程勛龍，康國華，邱鈺桓，武俊峰，吳佳奇，尹一蓁

（南京航空航天大學 航天學院，江蘇 南京 211101）

0 引言

激光雷達（Light Detection and Ranging，Lidar）因其波束窄，抗干擾能力強［1］等優(yōu)點被應用于空間非合作目標的識別和預警［2-3］。通過對區(qū)域內(nèi)目標跟蹤、搜索以及測量，激光雷達可實時獲取航天器目標的三維點云信息［4］，尤其是在無光照條件下，激光雷達依然可以工作［5-6］，因此成為當前空間安全防御的主要威脅。針對激光雷達建立激光雷達散射特性模型，將對后續(xù)航天器的激光雷達隱身性能評估起到重要作用。

對于目標激光雷達散射特性的研究，哈爾濱工業(yè)大學李程程［7］通過電磁散射解析理論分析不同入射波長激光、目標表面粗糙度對激光散射特性的影響，在此基礎上建立三維目標的激光雷達截面（Laser Radar Cross Section，LRCS）計算方法，雖然此方法分析了不同粗糙度材質(zhì)的特性，但是其光束模型采用了能量分布均勻的點光源與實際情況存在一定差異。

宮彥軍等［8］采用差異積分法克服統(tǒng)一積分法中存在的舍掉誤差，分析了觀測方向的方位角和天頂角對LRCS 的影響，以及三錐體的幾何參數(shù)對后向LRCS的影響，但是其在計算朗伯三錐體的LRCS 時缺少對于多材質(zhì)復雜表面情況的分析。西安電子科技大學徐付昌［9］基于GRECO 算法，實現(xiàn)了不同光斑下的復雜目標單、雙站的LRCS 計算，同時還考慮了局部照射下光斑無法完全覆蓋的情況。張昊等［10］提出了一種圖形電磁計算方法（Graphical Electromagnetic Computing，GRECO）以及雙向反射分布函數(shù)（Bidirectional Reflectance Distribution Function，BRDF）模型的復雜目標LRCS 計算軟件的一體化開發(fā)方法，實現(xiàn)了對復雜目標的LRCS 快速求解。李良超［11］提出了計算覆蓋多種材料復雜表面的激光雷達散射特性可視化方法，使用顏色標簽建立含材料信息的目標模型，并且通過OPENGL 消隱解決遮擋問題。孫鵬舉等［12］在一般計算方法的基礎上，重點針對鏡面反射目標，提出了一種簡便的LRCS 工程估算方法，并應用于激光角反射器目標和“貓眼”目標，獲得相應的LRCS估算公式。JIN 等［13］提出了一種快速可視化的LRCS求解辦法，其利用顏色標簽包含材料信息，并利用五參數(shù)經(jīng)驗模型快速求解目標LRCS。西安電子科技大學楊昭［14］通過蒙特卡洛光線追跡算法計算目標在激光波段的LRCS 散射特性，分析了二次散射對計算結(jié)果的影響。上述文獻雖然實現(xiàn)了復雜目標的LRCS 求解，但是都忽視了激光高斯能量分布特性，會導致實驗結(jié)果與理論值存在一定的誤差。

針對上述情況，曲衛(wèi)東［15］分析了光斑模式為高斯能量分布與均勻分布之間存在的誤差，并且提出將消光布遮蔽法與光斑分析法相結(jié)合，以提高LRCS 測量精度。西安電子科技大學羅龍［16］研究了均勻照射情況與非均勻高斯光束照射的差異，并提出補償參數(shù)R 的概念，及其與目標形狀尺寸的關系；但是其研究目標為簡單幾何體，并未對復雜表面目標進行分析。王明軍等［17］分析了激光光束的高斯能量分布特性，并研究了在波長1.06 μm 激光束入射下，粗糙球體目標散射場量的二階統(tǒng)計特征。上述工作都考慮了激光的高斯能量分布特性對于激光雷達散射特性產(chǎn)生的影響，但都是針對簡單表面目標進行分析。

綜上所述，以往對于激光雷達的目標散射特性分析通常采用簡單可見光模型求解，未充分考慮激光特性；并且對于非連續(xù)、多材質(zhì)表面的影響也未考慮充分，因此建模往往不夠準確，散射特性分析和實測相差較大。本文基于激光特性和復雜航天器表面精確模型，提出一套更接近真實情況的LRCS 仿真算法，以期為航天器激光隱身的設計分析提供一個更為準確的路徑。

1 考慮高斯能量分布的激光雷達光束模型

在以往激光雷達散射特性建模分析中，將光束能量分布近似為均勻分布，如圖1（a）所示，把其能量特性類似于可見光；然而激光雷達光束的強度在截面上的分布呈現(xiàn)高斯分布［18］，其能量分布如圖1（b）所示；因此等效成均勻能量分布最后會使計算結(jié)果不夠精確。同時對比兩者可以看出高斯能量分布的分布趨勢主要為中間較高，并且逐漸向四周遞減，而均勻分布則在同一截面上各點能量大小相同。

圖1 均勻能量分布、高斯能量分布及Lidar 坐標系Fig.1 Schematic diagram of uniform and Guassian energy distributions and the Lidar coordinate system

針對這種情況，采用基于高斯能量分布的激光雷達光束模型用于目標特性分析。其坐標系如圖1（b）所示，z軸正方向為激光光束的傳播方向，ω（z）為與傳播軸線相交于z點的高斯光束等相位面上的光斑半徑。選取基模高斯球面波，在空間中（x，y，z）點的電矢量表達式［19］為

式中：A0為常數(shù)因子；ω0為基模高斯光束的束腰半徑，m；f為高斯光束的共焦參數(shù)，m；R（z）為與傳播軸線相交于z點的高斯光束等相位面的曲率半徑，m；λ為激光波長，m；L為激光諧振腔腔長，m。

激光雷達散射截面其定義式［20］為

式中：σ為激光雷達散射截面，m2；R為目標與探測器之間的距離，m；Ii為入射到目標上的能流密度，W/ m2；Ir為反射到探測器上的能流密度，W/m2。

由式（7）可知，對于航天器LRCS 的求解，關鍵在于Ir。基于有限元的思想，通常航天器表面采用三角面元的劃分，因此Ir的求解就轉(zhuǎn)化為單個三角面元LRCS 在表面上的積分。

以激光雷達為原點建立坐標系，如圖1（b）所示，首先設一小面元dS，入射功率為dp，入射角為θ，根據(jù)朗伯余弦定理，求解出反射能流密度的表達式為

式中：ρB為后向反射率；R為目標與探測器之間的距離，m。

則對于面積為Striangle的三角面元其反射回波能流密度為

單位三角面元的入射功率dp為

由式（8）和式（10）可得，三角面元的反射回波能流密度為

式中：x1、x2為三角面元在x軸上的積分下限、上限；y1、y2為關于x的積分下限表達式和積分上限表達式。

考慮高斯能量分布的情況，其在空間中的電場分布由式（1）可得，將其帶入式（11）得到考慮高斯能量分布情況下的三角面元反射回波能流密度為

已知入射能流密度表達式［21］為

式中：Pi為入射功率大小，W。

此時將式（12）～式（14）帶入式（5）可以求出三角面元的激光雷達散射截面表達式

式中：σtriangle為單個三角面元的LRCS 值，m2。

2 基于Z-buffer 消影的航天器復雜表面LRCS 建模

復雜表面航天器表面結(jié)構(gòu)復雜、材料屬性不單一，如將其簡單地視為朗伯體，得到的LRCS 結(jié)果往往不符合實際情況［22］。針對材料屬性多樣，且物體后向散射率ρB無法直接求解的問題，通過使用BRDF 統(tǒng)計模型獲取不同材料在不同探測條件下的后向散射率，以此改進復雜表面航天器的激光雷達散射特性模型。單站激光雷達BRDF 模型如圖2 所示，采用基于菲涅爾反射現(xiàn)象的改進Phong 模型［23］，其公式如式（16）所示：

圖2 單站激光雷達BRDF 計算模型Fig.2 BRDF calculation model of single-station Lidar

式中：ρd為材質(zhì)的漫反射系數(shù)；ρs為材質(zhì)的鏡面反射系數(shù)；α為鏡像指數(shù)；cosθi為引入的修正漫反射項，用以調(diào)節(jié)鏡面的反射強度；β為觀測方向與鏡面反射方向的夾角，β=min｛π/2，β｝；a＞0，以調(diào)節(jié)菲涅爾現(xiàn)象的強度；b＞0 用以調(diào)節(jié)鏡面反射分量的增降速度。

常用的航天器表面材質(zhì)上述模型參數(shù)見表1。

表1 3 種常見航天器表面材質(zhì)的Phong 模型參數(shù)Tab.1 Phong model parameters of three common spacecraft surface materials

通過航天器面元劃分，可以將復雜表面分解成形狀和材質(zhì)單一的面元，從而解決了外形復雜、材質(zhì)多樣化的問題。但劃分以后，沿著激光入射方向不可避免地存在面元遮擋情況。

面元遮擋分為兩種方式：自遮擋和互遮擋。自遮擋即表面未被激光直接照射，如圖3（a）所示，表示激光雷達照射方向的矢量i與表示面元法向的向量n1之間角度超過90°，即i·n1≤0。由此可得式（17）。

圖3 面元自遮擋以及互遮擋情況Fig.3 Diagram of self-occlusion and mutual occlusion of face elements

式中：Sselfjug為面元自遮擋判斷狀態(tài)；當Sselfjug=1 時表示不存在自遮擋；Sselfjug=0 時表示存在自遮擋。

另外一種即為互遮擋，需要判斷是否存在2 個面元之間的遮擋情況。如圖3（b）所示。從圖中可以看出面元A與面元B在激光雷達方向上的投影存在遮擋。通過選取常見的Z-buffer 消隱算法［24］實現(xiàn)面元的遮擋判斷：首先以激光雷達照射方向i為z軸建立坐標系，并將A、B兩面元投影至xoy平面內(nèi)，同時儲存兩面元的深度信息即zA和zB值。其遮擋判斷的具體表達如式（18）所示。

式中：Sbuffer為面元剔除狀態(tài)；So為兩面元的重疊面積，當兩面元的重疊面積So＞0 時，表示兩面元存在重疊；zA和zB分別為A、B兩面元的深度值。當Sbuffer=A時表示面元A被剔除，Sbuffer=B表示面元B被剔除，Sbuffer=0 表示沒有面元被剔除。

大部分情況我們利用Z-buffer 消隱算法能夠?qū)γ嬖趽跚闆r進行判斷，但是也會遇到誤遮擋的情況，例如2 個面元只有極小部分產(chǎn)生遮擋或因計算機計算精度產(chǎn)生誤判斷，這些情況會導致最終LRCS 計算結(jié)果的精度降低。因此對傳統(tǒng)Z-buffer算法進行適當?shù)母倪M，添加面積容差的判斷，提高LRCS 的計算精度。

以下主要總結(jié)了3 種誤遮擋的情況，分別為兩面元異面、兩面元共線以及兩面元共點，如圖4所示。

圖4 面元誤遮擋情況Fig.4 Schematic diagram of false occlusion of surface elements

1）兩面元異面表示2 個面元不存在交點，在這種情況下，會出現(xiàn)兩面元僅由極小部分遮擋而被判定為互遮擋的情況，最終導致面元被舍棄，進而損失一部分精度，如圖4（a）所示。

2）兩面元共線表示兩面元存在一條公共邊，由于計算精度不夠的原因，導致兩面元存在極小的重疊面積，而兩面元實際并沒有遮擋，此種情況也會導致LRCS 計算結(jié)果的不準確，如圖4（b）所示。

3）兩面元共點表示兩面元僅存在一個公共點，與上述情況（2）類似，因為計算精度導致誤差，誤認為兩面元存在遮擋，如圖4（c）所示。

針對上述3 種情況產(chǎn)生的誤遮擋，提出了一種加入面元容差判斷的算法，其具體算法流程如圖5所示。圖5 流程表明，首先需要計算兩面元公共頂點數(shù)量N，判斷兩面元是否存在公共點：

圖5 誤遮擋判斷流程Fig.5 Flow chart of error occlusion judgment

1）當兩面元不存在公共點即N=0 時，則計算兩面元的重疊面積So，兩面元的投影面積S1和S2，如果So＜min（S1，S2）/10，則認為兩面元不存在遮擋，反之認為兩面元存在遮擋。

2）當兩面元存在公共點即N≠0 時，則計算其中一個面元在另一個面元內(nèi)部的頂點的數(shù)量I，如果I=0 表明兩面元不存在包含關系，接下來判斷如果存在So＜10-10，則認為兩面元不存在遮擋，反之認為兩面元存在遮擋。如果I≠0，則說明兩面元存在包含關系，認為兩面元存在遮擋。

經(jīng)過對兩面元位置關系判斷、面元容差的設置后，消除了計算誤差導致的兩面元遮擋判斷錯誤的情況，以及兩面元僅存在極少部分重疊就判斷為遮擋的情況。

同時在激光雷達存在部分照射的情況，如圖6（a）所示。如果對部分照射的面元直接全部舍棄，將會降低計算結(jié)果的精度，所以本文主要采用對部分照射面元進行切割的方法，保留面元被照射到的部分。具體操作方法為：當三角面元ABC出現(xiàn)部分照射的面元時，首先計算三角面元與光斑邊緣的交點J、K，將面ABC沿交線JK劃分成兩部分，并判斷三角面元在光斑內(nèi)部頂點的數(shù)量，當存在2 個頂點在光斑內(nèi)部時，保留梯形面元JBCK，并將梯形面元JBCK沿對角線劃分成2 個三角面元JBC和KJC，如圖6（b）所示。當存在一個頂點時，則保留面元JAK，如圖6（c）所示。此方法通過對部分照射面元進行切割提升了算法的精度。

圖6 面元部分照射情況及面元切割Fig.6 Diagram of part irradiation and cutting of surface elements

綜合改進后的Z-buffer 消隱算法，基于高斯光束的復雜表面航天器的激光雷達散射特性的求解步驟如圖7 所示。

圖7 考慮高斯能量分布的目標LRCS 計算流程Fig.7 Flow chart of target LRCS calculation considering the Gaussian energy distribution

具體步驟如下：

1）3D 模型面元劃分：首先利用3Dmax 建模軟件建立復雜目標3D 模型，并且通過優(yōu)先面元法對3D 模型進行三角面元劃分，確認材質(zhì)屬性，隨后將目標3D 模型以obj 格式導出。

2）激光雷達參數(shù)設置：確認激光雷達的波長、激光諧振腔腔長，照射距離等參數(shù)。

3）坐標系轉(zhuǎn)化：將obj 格式模型中的面元坐標以及頂點坐標轉(zhuǎn)化到激光雷達坐標系下。

4）有效面元判斷：利用矢量法以及Z-Buffer 消隱算法判斷每次激光光束照射到的有效面元，同時對部分照射的面元進行面元切割。

5）目標整體LRCS 計算：結(jié)合BRDF 模型，計算當前光束照射下的所有有效面元的LRCS，并對整個光斑內(nèi)的三角面元的LRCS 進行累加，獲得整體的LRCS。

3 航天器LRCS 計算與分析

3.1 標準圓形薄片的LRCS 計算與分析

通過構(gòu)造有解析解的標準體對前面提出的方法進行分析和驗證。在考慮高斯能量分布的情況下，當激光雷達照射在朗伯體圓形平面上時，其LRCS 值存在解析解。因此選擇朗伯體圓形薄片驗證本算法的準確性。

當目標為朗伯體表面時，其半球反射率為ρ2π，BRDF為ρ2π/π，入射角為?，探測距離為z，光斑半徑為ω（z），則可以得到朗伯體圓形平面的LRCS 表達式為［25］

為了驗證面元遮擋判斷算法的準確性，構(gòu)造了一個含內(nèi)外層的圓形薄片，其3D 模型如圖8（a）所示；圓形薄片三維重建圖如圖8（b）所示：紅色部分為外層，藍色部分為內(nèi)層；外層半徑R，內(nèi)層半徑R’，外層薄片厚度H，內(nèi)層薄片高度H’。

圖8 圓形薄片幾何示意及三維重建Fig.8 Geometric diagram and 3D reconstruction of circular wafer

調(diào)節(jié)光斑大小ω（z），使其剛好等于當前圓薄片的半徑R，仿真參數(shù)分別為：波長λ=1.064×10-6m，激光諧振腔腔長L=1 m，半球反射率ρ2π=0.5，入射角?=0，探測距離z隨光斑半徑大小改變。假設外層高度H=0.1 m，光斑半徑取值范圍R=［0.1，1］，每次取值間隔0.1 m，從而形成10 個外層圓形薄片；在這外層圓形薄片下嵌套同一大小的內(nèi)層薄片，其半徑假設R’=0.08 m，高度H’=0.005 m。添加Z-buffer 消隱算法前后的LRCS 計算值如圖9所示。

圖9 不同半徑圓形薄片Z-buffer 互遮擋消隱判斷前后LRCS 對比曲線及誤差曲線Fig.9 Comparison and error curves of LRCS before and after Z-buffer mutual occlusion blanking judgment on circular slices with different radii

對比圖9（a）可以看到，針對不同半徑圓形薄片，將采取Z-buffer 互遮擋消隱判斷后的LRCS 值與僅有外層圓形薄片的LRCS 值相比較，可以看出兩者曲線吻合度較好，由圖9（b）可以看出，未采取Z-buffer 互遮擋消隱判斷的雙層圓形薄片與僅有外層圓形薄片之間的LRCS 計算結(jié)果存在較大誤差，且在當雙層圓形薄片內(nèi)外兩層的面積相差越小時，誤差越大，證明了消隱算法的有效性和必要性。

同時對比消隱后的LRCS 仿真值與圓形薄片理論值，以及均勻光束理論值以驗證消隱算法的準確性，對比結(jié)果如圖10 所示。

圖10 不同半徑圓形薄片的LRCS 仿真算法與解析法的對比Fig.10 Comparison of results for circular slices with different radii obtained by the LRCS simulation algorithm and the analytical method

圖10（a）中黑色曲線為解析解，即可認為是真值，紅色曲線為考慮高斯能量分布下的LRCS 仿真結(jié)果，藍色曲線為考慮均勻能量分布下的LRCS 仿真結(jié)果，可以看出考慮高斯能量分布下LRCS 計算方法的結(jié)果與理論值基本吻合。由圖10（b）可以看出考慮高斯能量分布下的LRCS 計算結(jié)果誤差均值為0.56%，而分析造成這種誤差的原因主要在于利用三角面元擬合圓面時，其邊緣仍是不斷趨近于圓的多邊形，會造成一部分面積的缺失，所以在計算LRCS 的時候，也會產(chǎn)生一定的計算誤差。同時對比考慮均勻能量分布下的LRCS 計算結(jié)果則與理論值相差角度，誤差均值為15.13%，可以得出在考慮高斯光束能量分布下的LRCS 計算精度提升了14.58%。

3.2 復雜表面航天器LRCS 計算與分析

選取常見的航天器3D 模型進行復雜表面航天器的LRCS 計算，航天器主要由包覆金聚酰亞胺的衛(wèi)星本體，以及由單結(jié)砷化鎵電池板組成太陽帆和鋁制金屬衛(wèi)星天線3 部分組成，如圖11（a）所示。仿真Lidar 采用單站模式進行LRCS 探測仿真。基于運動相對性，把探測器繞衛(wèi)星進行LRCS 探測，等效為Lidar 不動，而衛(wèi)星在轉(zhuǎn)動，一共有2 種模式：模式1：Lidar 在Z方向，航天器繞X軸旋轉(zhuǎn)一周，如圖11（b）所示；模式2：Lidar 在X方向，航天器繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周，如圖11（c）所示。

圖11 航天器本體及Lidar 探測Fig.11 Schematic diagram of spacecraft body and Lidar detection

假設Lidar 光斑半徑ω（z）=0.7 m，能夠覆蓋整個航天器；基于改進Z-buffer 消隱算法后的LRCS計算結(jié)果如圖12 所示。

圖12 Lidar 掃描下衛(wèi)星不同姿態(tài)的LRCS 周向Fig.12 LRCS circumferential map of spacecraft with different attitudes under Lidar scanning

由圖12 中的仿真曲線分析可知：

1）當Lidar 入射角為0°、90°、180°、360°時LRCS值較大，且呈現(xiàn)對稱分布。因為在這4 個角度方向上，衛(wèi)星外型特征呈現(xiàn)對稱分布，并且是激光反射最大的方向。

2）將圖12（a）和圖12（b）合成就可以得到模型的LRCS 全向圖。從數(shù)據(jù)分析可以看出，當Lidar 直射通信天線、衛(wèi)星底部、太陽翼時LRCS 最大；在順著太陽翼方向探測時，LRCS 最小，因為這些方向下反射面積最大或者最小，整個LRCS 趨勢與實際情況相吻合。

4 結(jié)束語

本文提出了一種改進的復雜航天器激光雷達散射特性建模方法，以提高模擬的精度。

1）首先用更準確的高斯能量分布模型替代均勻能量分布模型建立激光光束模型，減少了由光源特性不準帶來的誤差。

2）而針對多材質(zhì)、非連續(xù)表面帶來散射特性難模擬的問題，采取有限元思想，通過對單一材質(zhì)和形狀的面元輻射特性的積分予以解決。其中激光光束照射下，面元遮擋導致的散射特性誤差的問題，則通過改進Z-Buffer 消隱算法進一步消除。

3）最后仿真分析表明，本文提出的這套完整算法精度提高了14.58%；而對典型復雜表面航天器在不同激光雷達入射角度下的LRCS 分析，得到了與實際情況相一致的結(jié)論。

4）不過由于本文工作主要是和理論解析解進行對比分析，還缺乏實際驗證，因此下一步將采用真實的激光雷達和衛(wèi)星模型來進一步驗證；但本文工作對于后續(xù)航天器的激光雷達隱身設計提供了有價值的參考模型。