張永立 張永弟 趙月靜 于冬梅

摘?要：

為了改善自動(dòng)控制原理及相近課程的教學(xué)效果，促進(jìn)一體化課程建設(shè)，研制了機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。首先，建立了實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的數(shù)學(xué)模型，詳細(xì)分析了所提出的機(jī)械諧振系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性，討論了實(shí)驗(yàn)平臺(tái)系統(tǒng)的L2穩(wěn)定性和李雅普諾夫穩(wěn)定性；其次，介紹了實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的軟硬件組成及其實(shí)際應(yīng)用方法；最后，用仿真實(shí)驗(yàn)和物理實(shí)驗(yàn)對(duì)機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明：通過(guò)機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，能直觀地展示二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)特性與頻率響應(yīng)特性，以及PID、LQR和基于李雅普諾夫函數(shù)的抑振控制器的控制特性。所設(shè)計(jì)的機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)能夠更好地輔助完成控制工程相關(guān)課程的教學(xué)任務(wù)，并為控制工程科研工作提供技術(shù)支持。

關(guān)鍵詞：

系統(tǒng)建模；機(jī)械諧振系統(tǒng)；系統(tǒng)分析；穩(wěn)定性；控制器

中圖分類號(hào)：

TP13

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI： 10.7535/hbgykj.2024yx01010

Study on dynamic characteristics and experimental methods of mechanical resonance system experimental platform

ZHANG Yongli1，2，ZHANG Yongdi3，ZHAO Yuejing3，YU Dongmei3

（1School of Automation and Electrical Engineering， Tianjin University of Technology and Education， Tianjin 300222， China；2Tianjin Key Laboratory of Information Sensing and Intelligent Control， Tianjin 300222， China；3School of Mechanical Engineering， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China）

Abstract：

In order to improve the teaching effect of automatic control principle and other similar courses， and promote the construction of integrated courses， a mechanical resonance system experimental platform was developed. Firstly， the mathematical model of the experimental system was established， the nonlinear dynamic characteristics of the proposed mechanical resonance system were analyzed in detail， and the L2 stability and Lyapunov stability of the experimental system were discussed. Secondly， the software and hardware components of the experimental platform and its practical application methods were introduced. Finally， the mechanical resonance system experimental platform was verified by simulation and physical experiments. The results show that the time domain characteristics， frequency characteristics of the second-order system and the performances of the stabilizing control based on PID， LQR or the Lyapunov function can be intuitively displayed by using the experimental platform. The mechanical resonance system experimental platform can better assist in completing the teaching task of the courses related to control engineering， and can provide technical support for the scientific research activities of the control engineering.

Keywords：

system modeling; mechanical resonance system; system analysis; stability; controller

機(jī)械諧振系統(tǒng)是控制理論教學(xué)與研究中的一個(gè)廣為熟知的實(shí)例[1-4]，它屬于剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)遵循牛頓定律。典型的機(jī)械諧振系統(tǒng)有機(jī)械平移系統(tǒng)和機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)[5-6]。機(jī)械工程、車輛工程、建筑工程，乃至航空航天工程中的許多對(duì)象都可以簡(jiǎn)化為機(jī)械諧振系統(tǒng)，并對(duì)其進(jìn)行相關(guān)控制算法研究[7-10]。利用機(jī)械諧振系統(tǒng)基本原理的工業(yè)應(yīng)用包括：用于物料混合的振動(dòng)器、搖床等；汽車的懸掛系統(tǒng)[11]、橋梁的減振設(shè)計(jì)、雙自旋航天器、高層鋼結(jié)構(gòu)調(diào)頻液體阻尼器的抗震控制等。

目前，在傳統(tǒng)的自動(dòng)控制原理教學(xué)過(guò)程中，一般采用MATLAB仿真和電控實(shí)驗(yàn)箱進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn)。MATLAB是仿真軟件，電控實(shí)驗(yàn)箱是電子電路的實(shí)驗(yàn)裝置，雖然可以展現(xiàn)控制基礎(chǔ)原理的時(shí)域和頻率特性，但必須借助示波器等裝置才能較好地觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)方法抽象、直觀性差，難以滿足課程的教學(xué)要求[12]。本文研制的機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)可以同時(shí)進(jìn)行控制基礎(chǔ)理論的數(shù)字仿真與實(shí)物實(shí)驗(yàn)，并直觀地展示抽象控制機(jī)理，從而實(shí)現(xiàn)理實(shí)一體化教學(xué)。此外，該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)也可以作為控制理論研究的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證平臺(tái)。

1?機(jī)械諧振系統(tǒng)

1.1?結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

如圖1所示，機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)主要包括：質(zhì)塊、彈簧和阻尼、伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、電控及上位機(jī)系統(tǒng)，其系統(tǒng)簡(jiǎn)圖與系統(tǒng)3D簡(jiǎn)圖對(duì)照關(guān)系見(jiàn)圖2。

本文主要介紹機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的實(shí)驗(yàn)原理，故對(duì)其結(jié)構(gòu)僅作簡(jiǎn)要說(shuō)明，其他詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)參考文獻(xiàn)[12]。

如圖2所示， k為彈簧彈性系數(shù)， m為質(zhì)塊的質(zhì)量，m0為彈簧及其上端滑塊5的質(zhì)量，c為可調(diào)線性阻尼系數(shù)（以下簡(jiǎn)稱阻尼系數(shù)），c0為偏心盤旋轉(zhuǎn)副上的阻尼系數(shù)；托盤1通過(guò)導(dǎo)桿2與質(zhì)塊7聯(lián)結(jié)，當(dāng)彈簧上端固定不動(dòng)時(shí)，可以通過(guò)托盤1向質(zhì)塊7施加作用力F-（t）；偏心盤由伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)繞軸心旋轉(zhuǎn)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，偏心盤與彈簧上端滑塊5組成正弦機(jī)構(gòu)4，彈簧上端滑塊5由正弦機(jī)構(gòu)4帶著上下運(yùn)動(dòng)，從而得到位移x（t）=A0sin θ，其中A0為可調(diào)偏心距，θ=ωt；質(zhì)塊的位移y（t）可以通過(guò)激光傳感器測(cè)量得到。

1.2?控制系統(tǒng)及其數(shù)學(xué)模型

忽略系統(tǒng)摩擦、彈簧及彈簧上端滑塊的質(zhì)量，以偏心盤旋轉(zhuǎn)至水平位置、彈簧自然靜止?fàn)顟B(tài)為零初始狀態(tài)，選取不同的輸入量，可以得到不同的系統(tǒng)模型。

1）F-（t）→y（t） 系統(tǒng)

如圖2所示，當(dāng)彈簧上端固定，可以通過(guò)托盤向質(zhì)塊施加作用力F-（t），使得位移y（t）發(fā)生變化，此時(shí)構(gòu)成以F-（t）為控制輸入，y（t）為輸出的二階系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為

my¨（t）+cy·（t）+ky（t）=F-（t）。（1）

于是，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

GF-y（s）=Y（s）F-（s）=1ms2+cs+k=1kω2ns2+2ζωns+ω2n，[JY]（2）

式中：ωn=km；ζ=c2mk。

2）x（t）→y（t）系統(tǒng)

如圖2所示，當(dāng)彈簧上端位移x（t）作為系統(tǒng)輸入，位移y（t）作為輸出，其數(shù)學(xué)模型為

my¨（t）+cy·（t）+ky（t）=kx（t）。（3）

于是，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

Gxy（s）=Y（s）X（s）=kms2+cs+k=ω2ns2+2ζωns+ω2n，（4）

式中：ωn=km；ζ=c2mk。

3）τ→y（t）系統(tǒng)

如圖2所示，以伺服電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩τ作為系統(tǒng)輸入，位移y（t）作為輸出，根據(jù)剛體力矩平衡方程有

Jθ¨+c0θ·+F（t）A0cos θ=τ，

式中：J為偏心盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；F（t）為滑塊與偏心盤沿豎直方向上的作用力。且有

F（t）－kx（t）－y（t）－m0g=m0x¨（t），

即

F（t）=m0x¨（t）+kx（t）－y（t）+m0g，

又

x（t）=A0sin θ，

那么，有

Jθ¨+m0A20cos 2θθ¨+c0θ·－m0A20sin θcos θθ·2+kA20sin θcos θ－kA0cos θy（t）+m0gA0cos θ=τ。[JY]（5）

將x（t）=A0sin θ代入方程（3），得：

my¨（t）+cy·（t）+ky（t）－kA0sin θ=0。（6）

聯(lián)立方程（5）和方程（6），取廣義坐標(biāo)q（t）=［θ，y（t）］T，得到系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程為

M（q（t））q¨（t）+[WTHX]C（q（t），q·（t））q·（t）+[WTHX]G（q（t））=U，（7）

式中：

M（q（t））=J+m0A20cos 2θ0

0m；

C（q（t），q·（t））=c0－m0A20sin θcos θθ·00c；

G（q（t））=kA20sin θcos θ－kA0cos θy（t）+m0gA0cos θky（t）－kA0sin θ；

U=τ0。

2?線性系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

這里僅對(duì)教學(xué)實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行原理性討論，不對(duì)具體實(shí)驗(yàn)步驟和過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)描述。

2.1?經(jīng)典控制理論教學(xué)內(nèi)容

經(jīng)典控制理論的內(nèi)容主要包括：復(fù)域分析、時(shí)域分析、頻域分析。系統(tǒng)的復(fù)域分析是從系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型出發(fā)，來(lái)研究系統(tǒng)的性能。復(fù)域分析主要包括：傳遞函數(shù)建立、結(jié)構(gòu)圖的建立與化簡(jiǎn)、系統(tǒng)穩(wěn)定性與特征根之間的關(guān)系、阻尼系數(shù)的變化對(duì)特征根的影響、基于勞斯判據(jù)的穩(wěn)定性分析、根軌跡分析實(shí)驗(yàn)等。

系統(tǒng)的時(shí)域分析主要包括：系統(tǒng)的階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)、系統(tǒng)性能指標(biāo)的測(cè)定、誤差分析、疊加原理、阻尼系數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響等。

系統(tǒng)的頻域分析是時(shí)域分析的拓展，主要包括：頻率特性、奈氏圖、波德圖、奈氏判據(jù)、諧振特性等。

根據(jù)式（1）—式（4），可知F-（t）→y（t）系統(tǒng)與x（t）→y（t）系統(tǒng)均為典型的二階線性定常系統(tǒng)。依托機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，大多數(shù)經(jīng)典控制理論的相關(guān)基礎(chǔ)教學(xué)實(shí)驗(yàn)很容易根據(jù)熟知理論進(jìn)行設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)。

2.2?[HJ4.0mm]F-（t）→y（t）系統(tǒng)的根軌跡分析

根軌跡分析實(shí)驗(yàn)需要對(duì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行等效變換，受機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)限制，難以進(jìn)行180°根軌跡的測(cè)繪實(shí)驗(yàn)，需要變換為變參數(shù)的根軌跡測(cè)繪實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證根軌跡原理。

由方程（2）得，F(xiàn)-（t）→y（t）系統(tǒng)的特征方程為

ms2+cs+k=0。（8）

僅考慮系統(tǒng)穩(wěn)定性的等效，特征方程（8）的等效單位反饋系統(tǒng)有2種形式，如圖3所示。如圖3 ?a）所示，等效系統(tǒng)1等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

Ga（s）=kmss+cm。（9）

如圖3 b）所示，等效系統(tǒng)2等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

Gb（s）=csms2+km。（10）

由于系統(tǒng)中彈簧彈性系數(shù)k與質(zhì)塊的質(zhì)量m難以連續(xù)調(diào)節(jié)，故無(wú)法根據(jù)式（9）繪制連續(xù)變化的根軌跡曲線。然而，系統(tǒng)的阻尼系數(shù)c是可以連續(xù)調(diào)節(jié)的，因此，可以根據(jù)式（10）繪制c從小到大變化的系統(tǒng)根軌跡。理論上，當(dāng)c從0變化到無(wú)窮大時(shí)的系統(tǒng)根軌跡曲線如圖4所示。

在實(shí)際中， 阻尼系數(shù)c的調(diào)節(jié)范圍不能實(shí)現(xiàn)從0到無(wú)窮大的理想情況，只能在一個(gè)較小的范圍內(nèi)測(cè)試。系統(tǒng)中彈簧彈性系數(shù)k與質(zhì)塊的質(zhì)量m通常是固定的，那么，實(shí)驗(yàn)中只要測(cè)定每一個(gè)連續(xù)調(diào)節(jié)的阻尼系數(shù)c，就可以計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)特征根，將特征根的變化曲線繪制出來(lái)與理論曲線作趨勢(shì)對(duì)比，并分析二階系統(tǒng)的振蕩特性。經(jīng)過(guò)實(shí)際測(cè)量，系統(tǒng)的阻尼系數(shù)變化可以達(dá)到欠阻尼、過(guò)阻尼的振蕩特性，其根軌跡變化趨勢(shì)與理想曲線一致。

2.3?x（t）→y（t）系統(tǒng)的頻域分析

機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)可以通過(guò)伺服驅(qū)動(dòng)進(jìn)行諧波輸入，根據(jù)式（4）可以得到系統(tǒng)的頻率特性，輸入量為x（t）=A0sin θ，其中A0為可調(diào)偏心距，即輸入信號(hào)的幅值，θ=ωt。電機(jī)的轉(zhuǎn)速范圍為0～3 000 rad/min。根據(jù)控制理論可得輸出為

y（t）=Asinωt+β。（11）

由于輸入信號(hào)的頻率和幅值均可測(cè)量，當(dāng)ω從0逐漸變大時(shí)，采集y（t）信號(hào)的幅值與相位，對(duì)相關(guān)理論結(jié)果進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

2.4?主動(dòng)抑振控制實(shí)驗(yàn)

以x（t）為輸入、y（t）為輸出的x（t）→y（t）系統(tǒng)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)質(zhì)塊的主動(dòng)抑振控制，即當(dāng)質(zhì)塊受到外界干擾而產(chǎn)生振動(dòng)時(shí)，可以通過(guò)輸入x（t）對(duì)其進(jìn)行鎮(zhèn)定控制，使之快速消振。這種主動(dòng)抑振控制在實(shí)際物理系統(tǒng)中有廣泛的應(yīng)用，汽車懸掛系統(tǒng)的主動(dòng)消振就是一個(gè)典型的應(yīng)用。

1）基于x（t）→y（t）系統(tǒng)的PID抑振控制實(shí)驗(yàn)

圖5為PID抑振控制原理框圖。PID抑振控制器是基于誤差的控制器，PID參數(shù)整定可以采用試湊法，或者等幅振蕩法等，一般不考慮伺服驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，包括伺服電機(jī)的響應(yīng)周期，以及偏心盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等因素。

由于系統(tǒng)具有非線性，所以PID抑振控制器在平衡點(diǎn)附近的小幅振蕩控制效果比較好，如果振蕩幅度比較大，會(huì)出現(xiàn)控制失敗的情況。

2）基于平衡點(diǎn)線性化的LQR抑振控制實(shí)驗(yàn)

對(duì)式（5）—式（6）在平衡點(diǎn)θ=0、y（t）=0處進(jìn)行線性化，得

J+m0A20θ¨+c0θ·+kA20θ－kA0y（t）+m0gA0=τ，[JY]（12）

my¨（t）+cy·（t）+ky（t）－kA0θ=0。（13）

取狀態(tài)變量

z=z1，z2，z3，z4T=θ，y（t），θ·，y·（t）T，

得到系統(tǒng)狀態(tài)方程為

z·=[WTHX]Az+[WTHX]Bu，（14）

式中：

A=00100001－kA20J+m0A20kA0J+m0A20－c0J+m0A200kA0m－km0－cm；

B=001J+m0A200；u=τ－m0gA0。

利用MATLAB中的lqr（）函數(shù)很容易求得最優(yōu)反饋增益K，從而得到反饋控制量：

u=－K[WTHX]z。（15）

圖6為L(zhǎng)QR抑振控制原理框圖。由于系統(tǒng)存在非線性，因此，LQR抑振控制器與PID控制類似，在平衡點(diǎn)附近的小幅振蕩控制效果比較好，如果振蕩幅度比較大，會(huì)出現(xiàn)控制失敗的情況。

3?非線性控制系統(tǒng)分析及其控制器設(shè)計(jì)

如圖2 a）所示，如果將直接施加在彈簧上端的力F（t）、位移x（t），或者直接施加在質(zhì)塊上的力F-（t）作為系統(tǒng)的輸入，輸出為質(zhì)塊的位移y（t），那么系統(tǒng)是典型的線性系統(tǒng)。但是，如果以伺服電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩τ作為系統(tǒng)輸入，位移y（t）作為輸出，系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上增加了偏心盤輸入機(jī)構(gòu)，從模型上來(lái)看系統(tǒng)就變成了一個(gè)非線性系統(tǒng)。根據(jù)式（5）—式（6）可知：以電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩τ作為系統(tǒng)輸入、位移y（t）作為輸出的系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，即τ→y（t）系統(tǒng)。在τ→y（t）系統(tǒng)模型中，可以將F-（t）→y（t）系統(tǒng)與x（t）→y（t）系統(tǒng)分別看作機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中的線性環(huán)節(jié)。F-（t）→y（t）系統(tǒng)與x（t）→y（t）系統(tǒng)的穩(wěn)定性是熟知的，而τ→y（t）系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中有三角函數(shù)項(xiàng)，具有明顯的非線性特性。

3.1?τ→y（t）系統(tǒng)的無(wú)源性

定理1?當(dāng)c0=0、c=0 時(shí)，式（7）所表示的τ→y（t）系統(tǒng)為無(wú)源系統(tǒng)，且無(wú)損耗；當(dāng)c0>0、c>0時(shí)，τ→y（t）系統(tǒng)為嚴(yán)格輸出無(wú)源系統(tǒng)。

[CX1]證明[CX]?機(jī)械諧振系統(tǒng)是一個(gè)彈簧儲(chǔ)能系統(tǒng)，系統(tǒng)的動(dòng)能為

κ=12Jθ·2+12my·（t）2+12m0x·（t）2。（16）

系統(tǒng)的彈性勢(shì)能（忽略重力勢(shì)能）為

σ=12kx（t）－y（t）2+m0gx（t）=

12kA0sin θ－y（t）2+m0gA0sin θ。[JY]（17）

系統(tǒng)的存儲(chǔ)函數(shù)為

E=κ+σ=12Jθ·2+12my·（t）2+12m0x·（t）2+

12kA0sin θ－y（t）2+

m0gA0sin θ=

12q·T[WTHX]M（q（t））q·（t）+12kA0sin θ－y（t）2+

m0gA0sin θ，[JY]（18）

那么，有

E·=q·T[WTHX]M（q（t））q¨（t）+12q·T[WTHX]M·（q（t））q·（t）+q·T[WTHX]G（q（t））=q·T[WTHX]M（q（t））q¨（t）+12[WTHX]M·（q（t））q·（t）+[WTHX]G（q（t））=q·TU－[WTHX]Cq（t），q·（t）q·（t）+12[WTHX]M·（q（t））q·（t）=

τθ·－c0θ·2－cy·（t）2，[JY]（19）

即

τθ·=E·+c0θ·2+cy·（t）2。（20）

因此，當(dāng)c0=0、c=0 時(shí)，τ→y（t）系統(tǒng)為無(wú)源系統(tǒng)，且無(wú)損耗；當(dāng)c0>0、c>0 時(shí)，τ→y（t）系統(tǒng)為嚴(yán)格輸出無(wú)源系統(tǒng)。

3.2?τ→y（t）系統(tǒng)的穩(wěn)定性

定理2?當(dāng)c0>0、c>0 時(shí)，式（7）所表示的τ→y（t）系統(tǒng)為L(zhǎng)2穩(wěn)定，且其L2增益小于等于12c0δ。

[CX1]證明[CX]?當(dāng)c0>0、c>0 時(shí)，由式（20）有

E·=τθ·－c0θ·2－cy·（t）2=

－12c0τ－c0θ·2+12c0τ2－c02θ·2－cy·（t）2，[JY]（21）

那么，有

E·≤12c0τ2－c02θ·2+cy·（t）2，（22）

取δ=minc02，c，有

E·≤12c0τ2－δθ·2+y·（t）2=12c0τ2－δq·（t）Tq·（t），（23）

即

q·（t）Tq·（t）≤12c0δUTU－1δE·。（24）

對(duì)方程（24）兩邊在0，ε范圍內(nèi)積分，得：

∫ε0q·（t）Tq·（t）dt≤12c0δ∫ε0UT（t）U（t）dt－1δ∫ε0E·（t）dt，（25）

即

∫ε0q·T（t）q·（t）dt≤

12c0δ∫ε0UT（t）U（t）dt－

1δE（ε）－E（0）。[JY]（26）

由于E（ε）≥0，且當(dāng)a≥0、b≥0時(shí)，a2+b2≤a+b，因此有

‖q·ε‖L2≤12c0δ‖Uε‖L2+1δE（0）。[JY]（27）

由式（27）可知，τ→y（t）系統(tǒng)為L(zhǎng)2穩(wěn)定，且其L2增益小于等于12c0δ。

定理3?當(dāng)c0>0、c>0，且輸入τ=0時(shí)，式（7）所表示的系統(tǒng)在原點(diǎn)是穩(wěn)定的。

證明?取式（18）所示的李雅普諾夫函數(shù)，當(dāng)τ=0時(shí)，由式（19）得到：

E·=－c0θ·2－cy·（t）2≤0。（28）

因此，由李雅普諾夫穩(wěn)定性定理可知，當(dāng)τ=0時(shí)，系統(tǒng)在原點(diǎn)穩(wěn)定。

3.3?τ→y（t）系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性

構(gòu)造李雅普諾夫能量函數(shù)，有：

V=E+κ2m0gA01+sin θ，κ2>0，（29）

那么

V·=E·+κ2m0gA0（cos θ）θ·=

τ+κ2m0gA0cos θθ·－c0θ·2－cy·（t）2，[JY]（30）

令

τ+κ2m0gA0cos θ=－κ1θ·，κ1>0，（31）

取控制輸入

τ=－κ1θ·－κ2m0gA0cos θ，κ1>0 ，κ2>0，（32）

將式（32）代入方程（30），得

V·≤0。（33）

因此，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)可知閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

4?仿真與物理實(shí)驗(yàn)

機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)采用MATLAB與C++混合編程，交互性強(qiáng)且操作簡(jiǎn)單。在MATLAB中嵌入一個(gè)C++語(yǔ)言的mex函數(shù)庫(kù)即可實(shí)現(xiàn)MATLAB與C++的混合編程。該系統(tǒng)采用C++語(yǔ)言按照S函數(shù)所擁有的固定程序格式編寫(xiě)，并設(shè)計(jì)出了S函數(shù)模塊嵌入到系統(tǒng)后在Simulink下進(jìn)行建模和仿真。

由于機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的線性系統(tǒng)相關(guān)結(jié)論是熟知的驗(yàn)證性結(jié)果，所以，這里對(duì)線性部分的實(shí)驗(yàn)原理不作進(jìn)一步討論，僅針對(duì)τ→y（t）非線性系統(tǒng)基于李雅普諾夫函數(shù)的控制算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，取初值

θ，y（t），θ·，y·（t）T=0，2，0，0T，κ1=0.25，κ2=－1，仿真曲線如圖7所示。

圖7中仿真結(jié)果表明基于李雅普諾夫函數(shù)的控制方法可以實(shí)現(xiàn)振蕩消減，其中圖7 a）表明電機(jī)轉(zhuǎn)角的收斂位置在-90°，即彈簧上端滑塊最終收斂于最低位置，此時(shí)系統(tǒng)勢(shì)能最小。實(shí)驗(yàn)中，控制參數(shù)κ的選取并不唯一，不同的控制參數(shù)，其控制效果也不相同，此例主要說(shuō)明所提實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的適用性，不對(duì)控制算法的優(yōu)劣性進(jìn)行深入討論。圖8所示為物理實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)變量響應(yīng)曲線，在初始狀態(tài)θ=0時(shí)的靜止?fàn)顟B(tài)下，施加一個(gè)擾動(dòng)，κ1和κ2的取值一般與仿真中的數(shù)值不同，需要重新整定；此外，物理實(shí)驗(yàn)響應(yīng)曲線的幅值較小，是因?yàn)樵谖锢韺?shí)驗(yàn)中質(zhì)塊的初始擾動(dòng)很小，不會(huì)超過(guò)±0.025 m。從圖8可以看出，實(shí)際曲線與仿真曲線趨勢(shì)是一致的。通過(guò)實(shí)例可以看出，本文所提出的機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)不僅適用于教學(xué)，也可以作為控制理論驗(yàn)證的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

5?結(jié)?語(yǔ)

工程實(shí)際中，很多物理系統(tǒng)都可以簡(jiǎn)化或抽象為一個(gè)二階機(jī)械諧振系統(tǒng)，此外，國(guó)內(nèi)外經(jīng)典的自動(dòng)控制類教材中，機(jī)械諧振系統(tǒng)作為二階系統(tǒng)的典型案例，是經(jīng)典控制理論討論的重要內(nèi)容之一。因此，機(jī)械諧振系統(tǒng)的研究在建筑、航空航天、精密儀器、海洋工程等領(lǐng)域都具有重要意義，對(duì)提高控制理論相關(guān)課程的教學(xué)效果具有重大的促進(jìn)作用。

為了改善機(jī)械、自動(dòng)化等專業(yè)中與控制理論相關(guān)課程的教學(xué)效果，本文基于實(shí)際工程中一種典型的二階系統(tǒng)模型，研制了機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

本文首先介紹了機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)原理，建立了不同輸入條件下的數(shù)學(xué)模型。其次分別介紹了系統(tǒng)特性的時(shí)域分析法、根軌跡分析法、頻域分析法，及其實(shí)驗(yàn)原理。最后對(duì)PID、LQR等振動(dòng)抑制控制器的設(shè)計(jì)進(jìn)行了介紹，通過(guò)仿真和物理實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其有效性。

機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)是從工程實(shí)際中物理系統(tǒng)中抽象出來(lái)的一種實(shí)驗(yàn)教學(xué)、科研設(shè)備，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、原理清楚，具有線性和非線性特征，可操作性和直觀性較好，適用于高職、本科等高等院校自動(dòng)控制原理、機(jī)器人、智能控制等相關(guān)課程的基礎(chǔ)教學(xué)實(shí)驗(yàn)，是一種良好的教學(xué)科研實(shí)驗(yàn)載體。

參考文獻(xiàn)/References：

[1]

DORF R C，BISHOP R H.現(xiàn)代控制系統(tǒng)[M].13版.北京：電子工業(yè)出版社，2009：37-49.

[2]?胡壽松.自動(dòng)控制原理[M].7版.北京：科學(xué)出版社，2019：26-27.

[3]?FRANKLIN G F，POWELL J D，EMAMI-NAEINI A.自動(dòng)控制原理與設(shè)計(jì)[M].6版.李中華， 譯.北京：電子工業(yè)出版社，2014：16-20.

[4]?D′AZZO J J，HOUPIS C H.線性控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)[M].4版.北京：清華大學(xué)出版社，2000：35-46.

[5]?DAVIS S A，LEDGERWOOD B K.Electromechanical Components for Servomechanisms[M].New York：McGraw-Hill，1961.

[6]?RICHARDS R J.Analysis and design of dynamic systems[J].IEE Proceedings.Part D：Control Theory and Applications，1981，128（4）：156.

[7]?李林，單長(zhǎng)吉.質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的二次型最優(yōu)控制的實(shí)現(xiàn)[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，15（1）：96-98.

LI Lin，SHAN Changji.The quadratic form optimal control realization of mass-spring-damping system[J].Journal of Xi′an University（Natural Science Edition），2012，15（1）：96-98.

[8]?LI Xin，ZHOU Wenlin，LUO Jun，et al.A new mechanical resonance suppression method for large optical telescope by using nonlinear active disturbance rejection control[J].IEEE Access，2019，7：94400-94414.

[9]?白艷艷，張曉俊.建立彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的數(shù)軸法[J].噪聲與振動(dòng)控制，2012，32（3）：59-62.

BAI Yanyan，ZHANG Xiaojun.Numerical-axis method for establishing the mathematical model of mass-spring-damper system[J].Noise and Vibration Control，2012，32（3）：59-62.

[10]ZHANG Yongli，LIU Yu，YI Guorong.Control analysis of resonance system based on active disturbance rejection control[J].Journal of Physics：Conference Series，2020，1626：012092.

[11]單祥軒.汽車減震系統(tǒng)的理論建模及分析[J].科技展望，2016，26（30）：119.

[12]北京理工大學(xué)珠海學(xué)院.基于質(zhì)量彈簧阻尼多參數(shù)調(diào)諧實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)：CN202023156496.1[P].2021-08-31.

收稿日期：2023-05-19;修回日期：2023-10-21；責(zé)任編輯：王海云

基金項(xiàng)目：天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)2022年度專業(yè)學(xué)位研究生課程案例庫(kù)建設(shè)項(xiàng)目（15102/XJYJ2326）；2021年天津市研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目（2021YJSO2B16）；河北科技大學(xué)教改項(xiàng)目（2021-YB24）

第一作者簡(jiǎn)介：

張永立（1971—），男，河北石家莊人，副教授，博士，主要從事自動(dòng)化專業(yè)教學(xué)與科研方面的研究。

通信作者：

張永弟副教授。 E-mail： zhydi@yeah.net

張永立，張永弟，趙月靜，等.

機(jī)械諧振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)特性及實(shí)驗(yàn)方法研究

［J］.河北工業(yè)科技，2024，41（1）：77-84.

ZHANG Yongli，ZHANG Yongdi，ZHAO Yuejing，et al.

Study on dynamic characteristics and experimental methods of mechanical resonance system experimental platform

［J］. Hebei Journal of Industrial Science and Technology，2024，41（1）：77-84.