紀 斐

(麗水中學(xué),浙江 麗水 323000)

1 案例背景

2022年10月,“浙派名師名校長培養(yǎng)工程”高中數(shù)學(xué)名師班在浙江省淳安縣第二中學(xué)開展了新課程背景下的課堂教學(xué)研討活動.該活動針對人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(必修第一冊)第3.2.1節(jié)“單調(diào)性與最大(小)值”進行同課異構(gòu).

在第3.2.1節(jié)“單調(diào)性與最大(小)值”的教學(xué)中,增函數(shù)與減函數(shù)以及函數(shù)單調(diào)性概念的獲得是一個重要的主題.因此,教師通過教學(xué)設(shè)計如何從“函數(shù)圖象的變化趨勢”這一單調(diào)性的感性描述到“函數(shù)單調(diào)性”概念的數(shù)學(xué)形式化定義成為這節(jié)課教學(xué)的關(guān)鍵.

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個核心概念,它反映了函數(shù)在某個范圍內(nèi)的變化趨勢,在數(shù)學(xué)學(xué)科和生活實踐中有著廣泛的應(yīng)用.函數(shù)的單調(diào)性是繼函數(shù)的概念之后介紹的函數(shù)的首個重要性質(zhì).因此,函數(shù)的單調(diào)性這一概念,無論是在學(xué)生的學(xué)習(xí)還是在教師的教學(xué)中都有著十分重要的作用.

在教學(xué)中,該如何引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注函數(shù)圖象的這一變化趨勢?如何關(guān)聯(lián)自變量x的變化與函數(shù)值y變化之間的關(guān)系?如何用形式化的數(shù)學(xué)語言來描述這種變化關(guān)系并得到函數(shù)單調(diào)性的概念?函數(shù)單調(diào)性概念的本質(zhì)又是什么?這些都值得關(guān)注.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(2017年版2020年修訂)》在“教學(xué)與評價建議”中指出,要結(jié)合特定的教學(xué)任務(wù),思考相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在教學(xué)中的孕育點、生長點;要注意數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與具體教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián);要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)在教學(xué)中的可實現(xiàn)性,研究其融入教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程的具體方式及載體[1].基于這樣的理念,本文選取了這次課堂教學(xué)研討活動中的3個案例,分析并探討在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象這一學(xué)科核心素養(yǎng)的路徑與策略.

2 案例呈現(xiàn)

教學(xué)片段1教師1的課堂情境引入部分.

師:大家都知道淳安的地勢高低起伏很大,老師從家里開車到學(xué)校,由于山路太多,高低起伏,如果車開得很快,那么就像在坐過山車一樣.

全體學(xué)生都笑了.教師在黑板上畫了一段近似W型的曲線.

師:如果要研究所畫的行程中的高度變化趨勢,該怎么研究?

生1:要放在坐標(biāo)系中研究.

師:對于上升階段的圖象,如何描述它的變化趨勢?

生2:函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大.

師:這是文字語言的描述,能不能用符號語言描述?

生3:當(dāng)x1

師:我們前面剛學(xué)過函數(shù)符號,函數(shù)值可以用什么表示?

生4:當(dāng)x1

師:很好!當(dāng)x1

生5:不能,有的地方增大,有的地方減小.

師:能否用無數(shù)個來說明?

生6:不能.

師:如何描述更合適?

生7:所有的.

師:嗯,也就是說對任意的x1

生8:某一部分.

師:對,應(yīng)該再加上在某個區(qū)間內(nèi).對于區(qū)間D內(nèi)任意兩個自變量x1,x2,當(dāng)x1

教學(xué)片段2教師2的單調(diào)性概念形成與辨析部分.

在得出本節(jié)課要研究函數(shù)的單調(diào)性這一主題之后,教師2提出問題:“我們應(yīng)該怎么研究單調(diào)性?”接著用PPT給出圖1,再利用動畫功能從圖1中慢慢分離出圖2.然后,在同一張PPT頁面上呈現(xiàn)兩個圖象,并進行對比,利用3種語言抽象概括出單調(diào)性的定義.

圖1 圖2

例1結(jié)合圖形,寫出下列幾個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:

1)f(x)=kx+b(其中k≠0);

2)f(x)=x2;

師:第3)小題的單調(diào)區(qū)間是什么?

生9:f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

師:很好!請大家思考,能不能說f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上單調(diào)遞減?

思考一段時間后,教師請生10回答.

生10:不能.比如-1<1,但是f(-1)

師:很好!利用了我們在第一章學(xué)過的全稱量詞與存在量詞命題的知識,要說明剛才的命題不成立,只需要找一個反例就可以了.當(dāng)然我們也可以嚴格證明,接下來請看例2……

教學(xué)片段3教師3的課堂導(dǎo)入部分.

開場用PPT給出教材中的導(dǎo)語:函數(shù)描述了客觀世界變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系,可以通過研究函數(shù)的性質(zhì)獲得對客觀世界中事物變化規(guī)律的認識.什么是函數(shù)的性質(zhì)?變化中的不變性就是性質(zhì),變化中的規(guī)律性也是性質(zhì).

師:同學(xué)們,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最主要的是要用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.請大家觀察圖3中各個函數(shù)圖象,說說它們從左到右有什么變化規(guī)律?

圖3

生11:圖象有起伏,有的變大,有的變小.

師:是什么在變大,什么在變小?

生12:從左向右,有的部分圖象y的值隨x變大而變大,有的部分圖象y的值隨x變大而變小.

師:很好!大家觀察得很仔細,像這種函數(shù)值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質(zhì),稱為函數(shù)的單調(diào)性.

3 案例的反思

從上面的3個案例可以看出,從函數(shù)的單調(diào)性概念的引出,到初步形成學(xué)生對單調(diào)性概念的理解,到最后給出單調(diào)性概念的形式化定義,3位教師的教學(xué)設(shè)計各有側(cè)重.但仔細反思和總結(jié),我們發(fā)現(xiàn)“具體化—形象化—形式化”是以“單調(diào)性與最大(小)值”這節(jié)課的教學(xué)為載體、培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的有效途徑.

3.1 “具體化”起始

教師1先從學(xué)生日常熟悉且能引起共鳴的現(xiàn)實生活經(jīng)歷入手,通過建立坐標(biāo)系,將從家里到學(xué)校路線的高低起伏變化抽象成一個函數(shù)圖象性質(zhì)的問題.具體的生活情境為抽象的研究提供了必要的基礎(chǔ).學(xué)生從具體的實例中結(jié)合已學(xué)過的知識抽象出函數(shù)單調(diào)性的概念,可以較快地初步理解函數(shù)單調(diào)性的定義,為后續(xù)概念的辨析打下基礎(chǔ).當(dāng)然,上述課堂教學(xué)中函數(shù)單調(diào)性定義的抽象過程的關(guān)鍵點是在教師的引導(dǎo)下完成,學(xué)生從中積累了經(jīng)驗.更重要的是,通過對現(xiàn)實問題的一步步抽象分析,學(xué)生慢慢理解了函數(shù)是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的有效數(shù)學(xué)語言,更進一步理解函數(shù)單調(diào)性的研究不僅僅是數(shù)學(xué)本身的需要,也是更好地表達現(xiàn)實世界的需要.

在初中階段,學(xué)生主要是通過正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一元二次函數(shù)的圖象的變化趨勢來認識函數(shù)的單調(diào)性.對于增函數(shù),從函數(shù)圖象上來說,是上升的趨勢,用文字語言描述為函數(shù)值y隨x的增大而增大.隨著學(xué)生認知水平的提升,到了高中階段,可以進一步用抽象的數(shù)學(xué)符號語言來表述函數(shù)的單調(diào)性:增函數(shù)即對某區(qū)間內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2,當(dāng)x1

3.2 “形象化”輔助

單調(diào)性通常是函數(shù)的一個局部性質(zhì),當(dāng)然也有些函數(shù)在整個定義域上是單調(diào)的.為了強調(diào)這一點,不少教師都會在抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義后花費不少的時間來辨析.在辨析過程中用大量的文字說明并反復(fù)強調(diào),利用定義中的“任意”來解釋,但任意性的理解恰恰是單調(diào)性定義理解的難點所在,較為抽象的辨析反而增加了學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性理解的難度.

教師2的做法是在單調(diào)性概念形成之前精心設(shè)計,充分利用圖形語言將較抽象的辨析問題形象化.對于具有多個單調(diào)區(qū)間的函數(shù)圖象,利用動態(tài)效果,將其單調(diào)的一部分圖象單獨截取出來并對比呈現(xiàn),這一細節(jié)的設(shè)計非常精彩.函數(shù)圖象部分的動態(tài)分離,使學(xué)生印象深刻,效果更好.在此環(huán)節(jié)中無需再用更多的語言說明,兩個圖象進行對比,一目了然,非常直觀,讓學(xué)生比較自然地形成了單調(diào)性是函數(shù)局部性質(zhì)的印象.這種數(shù)學(xué)直覺的建立為函數(shù)單調(diào)性嚴格定義的抽象形成起了潛移默化的作用,同時也對后續(xù)單調(diào)區(qū)間的學(xué)習(xí)起到了很好的先導(dǎo)作用.臺上一分鐘,臺下十年功,沒有教師平時對教材深刻思考的教學(xué)積累,也就不會有課堂上的神來之筆.

教師3借助幾個特殊函數(shù)的圖象,通過問題“你能說說它們從左到右有什么變化規(guī)律?”,讓學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性形成感性認識.

圖4

3位教師都利用教材并通過分析函數(shù)圖象的變化趨勢以加深學(xué)生對增函數(shù)概念的理解:如圖4,增函數(shù)是對某區(qū)間內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2,當(dāng)x1

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)需要我們認真思考,從細微之處著眼,從教學(xué)細節(jié)入手.對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng),在平時的課堂教學(xué)設(shè)計時要多從圖形語言入手,思考如何讓抽象的問題更加形象,更加有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解,從而更好地運用數(shù)學(xué)抽象思維解決問題.

3.3 “形式化”提升

在課堂上,教師對數(shù)學(xué)概念的認知水平是高于學(xué)生的.教師覺得顯然的事情,對于學(xué)生來說,有可能是難以接受的,這就需要教師先稚化自己的思維,盡可能貼近學(xué)生的認知水平,以學(xué)生的認知水平為出發(fā)點降低抽象問題的理解難度,多設(shè)置“階梯”,讓學(xué)生的理解一步一步上臺階,最終達到深度理解.

另外,教師對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的高水平理解更應(yīng)在課堂教學(xué)中體現(xiàn)出來.雖然在這3堂課中,每位教師都較好地通過從圖形語言到文字語言再到數(shù)學(xué)符號語言的抽象形成了函數(shù)單調(diào)性的概念,但綜觀3位教師的教學(xué),還是可以看到他們在處理單調(diào)性的形式化定義時,多少帶著點生硬、“不自然”的感覺.

首先,教師1對定義中“任意”這個詞的啟發(fā)和鋪墊還不夠;其次,3位教師對定義中的“當(dāng)x1

4 案例的啟示

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象,得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng).主要包括:從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并用數(shù)學(xué)語言予以表征.數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為:獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則,提出數(shù)學(xué)命題和模型,形成數(shù)學(xué)方法與思想,認識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系[1].

基于此,教師在教學(xué)中要充分認識數(shù)學(xué)抽象這一學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與外延.

4.1 精準定位

正如教師3所總結(jié)的“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界,用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”,這正是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的主要內(nèi)容.

該教師導(dǎo)入環(huán)節(jié)設(shè)置的目的就是從3個圖象中函數(shù)的變化趨勢抽象出一般規(guī)律,從而得到這節(jié)課要研究的對象“函數(shù)的單調(diào)性”,這一抽象過程也正是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的基本要求.

4.2 精心設(shè)計

筆者以前也曾多次觀摩過“函數(shù)的單調(diào)性”的公開課,有些教師在課堂一開始就拋出課本上的3個圖象讓學(xué)生觀察,直接讓學(xué)生回答“可以研究哪些性質(zhì)”.學(xué)生的回答五花八門:有答增減性的,有答對稱性的,有答變化趨勢快慢的,有答圖象是否過原點的,有答圖象在x軸上方的.這些回答都是學(xué)生基于不同的觀察角度所得出的結(jié)論,雖說學(xué)生也都在積極參與,但是注意力比較分散,沒有集中到這節(jié)課要研究的主題上來,其原因就是研究問題的方向不夠明確.

其實,對于函數(shù)單調(diào)性的概念,在初中階段,學(xué)生已經(jīng)初步了解正比例函數(shù)、反比例函數(shù)具有單調(diào)性的特征.因此,在高中階段繼續(xù)研究函數(shù)單調(diào)性的概念時,應(yīng)突出“從左向右”這一細微提示,為學(xué)生從特殊函數(shù)圖象中找出共同的規(guī)律性指明方向,從而讓學(xué)生把思考目標(biāo)聚焦到初中曾研究過的單調(diào)性上來,更好地突出這節(jié)課的研究主題.

因此,教師在平時的課堂教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)還需要在教學(xué)設(shè)計上充分考慮學(xué)生的認知水平,于細微處下功夫.

4.3 呈現(xiàn)本質(zhì)

眾所周知,數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想,是形成理性思維的重要基礎(chǔ),它貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中,不僅反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征,也是使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達準確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng)的有力抓手.

函數(shù)單調(diào)性概念的本質(zhì)在于處理無限變化的趨勢,通過用單調(diào)區(qū)間內(nèi)任意兩個點的函數(shù)值的大小變化來考查函數(shù)在某個范圍內(nèi)的變化,以“兩點”刻畫“無窮”,即以“有限”把握住了“無限”.因此,在教學(xué)中,要多設(shè)置具體的情境,多運用“具體化”“形象化”的教學(xué)手段,多方位剖析數(shù)學(xué)概念,讓學(xué)生積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗,幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生把現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學(xué)問題的意識,并在理解的基礎(chǔ)上運用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題.

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)落實的一個很好的載體是概念課教學(xué),但數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)不僅體現(xiàn)在概念課的教學(xué)中.“具體化—形象化—形式化”這一有效路徑,應(yīng)貫穿在教師日常的課堂教學(xué)過程之中.“精準定位,精心設(shè)計,呈現(xiàn)本質(zhì)”可以使得課堂教學(xué)的研究方向更加明確,學(xué)生學(xué)習(xí)的重心更加穩(wěn)固,它不僅架起了從動態(tài)觀察到理性分析的橋梁,也為數(shù)學(xué)概念的抽象和概念的形成起到鋪墊和指引的作用,它能夠有效地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中逐漸培育和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象這一學(xué)科核心素養(yǎng).