吳承宇,何 軍

(上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院土木工程系,上海 200240)

懸臂結(jié)構(gòu)是工程中常見的一種建筑結(jié)構(gòu),如水塔、煙囪、輸電塔,甚至高層建筑,在進(jìn)行其地震響應(yīng)分析的時(shí)候,可以將它們處理為懸臂結(jié)構(gòu)。懸臂結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)分析一般通過有限元方法來進(jìn)行,但是,有限元分析往往需要較長的計(jì)算時(shí)間,這對(duì)于需要運(yùn)行多次受力性能分析的情況(如結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算或結(jié)構(gòu)易損性評(píng)估等),會(huì)帶來計(jì)算費(fèi)用過大的問題。因此,建立懸臂結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析的簡化模型,對(duì)提高懸臂結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)和抗震性能分析的效率,具有重要的意義。

懸臂結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析的簡化方法包括振型分解反應(yīng)譜法、底部剪力法、推覆分析方法和廣義單自由度模型方法等。李明政等[1]利用振型分解反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法計(jì)算料倉-框架結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng),并針對(duì)其位移和應(yīng)力進(jìn)行比較,給出時(shí)程分析比振型分解反應(yīng)譜法分析更加精確的結(jié)論。馬安財(cái)?shù)萚2]提出了相應(yīng)地震響應(yīng)分析的振型疊加法,結(jié)合一實(shí)際深水隔震連續(xù)梁橋,通過與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比,驗(yàn)證了該方法的有效性。1920年,日本學(xué)者大森房吉提出基于結(jié)構(gòu)底部剪力法的靜力理論,美國加州1952年的側(cè)力規(guī)范采納了底部剪力法。夏仕洋等[3]基于底部剪力法提出了對(duì)阻尼器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的簡化方法,并通過時(shí)程分析法對(duì)結(jié)構(gòu)的抗震性能進(jìn)行了驗(yàn)證。早在1975年,Freeman[4]提出了推覆分析法,用于評(píng)估地震活動(dòng)頻繁區(qū)域的建筑物的抗震性能。黃超等[5]用推覆分析方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力彈塑性分析,根據(jù)力-變形關(guān)系和側(cè)向位移形狀函數(shù),確定了等效單自由度模型的相關(guān)系數(shù)。張大巍等[6]采用彈塑性靜力推覆分析法和彈塑性時(shí)程分析法對(duì)某典型發(fā)電廠主廠房的抗震性能進(jìn)行評(píng)估。廣義單自由度模型方法較早由Clough等[7]提出,他們將實(shí)際體系的響應(yīng)分析歸入廣義單自由度類型,即當(dāng)體系運(yùn)動(dòng)限制為單一變形形式時(shí),在數(shù)學(xué)意義上只有一個(gè)自由度。程鵬飛等[8]以某大型斜拉橋?yàn)楣こ虒?shí)例,基于一階振型的廣義質(zhì)量和廣義剛度發(fā)展了廣義單自由度模型,分析了梁端位移和塔梁相對(duì)位移。與全橋模型進(jìn)行對(duì)比分析后,驗(yàn)證了廣義單自由度模型的可行性。王贊芝等[9]利用振型函數(shù),將具有分布質(zhì)量的彈性體轉(zhuǎn)化為一個(gè)廣義單自由度振動(dòng)系統(tǒng),并提出了一種計(jì)算簡支梁在均布隨機(jī)荷載下位移極值響應(yīng)的方法。Song[10]和Der Kiureghian等[11]采用廣義單自由度模型建立了變電站一次設(shè)備支架結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析的快速方法。

本研究聚焦于懸臂結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的快速分析,強(qiáng)調(diào)廣義單自由度模型的形函數(shù)選擇對(duì)準(zhǔn)確性的關(guān)鍵影響。針對(duì)當(dāng)前缺乏通用形函數(shù)模型的問題,本文提出了基于多項(xiàng)式形函數(shù)的廣義單自由度模型,并深入研究了其在不同地震波激勵(lì)下的有效性。通過此項(xiàng)研究,旨在為結(jié)構(gòu)抗震性能的評(píng)估提供更準(zhǔn)確、快速的分析工具。

1 廣義單自由度模型簡介

如圖1所示,本文研究的廣義單自由度模型將懸臂結(jié)構(gòu)簡化成一個(gè)由質(zhì)點(diǎn)、彈簧、阻尼組成的單自由度系統(tǒng),質(zhì)點(diǎn)只有一個(gè)水平自由度,質(zhì)點(diǎn)與地面之間由一個(gè)無質(zhì)量的彈簧和阻尼單元連接。

圖1 懸臂結(jié)構(gòu)的廣義單自由度模型

在廣義單自由度模型中,結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)被表示為X(y,t)=φ(y)z(t),其中的y為距地面的距離(高度),φ(y)為位移形函數(shù),z(t)是反映位移形狀隨時(shí)間變化的廣義坐標(biāo)。由虛功原理,可以得到廣義單自由度模型的等效質(zhì)量m、等效剛度k、等效阻尼c和產(chǎn)生外部慣性力的等效質(zhì)量l的計(jì)算式[10]

(1)

(2)

(3)

(4)

式中,L為結(jié)構(gòu)高度,m;ρ(y)為線密度,kg/m;EI(y)為抗彎剛度函數(shù),N·m2;φ(y)為位移形函數(shù)。

由此,可將懸臂結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程簡化為

(5)

對(duì)于懸臂結(jié)構(gòu),形函數(shù)φ(y)應(yīng)該滿足幾何邊界條件φ(0)=0,φ′(0)=0和φ(L)=1,另外,形函數(shù)φ(y)還應(yīng)該滿足力的邊界條件φ″(L)=0和φ?(L)=0。由于實(shí)際工程中懸臂結(jié)構(gòu)的高寬比較大,在水平地震作用下,其橫向彎曲變形為主導(dǎo),而剪切變形對(duì)結(jié)構(gòu)的影響可以忽略不計(jì),因此可以不考慮力的邊界條件φ?(L)=0。

對(duì)于懸臂結(jié)構(gòu),常用的位移形函數(shù)類型是拋物線形函數(shù)和三角函數(shù)形函數(shù)[12]:

(6)

和

(7)

式中,y0為結(jié)構(gòu)某部位的高度,m;L為結(jié)構(gòu)總高度,m。

拋物線形函數(shù)通常被假設(shè)為近似描述結(jié)構(gòu)位移分布的二次曲線形式。它假設(shè)結(jié)構(gòu)的位移在橫向上均勻分布,并具有對(duì)稱的曲線形狀。然而,在實(shí)際情況下,結(jié)構(gòu)的變形可能呈現(xiàn)非線性和非對(duì)稱的特征,拋物線形函數(shù)無法準(zhǔn)確描述這些復(fù)雜的變形模式,從而導(dǎo)致精度不高。

三角函數(shù)形函數(shù)是另一種常用的位移函數(shù)類型。它以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)為基礎(chǔ),通過調(diào)整振幅、頻率和相位來適應(yīng)結(jié)構(gòu)的變形特征。三角函數(shù)形函數(shù)常用于描述周期性或周期性近似的位移分布,如梁的彎曲振動(dòng)或柔性結(jié)構(gòu)的模態(tài)形態(tài)。然而,這種假定限制了位移分布的形式,雖然它滿足端點(diǎn)的幾何邊界條件,但卻不是一個(gè)符合實(shí)際的假設(shè)。

2 多項(xiàng)式形函數(shù)

考慮到上述兩種位移形函數(shù)的局限性,并結(jié)合懸臂結(jié)構(gòu)的幾何邊界條件和力的邊界條件,本項(xiàng)研究提出一種多項(xiàng)式形函數(shù):

(8)

式中,a和b為待定系數(shù),y0為結(jié)構(gòu)特定部位的位置(高度),m。

高度y0由所考慮的地震響應(yīng)的位置確定。如果考慮結(jié)構(gòu)頂部的地震響應(yīng),則y0等于結(jié)構(gòu)的高度,而當(dāng)考慮結(jié)構(gòu)中間位置地震響應(yīng)的時(shí)候,y0應(yīng)等于結(jié)構(gòu)高度的1/2。系數(shù)a和b由結(jié)構(gòu)靜力反應(yīng)計(jì)算結(jié)果或基本振型計(jì)算結(jié)果確定。因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)靜力反應(yīng)或基本振型的計(jì)算費(fèi)用比較少,因此,可以由較少的計(jì)算費(fèi)用確定待定系數(shù)a和b。注意,為滿足邊界條件φ(y0)=1,系數(shù)a和b應(yīng)滿足關(guān)系式a+b=1。

公式(8)定義了只包含二次和三次項(xiàng)的三次多項(xiàng)式函數(shù)。滿足幾何邊界條件φ(0)=0,φ′(0)=0和φ(y0)=1 以及力的邊界條件φ″(y0)=0。公式(6)和公式(7)所定義的拋物線形函數(shù)和三角函數(shù)形函數(shù),分別是基于懸臂結(jié)構(gòu)在自由振動(dòng)時(shí)的撓曲形狀的假設(shè)以及在懸臂結(jié)構(gòu)的頂點(diǎn)受到單位側(cè)向力作用引起的撓度公式所計(jì)算得出的。其中,后者的計(jì)算精度相對(duì)較高。然而,本研究提出的多項(xiàng)式形函數(shù)則是通過從有限元計(jì)算結(jié)果中提取結(jié)構(gòu)位移并進(jìn)行擬合而得到。相較于前兩種形函數(shù),多項(xiàng)式形函數(shù)改善了公式形式單一固定、通用性低等缺點(diǎn)。

3 基于多項(xiàng)式形函數(shù)的廣義單自由度模型

下面以理想化變截面懸臂結(jié)構(gòu)為例,說明基于多項(xiàng)式形函數(shù)的廣義單自由度模型的建模過程。

3.1 結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)

考慮圖2(a)所示的底部固接上端自由的變截面懸臂鋼桿。桿的總高L=10 m,頂端圓截面半徑R1=0.2 m,底端圓截面半徑R2=0.3 m。鋼材彈性模量E=2×1011Pa。鋼桿沿y軸的線密度ρ(y)=123.3y+914.5 kg/m,截面慣性矩I(y)=2.962×10-5y2+1.916×10-4y+0.001 25 m4。懸臂鋼桿采用梁單元建模(采用ABAQUS軟件),具體有限元模型示意圖如圖2(c)所示,該模型被平均離散成20個(gè)單元和21個(gè)節(jié)點(diǎn)。

圖2 懸臂鋼桿

3.2 多項(xiàng)式形函數(shù)的系數(shù)計(jì)算

在有限元分析中,為了確定懸臂結(jié)構(gòu)在水平集中荷載作用下的位移響應(yīng),將集中荷載施加在結(jié)構(gòu)頂端,提取每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移值,并計(jì)算位移形函數(shù)。然而,實(shí)際工程中需要的是結(jié)構(gòu)特定部位的位移響應(yīng),該響應(yīng)是由結(jié)構(gòu)上附屬設(shè)備位置y0所決定。因此,選取了高度10 m作為實(shí)際工程中的典型位置,即懸臂結(jié)構(gòu)的頂端位置,令該處的形函數(shù)φ(y0)的值等于1,并對(duì)形函數(shù)進(jìn)行歸一化。歸一化的結(jié)果如圖3所示。將圖3中的歸一化形函數(shù)結(jié)果擬合成本研究提出的公式(8)的多項(xiàng)式形式,并通過邊界條件確定待定系數(shù)a和b。通過此方法,得到了在水平集中荷載作用下多項(xiàng)式形函數(shù)的待定系數(shù),分別為a=1.501 7和b=-0.501 7。按同樣的方法由有限元分析結(jié)果確定基本振型和倒三角分布荷載作用下的位移形函數(shù)。

圖3 多項(xiàng)式形函數(shù)曲線

3.3 廣義單自由度模型的參數(shù)計(jì)算

根據(jù)3.2節(jié)確定多項(xiàng)式形函數(shù)的待定系數(shù)a和b后,由公式(1)—(4)對(duì)多項(xiàng)式形函數(shù)進(jìn)行積分求解,求得多項(xiàng)式形函數(shù)分別在集中水平荷載、基本振型、倒三角分布荷載作用下的等效參數(shù)m、c、k和l,計(jì)算結(jié)果列于表1中。

表1 單自由度模型的等效參數(shù)

4 基于多項(xiàng)式形函數(shù)的廣義單自由度模型的有效性分析

本節(jié)通過對(duì)比由有限元模型和廣義單自由度模型得到的最大響應(yīng),調(diào)查基于多項(xiàng)式形函數(shù)的廣義單自由度模型的有效性。

4.1 輸入地震波

地震動(dòng)記錄的選取準(zhǔn)則主要考慮場地土類別、震級(jí)、地震動(dòng)峰值加速度、地震波持時(shí)等因素。如表2所示,本項(xiàng)研究選擇了I—IV類場地土類別和6—8級(jí)震級(jí)范圍內(nèi)的12條自然地震波作為懸臂結(jié)構(gòu)有限元模型和廣義單自由度模型的輸入地震波。

表2 選取的地震動(dòng)記錄

4.2 結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)

假設(shè)結(jié)構(gòu)特定高度處的水平地震響應(yīng)為u(t),極值為

(9)

式中,T為地震波持時(shí),s。

有限元模型的地震響應(yīng)由模態(tài)疊加法進(jìn)行求解,為保證每個(gè)方向上各階模態(tài)參與質(zhì)量系數(shù)大于90%,本項(xiàng)研究選取前5階模態(tài)進(jìn)行分析。廣義單自由度模型的地震響應(yīng)采用杜哈梅積分進(jìn)行求解。根據(jù)表1中水平集中荷載的計(jì)算結(jié)果,分別計(jì)算12組地震波作用下懸臂結(jié)構(gòu)廣義單自由度模型和有限元模型的地震響應(yīng)。表3給出了由基于拋物線形函數(shù)(公式(6))、三角函數(shù)形函數(shù)(公式(7))和多項(xiàng)式形函數(shù)(公式(8))的廣義單自由度模型和有限元模型計(jì)算的高度10 m處的最大位移響應(yīng)。San Fernando地震波輸入下的位移響應(yīng)繪于圖4中。

表3 基于不同形函數(shù)模型的最大位移響應(yīng)和相對(duì)誤差

圖4 地震響應(yīng)對(duì)比

4.3 廣義單自由度模型的有效性分析

表3的計(jì)算結(jié)果表明,基于多項(xiàng)式形函數(shù)的廣義單自由度模型的最大位移響應(yīng),其計(jì)算結(jié)果的最小相對(duì)誤差為1.21%,最大相對(duì)誤差為22.10%,平均誤差為7.20%,而基于拋物線形函數(shù)和三角函數(shù)形函數(shù)的廣義單自由度模型的平均相對(duì)誤差分別為27.06%和15.93%。由圖4可以看出,基于多項(xiàng)式形函數(shù)的廣義單自由度模型和有限元模型的時(shí)程曲線吻合程度較好,結(jié)構(gòu)10 m位置的位移響應(yīng)極值非常接近。

圖5繪出了表3中每條地震波激勵(lì)下基于多項(xiàng)式形函數(shù)的廣義單自由度模型和有限元模型的位移響應(yīng)最大值Umax、變異系數(shù)C·V和均方根誤差RMSE。圖5表明,基于多項(xiàng)式形函數(shù)的廣義單自由度模型計(jì)算結(jié)果與有限元模型計(jì)算結(jié)果的均方根誤差RMSE很小,這意味著兩種模型之間具有很高的相似性,進(jìn)一步說明了基于多項(xiàng)式形函數(shù)的廣義單自由度模型在地震響應(yīng)分析中具有優(yōu)勢。同時(shí),該模型的變異系數(shù)C·V為0.81,表明數(shù)據(jù)點(diǎn)之間存在較大的離散性。

圖5 有限元分析和廣義單自由度模型的最大位移響應(yīng)

為了進(jìn)一步調(diào)查多項(xiàng)式形函數(shù)的適用性,分別利用水平集中荷載作用、基本振型和倒三角分布荷載作用下的有限元模型分析結(jié)果,擬合生成形函數(shù),構(gòu)造三個(gè)廣義單自由度模型。表4列出了三個(gè)廣義單自由度模型的計(jì)算誤差,結(jié)果顯示,基于水平集中荷載作用下多項(xiàng)式形函數(shù)的廣義單自由度模型的整體平均誤差明顯小于其他兩種模型。三個(gè)廣義單自由度模型計(jì)算結(jié)果的均方根誤差RMSE分別為0.39、3.13、2.81 mm,基于水平集中荷載作用下形函數(shù)的廣義單自由度模型的均方根誤差最小。

表4 基于不同形函數(shù)提取方法的最大位移響應(yīng)和相對(duì)誤差

5 結(jié)論

1)在建立廣義單自由度模型方面,與常用的拋物線形函數(shù)和三角函數(shù)形函數(shù)相比,本文提出的多項(xiàng)式形函數(shù)具有更高的精度,能夠快速地?cái)M合出滿足邊界條件的多項(xiàng)式函數(shù)曲線,并且對(duì)不同類型地震波輸入的適用性更加廣泛。

2)在進(jìn)行多項(xiàng)式形函數(shù)參數(shù)估計(jì)時(shí),建議通過對(duì)結(jié)構(gòu)施加水平集中荷載,計(jì)算結(jié)構(gòu)的水平變形形狀。