為0.21 m,情形3 為2.51 m,而情形4 只有0.14 m,驗證了情形2 和情形4 的分散式姿態(tài)和結(jié)構(gòu)控制方法的有效性.

圖12 主結(jié)構(gòu)末端點的振動Fig.12 Vibrations of the main structure’s endpoint

圖13 和圖14 分別給出了4 種情形的機器人關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制誤差和力矩.由圖可知,機器人關(guān)節(jié)的控制精度比較高,情形1 的關(guān)節(jié)誤差小于0.6°,情形4 則小于0.1°.情形1 的最大控制誤差出現(xiàn)在機器人抓捕和爬行過程.情形4 的最大控制誤差和力矩出現(xiàn)在安裝過程.夾持和對接機構(gòu)剛度和阻尼系數(shù)改變的過程中,動力學(xué)響應(yīng)取決于真實的夾持和對接機構(gòu)動力學(xué)模型,無法反映真實情況.但是可以肯定的是,情形4 的姿態(tài)控制精度更高、結(jié)構(gòu)振動幅值更小(如圖10 和圖12 所示),所以更容易實現(xiàn)柔順抓捕,避免碰撞.

圖13 機器人關(guān)節(jié)控制誤差Fig.13 Control errors of joints of the robot

圖14 機器人關(guān)節(jié)控制力矩Fig.14 Control moments of joints of the robot

除了夾持和對接機構(gòu)剛度和阻尼系數(shù)改變的過程之外,爬行過程機器人關(guān)節(jié)的最大控制力矩大致為: 情形1 為35 N·m,情形2、情形3 和情形4 都為27 N·m;安裝過程關(guān)節(jié)最大控制力矩大致為: 情形1 為97 N·m,情形2 為81 N·m,情形3 和情形4 都為67 N·m,如圖15 所示.出現(xiàn)這種區(qū)別的主要原因在于,情形1 和情形2 的主結(jié)構(gòu)和組裝模塊在萬有引力梯度作用下會有相互分離的趨勢,需要通過機器人維持兩者之間的距離,并實現(xiàn)組裝.此外,通過對比情形3 和情形4 的控制誤差和力矩可知,姿態(tài)控制系統(tǒng)除了能有效抑制姿態(tài)誤差和結(jié)構(gòu)振動,還有利于減小空間機器人的控制力矩和控制精度;通過對比情形2 和情形4 可知,不同的組裝姿態(tài)角對空間機器人的控制性能也有較大的影響.

圖15 圖 14 的局部放大圖(組裝模塊16 過程)Fig.15 Zoom of Fig.14 (assembly of module 16)

圖16 和圖17 給出了機器人的兩個末端夾持器的夾持誤差和夾持力隨時間變化情況.由圖可知,抓捕過程和爬行過程中,當(dāng)夾持器從松開狀態(tài)切換成夾緊狀態(tài)時,夾持器會有較大的沖擊力.對于該狀態(tài)切換過程,實際上夾持器的受力應(yīng)該與夾持器和抓手的形狀都有關(guān),還受機器人控制算法的影響,是一個復(fù)雜的接觸碰撞問題.在夾持器處于夾緊狀態(tài)時,夾持器的受力來源于機器人的操作力、空間環(huán)境干擾力以及科氏力等.夾緊狀態(tài)時,夾持器在安裝過程的受力最大,情形1 安裝過程受力最大值9.3 N,情形2 為8.7 N,情形3 為6.1 N,情形4 為6.6 N.通過數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn)的另一個規(guī)律: 隨著組裝進程的發(fā)展,機器人關(guān)節(jié)的控制力矩和末端夾持器的受力都逐漸增大.以情形4 為例,組裝模塊2 時,關(guān)節(jié)最大控制力矩為30.0 N·m,末端夾持器最大只需要2.1 N 的夾持力;到組裝模塊16 時,關(guān)節(jié)最大控制力矩為66.7 N·m,末端夾持器的最大夾持力為6.6 N.

圖16 末端夾持器夾持誤差Fig.16 Grasping errors of the grippers

圖17 末端夾持器受力Fig.17 Forces on the grippers

從圖16 可以看出,空間機器人在抓捕、爬行過程中完成移動前臂或后臂的動作后,末端夾持機構(gòu)并沒有與抓手重合,而是存在一定的距離(情形1 小于0.6 m,情形2 小于0.3 m,情形3 小于0.4 m,情形4 小于0.05 m),然后在數(shù)值仿真中將末端夾持器從松開狀態(tài)切換成夾緊狀態(tài),從而產(chǎn)生了虛擬的夾持沖擊.正是由于這種虛擬的夾持沖擊,使得采用了相同姿態(tài)控制方案的情形2 和情形4 表現(xiàn)出不同的姿態(tài)控制效果和結(jié)構(gòu)振動幅值.在實際工程中,機器人移動機械臂的過程應(yīng)加入視覺、觸覺等反饋控制,避免夾持機構(gòu)與抓手、結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞,實現(xiàn)柔順抓取.

最后,為了驗證夾持力和力矩在當(dāng)前時間步等效為常力和常力矩的合理性,采用不同的時間步長對情形4 進行了對比.圖18 給出了夾持器的夾持誤差和夾持力的時間歷程(為了清晰只給前295 s 的結(jié)果).本文采用了Runge-Kutta 方法求解系統(tǒng)的動力學(xué)方程,當(dāng)夾持力和力矩在當(dāng)前時間步為常數(shù)時,該算法針對夾持機構(gòu)模型退化為顯式Euler 格式.由圖18 可知,夾持誤差和夾持力都表現(xiàn)為非常低頻的動力學(xué)行為,在非常小的時間步長下顯式Euler 格式仍然有比較高的精度.同時,不同的時間步長求解得到幾乎相同的動力學(xué)仿真結(jié)果,這也表明了夾持力和力矩在當(dāng)前時間步等效為常力和常力矩具有可行性.

圖18 不同時間步長夾持誤差和夾持力Fig.18 Grasping errors and forces using different time step size

綜上所述,情形1 采取了萬有引力梯度穩(wěn)定的組裝姿態(tài),且沒有進行姿態(tài)控制,雖然姿態(tài)角誤差在組裝過程只有2°,但引起了大幅結(jié)構(gòu)振動,導(dǎo)致機器人操控過程面臨夾持器與組裝模塊碰撞的風(fēng)險.即使在穩(wěn)定夾持期間,由于主結(jié)構(gòu)和組裝模塊受萬有引力梯度的影響,安裝過程和爬行過程都需要更大的關(guān)節(jié)控制力矩和末端夾持力.情形2 在情形1 的基礎(chǔ)上加入了較多的姿態(tài)控制器,雖然姿態(tài)誤差和結(jié)構(gòu)振動幅值都下降了1 個數(shù)量級.但是由于組裝模塊的軌道和主結(jié)構(gòu)軌道不同,情形1 和情形2 的組裝過程還面臨較大的軌道漂移.因此,情形1 和情形2 的萬有引力梯度對組裝過程的姿態(tài)控制力矩、機器人控制誤差和力矩、末端夾持器受力等結(jié)果產(chǎn)生重要影響.情形3 和情形4 采取了萬有引力梯度不穩(wěn)定的平衡點,因此組裝過程基本不受萬有引力梯度的影響.情形3 的姿態(tài)控制誤差和結(jié)構(gòu)振動都比情形4 大一個數(shù)量級,末端夾持器碰撞的風(fēng)險較大.情形4 的姿態(tài)和結(jié)構(gòu)振動控制效果最好,但仍然需要加入機器人的柔順控制,因為0.05 m 的末端誤差和0.1 m 的結(jié)構(gòu)振動也會導(dǎo)致夾持器與組裝模塊的碰撞.

5 結(jié)論

針對機器人空間組裝超大型、多模塊結(jié)構(gòu)的過程,發(fā)展了考慮空間攝動和接觸碰撞的軌道-姿態(tài)-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)仿真框架,研究了不同俯仰姿態(tài)角和姿態(tài)控制方案下的組裝過程動力學(xué)響應(yīng).研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)主結(jié)構(gòu)和組裝模塊處于不同軌道時,組裝過程引起的長半軸變化量可能超過模塊的長度,這是由質(zhì)心變化和軌道差異共同引起的;這說明組裝過程中系統(tǒng)的軌道參數(shù)躍變規(guī)律取決于組裝姿態(tài).在姿態(tài)方面,雖然萬有引力梯度在一定程度上能保持姿態(tài)穩(wěn)定,但由于機器人操作干擾和科氏力影響,必然導(dǎo)致姿態(tài)擺動.如果不加以控制,則會導(dǎo)致大幅結(jié)構(gòu)振動,增加了機器人末端夾持器與結(jié)構(gòu)、抓手的碰撞風(fēng)險,影響組裝的精度和效率.從機器人控制的角度而言,機器人完成給定操作后,與抓手仍然存在一定的距離(未接觸到結(jié)構(gòu)或已嵌入到結(jié)構(gòu)中).為了降低碰撞風(fēng)險,需要采用柔順控制策略,實時檢測抓手和結(jié)構(gòu)的位置和速度,通過實時的軌跡規(guī)劃和反饋控制進行更精準(zhǔn)的抓取操作,以實現(xiàn)在振動的結(jié)構(gòu)上柔順操控的目的.

未來的研究計劃包括兩方面.一方面是繼續(xù)完善此仿真框架的內(nèi)容,包括將動力學(xué)模型拓展到三維情形、精確描述組裝過程的接觸碰撞、發(fā)展高效的并行求解程序、考慮機器人運輸過程和組裝模塊展開過程等;另一方面,可基于此仿真框架,研究不同組裝方案對動力學(xué)特性的影響規(guī)律,例如不同的超大型結(jié)構(gòu)、組裝序列、軌道姿態(tài)方案、控制方案、機器人類型及數(shù)量等.