? 江蘇省海安市立發(fā)中學 劉宏俊

眾所周知,高中數(shù)學課堂教學“時間緊、任務(wù)重”,因此“高效”自然成了課堂教學的最終要求.為了實現(xiàn)這一目標,在日常教學中,教師應(yīng)該對教學設(shè)計精雕細琢,進而形成高效教案,為成就高效課堂保駕護航.筆者以“二次函數(shù)與一元二次方程根的分布”為例,呈現(xiàn)高效教案的建構(gòu)過程,與同行共研.

1 課前自研,設(shè)計教案

1.1 研讀教材,確定重難點

學習本課內(nèi)容前,學生已經(jīng)學習了零點的概念、零點存在定理,并能夠應(yīng)用零點存在定理解決一元二次方程根的分布的有關(guān)問題.在初中階段,學生已經(jīng)理解并掌握了應(yīng)用根的判別式、韋達定理判斷一元二次方程根的情況,同時對二次函數(shù)及其圖象也比較熟悉,不過這些知識、經(jīng)驗在為新知教學提供便利的同時,也可能會形成一定的定勢思維.教學中幫助學生擺脫定勢思維的干擾,學會用圖象法來研究一元二次方程根的分布既是教學難點,也是教學重點.

1.2 預(yù)設(shè)方案,突破重難點

為了突破重難點,教師需要以學生已有基礎(chǔ)知識為出發(fā)點,創(chuàng)設(shè)一些目的明確的問題情境,讓學生在問題的引領(lǐng)下突破思維定勢,學會用圖象法解決一元二次方程根的分布問題.預(yù)設(shè)方案如下:

環(huán)節(jié)1：回顧舊知,引出主題.

問題1函數(shù)的零點概念以及函數(shù)存在定理的內(nèi)容是什么?

問題2一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)何時有實根?

設(shè)計意圖：通過舊知回顧,引導(dǎo)學生將相關(guān)知識聯(lián)系起來,從而為新知的探究提供依據(jù).

環(huán)節(jié)2：問題探究,建構(gòu)知識.

問題1關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-3)x+m=0有兩個正根,求實數(shù)m的取值范圍.

設(shè)計意圖：根據(jù)預(yù)設(shè),大多數(shù)學生會應(yīng)用初中已學的根的判別式或韋達定理來解決問題.利用已有知識和方法解決問題后,教師鼓勵學生嘗試從函數(shù)的角度去分析,應(yīng)用二次函數(shù)的圖象來解決問題,并及時引導(dǎo)學生總結(jié)歸納不同方法的區(qū)別與聯(lián)系,促進對知識的理解.

問題2若關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-3)x+m=0的根滿足以下條件,分別求實數(shù)m的取值范圍.

(1)兩個實根均小于1;(2)兩個實根均大于0.5;(3)一個根大于1,一個根小于1;(4)一個根大于0,一個根小于0;(5)兩根均大于0且小于2;(6)兩根中有且只有一個根在區(qū)間(0,2)內(nèi);(7)一個根在區(qū)間(-2,0)內(nèi),另一個根在區(qū)間(1,3)內(nèi).

設(shè)計意圖：通過問題的解決,領(lǐng)悟韋達定理的局限性,凸顯函數(shù)圖象法的靈活性、廣泛性、方便性,進而領(lǐng)悟研究新方法的必要性.

環(huán)節(jié)3：應(yīng)用知識,深化理解.

例1若關(guān)于x的方程4x+(m-3)2x+m=0有兩個相異的正根,求實數(shù)m的取值范圍.

例2若關(guān)于x的不等式x2-4x≥m對于任意的x∈(0,1]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

設(shè)計意圖：通過典型例題進一步深化對圖象法的理解,體會函數(shù)圖象在解決方程和不等式等問題方面的重要應(yīng)用,凸顯數(shù)學知識間的內(nèi)在聯(lián)系,逐漸完善認知結(jié)構(gòu).

環(huán)節(jié)4：課堂小結(jié),升華知識.

在本環(huán)節(jié)可以預(yù)留時間讓學生自主總結(jié),領(lǐng)悟圖象法在解決方程根的分布問題的優(yōu)越性,歸納應(yīng)用函數(shù)圖象解決問題的一般過程,促進學生已有知識結(jié)構(gòu)的優(yōu)化,推動學生分析和解決問題能力的提升.

2 合作共研,修訂教案

知識構(gòu)建是本課教學中的重中之重,基于該環(huán)節(jié)的問題設(shè)計,教師集體研究,提出了如下修改意見.

2.1 情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)在知識最近發(fā)展區(qū)

環(huán)節(jié)2中,設(shè)計問題1的目的是通過舊方法引出新思路.不過在探究問題1的過程中,學生真的能夠想到圖象法嗎?相信大多數(shù)學生受慣性思維的影響,很難想到利用函數(shù)的圖象來解決問題,這樣也就難以真正起到以舊引新的效果.如果要想達到預(yù)設(shè)目標,那么只能靠教師講授來實現(xiàn)了,這樣課堂教學又走上了“師講生聽”的老路,學生雖然能理解和掌握新方法,但是卻很難領(lǐng)悟如何想到圖象法.其實,在實際教學中,不必急于強灌,不妨創(chuàng)設(shè)認知沖突,讓學生發(fā)現(xiàn)已有方法已經(jīng)難以解決現(xiàn)有問題,然后再引出圖象法.當學生理解了圖象法之后,再回頭分析問題1,進而總結(jié)歸納不同方法的區(qū)別與聯(lián)系,培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思考習慣,提高學生學習品質(zhì).

2.2 問題探索應(yīng)做到簡潔精練

知識建構(gòu)階段,教師設(shè)計問題2的目的是讓學生學會用圖象法解決問題.在解決問題的過程中,讓學生了解應(yīng)用圖象法需要從哪幾個角度去分析,知道何時用判別式、何時不用判別式,提高分析和解決問題的能力.問題2中共有7個小題,充斥著題海戰(zhàn)術(shù)的味道,這樣會占用較多的獨立思考和自主探究的時間,不利于學生思維能力的發(fā)展和自主探究能力的提升.同時,從問題來看,不少題目難度過大,容易造成思維障礙,影響解題信心.另外,問題數(shù)量過多,教師沒有充足的時間深入剖析,而為了完成教學任務(wù),不得不繼續(xù)“強灌”.基于知識建構(gòu)階段中存在的不足,教師重新設(shè)計環(huán)節(jié)2中的問題:

問題1關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-3)x+m=0有兩個正根,求實數(shù)m的取值范圍.

問題2關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-3)x+m=0有兩個實根,其中一個實根大于1,另一個實根小于1,求實數(shù)m的取值范圍.

問題3關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-3)x+m=0有兩個實根,其中一個根在區(qū)間(-2,0)內(nèi),另一個根在區(qū)間(1,3)內(nèi),求實數(shù)m的范圍.

設(shè)計意圖：在解問題1時,學生大多會應(yīng)用初中所學的韋達定理.在解決問題2時,學生首先想到的也是韋達定理,但是通過分析發(fā)現(xiàn),利用韋達定理難以獲解,此時,教師可以引導(dǎo)學生從函數(shù)圖象的角度去分析,通過創(chuàng)設(shè)沖突,激發(fā)學生探究新方法的迫切感,提高學生參與課堂的積極性.通過問題3進一步呈現(xiàn)圖象法的方便性、靈活性.如此改編,既能讓學生體會圖象法產(chǎn)生的必要性,又能體會圖象法在解題中的廣泛性和方便性.同時,題目“瘦身”后,教師就有充足的時間帶領(lǐng)學生進行深度剖析,開展深度教學.

3 課后反饋,完善教案

3.1 總結(jié)提煉,形成體系

環(huán)節(jié)1中,引導(dǎo)學生回顧一元二次方程的根、函數(shù)零點、函數(shù)零點存在定理等相關(guān)知識,為知識構(gòu)建作鋪墊.環(huán)節(jié)2中,通過由淺入深、由易到難、由熟悉到陌生逐層遞進的問題,引導(dǎo)學生自然而然由韋達定理過渡到圖象法,讓學生充分體會二次函數(shù)圖象與方程的關(guān)系,明確圖象法的實質(zhì)是零點存在定理的應(yīng)用.為了幫助學生加深對核心內(nèi)容的理解,教師可以讓學生以表格的方式進一步總結(jié)提煉(如表1).

表1

設(shè)計意圖：總結(jié)提煉是將知識內(nèi)化為能力的關(guān)鍵一步.在學生理解并掌握解決利用圖象法解決一元二次方程根的分布情況后,把問題一般化,讓學生通過自主探究和合作交流進一步明確利用圖象法時從哪幾個角度列出限制條件?何時用判別式?何時用對稱軸?借助有效的總結(jié)歸納,使學生的知識結(jié)構(gòu)更加系統(tǒng)化、完整化,實現(xiàn)知識體系的建構(gòu).

3.2 層層追問,突破難點

通過集體研究,將問題進一步優(yōu)化,使得由韋達定理到圖象法的過渡顯得更加自然、順暢.在解決問題的過程中,教師還可以結(jié)合課堂生成進行適時追問.例如,在知識建構(gòu)環(huán)節(jié),學生利用韋達定理解決問題后,教師可以追問:“還有其他解法嗎?”又如,學生利用韋達定理求解受阻時,教師可以啟發(fā)學生作出二次函數(shù)f(x)=x2+(m-3)x+m的圖象,然后根據(jù)題意列出相應(yīng)的關(guān)系式.若學生不能完成,可以繼續(xù)引導(dǎo)學生思考零點存在定理.這樣層層追問,有利于教學重難點的突破,有利于學生學習能力的提升和數(shù)學核心素養(yǎng)的落實.

總之,一堂好課離不開教師的認真打磨、反復(fù)錘煉.在高中數(shù)學教學中,要充分發(fā)揮集體備課的優(yōu)勢,通過對教學設(shè)計的精雕細琢,成就高效課堂.