吳偉

（常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇常州 213164）

在高職院校的數(shù)學(xué)課程體系中，線性代數(shù)是重要的知識模塊，對于學(xué)生后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)思想、方法等素質(zhì)的培養(yǎng)具有重要的作用，它與計算機圖形學(xué)、密碼學(xué)等很多學(xué)科都存在緊密聯(lián)系。近年來，隨著云計算[1-2]、大數(shù)據(jù)[3-4]、物聯(lián)網(wǎng)[5-6]、人工智能[7-8]等新技術(shù)不斷涌現(xiàn)，學(xué)科交叉趨勢日益明顯，這些技術(shù)和數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科有著緊密聯(lián)系。線性代數(shù)作為這些知識基礎(chǔ)中的重要一環(huán)，具有獨特作用。線性代數(shù)模塊在新技術(shù)中的重要作用日益顯現(xiàn)，但是目前線性代數(shù)的教學(xué)仍然采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法，側(cè)重于理論教學(xué)，采用概念、定理講解輔以習(xí)題訓(xùn)練的教學(xué)模式，未突出線性代數(shù)知識和實際問題、新技術(shù)的聯(lián)系。大數(shù)據(jù)、人工智能等技術(shù)常常會涉及線性代數(shù)知識，比如主成分分析PCA、特征值和特征向量、矩陣的低秩分解等，這些技術(shù)案例都可以在線性代數(shù)課程中引入，使學(xué)生理解和掌握線性代數(shù)知識和新技術(shù)之間的密切聯(lián)系，進一步提升學(xué)生應(yīng)用線性代數(shù)知識解決實際問題的意識和能力。

1 傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)方法

在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)方法存在著照搬本科、重理論輕應(yīng)用等問題。在傳統(tǒng)教學(xué)過程中，線性代數(shù)教學(xué)按照行列式、矩陣及其計算、向量及其運算、n維向量、線性方程組、矩陣相似對角化等內(nèi)容逐步展開，教學(xué)著眼于理論完備性，把教學(xué)重點放在證明和計算上。教學(xué)方法主要遵循教材章節(jié)順序，講授概念，講清定理及相關(guān)計算方法等，主要圍繞理論的展開和說明、計算方法的講解來進行，比如計算矩陣的加減法、矩陣的乘法、矩陣的行列式、矩陣的逆、矩陣的特征值和特征向量等。學(xué)生在學(xué)習(xí)時常常無法了解線性代數(shù)中相關(guān)概念的實際背景，也不清楚這些理論及計算的具體用途，容易感到教學(xué)內(nèi)容抽象和枯燥，導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣不高、學(xué)習(xí)效果不佳等情況，進而使其學(xué)完線性代數(shù)內(nèi)容后不知道如何應(yīng)用理論知識來分析和解決實際問題。

2 線性代數(shù)教學(xué)改革現(xiàn)狀

目前，大多數(shù)高職院校數(shù)學(xué)教師已經(jīng)意識到了其線性代數(shù)教學(xué)和本科院校的線性代數(shù)教學(xué)之間的差異性，并對教學(xué)內(nèi)容進行了相應(yīng)的調(diào)整。比如，對一些較難的證明不再作出要求，對教學(xué)內(nèi)容體系進行了調(diào)整，教學(xué)中引入了一些案例，嘗試將線性代數(shù)知識和專業(yè)課知識結(jié)合。

近年來，一些學(xué)者針對線性代數(shù)的教學(xué)改革進行了研究、分析和實踐。例如，張騰敏等[9]探討了線性代數(shù)的教學(xué)設(shè)計，如基于OBE（成果導(dǎo)向教育）理念的閉環(huán)學(xué)習(xí)以及如何以產(chǎn)出為導(dǎo)向設(shè)計教學(xué)，如何運用翻轉(zhuǎn)課堂調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，討論了課前、課中、課后的課程實施情況，并在學(xué)生、教師、科研三個維度分析了注重成果實現(xiàn)的評價方式；王永超[10]討論了線性代數(shù)進行“五化”教學(xué)改革，并給出了實踐路徑，分析了做法和成效；馮杰等[11]以“斑點貓頭鷹動力學(xué)”案例為背景進行線性代數(shù)中特征值和特征向量的教學(xué)設(shè)計；李燕娟等[12]對如何在城市之間通航問題、課程成績排序問題等建模案例中融入線性代數(shù)教學(xué)進行了探討；李艷艷[13]分析了教材中的問題，強調(diào)增加知識點來龍去脈的介紹和突出幾何聯(lián)系，并指出用建模思想促進教學(xué)。當前，社會已經(jīng)進入了數(shù)字時代，人工智能等新技術(shù)在各個領(lǐng)域顯現(xiàn)出強大優(yōu)勢，高職數(shù)學(xué)教師迫切需要以新技術(shù)為支撐對高職數(shù)學(xué)線性代數(shù)模塊教學(xué)進行數(shù)字化轉(zhuǎn)型。

3 與新技術(shù)結(jié)合的線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容的數(shù)字化轉(zhuǎn)型

傳統(tǒng)線性代數(shù)的教學(xué)按其理論體系展開，強調(diào)線性代數(shù)理論的完整性、系統(tǒng)性，按照概念、定理、計算這樣的演進路線展開，導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容比較抽象，不易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時由于這種教學(xué)方式偏于理論而忽視應(yīng)用，把線性代數(shù)的應(yīng)用實踐環(huán)節(jié)弱化。在教學(xué)過程中，對于線性代數(shù)知識如何與專業(yè)相聯(lián)系，如何與近年來涌現(xiàn)的新技術(shù)相聯(lián)系，教師并沒有教授，學(xué)生很難把線性代數(shù)理論和具體的實際問題、專業(yè)問題或者技術(shù)問題聯(lián)系起來，影響學(xué)生應(yīng)用線性代數(shù)的能力的提高。

解決上述問題的一個較好的方法是還原“實際→數(shù)學(xué)→實際”這一認知過程，讓數(shù)學(xué)從實際中來，再應(yīng)用到實際中，將學(xué)習(xí)過程和應(yīng)用過程融合，使兩者相互促進。將線性代數(shù)的內(nèi)容和新技術(shù)相結(jié)合，同時將數(shù)學(xué)建模的思想貫穿其中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而增強學(xué)生解決實際問題的能力、創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力，并在教學(xué)過程中向?qū)W生強調(diào)以發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題為主線探索未知領(lǐng)域，體現(xiàn)了能力本位的原則。線性代數(shù)教學(xué)的重點在于應(yīng)用，在應(yīng)用線性代數(shù)的過程中理解其思想、方法，而非單純的理論證明或者計算技巧的訓(xùn)練；要以人工智能等技術(shù)熱點問題和專業(yè)問題為載體，建立線性代數(shù)與人工智能等實際問題的聯(lián)系，使學(xué)生具備將實際問題凝練為線性代數(shù)問題并加以解決的能力，使學(xué)生在解決問題的過程中更深入地理解所學(xué)的線性代數(shù)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法。以常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院為例，任課教師在線性代數(shù)教學(xué)過程中融入人工智能等新技術(shù)的相關(guān)知識，將新技術(shù)提煉為教學(xué)知識的背景或者實際問題，由此出發(fā)，展開線性代數(shù)知識的講解，然后再回到新技術(shù)案例提出的實際問題，給出問題的解決方案，使學(xué)生不僅能更深刻地理解線性代數(shù)知識，而且能更好地提升運用線性代數(shù)知識解決實際問題的能力。這樣可以使學(xué)生真正體會線性代數(shù)知識的由來和扎根于現(xiàn)實的基礎(chǔ)，增強學(xué)生運用線性代數(shù)知識解決現(xiàn)實問題的能力，并增強線性代數(shù)知識與技術(shù)熱點等實際問題之間的聯(lián)系，為學(xué)生的專業(yè)學(xué)習(xí)和新技術(shù)探索奠定良好的基礎(chǔ)。此外，目前國內(nèi)外許多研究人員將人工智能技術(shù)和生物醫(yī)學(xué)、機器人技術(shù)、軟件工程、集成電路設(shè)計、智能交通等研究范疇進行深度融合，進一步推動這些研究方向的發(fā)展?？紤]到人工智能技術(shù)在諸多研究領(lǐng)域的強大推動作用，教師有必要讓學(xué)生了解線性代數(shù)與人工智能技術(shù)之間的密切聯(lián)系，幫助學(xué)生初步了解二者的關(guān)系，為后續(xù)利用線性代數(shù)知識深入理解人工智能技術(shù)原理和算法等打下基礎(chǔ)，下面舉例來進行說明。

3.1 以矩陣加減乘運算的教學(xué)為例

矩陣可以看作一個數(shù)表，即矩陣從表現(xiàn)形式可看作是一個二維的對象，也可以看成一個離散空間。矩陣概念可以從許多實際問題中提煉出來，比如存儲或者處理一個圖像時，可以把這個圖像看成一個矩陣，以此為基礎(chǔ)，可以進行圖像增強、圖像恢復(fù)、圖像變換等操作來改善視覺效果，還可以進行特征提取等操作，作為模式識別、計算機視覺的預(yù)處理。在處理數(shù)據(jù)時，人們經(jīng)常會考查這些數(shù)據(jù)對象的相似度等特性，從而得到相似度矩陣。從這些實際問題中提煉出來的矩陣概念，可以方便后續(xù)的處理。

近年來，人工智能技術(shù)在眾多領(lǐng)域得到了應(yīng)用并取得了突破性的進展，作為人工智能技術(shù)工具箱中的重要一員——深度學(xué)習(xí)也被越來越多的人所了解。深度學(xué)習(xí)需要結(jié)合學(xué)習(xí)對象的特點，以一定的理論為依據(jù)，構(gòu)建能進行高效學(xué)習(xí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中蘊含的基本運算就包括了矩陣的加法、乘法等運算。首先，在教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計方面，教師可以通過運行程序來呈現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的結(jié)果，比如著名的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)LeNet5，先通過構(gòu)建卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對0～9 這10 個數(shù)字的手寫體進行精確識別[14]，讓學(xué)生直觀感受深度學(xué)習(xí)的作用，激發(fā)學(xué)生求知、探索的興趣；其次，教師可以呈現(xiàn)LeNet5 的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，簡單分析其原理，引導(dǎo)學(xué)生思考神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本構(gòu)成要素，引出矩陣的運算；最后，教師結(jié)合案例與學(xué)生共同分析矩陣運算定義的由來以及這些運算與實際問題之間的聯(lián)系。這樣就完成了從實際應(yīng)用到數(shù)學(xué)，完成數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，然后又反饋到實際應(yīng)用的過程，使學(xué)生的學(xué)習(xí)做到“在用中學(xué)，在學(xué)中用”，理論與實際應(yīng)用緊密結(jié)合，這樣的教學(xué)過程能極大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，同時能降低理論知識的學(xué)習(xí)難度。在教學(xué)過程中，教師還可以將矩陣的運算與一些實際處理需求相對應(yīng)。比如兩幅圖像對應(yīng)矩陣的相加，從視覺上看，就表現(xiàn)為兩幅圖像以一定的權(quán)重系數(shù)疊加到了一起，往往會是一個背景圖和一個前景圖融合到一起成為一個新的圖像。此外，矩陣的求逆運算還可以用來進行簡單的圖像加密和還原。

3.2 以矩陣轉(zhuǎn)置和求逆運算、求解線性方程組的教學(xué)為例

SLAM 技術(shù)是同步定位與建圖的英文簡稱，該技術(shù)主要應(yīng)用于機器人導(dǎo)航、無人駕駛等領(lǐng)域。在SLAM 技術(shù)中用到了比較多的線性代數(shù)理論知識，比如，SLAM 技術(shù)中用到的旋轉(zhuǎn)矩陣受到較強約束，必須是正交矩陣，而旋轉(zhuǎn)矩陣求逆后得到的矩陣就表示和原來相反的一個旋轉(zhuǎn)。又如，把矩陣代表的數(shù)據(jù)乘以對角矩陣，就是對對應(yīng)的坐標軸進行相應(yīng)的縮放，這賦予對角矩陣現(xiàn)實的意義，而不再是一些抽象的理論規(guī)定。SLAM 中的一些優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為最小二乘法，即求解min||Ax-b||，這可以轉(zhuǎn)化為求解線性方程組ATAx=ATb，此處用到了矩陣的轉(zhuǎn)置運算。如果上述方程為超定方程且A列滿秩，則解為x=（ATA）-1ATb[15]。

3.3 以特征值和特征向量的教學(xué)為例

按傳統(tǒng)的教學(xué)方式，學(xué)生可以掌握特征值、特征向量的定義以及如何進行計算，但是學(xué)生會對自己的計算結(jié)果有什么用途存在疑惑。其實，矩陣的特征值和特征向量在新技術(shù)中的應(yīng)用很廣泛。以計算機視覺中的人臉識別為例，通過探討簡單的人臉識別算法了解特征值、特征向量如何與人臉識別技術(shù)聯(lián)系，主要介紹以下兩類人臉識別算法。

基于幾何特征的人臉識別算法[16]：

（1）建模，用面部關(guān)鍵特征的相對位置、大小、形狀、面積等參數(shù)來描述人臉；

（2）人臉圖像f→特征向量v=（x1,x2,…,xn）；

（3）對所有已知人臉提取同樣描述的幾何特征D={v1,v2,…,vp}；

（4）待識別的人臉f提取的幾何特征為vf；

（5）計算vf與D中所有vi的相似度s（vf,vi），進行排序；

（6）根據(jù)相似度最大的已知人臉的身份即可判斷待識別人臉的身份信息。

從上述算法中可以看出特征值、特征向量是如何在人臉識別技術(shù)中應(yīng)用的。

通過提出技術(shù)問題和構(gòu)建實際背景，讓學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí)相關(guān)知識，然后利用所學(xué)知識解決問題，這樣既能使學(xué)生主動學(xué)習(xí)，又能很好地鍛煉學(xué)生的應(yīng)用能力，讓學(xué)生體驗解決問題的過程和樂趣，實現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的數(shù)字化轉(zhuǎn)型。

4 教學(xué)方式的數(shù)字化轉(zhuǎn)型

對于數(shù)據(jù)量較大的計算，手動計算比較困難。所以，無論是理論教學(xué)還是應(yīng)用的開展，都必須緊密結(jié)合編程，轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)方式。編程知識可以分為兩個方面：一個是線性代數(shù)中一些運算相關(guān)的編程實現(xiàn)；另一個是與人工智能等新技術(shù)相關(guān)的線性代數(shù)應(yīng)用編程。

與應(yīng)用相關(guān)的人工智能等技術(shù)的編程，由教師以案例形式引入線性代數(shù)基礎(chǔ)知識，然后給出人工智能算法的原理和步驟，再講解具體的代碼，這些可以通過錄屏成教學(xué)視頻上傳到超星學(xué)習(xí)通等平臺讓學(xué)生自學(xué)完成，也可以作為數(shù)學(xué)選修課的內(nèi)容，以便有足夠的學(xué)時展開重點教學(xué)內(nèi)容。此外，教師還可以提供豐富的網(wǎng)絡(luò)視頻、代碼講解資源，以便學(xué)生進一步深入學(xué)習(xí)，促進其應(yīng)用能力的提升。

通過上述教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)思路的改變，可以使學(xué)生的主動學(xué)習(xí)意愿得到加強。在教學(xué)過程中，教師可以通過分組完成任務(wù)的方法，進一步提升學(xué)生的參與熱情，同時充分發(fā)揮小組內(nèi)每位學(xué)生的優(yōu)勢，使組內(nèi)學(xué)生可以取長補短、相互學(xué)習(xí)，更好地完成小組任務(wù)，達到學(xué)習(xí)目標。代碼實現(xiàn)能力強的學(xué)生可以負責編程序，理論功底好的學(xué)生可以負責理論分析、推導(dǎo)，文字功底好的學(xué)生可以負責撰寫任務(wù)報告，這樣在合作解決問題的過程中，組內(nèi)學(xué)生相互學(xué)習(xí)、相互促進，能更好地達到教學(xué)目標和學(xué)習(xí)目標。